精品解析：广西壮族自治区梧州市2025-2026学年高一下学期7月期末抽样检测数学试题

梧州市2025－2026学年度高一下学期期末抽样检测 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：C 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线与平面相交，则内不存在与平行的直线 B. 如果两条直线与没有公共点，则 C. 一条直线和一个点确定一个平面 D. 三点确定一个平面 【答案】A 【解析】 【分析】依据空间中点、直线、平面的位置关系及相关公理、判定定理，逐一判断各命题的正误即可. 【详解】对选项A：因直线与平面相交，则不在平面内，假设平面内存在直线与平行， 则由线面平行的判定定理可得，这与和相交矛盾，故A正确； 对选项B：空间中直线无公共点，则可以是平行或异面，故B错误； 对选项C：根据平面确定公理，只有直线和直线外一点才能确定唯一平面，若点在直线上，可存在无数个平面，故C错误； 对选项D：根据平面确定公理，只有不共线的三点才能确定唯一平面，共线的三点可以有无数个平面，故D错误. 3. 已知向量，满足，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两边平方可得，，由此可求结论, 【详解】由， 所以， 所以，， 所以，又， 所以． 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的终边过的点,求出角的三角函数值,利用弦函数化切函数,求得答案. 【详解】角的终边经过点，， 则，，, ． 故选：． 5. 在中，是线段上靠近的三等分点，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先展开，然后平方，最后用二倍角公式化简计算可得出答案. 【详解】解： 即， 等式两边平方得， 继续展开， 化简得 所以 故选：C 7. 已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的图象对称轴方程，再结合已知列出不等式组求解. 【详解】函数，由，得， 由，函数的图象在内恰有3条对称轴，得且， 解得，所以的取值范围是. 8. 在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为钢球与棱锥的四个面都接触，所以钢球与棱锥的棱相离，而与棱对应的高相切．所以经过棱锥的一条侧棱和高所作的截面中，球的截面圆与两条高相切，而与棱相离，且与棱锥的高相交，故选B 考点：本题主要考查简单几何体的特征及三视图． 点评：简单题，理解好三视图的意义． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在中，角的对边分别是，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由余弦定理得：，（负值舍掉），A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由正弦定理得：，C错误； 对于D，由余弦定理得：，，D正确. 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知函数，给出下列四个说法正确的是（ ） A. 的一条对称轴为； B. 的最小正周期为； C. 在区间上单调递增： D. 的图象关于点成中心对称. 【答案】AC 【解析】 【分析】由对称的性质及诱导公式可判断AD，根据周期定义及诱导公式判断B，根据正弦型函数的单调判断C. 【详解】设上任意一点，则关于的对称点，因为， 即在函数的图象上，所以的图象关于直线对称，正确； 由知，不是函数的周期，错误； 当时，，所以， 时，，故单调递增，故正确； 设图象上任意一点，则关于点的对称点，因为， 故函数的图象不关于点成中心对称，错误. 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数（）的最小正周期是，则的值为________； 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，得 13. 等边三角形的边长为，________； 【答案】## 【解析】 【详解】由等边三角形的边长为，得. 14. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】法一：根据台体的体积公式得三棱台的高，作辅助线并结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系得，进而求正三棱锥的高，即得结果. 【详解】法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为，则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得， 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则，知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故答案为：1 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，已知正方体． （1）求直线与所成的角的大小； （2）求直线与所成的角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据异面直线所成角定义，通过平移直线找到所求角，进而根据长度关系得到结果. 【小问1详解】 ，直线与所成角即为， ，，，即直线与所成角大小为. 【小问2详解】 连接， ，，四边形为平行四边形，， 直线与所成角即为， 均为正方体的面对角线，， ，即直线与所成角大小为. 16. 已知，且在第三象限. （1）求和的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可. （2）利用诱导公式，结合三角函数正余弦齐次式求值即可. 【小问1详解】 已知，且在第三象限，所以， 【小问2详解】 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求证：平面. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】（1）欲证，只需证明即可； （2）先证平面，再证平面平面； （3）取中点，连接，证明，则平面. 【详解】（Ⅰ）∵，且为的中点，∴. ∵底面为矩形，∴，∴； （Ⅱ）∵底面为矩形，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. 又，，、平面，平面， ∵平面，∴平面平面； （Ⅲ）如图，取中点，连接. ∵分别为和的中点，∴，且. ∵四边形为矩形，且为的中点，∴， ∴，且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴平面. 【点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直. 18. 在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且∥. （1）求角的大小； （2）若求的取值范围； （3）若的内切圆的周长为，当的值最小时，求的面积. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由∥，可得，从而可求得角的大小； （2）可得为钝角，即，再利用正弦定理表示出，从而有，再由可求出的取值范围； （3）由余弦定理得，由的内切圆的周长为，可得内切圆半径，设圆为的内切圆圆心，，为切点，则可得，，再由切线长定理可得，结合前的式子可得，则有，从而可得当时，的值最小，进而可求出的面积 【详解】解：（1）∥，， ，即 ， （2）为钝角，从而 由正弦定理，得， ， （3）由余弦定理得：， 由题意可知：的内切圆周长， 所以内切圆半径 如图，设圆为的内切圆圆心，，为切点， 可知≌，又，可得： ，， 由切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线长相等， ， 化简得(当且仅当时取等号) 即 ，或 又，，即， 当且仅当时，的值最小为24， 此时的面积： 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的应用，正弦定理和余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，第（3）问解题的关键是由切线长定理得，由余弦定理得，从而得再结基本不等式可得，进而可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1）．某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要． （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个座舱里，他们中间相隔5个座舱，在摩天轮运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 【答案】（1）， （2） （3），；最大值为 【解析】 【分析】（1）根据摩天轮的几何特征确定振幅、周期、初相和垂直位移，建立三角函数模型； （2）将代入（1）中求得的函数解析式计算即可； （3）根据座舱分布确定甲乙两人的相位差，列出高度差函数，利用三角恒等变换化简并求最大值. 【小问1详解】 由题意可知，摩天轮的半径， 圆心距离地面的高度为， 摩天轮转动的角速度， 设， 则， 当时，游客甲位于最低点，此时， 所以，即， 取， 所以，. 【小问2详解】 当时， ， 所以游客甲在开始转动后距离地面的高度为. 【小问3详解】 由题可知相邻两个座舱对应的圆心角为， 因为甲、乙两人中间相隔5个座舱， 所以两人的相位差为， 设甲的高度为，乙的高度为， 则 两人距离地面的高度差， 利用和差化积公式，， 当时，取最大值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梧州市2025－2026学年度高一下学期期末抽样检测 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线与平面相交，则内不存在与平行的直线 B. 如果两条直线与没有公共点，则 C. 一条直线和一个点确定一个平面 D. 三点确定一个平面 3. 已知向量，满足，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，是线段上靠近的三等分点，则向量（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是　　 A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在中，角的对边分别是，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 11. 已知函数，给出下列四个说法正确的是（ ） A. 的一条对称轴为； B. 的最小正周期为； C. 在区间上单调递增： D. 的图象关于点成中心对称. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数（）的最小正周期是，则的值为________； 13. 等边三角形的边长为，________； 14. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，已知正方体． （1）求直线与所成的角的大小； （2）求直线与所成的角的大小． 16. 已知，且在第三象限. （1）求和的值； （2）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求证：平面. 18. 在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且∥. （1）求角的大小； （2）若求的取值范围； （3）若的内切圆的周长为，当的值最小时，求的面积. 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1）．某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要． （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动后距离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个座舱里，他们中间相隔5个座舱，在摩天轮运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $