精品解析：广西梧州市2024-2025学年高一下学期期末抽样检测数学试题

梧州市2024－2025学年度高一下学期期末抽样检测 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（ ） A. 弧度 B. 弧度 C. 弧度 D. 弧度 【答案】D 【解析】 【分析】根据角度制和弧度制换算关系即可得到答案. 【详解】因为，所以弧度, 因此“720度”即弧度. 故选：D． 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法运算，即可求解. 详解】根据向量加法运算可知，. 故选：A 3. 在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱台 C. 四棱锥 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台和棱锥的结构特征判断即可. 【详解】如图，在三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥. 故选：C. 4. 已知中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理知：，题中， ，选项A正确，选项BCD错误 故选：A. 5. 已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线面位置关系的判定，分析选项中结论是否正确. 【详解】A选项，缺条件，结论不成立； B选项，直线与直线可能平行可能异面，结论不成立； C选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确 D选项，直线可能与平行，可能在内，也可能与相交，不一定满足垂直，结论不成立. 故选：C 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用商数关系和倍角公式，即可求解. 【详解】由，得．又，则， 所以，所以． 故选：C． 7. 若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥的高，求出对应线段长，通过体积公式得出三棱锥体积. 【详解】如图，正三棱锥，， 取中点，连接，取等边三角形的中心，连接， 由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面， ∴平面 即三棱锥的高为， ∵， ∴，∴， ∴， ∴. 故选：C 8. 设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 方程在区间上的根的个数共有6个 C. 当，的值域为 D. 将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知最小正周期为即可判断A；由此可得，再根据余弦函数的图像及相关性质可判断B、C、D. 【详解】A选项，时，的最小值为，可得的最小正周期为，故A错误； B选项，由A可知，．则． 当时，，则当，，，，，时，，则在区间上的根的个数共有6个，故B正确； C选项，当时，，因在上单调递减，则，故C错误； D选项，将函数的图像向左平移个单位，则得到的解析式为，则得到的函数为奇函数，故D错误； 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由两个平面向量平行、垂直的坐标公式计算可分别判断A项、B项，由平面向量的模、数量积的坐标公式计算可分别判断C项、D项. 【详解】对于A项，若，则，得，故A项不正确. 对于B项，若，则，得，故B项正确. 对于C项，若，则，得，故C项不正确. 对于D项，若，则，故D项正确. 故选：BD. 10. 已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（ ） A. 该圆锥母线与底面所成角为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥侧面展开图的面积为 D. 该圆锥侧面展开图为半圆 【答案】ABD 【解析】 【分析】设圆锥底面半径，然后得到底面面积和周长，从而表示出侧面面积，由题意建立方程解得底面半径.然后由母线和底面半径求出母线与底面夹角；由母线与底面夹角的正弦值求出圆锥的高，从而求出体积；由公式求出侧面面积；由侧面面积与以母线为半径的圆的面积关系得到侧面展开图是否是半圆. 【详解】设圆锥底面半径为， 则底面面积，底面周长， ∴侧面面积， 由题意得，即，即， 设该圆锥母线与底面所成角为，则，即，A选项正确； 则该圆锥的体积，B选项正确； 侧面面积，C选项错误； 侧面面积，所以该圆锥侧面展开图为半圆，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两角和差的正切公式求出判断AB；根据角的范围及特殊角的正切值判断CD. 【详解】因为， 所以， ，故选项AB正确； 因为，所以，又，， 所以， 因为，所以即，所以C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____． 【答案】. 【解析】 【详解】 由正弦的背胶公式可得. 13. 已知长方体中，，，，则该长方体的外接球（长方体的八个顶点都在球面上）的表面积等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的外接球的直径是长方体的体对角线，求得外接球的半径即可. 【详解】因为长方体中，，，， 且长方体的外接球的直径是长方体的体对角线， 所以， 解得， 所以外接球的表面积为 ， 故答案为： 14. 在中，角，，的对边分别为，，，且.则的值为____________；的最大值是____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件及正弦定理，求得角；然后利用三角形内角和转化为与的关系，利用两角和与差的正弦展开式和取值范围求得最大值． 【详解】∵，∴由正弦定理得， 又，故，∴， ∵，∴； ∴， ∴，. ∵，∴， ∴当，即时，取得最大值 ∴当时，取得最大值. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，． （1）求与； （2）求：①；②在方向上的投影数量． 【答案】（1），. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由已知条件，结合向量数量积的运算律，即可求的值；再根据数量积的运算律及公式，即可求. （2）由可求得，再利用向量的投影的数量的定义求解. 【小问1详解】 由已知，得， 即，所以， 则， 又，所以. 【小问2详解】 ①； ②在方向上的投影数量为. 16. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求，，值； （2）若角满足，求的值． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义，结合诱导公式及二倍角的正弦求解. （2）利用同角公式，差角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由点，得， 所以，，， ，. 【小问2详解】 由，得， 因此， 当时，； 当时，， 所以值为或． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 （3）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1），的递增区间为 （2）表格见解析，函数图像见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的周期性求解最小正周期，根据正弦函数的单调性求解单调递增区间. （2）完善表格，描点连线即可利用“五点作图法”画图. （3）由已知可得，结合（2）的图象即可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以． 令，解得， 所以的递增区间为； 【小问2详解】 因为，当时，， 列表如下： 0 1 4 6 1 2 0 0 1 作图如下： 【小问3详解】 因为，所以， 又，由（2）的图象，且，可知， 所以的取值范围是． 18. △ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设，，且F为BE的中点，如图所示. （1）求证：DF平面ABC； （2）求证：AF⊥BD； （3）求平面BDE与平面ABC所成的较小二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）45° 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线定理､平行四边形的判定和性质定理､线面平行的判定定理即可证明； （2）利用线面､面面垂直的判定和性质定理即可证明； （3）延长ED交AC延长线于G′，连BG′，只要证明BG′⊥平面ABE即可得到∠ABE为所求的平面BDE与平面ABC所成二面角，在等腰直角三角形ABE中即可得到. 【小问1详解】 证明：如图所示，取AB中点G，连CG､FG. ∵EF=FB，AG=GB， ∴. 又，∴. ∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG. ∵DF平面ABC，CG⊂平面ABC， ∴DF∥平面ABC. 【小问2详解】 证明：∵EA⊥平面ABC， ∴AE⊥CG. 又△ABC是正三角形，G是AB的中点， ∴CG⊥AB. ∴CG⊥平面AEB. 又∵DF∥CG， ∴DF⊥平面AEB. ∴平面AEB⊥平面BDE. ∵AE=AB，EF=FB， ∴AF⊥BE. ∴AF⊥平面BED， ∴AF⊥BD. 【小问3详解】 延长ED交AC延长线于G′，连BG′. 由，CD∥AE知，D为EG′的中点， ∴FD∥BG′. 又CG⊥平面ABE，FD∥CG. ∴BG′⊥平面ABE. ∴∠EBA为所求二面角的平面角. 在等腰直角三角形AEB中，可得∠ABE=45°. ∴平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°. 19. 《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量，． （1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； （2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； （3）霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线的长度平方成正比，比例系数为，而总收益与成正比，比例系数为（其中，，）.若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的长度，并写出此时的最大净收益表达式． 【答案】（1）验证见解析， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）在中分别对使用余弦定理，可得关系，即可得出为定值； （2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质及余弦函数的取值范围，可得出的最大值； （3）设，净收益为，则，又（1）（2）可得，根据二次型函数求最值即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即， 在中，由余弦定理得， 即， 所以， 即． 所以无论多长，． 【小问2详解】 ， ， 则， 由（1）知，， 即，代入上式， 得， 配方得，当时， 取到最大值为． 【小问3详解】 设，净收益为，则， 由（1）知，， 则且． 由（2）知， 所以， 令，（），则， 所以，即当时， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 梧州市2024－2025学年度高一下学期期末抽样检测 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（ ） A. 弧度 B. 弧度 C. 弧度 D. 弧度 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A 三棱锥 B. 三棱台 C. 四棱锥 D. 三棱柱 4. 已知中，内角，，对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知，，则（ ） A B. C. D. 7. 若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 方程在区间上的根的个数共有6个 C. 当，的值域为 D. 将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为偶函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（ ） A. 该圆锥母线与底面所成角为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥侧面展开图的面积为 D. 该圆锥侧面展开图为半圆 11. 已知，则以下说法正确是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____． 13. 已知长方体中，，，，则该长方体外接球（长方体的八个顶点都在球面上）的表面积等于___________. 14. 在中，角，，的对边分别为，，，且.则的值为____________；的最大值是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，． （1）求与； （2）求：①；②在方向上的投影数量． 16. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求，，的值； （2）若角满足，求的值． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 （3）当时，，求实数的取值范围． 18. △ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设，，且F为BE的中点，如图所示. （1）求证：DF平面ABC； （2）求证：AF⊥BD； （3）求平面BDE与平面ABC所成的较小二面角的大小. 19. 《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量，． （1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； （2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； （3）霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线的长度平方成正比，比例系数为，而总收益与成正比，比例系数为（其中，，）.若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的长度，并写出此时的最大净收益表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$