精品解析：广西柳州市2025-2026学年高一下学期7月质量监测数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（ ） A. 众数仅是31 B. 分位数是 C. 极差是38 D. 中位数是44 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期与的最小正周期相同 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则是偶函数 D. 的单调递增区间为 11. 在三棱台中，平面，平面，，，则（ ） A. 四边形为直角梯形 B. 三棱台的体积为 C. 二面角的大小为 D. 直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____． 13. 已知事件与相互独立，，，则________． 14. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，且． （1）求； （2）若，求实数的值． 16. 某蛋糕店为了了解顾客对某款蛋糕的满意程度，对购买该蛋糕的顾客进行问卷调查，现随机抽取了200名顾客的满意度评分（分数均在内），将所得数据分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值，并估计这200名顾客的满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）在第四、五两组中；按比例分配的分层随机抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人送优惠券，求选出的2人来自同一组的概率. 17. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）解不等式． 18. 若，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求，； （3）若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的交运算求结果即可. 【详解】因为集合，，所以． 故选：B 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的运算性质化简已知等式，再通过复数的除法运算法则求出. 【详解】由可得， 可得. 故选：D. 3. 已知，，，，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用举反例判断ACD，分和判断B. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 4. 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法计算即可. 【详解】 由题意可知. 5. 已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理与面面垂直性质进行推断即可． 【详解】由线面垂直的判定定理可知，过一个平面垂线的平面与这个平面垂直， 故“”可以得到“”，充分性得证； 反之，已知两平面垂直，一个平面内的直线可以与另一个平面相交，垂直，平行， 不能得到线面垂直，必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件． 6. 《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（ ） A. 众数仅是31 B. 分位数是 C. 极差是38 D. 中位数是44 【答案】B 【解析】 【分析】由众数、百分位数、极差、中位数的定义即可得出答案. 【详解】由题知，每个数出现的次数都是一次，A错误； 将这10个数据从小到大排列为31，32，38，41，47，48，58，63，68，82； 易知为整数，所以分位数是第1个数与第2个数的平均值， 即为，B正确； 极差为，C错误； 中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，D错误. 故选：B. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式及余弦函数单调性即可判断. 【详解】，， 由， 则， 故， 显然，即． 8. 已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的奇偶性、二次函数的单调性、函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，为偶函数，符合题意； 当时，为非奇非偶函数，不符合题意， 所以. 二次函数的对称轴为， 若函数在上单调递增， 则解得； 若函数在上单调递减， 则解得. 综上，实数的取值范围为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据三角函数诱导公式化简复数，再根据复数的相关概念逐一分析选项. 【详解】根据三角函数诱导公式化简，，所以. 对于A选项，的虚部为，所以A选项正确. 对于B选项，已知，则. 所以，B选项正确. 对于C选项，在复平面内， 对应的点为，该点位于第一象限，而不是第三象限，所以C选项错误. 对于D选项， 则，所以D选项正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期与的最小正周期相同 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则是偶函数 D. 的单调递增区间为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象求出即可判断AB；再根据函数的平移求出即可判断C；根据正弦函数的单调性求解判断D. 【详解】对于A，由图可知，，，则， 即，又， 则，又在附近为增函数， 则，即， 又，则，故A错误； 对于B，由A知函数的最小正周期为， 而的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，最小正周期也为，故B正确； 对于C，由题意，， 为偶函数，故C正确； 对于D，由A知，， 令，解得， 则的单调递增区间为，故D错误. 11. 在三棱台中，平面，平面，，，则（ ） A. 四边形为直角梯形 B. 三棱台的体积为 C. 二面角的大小为 D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意可得平面，从而，，可判断AB；由平面，所以为二面角的平面角，求此角判断C；延长交于点，则可得三棱锥，取中点，连接，在三棱锥中，由于，，所以为的中点，所以，则为直线与所成角，判断D. 【详解】在三棱台中，平面，平面，则， 又平面，平面，则， 平面， 所以平面，而平面，则， 又因为，且，所以四边形为直角梯形，A正确； 由平面，而平面，则， 则为直角三角形，则， 则，B正确； 由平面，所以为二面角的平面角， 又平面，平面平面，则平面， 平面，所以，，， 则，所以， 又平面，平面，所以， 所以，所以，C错误； 延长交于点，则可得三棱锥，取中点，连接， 在三棱锥中，由于，，所以为的中点， 所以，则为直线与所成角， 由于平面，所以平面，平面， 则，又，， 所以，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算和对数运算化简求值即可. 【详解】． 故答案为： 13. 已知事件与相互独立，，，则________． 【答案】0.85 【解析】 【分析】根据和事件概率公式和独立事件概率公式计算结果即可． 【详解】因为事件与相互独立，故，由， 可得； 故． 14. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在中，由余弦定理得 ， 所以，在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 在中， ，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，且． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的线性运算的坐标表示求出，再求得，进而根据平面向量模的坐标表示求解即可； （2）根据平面向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【小问1详解】 因为，，且， 所以，解得，则，而， 所以， 则． 【小问2详解】 由（1）知，而， 所以，， 因为，所以，解得． 16. 某蛋糕店为了了解顾客对某款蛋糕的满意程度，对购买该蛋糕的顾客进行问卷调查，现随机抽取了200名顾客的满意度评分（分数均在内），将所得数据分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值，并估计这200名顾客的满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）在第四、五两组中；按比例分配的分层随机抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人送优惠券，求选出的2人来自同一组的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求出，再由频率分布直方图求均值即可； （2）分层抽样后列出样本事件空间，利用古典概型求解即可. 【小问1详解】 由题意知， 解得. 估计这200名顾客的满意度评分的平均数. 【小问2详解】 从第四组抽取的人数为（人），记为a，b，c，d， 从第五组抽取的人数为（人），记为e， 从这5人中选出2人，有，，，，，，，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况， 故选出的2人来自同一组的概率为. 17. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）解不等式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，得到恒成立，即可求解； （2）由（1）可将不等式转换成，再得到，通过换元，得到，进而求解即可. 【小问1详解】 由已知可得， 即， 得：， 即， 即， 得恒成立， ，解得． 【小问2详解】 由（1）可得， 原不等式可化为，即， 在上单调递增，， 令，则，即，解得或， 所以或， 所以或． 不等式的解集为或. 18. 若，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求，； （3）若的面积为，设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合辅助角公式整理，求解角； （2）利用三角形面积公式得到的值，再结合余弦定理建立方程求解和； （3）利用向量中线公式和向量数量积公式得到关于、的等式， 再利用求解. 【小问1详解】 由题意知中，，由正弦定理边角关系得： ， ， ，，， ，， 又，，所以，即. 【小问2详解】 由，，得. 由余弦定理得， 则，所以， 解得. 【小问3详解】 在中，为中线，， ，. ，，， ， ， ， . 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长. 【答案】（1）证明：取AB的中点F，连接PF，因为是边长为2的等边三角形， 所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求证平面即可得证； （2）取BF的中点O，连接EO， 过点E作，垂足为G，连接OG，求证平面得到为二面角的平面角，求出即可得解； （3）先求证平面得到点M不同于点C，过点M作，垂足为H，进而求证平面得直线EM与平面所成的角为，设，由得到，再由即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取BF的中点O，连接EO，因为E为线段PB的中点， 所以，， 由（1）知，平面，又平面，所以，所以. 过点E作，垂足为G，连接OG，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为平面，又平面，所以， 又，所以， 所以，即，解得. 因为平面，平面，所以， 又，所以，所以， 所以， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 因为平面，平面，所以， 又是边长为2的等边三角形，点E是棱PB的中点，所以， 又，平面，所以平面. 显然点M不同于点C，过点M作，垂足为H，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，所以直线EM与平面所成的角为. 设，所以，， 在中，， 所以，即， 所以，所以， 解得或（舍），即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $