第02讲 三角恒等变换（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换专题，覆盖两角和差、二倍角等8大知识模块及12个高考高频考点，按公式内在逻辑与变换思想构建体系，通过考情解读、知识梳理、重难突破（典例+方法技巧）、分层集训四环节，帮助学生系统掌握公式应用与变换技巧。 讲义突出“变角、变名、变结构”核心策略，如给值求角问题中通过缩角范围和正切函数选择培养数学思维，设置基础、能力、真题三层练习发展运算能力与推理意识。分层设计与即时反馈确保复习效率，为教师把控节奏、学生提升应考能力提供有力支撑。

第02讲 三角恒等变换 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 两角和与差的正弦、余弦、正切 知识2 二倍角的正弦、余弦、正切 知识3 降幂公式 知识4 半角公式 知识5 辅助角公式 知识6 积化和差公式 知识7 和差化积公式 知识8 万能公式 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 两角和与差的公式的直接应用 方法技巧 两角和与差正余弦与正切之间的联系技巧 考点02 两角和与差的公式逆用及变形 方法技巧 逆用和差角公式求值技巧 考点03 给值求值问题 方法技巧 给值求值化简技巧 考点04 给值求角 方法技巧 给值求角处理技巧 考点05 二倍角公式的的直接应用 方法技巧 二倍角问题处理技巧 考点06 万能公式应用 方法技巧 万能公式应用技巧 考点07 降幂公式的应用 方法技巧 降幂公式应用技巧 考点08半角公式的应用 方法技巧 半角公式应用技巧 考点09 辅助角公式及应用 方法技巧 辅助角公式应用技巧 考点10 积化和差公式的应用 方法技巧 积化和差应用技巧 考点11 和差化积公式的应用 方法技巧 和差化积应用技巧 考点12 三角恒等变换综合问题 方法技巧 三角恒等变换研究性质技巧 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．推导与公式联系：经历推导两角差余弦公式的过程，理解其逻辑；能从两角差余弦公式出发，推导出两角和、倍角及半角公式，体会公式之间的内在联系与变换思想. 2．应用与运算提升：能运用上述公式进行简单的恒等变换，包括求值、化简与证明；在变换过程中，发展数学运算和逻辑推理素养，提升对代数变形与三角结构特征的理解. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 三角恒等变换 全国一卷 T16 全国二卷T7，T17 全国Ⅰ卷T11， 全国Ⅱ卷T8 新高考Ⅰ卷T4， 新高考Ⅱ卷T13 考情解读 高考一般以选择题或填空题考查公式逆用、变形及求值，难度中低；解答题常与三角函数图象性质、解三角形结合，侧重恒等变换作为工具的作用.备考需强化“变角、变名、变结构”意识，提升运算准确性与速度. 备考策略 1．夯实基础：熟练推导并熟记和差、倍半、辅助角公式，掌握切化弦、升幂降幂、角的配凑三类核心变换技巧，明确公式适用边界. 2．靶向练题：聚焦给值求值、给值求角、化简求最值三类高频题型，重点强化角的范围判定、特殊三角函数值记忆两个易错点. 3．复盘提效：单题训练限时完成，错题按“公式误用/变换偏差/范围遗漏”分类整理，每周复盘1次易错点，确保基础题零失分. 知识・归纳梳理 知识1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝ C(α＋β) cos(α＋β)＝ S(α－β) sin(α－β)＝ S(α＋β) sin(α＋β)＝ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 知识2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝ (2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ (3)公式T2α：tan 2α＝. 知识3 降幂公式 (1)cos2α＝；（2）sin2α＝；（3）tan2α＝；（4）sin αcos α＝sin 2α. 知识4 半角公式(不要求记忆) sin＝± ；cos＝± ；tan＝± ＝＝.符号由所在象限决定. 知识5 三角函数的叠加(辅助角公式) asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中sin φ＝，cos φ＝. 知识6 积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 知识7 和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 知识8 万能公式 （1）, (2) (3)tan 2α＝. 必记结论 (1)两角和与差的公式的常用变形 ①sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.②cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. ③tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan αtan β＝1－＝－1. (2)辅助角公式的常见形式 ①sin x±cos x＝sin；②sin x±cos x＝2sin；③sin x±cos x＝2sin. 重难・核心突破 考点01 两角和与差的公式直接应用 典例1．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 典例2．（2026•深圳模拟）已知，则（　　） A． B． C．2 D．3 典例3．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 典例4．（2025·海南三亚·一模）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 两角和与差正余弦与正切之间的联系技巧 1. 切化弦：正切和差角公式 ，实质是正余弦和差公式的比值.遇复杂角混合运算时，统一化为正余弦是可靠的通法. 2. 弦化切：若已知，求正余弦和差式的齐次分式值，可分子分母同除以 ，快速化为正切形式，直接利用和差角公式求解，大幅减少计算量. 核心口诀：正切是桥梁，弦切互化看条件；知切求切用公式，知弦求切先化弦. 【考法预测1】（25-26高一下·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高二下·云南红河·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·安徽·模拟预测）已知，且，则（    ） A．3 B． C． D．-3 考点02 两角和与差的正余弦的逆用及变形 典例1.（2026•信阳一模）的值为（　　） A． B． C． D． 典例2．（2024·新疆·二模）设，且，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 逆用和差角公式求值技巧 1 对两角和差公式的逆用，你先要明确公式中的、所指，式子只有两个角或看成两个角的式子； 2 在凑角的过程中，我们要掌握已知角和未知角之间是否存在某些线性关系，常见的有， ，等等. 【考法预测1】(2025·河南焦作模拟)的值为　　　　. 【考法预测2】（2025•山海关区模拟）设，，且，则（　　） A． B． C．α+2β＝π D．2α+β＝π 考点03给值求值 典例1．(2026·浙江杭州模拟)已知α∈，β∈，若sin(α＋β)＝，cos β＝，则cos 2α＝(　　) A. B.－ C. D.－ 典例2．（25-26高一下·河南·阶段检测）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 典例3．（25-26高一下·江苏泰州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 给值求值处理技巧 1.观察已知角与所求角的和差、倍半关系，用配凑角转化：如，避免多角； 2 .根据已知三角函数值、题干给出区间，缩小角所在象限,开平方、求另一三角函数值时，结合范围确定正负，防止出现多解、错解. 【考法预测1】（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）若，，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】5．（25-26高一下·湖北鄂州·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 考点04 给值求角 典例1．（25-26高一下·江苏常州·期末）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 典例2．(2)(2025·黑龙江双鸭山模拟)已知α，β∈，cos2α－sin2α＝，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 典例3．(3)若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α＜β，则α＋β＝　　　　. 方法技巧 给值求角处理技巧 1． 技巧一：缩角，缩小角的取值范围（最关键） （1）利用已知三角函数值正负，初步锁定象限； （2） 结合特殊角函数值、两角和差范围进一步压缩区间； （3） 范围越小越好，最好压缩到同一单调区间，避免多解. 2.技巧二：选函数，优先取单调区间内的三角函数 (1). 若角范围在，优先求tanx，正切在此单调，一一对应； (2). 若角范围在，优先求cos x，余弦在此单调递减，不会产生两解； 【考法预测1】若，，α，β均为锐角，且，则的值为____． 【考法预测2】已知，，且，，则的值为______． 考点05 二倍角公式及其应用 典例1．(多选题)计算下列几个式子，结果为的是(　　) A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B.2 C. D. 典例2．（2026·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 典例3．（2025·山东泰安·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 二倍角问题处理技巧 1 熟记公式，，； 2 对公式中的理解，它们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子，在运用公式时要灵活；比如，都可用二倍角公式，，，主要看所求角和已知角之间是否存在两倍的关系. 【考法预测1】（2025•开福区模拟）已知角α的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则（　　） A． B． C． D． 【考法预测2】(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 【考法预测3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点06 万能公式及应用 典例1．（25-26高一下·江西九江·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 典例2．(2025·福建南平模拟)已知tan＝，则cos＝(　　) A.－ B. C.－ D. 典例3．（2026·陕西榆林·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 万能公式应用技巧 1. 万能公式本质由二倍角公式推导而来，将全部转化为，核心依托正弦、余弦二倍角变形. 2. 二者均可统一角度：二倍角实现倍角与单角互化，万能公式实现了所有二倍角向单角正切的转化，把所有三角式化为单一变量. 【考法预测1】（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点07 降幂公式及其应用 典例1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 典例2．(2025·广东广州模拟)已知cos2α－cos2β＝－，sin(α－β)＝，则cos＝(　　) A.－ B. C.－ D. 典例3.（25-26高三上·河南周口·期末）当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 方法技巧 降幂公式应用技巧 1.识别特征优先降幂 见到 二次项直接套用公式，平方转化为一次余弦，角同步翻倍；高次偶次幂拆成平方乘积分步降幂. 2.化简目标统一形式 替换后拆分常数与余弦项的一次余弦标准式，方便后续求值、图像化简等运算. 【考法预测1】（21-22高三·云南昆明·阶段检测）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 【考法预测2】．（24-25高三上·江苏·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 考点08 半角公式的应用 典例1．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 典例3．（24-25高一下·上海·阶段检测）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 方法技巧 半角公式应用技巧 1. 按需选符号 使用半角公式开根号时，根据半角所在象限判断正负；若题目无象限条件，保留正负双重形式. 2. 灵活选表达式简化计算 求值优先用不含根号的整式形式（）；化简、证明优先选用带平方的降幂变形. 【考法预测1】2＋等于(　　) A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2＋2cos 2 D.2sin 2＋4cos 2 【考法预测2】已知，则等于___________. 考点09 辅助角公式及应用 典例1．（25-26高一下·云南红河·期末）（    ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高一下·上海·阶段检测）将函数的图像关于对称，则实数______. 典例3．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）若时，取得最大值，则______． 方法技巧 辅助角公式应用技巧 1. 统一角度形式 先把式子整理成 标准形式，再确定系数，避免正弦余弦混杂无法合并. 2. 化为一个角的三角函数形式 合并后化为 ,振幅直接用于求值域、最值；按需判断辅助角 所在象限. 【考法预测1】（25-26高一下·江西新余·阶段检测）（     ） A． B．2 C． D． 【考法预测2】（25-26高二下·安徽·期中）函数的最大值为_____. 【考法预测3】（25-26高一下·江苏·阶段检测）的值为______． 考点10 积化和差及应用 典例1．的值为（    ） A． B． C． D． 典例2．已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 典例3．计算：（    ） A． B． C． D． 方法技巧 积化和差公式应用技巧 1. 看结构匹配公式 出现乘积形式，直接对应积化和差公式，把三角乘积转化为和差，方便抵消、求和. 2. 化积为和简化计算 乘积难以计算，转化为两角和差后，常出现项抵消，降低运算难度； 【考法预测1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】在中，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】的值是（    ） A． B． C． D．1 考点11 和差化积及应用 典例1．已知，则（    ） A． B． C． D．1 典例2．（    ） A． B． C． D． 典例3．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 积化和差公式应用技巧 1. 看结构匹配公式 出现乘积形式，直接对应积化和差公式，把三角乘积转化为和差，方便抵消、求和. 2. 化积为和简化计算 乘积难以计算，转化为两角和差后，常出现项抵消，降低运算难度； 【考法预测1】在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】的值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 考点12 三角恒等变换的综合应用 典例1．（多选题）已知，则下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．是函数图象的一个对称中心 D．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 典例2．（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．若为奇函数，则的最小值为 D．若在区间上单调递减，则的最大值为 典例3．（多选题）已知，，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B． C．，，使得 D．的最大值为 方法技巧 三角恒等变换研究性质技巧 1. 统一函数形式，便于分析单调、周期、奇偶 通过降幂、辅助角、和差公式将复杂三角式化为单一标准型，直接读出周期、对称轴、单调区间. 2. 简化解析式，快速求解最值与值域 把平方、乘积、混合正余弦式子化简后，依靠正弦/余弦有界性直接求出函数最大值、最小值. 【考法预测1】锐角三角形ABC中，若，则的取值范围是__________. 【考法预测2】（25-26高一下·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________． 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高二下·浙江湖州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知，那么（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川南充·期中）若，则= （   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）下列值为的式子有（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）若函数，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的值域为 C． D．在上的解集为 8．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）求值：________． 9．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，则_____ 能力进阶 1．（25-26高二下·浙江杭州·期末）设，是函数的两个不同的零点．若，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·四川成都·期中）已知且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在中，内角的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知，且，，则（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·浙江杭州·期中）（多选题）已知函数，则（    ） A．当时，函数的最小正周期为 B．当时，函数的图象关于对称 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数图象不是中心对称图形 8．（多选题）在锐角中，所对边分别为，已知，则（    ） A．若，则 B． C． D． 9．（2026高一下·新疆）__________. 10．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知的三个内角分别为，且，则的最大值为______. 真题实战 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷）（多选题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 5．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 7．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 8．（2004·全国·高考真题）已知锐角中，， (1)求证：； (2)设，求AB边上的高. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 三角恒等变换 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 两角和与差的正弦、余弦、正切 知识2 二倍角的正弦、余弦、正切 知识3 降幂公式 知识4 半角公式 知识5 辅助角公式 知识6 积化和差公式 知识7 和差化积公式 知识8 万能公式 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 两角和与差的公式的直接应用 方法技巧 两角和与差正余弦与正切之间的联系技巧 考点02 两角和与差的公式逆用及变形 方法技巧 逆用和差角公式求值技巧 考点03 给值求值问题 方法技巧 给值求值化简技巧 考点04 给值求角 方法技巧 给值求角处理技巧 考点05 二倍角公式的的直接应用 方法技巧 二倍角问题处理技巧 考点06 万能公式应用 方法技巧 万能公式应用技巧 考点07 降幂公式的应用 方法技巧 降幂公式应用技巧 考点08半角公式的应用 方法技巧 半角公式应用技巧 考点09 辅助角公式及应用 方法技巧 辅助角公式应用技巧 考点10 积化和差公式的应用 方法技巧 积化和差应用技巧 考点11 和差化积公式的应用 方法技巧 和差化积应用技巧 考点12 三角恒等变换综合问题 方法技巧 三角恒等变换研究性质技巧 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．推导与公式联系：经历推导两角差余弦公式的过程，理解其逻辑；能从两角差余弦公式出发，推导出两角和、倍角及半角公式，体会公式之间的内在联系与变换思想. 2．应用与运算提升：能运用上述公式进行简单的恒等变换，包括求值、化简与证明；在变换过程中，发展数学运算和逻辑推理素养，提升对代数变形与三角结构特征的理解. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 三角恒等变换 全国一卷 T16 全国二卷T7，T17 全国Ⅰ卷T11， 全国Ⅱ卷T8 新高考Ⅰ卷T4， 新高考Ⅱ卷T13 考情解读 高考一般以选择题或填空题考查公式逆用、变形及求值，难度中低；解答题常与三角函数图象性质、解三角形结合，侧重恒等变换作为工具的作用.备考需强化“变角、变名、变结构”意识，提升运算准确性与速度. 备考策略 1．夯实基础：熟练推导并熟记和差、倍半、辅助角公式，掌握切化弦、升幂降幂、角的配凑三类核心变换技巧，明确公式适用边界. 2．靶向练题：聚焦给值求值、给值求角、化简求最值三类高频题型，重点强化角的范围判定、特殊三角函数值记忆两个易错点. 3．复盘提效：单题训练限时完成，错题按“公式误用/变换偏差/范围遗漏”分类整理，每周复盘1次易错点，确保基础题零失分. 知识・归纳梳理 知识1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 知识2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 知识3 降幂公式 (1)cos2α＝；（2）sin2α＝；（3）tan2α＝；（4）sin αcos α＝sin 2α. 知识4 半角公式(不要求记忆) sin＝± ；cos＝± ；tan＝± ＝＝.符号由所在象限决定. 知识5 三角函数的叠加(辅助角公式) asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中sin φ＝，cos φ＝. 知识6 积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 知识7 和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 知识8 万能公式 （1）, (2) (3)tan 2α＝. 必记结论 (1)两角和与差的公式的常用变形 ①sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.②cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. ③tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan αtan β＝1－＝－1. (2)辅助角公式的常见形式 ①sin x±cos x＝sin；②sin x±cos x＝2sin；③sin x±cos x＝2sin. 重难・核心突破 考点01 两角和与差的公式直接应用 典例1．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 【答案】D 【详解】由已知得2tan θ－＝7，整理得tan2θ－4tan θ＋4＝0，所以tan θ＝2.故选D. 典例2．（2026•深圳模拟）已知，则（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用正弦的和差角公式以及弦化切化简即可求解． 【详解】解：由3可得：tanα＝2tanβ，所以．故选：C． 典例3．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先切化弦，然后用两角和与差的正弦公式进行求解即可得到答案. 【详解】因为，所以，化简得：. 因为，所以.所以. 所以. 故选：D. 典例4．（2025·海南三亚·一模）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切化弦可得，进而求得，利用同角的平方关系求得，最后利用两角差的余弦公式求得即可. 【详解】由，得，所以， 所以，又，所以，又，所以，又因为， 所以，所以，所以，故A正确. 故选：A. 方法技巧 两角和与差正余弦与正切之间的联系技巧 1. 切化弦：正切和差角公式 ，实质是正余弦和差公式的比值.遇复杂角混合运算时，统一化为正余弦是可靠的通法. 2. 弦化切：若已知，求正余弦和差式的齐次分式值，可分子分母同除以 ，快速化为正切形式，直接利用和差角公式求解，大幅减少计算量. 核心口诀：正切是桥梁，弦切互化看条件；知切求切用公式，知弦求切先化弦. 【考法预测1】（25-26高一下·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，所以. 【考法预测2】（25-26高二下·云南红河·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用余弦和角公式展开，结合已知的求出的值，再将变形为代入数值计算得到结果. 【详解】因为，又，解得， 所以． 【考法预测3】（2026·安徽·模拟预测）已知，且，则（    ） A．3 B． C． D．-3 【答案】A 【分析】根据余弦差公式和正弦和公式展开已知等式，结合，转化为正切关系，最后根据正切和公式得到答案. 【详解】由已知，可得：， 因为存在，所以，将上式两边同时除以可得，代入，得：， 根据正切和公式， 代入和：. 考点02 两角和与差的正余弦的逆用及变形 典例1.（2026•信阳一模）的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角的商数关系，两角和的正弦公式，降幂公式，化简求值即可． 【解答】解：．故选：A． 典例2．（2024·新疆·二模）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果. 【详解】由题设，所以， 因为，则，又因为，则， 又，所以，解得．故选：B 方法技巧 逆用和差角公式求值技巧 1 对两角和差公式的逆用，你先要明确公式中的、所指，式子只有两个角或看成两个角的式子； 2 在凑角的过程中，我们要掌握已知角和未知角之间是否存在某些线性关系，常见的有， ，等等. 【考法预测1】(2025·河南焦作模拟)的值为　　　　. 【答案】2 【详解】tan 80°－tan 20°＝tan(80°－20°)(1＋tan 80°tan 20°)＝＝＝＝＝，所以＝2. 【考法预测2】（2025•山海关区模拟）设，，且，则（　　） A． B． C．α+2β＝π D．2α+β＝π 【答案】D 【分析】由已知结合同角基本关系，和差角公式进行化简即可求解． 【解答】解：，，且，则， 所以sin（α+β）＝sinα，所以α+β+α＝2α+β＝π．故选：D． 考点03给值求值 典例1．(2026·浙江杭州模拟)已知α∈，β∈，若sin(α＋β)＝，cos β＝，则cos 2α＝(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】D 【解答】(1)由于α∈，β∈，则α＋β∈，而sin(α＋β)＝，故α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－＝－，由cos β＝，β∈，可得sin β＝，则cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－×＋×＝－，故cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.故选D. 典例2．（25-26高一下·河南·阶段检测）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用同角三角函数的平方关系与两角和与差的正余弦公式计算. 【详解】由，，得，由，得， ，由，得，因 而， ， . 典例3．（25-26高一下·江苏泰州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的余弦公式展开已知条件中的，再结合二倍角公式将式子转化为关于和的等式，通过辅助角公式化简后，结合的取值范围确定对应角的三角函数符号，最后利用两角差的正弦公式求解的值. 【详解】∵ ， ∴ . 即得，即.得，即. ∵ ，∴ ，故.又，∴ ， ∴ .∵ ， ∴ ， 代入数值计算得：. 方法技巧 给值求值处理技巧 1.观察已知角与所求角的和差、倍半关系，用配凑角转化：如，避免多角； 2 .根据已知三角函数值、题干给出区间，缩小角所在象限,开平方、求另一三角函数值时，结合范围确定正负，防止出现多解、错解. 【考法预测1】（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）若，，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，则，而，，则，，所以. 【考法预测2】5．（25-26高一下·湖北鄂州·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，因为，可得， 所以， 所以. 考点04 给值求角 典例1．（25-26高一下·江苏常州·期末）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 化简得，所以. 又由于，所以， 又，， 所以，所以. 典例2．(2)(2025·黑龙江双鸭山模拟)已知α，β∈，cos2α－sin2α＝，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为cos2α－sin2α＝，cos2α＋sin2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝，因为α∈，所以cos α＝，sin α＝，所以tan α＝.由3sin β＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，所以sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝.又0＜α＋β＜，所以α＋β＝.故选D. 典例3．(3)若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α＜β，则α＋β＝　　　　. 【答案】 【详解】由题意可知，0＜α＜，0＜β＜，α＜β，所以－＜α－β＜0，cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－，0＜2α＜π，且cos 2α＝，得0＜2α＜，sin 2α＝，所以cos(α＋β)＝cos＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×＝－，因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝. 方法技巧 给值求角处理技巧 1． 技巧一：缩角，缩小角的取值范围（最关键） （1）利用已知三角函数值正负，初步锁定象限； （2） 结合特殊角函数值、两角和差范围进一步压缩区间； （3） 范围越小越好，最好压缩到同一单调区间，避免多解. 2.技巧二：选函数，优先取单调区间内的三角函数 (1). 若角范围在，优先求tanx，正切在此单调，一一对应； (2). 若角范围在，优先求cos x，余弦在此单调递减，不会产生两解； 【考法预测1】若，，α，β均为锐角，且，则的值为____． 【答案】 【详解】，，，且，， ， ，，． 【考法预测2】已知，，且，，则的值为______． 【答案】 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可． 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：，所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，，所以，所以． 考点05 二倍角公式及其应用 典例1．(多选题)计算下列几个式子，结果为的是(　　) A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B.2 C. D. 【答案】ABD 【详解】对于A，tan＝＝，变形得tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝，故A正确；对于B，原式可化为2＝2sin 60°＝，故B正确；对于C，原式＝×＝×tan＝，故C错误；对于D，原式＝＝tan 60°＝，故D正确.故选ABD. 典例2．（2026·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切化弦得到①，利用和角公式展开，得到②，联立解得，，再利用差角公式和二倍角公式即可求得. 【详解】由可得，即，①． 由，可得，② 联立①，②，解得，， 则， 故.故选：D． 典例3．（2025·山东泰安·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式对已知条件进行化解，结合齐次式可求，然后根据正切的二倍角公式可求. 【详解】 . 故选：C. 方法技巧 二倍角问题处理技巧 1 熟记公式，，； 2 对公式中的理解，它们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子，在运用公式时要灵活；比如，都可用二倍角公式，，，主要看所求角和已知角之间是否存在两倍的关系. 【考法预测1】（2025•开福区模拟）已知角α的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可求tanα的值，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可求得sin2α，cos2α的值，进而利用两角差的正弦公式可求的值． 【详解】解：因为角α的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上， 所以tanα＝﹣2，可得sin2α，cos2α， 则sin2αcoscos2αsin（）（）． 故选：A． 【考法预测2】(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 【答案】B 【详解】因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B. 【考法预测3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用两角差的正切公式先求，利用二倍角的正弦公式有，代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， a故选：D. 考点06 万能公式及应用 典例1．（25-26高一下·江西九江·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由诱导公式和商数关系求得，然后由二倍角公式变形，再结合齐次式变形计算. 由题意，所以， ， 典例2．(2025·福建南平模拟)已知tan＝，则cos＝(　　) A.－ B. C.－ D. 【答案】A 【详解】(1)因为tan＝，所以＝，且sin2＋cos2＝1，解得sin2＝，cos＝cos＝－cos＝－＝－＝－.故选. 典例3．（2026·陕西榆林·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得，所以. 方法技巧 万能公式应用技巧 1. 万能公式本质由二倍角公式推导而来，将全部转化为，核心依托正弦、余弦二倍角变形. 2. 二者均可统一角度：二倍角实现倍角与单角互化，万能公式实现了所有二倍角向单角正切的转化，把所有三角式化为单一变量. 【考法预测1】（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据条件，得到，再利用余弦的倍角公式及齐次式，即可求解. 【详解】因为，则，所以，则， 所以. 【考法预测2】．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】 . 考点07 降幂公式及其应用 典例1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 典例2．(2025·广东广州模拟)已知cos2α－cos2β＝－，sin(α－β)＝，则cos＝(　　) A.－ B. C.－ D. 【答案】B 【详解】因为cos2α－cos2β＝－＝(cos 2α－cos 2β)＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝－，得到sin(α＋β)sin(α－β)＝，又sin(α－β)＝，所以sin(α＋β)＝，所以cos＝1－2sin2(α＋β)＝1－＝.故选B. 典例3.（25-26高三上·河南周口·期末）当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】先根据降幂扩角公式化简，再进行拆角，结合两角和差的正弦公式化简即可求出，最后根据角的范围求出即可. 【详解】因为，所以， 所以，因 所以， 所以，即因为，时，， 所以，则.故选：D. 方法技巧 降幂公式应用技巧 1.识别特征优先降幂 见到 二次项直接套用公式，平方转化为一次余弦，角同步翻倍；高次偶次幂拆成平方乘积分步降幂. 2.化简目标统一形式 替换后拆分常数与余弦项的一次余弦标准式，方便后续求值、图像化简等运算. 【考法预测1】（21-22高三·云南昆明·阶段检测）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先由得，再通过降幂公式化简得，代入即可求解. 【详解】由，得，即，，所以，. 故选：D． 【考法预测2】．（24-25高三上·江苏·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式求出，从而求出，再由降幂公式及和差角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，，即，可得所以 . 故选：D. 考点08 半角公式的应用 典例1．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所， 所以，化简得①； 而，化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ，由 ，得 ，根据半角公式 ，代入 得. 典例2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简 ，再比较它们所对应角度的正弦值大小. 【详解】已知 ，可得： 根据二倍角的正弦公式，对于 ，则有： ， 由半角公式，对于 ，这里 ，则有： ， 因为正弦函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 . 典例3．（24-25高一下·上海·阶段检测）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且，得，所以.故选：C. 方法技巧 半角公式应用技巧 1. 按需选符号 使用半角公式开根号时，根据半角所在象限判断正负；若题目无象限条件，保留正负双重形式. 2. 灵活选表达式简化计算 求值优先用不含根号的整式形式（）；化简、证明优先选用带平方的降幂变形. 【考法预测1】2＋等于(　　) A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2＋2cos 2 D.2sin 2＋4cos 2 答案：B 解析：原式＝2＋＝2｜sin 2＋cos 2｜＋2｜cos 2｜.由于＜2＜π，所以cos 2＜0，sin 2＋cos 2＞0.故原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.故选B. 【考法预测2】已知，则等于___________. 【答案】 【分析】根据，得到，，利用半角公式求解. 【详解】因为所以，所以，所以，，. 故答案为： 考点09 辅助角公式及应用 典例1．（25-26高一下·云南红河·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】括号内通分，利用辅助角公式化简分子，再利用正弦二倍角公式和诱导公式可解. 【详解】由题意可知， . 典例2．（25-26高一下·上海·阶段检测）将函数的图像关于对称，则实数______. 【答案】 【详解】函数 ，其中，由函数图象关于对称．可知， 解得，故，所以. 典例3．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）若时，取得最大值，则______． 【答案】/ 【分析】利用二倍角余弦公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数性质、诱导公式及和角的正弦求解. 【详解】依题意，， 其中锐角由确定，当且仅当时，取得最大值， 因此，即，则， 所以. 方法技巧 辅助角公式应用技巧 1. 统一角度形式 先把式子整理成 标准形式，再确定系数，避免正弦余弦混杂无法合并. 2. 化为一个角的三角函数形式 合并后化为 ,振幅直接用于求值域、最值；按需判断辅助角 所在象限. 【考法预测1】（25-26高一下·江西新余·阶段检测）（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式可得，利用倍角公式可得，再结合辅助角公式化简即可. 【详解】因为，且， 所以原式. 【考法预测2】（25-26高二下·安徽·期中）函数的最大值为_____. 【答案】1 【详解】 ，设，即，因此当，即时,. 【考法预测3】（25-26高一下·江苏·阶段检测）的值为______． 【答案】 【详解】 . 考点10 积化和差及应用 典例1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两次利用积化和差公式即可求解. 【详解】 . 故选：A. 典例2．已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 典例3．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 方法技巧 积化和差公式应用技巧 1. 看结构匹配公式 出现乘积形式，直接对应积化和差公式，把三角乘积转化为和差，方便抵消、求和. 2. 化积为和简化计算 乘积难以计算，转化为两角和差后，常出现项抵消，降低运算难度； 【考法预测1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由积化和差公式及余弦二倍角公式化简即可求解. 【详解】由，可得：，即，又， 结合平方差公式可得：.故选：C 【考法预测2】在中，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积化和差、和差化积公式化简，利用辅助角公式求函数的最值. 【详解】，，, ，（其中）， ，，当时等号成立. 的最大值为.故选：A 【考法预测3】的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用降幂公式、积化和差公式以及诱导公式即可得到答案. 【详解】原式 .故选：A. 考点11 和差化积及应用 典例1．已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则所以. 故选：B 典例2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【详解】．故选：A. 典例3．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用和差化积公式和二倍角公式．可解 【详解】由和差化积公式，得，，两式相除，所以. 所以.故选：B． 方法技巧 积化和差公式应用技巧 1. 看结构匹配公式 出现乘积形式，直接对应积化和差公式，把三角乘积转化为和差，方便抵消、求和. 2. 化积为和简化计算 乘积难以计算，转化为两角和差后，常出现项抵消，降低运算难度； 【考法预测1】在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用和差化积及已知可得，再由三角形内角和性质、诱导公式化简得，利用二倍角正切公式、平方关系求. 【详解】设，则①， ②，得，在中， 所以，即，又因为，即，因为，代入得， 因为，所以．故选：A 【考法预测2】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可. 【详解】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A 【考法预测3】已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和差化积公式结合题设可得：，然后 结合为锐角，二倍角的正切公式可得答案. 【详解】因，可得，则， 得到，又结合为锐角，可得，从而，得到，结合，可得. 考点12 三角恒等变换的综合应用 典例1．（多选题）已知，则下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．是函数图象的一个对称中心 D．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 【答案】AB 【分析】化简函数，根据三角函数的性质判断选项. 【详解】 ， ，选项A正确； ，令，在单调递减， 所以在上单调递减，选项B正确； ，所以函数图象的对称中心为， 选项C错误； 函数图象上各点的横坐标不变， 纵坐标伸长为原来的2倍得到，选项D错误. 典例2．（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．若为奇函数，则的最小值为 D．若在区间上单调递减，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，利用三角函数恒等式化简函数解析式，可得其正误；对于B，利用整体思想以及余弦函数的对称性，可得其正误；对于C，根据函数图象变换，可得正误；对于D，利用整体思想以及余弦函数的单调性，可得其正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，直线是图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，，要使为奇函数，则，又，故当时，取得最小值，故C正确； 对于D，当时，函数在上单调递减， 在上单调递增，，解得，故D正确． 故选：BCD. 典例3．（多选题）已知，，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B． C．，，使得 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用和、差的正弦公式将转化为，然后利用和、差的正切公式以及二倍角公式依次判断即可. 【详解】已知，，，由于，， 所以， 化简得，即， 对于A，若，则，， 由于，所以，解得，故A正确； 对于B，由前面的推导可知，故B正确； 对于C，假设存在，使得，代入等式，即， 由于， 所以，解得，由于，，矛盾， 因此不存在，使得，故C错误； 对于D，由于，所以， 由于，，所以， 根据基本不等式，，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 方法技巧 三角恒等变换研究性质技巧 1. 统一函数形式，便于分析单调、周期、奇偶 通过降幂、辅助角、和差公式将复杂三角式化为单一标准型，直接读出周期、对称轴、单调区间. 2. 简化解析式，快速求解最值与值域 把平方、乘积、混合正余弦式子化简后，依靠正弦/余弦有界性直接求出函数最大值、最小值. 【考法预测1】锐角三角形ABC中，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由，且为锐角三角形求解的取值范围，再由，由两角差的正弦公式以及辅助角公式求解即可. 【详解】因为，所以，且为锐角三角形，所以， 所以，解得，所以， 因为，所以，所以，所以， 故的取值范围是 【考法预测2】（25-26高一下·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________． 【答案】 【分析】根据三角恒等变换得，再根据余弦定理，正弦定理角化边得，最后根据已知条件即可求得答案. 【详解】因为，所以 所以 因为，，为外接圆半径， 所以，因为， 所以， 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高二下·浙江湖州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角和差公式，结合正切商数关系求解． 【详解】，， 即，则，又， ，解得． 2．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助辅助角公式即可求解． 【详解】由题意， ，又，所以， 所以． 3．（24-25高一下·四川南充·期中）若，则= （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过角的变换将转化为，结合同角三角函数基本关系和正弦差角公式计算求解. 【详解】 已知，，所以 ， 已知，故，又，因此， . 所以 ， 代入数值计算： . 4．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的取值范围和同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角和的余弦公式、正弦二倍角公式分别计算分子和分母，最终化简得到结果. 【详解】，则有，， ， ， ， ，所以. 5．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用两角差正弦公式计算判断A，C，再应用二倍角余弦公式计算求解判断B，D. 【详解】已知，且， ，A，C选项错误； 又因为， 所以，B选项错误，D选项正确； 6．（多选题）下列值为的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据两角和的正切公式可判断A和C，根据二倍角公式可判断B，利用两角差的正余弦公式化简可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确. 7．（多选题）若函数，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的值域为 C． D．在上的解集为 【答案】AC 【分析】利用三角函数和差化积，积化和差公式可得，通过验证判断A，根据正弦函数的有界性判断B，根据，结合三角函数的有界性和单调性即可判断C，不等式，可转化为或且，由此可得结论. 【详解】由积化和差公式， 则， ， 即， 又因为和差化积公式 ， 则，. 若的图象关于直线对称，则， ， 等式成立，因此的图象关于直线对称，A正确； 设，即， 结合可得和互为相反数且绝对值为1， 若，则，则， 若，则，则， 均不满足和互为相反数，即取不到1，B错误； ， ， 则 已知在上单调递增，则，即，即，C正确；，即，在区间上，， 则不等式等价于（当 时），及时的点，时，，此时，符合，，的区间是，即， 故在上解集为，D错误. 8．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）求值：________． 【答案】 【分析】根据二倍角公式、诱导公式及两角和的余弦公式化简求解即可. 【详解】原式 . 9．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，则_____ 【答案】 【分析】先应用两角和余弦及辅助角公式计算得出，结合角的范围得出，最后应用特殊角余弦计算求解. 【详解】因为 ，所以， 又因为，所以，所以，所以，所以. 能力进阶 1．（25-26高二下·浙江杭州·期末）设，是函数的两个不同的零点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于，是函数的两个不同的零点，可得，，两式作差得：，利用两角和与差的正余弦公式可求得，进而可求得，利用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】由于，是函数的两个不同的零点， 可得，，两式作差得：， 所以， 所以， 所以， 又因为（），所以（），所以， 所以，所以， 所以. 2．（25-26高一下·四川成都·期中）已知且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切化弦以及三角恒等变换化简得出，结合可得出的值，再结合题干等式有意义可得出的值，即可求得的值. 【详解】 ，所以， 因为，所以，所以或， 所以或， 当时，无意义；当时，代数式有意义， 故，即，所以. 3．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和差化角与积化和差公式化简题设等式，代入条件，利用二倍角公式将其整理成关于的一元二次方程即可求解． 【详解】由，可得（*）， 因为，， 代入（*）可得． 因为，则，， 则得， 即， 设,则得,即． 因为，所以，解得,即． 4．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角变换公式可得，结合题设条件可得，从而可构建关于的方程，故可求的值. 【详解】因为，由正弦定理可得，而， 故即， 所以， 由题设条件可知均不为直角，故，故， 而所以， 故， 而，解得，若，则均为负， 则都为钝角，这与为三角形内角矛盾，故， 而为三角形内角，故. 5．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在中，内角的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得，， ，计算得． 又因为，所以，即， 整理得，所以. 6．（多选题）已知，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先将两个已知等式平方后相加，利用三角恒等式消去单个角的三角函数，得到两角和的余弦值，再根据角的范围推导出两角和的正弦及正切，并判断各选项的正确性. 【详解】因为，， 两式平方后相加可得，即， 所以．故A错误． 因为，所以，又，故， 由于，故，又，所以．故D正确． ．故B正确． ，故．故C错误． 故选：BD． 7．（25-26高一下·浙江杭州·期中）（多选题）已知函数，则（    ） A．当时，函数的最小正周期为 B．当时，函数的图象关于对称 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数图象不是中心对称图形 【答案】BCD 【分析】当时，，再结合函数性质判断AB，当时，，结合二次函数性质即可判断C；对于D，易知最小正周期为，进而将问题转化为一个周期内研究，再结合函数的单调性验证函数在一个周期内的两个区间和上均不存在对称中心即可判断. 【详解】当时， ； 对于A，函数的最小正周期为，故A选项错误； 对于B，令，解得， 当时，故函数的图象关于对称，B选项正确； 当时， ， 对于C选项，， 故，故函数的最小值为，故C选项正确； 对于D，由题易知的最小正周期为， 故只需考虑函数在一个周期内的对称性问题， 函数在上单调递减，上单调递增， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数如果存在对称中心，则必为或， 因为，， ， 所以函数不关于点或对称， 综上，函数图象不是中心对称图形，D选项正确. 8．（多选题）在锐角中，所对边分别为，已知，则（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A使用余弦定理可以计算出；选项B使用和差化积公式进行化简可以得到；选项C在B选项基础上使用正弦定理；选项D在B选项基础上使用三角函数进行转换为全部tanA的函数,最后再换元进行计算. 【详解】选项A，由， 根据正弦定理得：，由余弦定理得：， 代入可得，，所以选项A正确； 选项B，对用和差化积公式： ， 在中，，因此原式等价于： ， ，故， 因此或（舍去），即，所以B选项正确； 选项C，由，根据正弦定理， 所以选项C错误；选项D，由得，因此 ，由为锐角三角形得：， 因此.令，则，根据对勾函数性质可知，函数在上单调递减，当时，，当时， ，故，所以选项D正确. 9．（2026高一下·新疆）__________. 【答案】/0.75 【分析】根据正弦和余弦的关系，结合二倍角的余弦公式以及和差化积公式、积化和差公式依次化简即可求解. 【详解】根据二倍角的余弦公式，有，， 根据和差化积公式，有， 根据积化和差公式，有， 因此. 10．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知的三个内角分别为，且，则的最大值为______. 【答案】 【分析】先利用三角恒等变换结合三角形内角和性质，由已知的正弦平方和条件推出△ABC为直角三角形，再分情况讨论直角的位置，代入目标式化简后计算得到所求的最大值. 【详解】由，可得， 整理得，即① ， 又， 两边平方得 ， 代入①式化简得，即， 又，所以，则必有一个内角为直角， 若，此时，，， 所以， 因为，所以，当时，取得最大值为； 若，此时，，，， 所以 ，其中， 当时，，取得最大值为； 若，此时，，， 所以，与一致，最大值也为； 综上可知，的最大值为. 真题实战 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解. 【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，，化简得：，即 由于，解得：，因为，所以， 所以 2．（2025·全国一卷）（多选题）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确；由诱导公式，， 展开可得，即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则，于是， 由正弦定理，，由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 5．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【详解】（1）因为， 所以， 又的最小正周期为，， 所以，所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， （2）令，，可得，， 函数的单调递减区间为. 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 7．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则，又，得，则，由两角和的余弦公式，， 结合可知，则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式，， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则，由余弦定理，即， 又，则，于是，即，，解得，故周长为. 方法二：由，则，即， 由正弦定理可得，，由三角形面积公式，，得到，则，其余同上. 8．（2004·全国·高考真题）已知锐角中，， (1)求证：； (2)设，求AB边上的高. 【答案】(1) 由，得，即，两式相除得， 所以. (2) 【分析】（1）利用和差角的正弦公式、同角公式推理计算即得. （2）利用同角公式求出，再结合（1）的结论及和角的正切求出即可列式计算得解. 【详解】（1）略 （2）在锐角中，，，则，， 即有，将代入上式并整理得， 而，解得，， 设边上的高为，则， 由，得，所以边上的高等于 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $