第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（19核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值五大核心考点，按考情分析、知识梳理、重难突破、分层集训的逻辑架构整合内容，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题规律，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破函数性质综合应用难点。 讲义采用分层教学策略，基础演练夯实知识，能力进阶深化思维，真题实战对接高考，如在复合函数单调性教学中，通过“同增异减”法则结合典例分析培养学生逻辑推理能力，设置梯度练习与即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 函数的单调性 知识2 函数的最值 知识3 函数的奇偶性与对称性 知识4 函数的周期性 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 单调性的判断 考点10 抽象函数的奇偶性 考点02 求函数的单调区间 方法技巧 判断函数奇偶性的方法 考点03 复合函数的单调性 考点11 已知函数奇偶性求参数 方法技巧 求函数单调区间的方法 考点12 根据函数奇偶性求值 考点04 已知函数的单调性求参数 考点13 根据函数奇偶性求解析式 考点05 利用单调性解不等式、比较大小 考点14 函数的周期性及应用 考点06 求函数的值域与最值 考点15 函数的对称性的判断 方法技巧 求函数值域的方法 考点16 函数的对称性的应用 考点07 已知函数的值域求参数 考点17 函数的单调性+奇偶性 考点08 恒成立与有解问题 考点18 函数的周期性+对称性 考点09 函数奇偶性的判断 考点19 函数的性质的综合应用 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值． 2．理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用． 3．了解函数奇偶性、周期性与对称性的含义及其几何意义. 4．会判定一些简单函数的奇偶性. 5．能综合运用函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性解决相关问题． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 函数的奇偶性 全国Ⅱ卷T10 上海卷T4 周期性的应用 全国Ⅰ卷T5 函数的最值 全国Ⅱ卷T7 函数的单调性 北京卷T15 全国Ⅰ卷T6 函数的对称性 全国Ⅱ卷T11 考情解读 高考命题常以基本初等函数为载体，考查对函数单调性的判断，利用单调性比较大小、解不等式、求函数的最值，同时也经常以抽象函数为背景，综合考查函数的奇偶性、对称性、和周期性，多以选择、填空题压轴题的地位出现，难度较大． 备考策略 近三年高考函数单调性与最值考查频率极高，贯穿选择填空与解答大题，常考查单调区间判定、单调性证明、利用单调性比较大小及求解函数最值，多结合分段函数、复合函数综合命题；预测2027 年仍为核心高频考点，命题会更侧重单调性与奇偶性、不等式融合考查，强化含参函数单调性讨论与区间最值求解，注重数形结合思想运用，题型灵活且实用性更强。 知识・归纳梳理 知识1 函数的单调性 （1）单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I （Ⅰ）当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 （Ⅱ）当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 必记结论 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增． (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质 (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (2)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (3)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”． 3．解题时谨防以下易误点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示. (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域. (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 知识2 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 知识3 函数的奇偶性与对称性 1．函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的． (1)函数的奇偶性的定义 ①设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且_ __成立，那么函数f(x)就叫做奇函数． ②设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__ __成立，那么函数f(x)就叫做偶函数． 显然，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的__ __条件． (2)奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于__ __对称；偶函数的图象关于_ __轴对称． (3)函数的对称性 （Ⅰ）若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称． （Ⅱ）若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点(，0)对称． 必记结论 1．函数的奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (4)在公共定义域内： ①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数． 2．函数对称性的重要结论 （1）若函数满足，则函数关于对称. （2）若函数满足，则函数关于对称. （3）若函数满足，则函数关于对称. （4）若函数满足，则函数关于对称. （5）若函数满足，则函数关于对称. 知识1 函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 必记结论 （1）已知函数关于直线,对称，则周期. （2）已知函数关于点,对称，则周期. （3）已知函数关于点对称，关于直线对称，则周期. 重难・核心突破 考点01 函数单调性的判断 典例1．（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 典例2．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数在上单调递增 D．函数在上有最大值4 【考法预测1】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【考法预测3】（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 考点02 求函数的单调区间 典例1．函数的单调递增区间是__________． 典例2．函数的单调递减区间为__________． 【考法预测1】函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________． 【考法预测2】函数的单调递减区间是 【考法预测3】函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为 方法技巧 求单调区间的方法 （1）定义法； （2）图像法：含绝对值函数或分段函数； （3）导数法. 考点03 复合函数的单调性 典例1．已知函数，则的增区间为__________. 典例2．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（多选）在下列区间中，函数单调递增的是（    ） A． B． C． D． 考点04 已知函数的单调性求参数 典例1．已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________. 典例2．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【考法预测4】已知且，若函数在上是减函数，则的取值范围是__________ 考点05 利用单调性解不等式、比较大小 典例1．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·山东德州·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】已知函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 函数单调性的应用 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 考点06 求函数的值域与最值 典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 典例2．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考法预测1】（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，则的值域为___________． 考点07 已知函数的值域求参数 典例1．若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 典例2．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·四川绵阳·模拟预测）函数的定义域和值域都为，则实数a的值为______. 【考法预测2】（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 【考法预测3】（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 考点08 恒成立与有解问题 典例1．（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高三上·山东临沂·期末）设，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 【考法预测1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________． 【考法预测2】，使得成立，则实数的取值范围为_______． 【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 【考法预测4】（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点09 函数奇偶性的判断 典例1．（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【考法预测3】设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 方法技巧 判断奇偶性的方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 考点10 抽象函数的奇偶性 典例1．（多选）（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【考法预测1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 考点11 已知函数奇偶性求参数 典例1．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考法预测1】（2026·北京石景山·二模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【考法预测2】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 考点12 根据函数奇偶性求值 典例1．（2026·河南·三模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 典例2．（2026·安徽·模拟预测）若为偶函数，则=（     ） A．4 B．3 C． D．2 【考法预测1】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，（），若，则_________． 【考法预测2】（2026·湖南邵阳·三模）已知是定义域为的奇函数，且当时，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·山西·模拟预测）已知是偶函数，且当时，，则(    ) A．1 B． C．2 D．3 【考法预测4】（2026·山东青岛·一模）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则____． 考点13 根据函数奇偶性求解析式 典例1．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·重庆万州·三模）若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（多选）（2026·江西南昌·三模）设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 【考法预测3】2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 考点14 函数的周期性及应用 典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为R，且，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 典例2．（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【考法预测1】（25-26高二下·浙江·期中）已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·河北唐山·模拟预测）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·河北保定·三模）已知定义在R上的函数满足，且，则 ______. 方法技巧 函数周期性问题的处理策略 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 考点15 函数的对称性判断 典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）若为偶函数，则关于________对称；若为奇函数，则关于_____________对称； （2）若为偶函数，则关于________对称，则关于________对称； （3）若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； （4）函数与关于________对称；函数与关于________对称． （5）写出下列式子的对称性：________ ①；②；③． 【考法预测1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（多选）（2026·湖南·模拟预测）下列函数的图象关于直线对称的有（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【考法预测4】（24-25高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 考点16 函数的对称性应用 典例1．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·湖南长沙·三模）已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 【考法预测2】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的图象关于点对称，则______． 考点17 函数的单调性+奇偶性 典例1．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 典例2．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 【考法预测1】（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 考点18 函数的周期性+对称性 典例1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则________． 【考法预测2】（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 【考法预测3】（多选）（2026·安徽·模拟预测）已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 考点19 函数的性质的综合应用 典例1．（多选）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 典例2．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）若函数同时满足①；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 则符合条件的_____. (写出一个符合条件即可) 【考法预测2】（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【考法预测3】（25-26高三上·山东泰安·期末）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·北京·三模）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江西·模拟预测）已知是定义在上周期为4的奇函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·湖南·一模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 7．（多选）（2026·安徽·模拟预测）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2026·四川绵阳·模拟预测）双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．函数是上的增函数 B．，恒成立 C．的值域为 D．曲线是中心对称图形 9．（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 10．（2026·福建厦门·模拟预测）写出一个同时满足下列性质①②③的函数______. ①定义域为； ②； ③. 能力进阶 1．（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 3．（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东济南·三模）已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义域为R的偶函数且，，且满足，则（    ） A．是周期函数 B．直线是图象的一条对称轴 C． D． 8．（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数满足，当时，，则（    ） A．为偶函数 B．若，则，且 C．若，则 D．若，则 9．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 10．已知定义在上的函数满足以下三个条件： ①对任意实数，都有； ②； ③在区间上为增函数． （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）求证：； （3）解不等式． 真题实战 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 6．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 7．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 试卷第2页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 函数的单调性 知识2 函数的最值 知识3 函数的奇偶性与对称性 知识4 函数的周期性 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 单调性的判断 考点10 抽象函数的奇偶性 考点02 求函数的单调区间 方法技巧 判断函数奇偶性的方法 考点03 复合函数的单调性 考点11 已知函数奇偶性求参数 方法技巧 求函数单调区间的方法 考点12 根据函数奇偶性求值 考点04 已知函数的单调性求参数 考点13 根据函数奇偶性求解析式 考点05 利用单调性解不等式、比较大小 考点14 函数的周期性及应用 考点06 求函数的值域与最值 考点15 函数的对称性的判断 方法技巧 求函数值域的方法 考点16 函数的对称性的应用 考点07 已知函数的值域求参数 考点17 函数的单调性+奇偶性 考点08 恒成立与有解问题 考点18 函数的周期性+对称性 考点09 函数奇偶性的判断 考点19 函数的性质的综合应用 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值． 2．理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用． 3．了解函数奇偶性、周期性与对称性的含义及其几何意义. 4．会判定一些简单函数的奇偶性. 5．能综合运用函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性解决相关问题． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 函数的奇偶性 全国Ⅱ卷T10 上海卷T4 周期性的应用 全国Ⅰ卷T5 函数的最值 全国Ⅱ卷T7 函数的单调性 北京卷T15 全国Ⅰ卷T6 函数的对称性 全国Ⅱ卷T11 考情解读 高考命题常以基本初等函数为载体，考查对函数单调性的判断，利用单调性比较大小、解不等式、求函数的最值，同时也经常以抽象函数为背景，综合考查函数的奇偶性、对称性、和周期性，多以选择、填空题压轴题的地位出现，难度较大． 备考策略 近三年高考函数单调性与最值考查频率极高，贯穿选择填空与解答大题，常考查单调区间判定、单调性证明、利用单调性比较大小及求解函数最值，多结合分段函数、复合函数综合命题；预测2027 年仍为核心高频考点，命题会更侧重单调性与奇偶性、不等式融合考查，强化含参函数单调性讨论与区间最值求解，注重数形结合思想运用，题型灵活且实用性更强。 知识・归纳梳理 知识1 函数的单调性 （1）单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I （Ⅰ）当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 （Ⅱ）当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 必记结论 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增． (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质 (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (2)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (3)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”． 3．解题时谨防以下易误点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示. (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域. (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接. (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 知识2 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 知识3 函数的奇偶性与对称性 1．函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的． (1)函数的奇偶性的定义 ①设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝－f(x)__成立，那么函数f(x)就叫做奇函数． ②设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝f(x)__成立，那么函数f(x)就叫做偶函数． 显然，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的__必要__条件． (2)奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于__原点__对称；偶函数的图象关于__y__轴对称． (3)函数的对称性 （Ⅰ）若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称． （Ⅱ）若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点(，0)对称． 必记结论 1．函数的奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (4)在公共定义域内： ①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数． 2．函数对称性的重要结论 （1）若函数满足，则函数关于对称. （2）若函数满足，则函数关于对称. （3）若函数满足，则函数关于对称. （4）若函数满足，则函数关于对称. （5）若函数满足，则函数关于对称. 知识1 函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 必记结论 （1）已知函数关于直线,对称，则周期. （2）已知函数关于点,对称，则周期. （3）已知函数关于点对称，关于直线对称，则周期. 重难・核心突破 考点01 函数单调性的判断 典例1．（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，，定义域为，不满足奇函数定义域关于原点对称的要求，即：函数不是奇函数，所以A选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数， 当，设，则， 因为，所以，，所以，即：，所以在上为减函数，所以B选项正确； C选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以C选项错误； D选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以D选项错误. 典例2．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数在上单调递增 D．函数在上有最大值4 【答案】AD 【分析】采用赋值法，令可求，判断A的真假；再令，可探索与的关系，判断B的真假； 利用函数单调性的概念，结合函数的奇偶性，可判断函数在上的单调性，判断C的真假； 结合函数的单调性，奇偶性及，，可求函数在的最大值，判断D的真假. 【详解】由得，令得，故A正确； 的定义域为，令，得，即，所以是奇函数，故B错误； 取，且，则，结合已知得，即， 又因为是奇函数，所以，即，所以在上单调递减，故C错误； 因为在上单调递减，所以在上有最大值，为，故D正确. 故选：AD 【考法预测1】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义判断即可. 【详解】由“对任意的时，均有”，得函数在上单调递增， 对于A，在上不单调递增，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：C 【考法预测2】（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析其在区间上的单调性. 【详解】化简可得： ， 定义域满足且，即，关于原点对称， 又, 因此是偶函数，排除A、C选项， 当时，单调递增，也单调递增， 因此单调递增，所以在中， 两项均随增大而减小，因此在上单调递减. 【考法预测3】（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 【分析】（1）先用赋值法证明，再通过将自变量拆分成一个负数与它的相反数，利用已知正数范围函数值的性质，推导出负数时的函数值大于1； （2）利用指数型函数性质，取任意两个实数，通过它们的差为正数，将较大的函数值表示为较小的函数值与一个正数对应的函数值的乘积，结合已知正数时的函数值范围，判断出函数在全体实数上单调递减. 【详解】（1）证明:  由题可知对任意实数，，恒有，令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． （2）不妨设，则，所以． 由（1）知，， 所以， 即，所以在上单调递减． 考点02 求函数的单调区间 典例1．函数的单调递增区间是__________． 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 典例2．函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【分析】利用导数求出的单调区间，从而可求出函数的减区间 【详解】当时，，则其在上递减， 当时，，则， 当时，，所以在上递减， 综上，的单调递减区间为， 故答案为： 【考法预测1】函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________． 【答案】　(－∞，－3]，[0,3] 【详解】由题意得函数f(x)＝ 当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]， 当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]， 综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0,3]． 【考法预测2】函数的单调递减区间是 【答案】 【详解】＝画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为。 【考法预测3】函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为 【答案】 【详解】分类讨论化为分段函数，结合图像可求得答案，解答过程同预测2. 方法技巧 求单调区间的方法 （1）定义法； （2）图像法：含绝对值函数或分段函数； （3）导数法. 考点03 复合函数的单调性 典例1．已知函数，则的增区间为__________. 【答案】 【分析】根据二次函数以及对数函数的性质求出函数的递增区间即可． 【详解】由，解得：，即的定义域为， 令，则， 因为在定义域内为单调递增函数， 所以求函数的递增区间，只需求在上的单调递增区间即可， 而的对称轴是，开口向下， 故在单调递增，在单调递减， 根据复合函数同增异减的原则，得的增区间为. 故答案为：. 典例2．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 【考法预测1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 【考法预测2】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【考法预测3】（多选）在下列区间中，函数单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据反比例函数、正弦函数单调性，结合复合函数单调性的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】令，则在，上单调递减； 对于A，在上单调递增，在上单调递减，A错误； 对于B，在上单调递减，在上单调递增，B正确； 对于C，在上单调递减，在上单调递增，C正确； 对于D，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 考点04 已知函数的单调性求参数 典例1．已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________. 【答案】或 【分析】先明确且可看作由函数复合而成，分类讨论和，根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知且可看作由函数复合而成， 当时，为R上的增函数， 若函数且在区间上单调递减， 需满足在上单调递减，即； 当时，为R上的递减函数， 若函数且在区间上单调递减， 需满足在上单调递增，即，则， 故实数a的取值范围是或. 故答案为：或. 典例2．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数（型）复合函数单调性分析求解即可. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为， 令，二次函数开口向下，对称轴为， 由，所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以要使函数在区间上存在单调递增区间， 则且 即且，解得，即正数的取值范围是. 【考法预测1】若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可. 【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增， 可得在区间上单调递增，所以. 故选:D. 【考法预测2】（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 【考法预测4】已知且，若函数在上是减函数，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】令，根据函数在上是减函数，利用复合函数的单调性，分，讨论求解. 【详解】令， 当时，因为函数在上是减函数， 所以函数在上是减函数，且成立， 则，无解， 当时，因为函数在上是减函数， 所以函数在上是增函数，且成立， 则，解得， 综上：实数的取值范围是 故答案为： 考点05 利用单调性解不等式、比较大小 典例1．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 典例2．（2026·山东德州·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】AB可通过特殊值举反例判断，CD可通过构造函数，通过其单调性判断的大小关系，即可判断. 【详解】对于A，取，满足，而，A错； 对于B，取，满足，而，B错； 对于C，D，将原不等式移项变形得： ， 构造函数 ，由解析式可知在定义域上单调递增， 原不等式等价于 ，则， 则，， 即，，故C错，D对. 【考法预测1】已知函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出的图象，如下： 显然要满足，则要，且， 解得：. 故选：C 【考法预测2】已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 则有 解得，所以实数的取值范围是. 故选：A． 【考法预测3】（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 方法技巧 函数单调性的应用 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 考点06 求函数的值域与最值 典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 典例2．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 【考法预测1】（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令则，则原函数的值域等价于函数的值域， 时，恒成立，即单调递增， 当时，，时，， 所以值域为. 【考法预测2】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，则的值域为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数的定义域的求法求得的定义域，进而利用的单调性可求得值域. 【详解】由于，故，所以的定义域为， 而单调递增，则值域为． 故答案为：. 考点07 已知函数的值域求参数 典例1．若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 典例2．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 【考法预测1】（2026·四川绵阳·模拟预测）函数的定义域和值域都为，则实数a的值为______. 【答案】/ 【详解】由题意可知，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减，又， 所以要使函数的定义域和值域都为， 只需，解得：. 【考法预测2】（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】要使分段函数的值域为，需两段函数值域衔接覆盖全体实数，即满足部分的最小值不大于部分的上界. 【详解】当时，，这部分值域为； 当时，，是增函数，这部分值域为， 要使整个函数的值域为，则， 画出和的图像，可知两个函数的交点为和，且当且仅当时，成立， 因此的取值范围是. 【考法预测3】（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分、、、四种情况讨论，分别求出每段的值域即可求最值. 【详解】①若，则， 因为的图象的对称轴为， 故该函数在上单调递增，所以， 若，则，当时，，则有最小值； 若，因为在上单调递减，所以， 若存在最小值，则，得，舍去； 若，因为在上单调递增，所以， 若存在最小值，则，得； ②若，因为在上单调递增，所以， 因为，则的最小值必在上取得，符合题意； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 考点08 恒成立与有解问题 典例1．（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性可得,再由函数的单调性可得出 ，将参数m分离,即可求出的取值范围. 【详解】因为函数和均是增函数， 所以是上的增函数，只需要满足， 即，解得. 由得 ，即 恒成立. 因为，即. 所以实数的取值范围是. 典例2．（25-26高三上·山东临沂·期末）设，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】设，则，，然后根据得出，最后根据题意得出存在，使得成立，进而结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】设，则，， 因为，所以， 不等式，即， 则存在，使得成立， 而函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， 则时，，所以， 即实数的取值范围是， 故答案为：. 【考法预测1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用所给定义域构造基本不等式求最值 【详解】当时，，当且仅当时等号成立 ．又，即实数的最小值为-3． 【考法预测2】，使得成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】将不等式变形分离参数，构造函数并分析其单调性，求出函数在区间上的最小值，根据存在性条件确定的取值范围. 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 故答案为： 【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】因为对，，都有，所以，解得单调性求出，从而得到的取值范围. 【详解】因为对，，都有，所以， 因为在上是单调递减函数， 所以， 因为在上是单调递增函数，是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数， 所以时，， 因为，得，．即实数的取值范围为． 【考法预测4】（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 考点09 函数奇偶性的判断 典例1．（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间上单调递减且为奇函数两个条件即可求解． 【详解】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 【考法预测1】（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 【考法预测2】（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析其在区间上的单调性. 【详解】化简可得： ， 定义域满足且，即，关于原点对称， 又, 因此是偶函数，排除A、C选项， 当时，单调递增，也单调递增， 因此单调递增，所以在中， 两项均随增大而减小，因此在上单调递减. 【考法预测3】设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 【答案】　B 【详解】　f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1. 方法技巧 判断奇偶性的方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 考点11 抽象函数的奇偶性 典例1．（多选）（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 【考法预测1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 【考法预测2】（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 考点11 已知函数奇偶性求参数 典例1．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数，所以，， 所以，即， 所以且，故. 典例2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 【考法预测1】（2026·北京石景山·二模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据偶函数定义求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以，解得. 【考法预测2】（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由偶函数可知，即， 化简得，即，即. 【考法预测3】（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【详解】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 考点12 根据函数奇偶性求值 典例1．（2026·河南·三模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质得出，结合对数的运算法则即可求解． 【详解】由是定义在上的奇函数，得，故， 当时，， 所以． 典例2．（2026·安徽·模拟预测）若为偶函数，则=（     ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】∵为偶函数，∴， 又， ∴. 【考法预测1】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，（），若，则_________． 【答案】1 【分析】设函数，得出为奇函数，利用奇函数的性质即可求解． 【详解】设函数，定义域为， 因为， 所以为上奇函数， 因为，所以， 所以， 故答案为：1． 【考法预测2】（2026·湖南邵阳·三模）已知是定义域为的奇函数，且当时，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，可知，再代入解析式求解. 【详解】当时，， 由，可知，，且由奇函数可知，， 所以，得. 【考法预测3】（2026·山西·模拟预测）已知是偶函数，且当时，，则(    ) A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先利用偶函数的性质求出时的表达式，再将求和式转化为对数的和，利用对数运算性质化简. 【详解】设，则，由是偶函数， 得. 即时，. 则. 【考法预测4】（2026·山东青岛·一模）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则____． 【答案】/ 【分析】由题意结合函数奇偶性建立关于和的方程，进而求解的值即可. 【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数， 所以，    即，解得. 考点13 根据函数奇偶性求解析式 典例1．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 【考法预测1】（2026·重庆万州·三模）若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到为偶函数，利用奇偶性定义判断各项对应函数的奇偶性，即可得. 【详解】由题意，在上且恒成立， 若为奇函数或非奇非偶函数，则任意奇函数不能保证即恒成立， 若为偶函数，则，此时对于任意奇函数都有，即恒成立， 所以为偶函数， A，且定义域为，为非奇非偶函数， B，且定义域为，为偶函数， C，且定义域为，为奇函数， D，且定义域为，为非奇非偶函数. 【考法预测2】（多选）（2026·江西南昌·三模）设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 【答案】AC 【分析】求导，可判断A的真假，分析函数在上的单调性，确定函数的零点，再结合函数的奇偶性，可判断C的真假；利用偶函数的定义，求函数在上的解析式，可判断B的真假；利用函数在上的单调性可判断D的真假. 【详解】当时，， 所以. 所以，故A正确； 由可得；由可得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，所以函数在上只有一个零点. 根据是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，可作出函数草图如下： 由图可知，函数有和两个零点，故C正确； 设，则， 因为函数为偶函数，所以，故B错误； 当时，，所以， 因为函数在上单调递减，所以，故D错误. 【考法预测3】2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【详解】若，则，则， 因为是定义在上的奇函数，所以， 对其求导得，则，又因， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 考点14 函数的周期性及应用 典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为R，且，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件求出周期，再利用周期可得答案. 【详解】， ， 即， 即， 所以4是函数的一个周期， ， ． 典例2．（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据递推关系推导函数周期为6，再计算2026模6的余数，对应周期内的函数值即可求解. 【详解】当时，， 因此，. 当时，递推关系为 ①， 将替换为得 ②， 将①+②可得，即， 因此，故函数在具有周期性，周期为. 因为，所以， 因为， ， ， . 因此. 【考法预测1】（25-26高二下·浙江·期中）已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 是定义在上且周期为的函数，∴ . ∵ 是偶函数，∴ . ∵ 当时，，∴ ，即. 【考法预测2】（2026·河北唐山·模拟预测）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用偶函数性质得，得. 周期，，因此. ，且， 则 因此. 【考法预测3】（2026·河北保定·三模）已知定义在R上的函数满足，且，则 ______. 【答案】 【分析】利用条件可得，由此可得函数是周期为8的函数，故转化为，利用求解可得. 【详解】由可得， 所以， 所以， 所以是周期为8的函数，所以， 又，故. 方法技巧 函数周期性问题的处理策略 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 考点15 函数的对称性及应用 典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）若为偶函数，则关于________对称；若为奇函数，则关于_____________对称； （2）若为偶函数，则关于________对称，则关于________对称； （3）若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； （4）函数与关于________对称；函数与关于________对称． （5）写出下列式子的对称性：________ ①；②；③． 【答案】 ①关于；②关于；③关于． 【详解】（1）将函数的图象向左平移一个单位得到， 因为是偶函数，其图象关于轴对称， 所以的图象关于对称； 将函数的图象向右平移两个单位得到， 因为是奇函数，其图象关于原点对称，所以的图象关于对称. （2）由函数是偶函数，可得， 整理得，所以，所以关于对称； 由函数的图象向左平移个单位，得到， 因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以函数关于对称； （3）由函数为奇函数，可得， 整理得，令，可得， 即，即， 所以函数关于对称； 由函数的图象向右平移个单位，得到， 因为为奇函数，其图象关于原点对称，所以函数关于对称； （4）由函数与的对称轴为， 即函数与关于对称； 对于函数与图象的对称中心为， 即与图象的关于对称． （5）①由，可得关于对称； ②由，可得关于对称； ③由，可得关于． 【考法预测1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 【考法预测2】（多选）（2026·湖南·模拟预测）下列函数的图象关于直线对称的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】的图象关于直线对称，A正确． 令，则，所以的图象关于直线对称，B正确． 的图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，故C错误． 令，则，所以的图象关于直线对称，D正确． 【考法预测3】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】通过对称性的概念可判断BC.通过特殊点判断AD. 【详解】令，， 对于A，，，显然，A错误， 对于B，，B错误， 对于C，，即两函数图象关于原点对称，C正确， 对于D，，当时，得点， 点关于直线对称点为， 当时，，故D错误. 【考法预测4】（24-25高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 考点16 函数的对称性及应用 典例1．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数关于对称，且在上单调递增， 所以函数关于对称，且在上单调递增， 若，则，得. 【考法预测1】（2026·湖南长沙·三模）已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 【答案】99 【分析】先利用函数的对称性找到等式关系，再用赋值法得到，从而求出. 【详解】因为 关于点 对称，所以, 即， 因为 关于点 对称，所以, 因为 ，所以 即， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 因此， 在，令，得， 因此. 【考法预测2】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的图象关于点对称，则______． 【答案】 【分析】设是上一点，关于点的对称点为，得到，将其代入函数的解析式，即可求得的解析式. 【详解】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为， 可得，解得， 将其代入函数，可得，所以， 即. 故答案为：. 考点17 函数的单调性+奇偶性 典例1．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 典例2．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据分式和对数函数定义域的基本要求可求得的定义域，采用换元法可构造偶函数，将所求不等式化为，根据对数型复合函数和一次函数单调性可确定当时不等式的解，结合奇偶性可求得最终结果. 【详解】由得：或，的定义域为； 设，则，其中， ，为定义在的偶函数， 当时，由得：， 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，即， 又为定义在上的偶函数，当时，； 当或，即时，， 不等式的解集为. 【考法预测1】（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 【考法预测2】（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知， 当 时，，在上单调递减，则的解集为； 当 时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为； 所以，的解集是的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：D. 【考法预测3】已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数在上的单调性，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出结果. 【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数， 因为， 所以，，且函数在上为增函数， 所以，， 因为函数在上为减函数，则， 故，且， 所以，， 故选：D. 【考法预测1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 考点18 函数的周期性+对称性 典例1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则________． 【答案】 【分析】根据题意，求得的周期为4，且，当时，，得到，结合，即可求解． 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， 因为函数的图象关于点对称，所以， 所以，可得， 令，可得，即， 所以，即， 所以函数的周期为4， 由，可得，即， 又因为当时，，所以， 所以． 【考法预测2】（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 【答案】/0.25 【详解】因为的图象关于对称，所以， 将替换为，可得， 因为是偶函数，所以， 将替换为，可得， 联立可得， 将替换成，可得，即是周期为的周期函数， 因此， 因为，所以， 当时，，所以， 即. 【考法预测3】（多选）（2026·安徽·模拟预测）已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 【答案】BCD 【分析】由题设易得，即可判断A；由直线是对称轴可得，进而得到，即可判断B；先根据周期性可得，再利用赋值法求解判断C；由易得，再求出，进而求解判断D. 【详解】依题意，，则， 即，故的周期，故A错误； 已知直线是对称轴，则， 而，则， 故为的图象的一条对称轴，故B正确； 由，则， 令，可得，则， 由，令，可得，故C正确； 由 ， 所以， 已知，而，则， 则，故D正确． 考点19 函数的性质的综合应用 典例1．（多选）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】由题意可得，，进而求解判断AB；利用对称性和单调性可判断C；利用函数奇偶性的定义可判断D. 【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且， 又的图象关于对称，则， 令，则，故A正确； 由，得， 则，故B正确； 由为奇函数，且时，单调递减，则其在单调递减， 又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反， 即在区间上单调递增，故C错误； 因为，即， 所以，故， 因此函数为偶函数，故D正确. 故选：ABD. 典例2．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中，令，得到，求得，得到A不一定正确，C错误；又由中，令，，可判定B错误，D一定正确. 【详解】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 【考法预测1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）若函数同时满足①；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 则符合条件的_____. (写出一个符合条件即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知所给函数性质找出函数验证条件即可. 【详解】由得：， 令，则，所以函数为奇函数. 所以所求函数要满足： ①为奇函数；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 例如：. 由 ，满足①， 由， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故满足②③, 所以函数满足题意. 【考法预测2】（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 【考法预测3】（25-26高三上·山东泰安·期末）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A项，可证明点同时满足即可；对于B项，可利用，且为奇函数，赋值求解即可；对于C项，由函数关于点对称，再结合函数关于对称，即可证明；对于D项，应用，可证明，可得，，， ，依次构成等差数列，进而可判断正误. 【详解】对于A项，设点是图象上任意一点， 则，而， 所以点也是图象上的点， 所以的图象关于直线对称，故A项正确； 对于B项，因为为奇函数， 所以，取，可知，所以； 又因为，所以， 于是，故B项错误； 对于C项，因为为奇函数，所以， 即，令， 则，， 所以， 因为的值域为，所以该结论对任意实数都成立， 即，故C项正确； 对于D项，由以上推理知， 所以， 所以； 又因为，， 所以，，，，，，依次构成等差数列，其首项为，公差为， 所以，故D项正确； 故选：ACD. 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·北京·三模）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，根据幂函数性质知在上单调递增，故A正确； 对B，，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C，，根据指数函数性质知其在上单调递减，故C错误； 对D，因为可化为，函数在上单调递减，则在上单调递减. 2．（2026·江西·模拟预测）已知是定义在上周期为4的奇函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据周期性和奇偶性求解. 【详解】因为周期为4，所以， 令 ，得到 又因为是定义在上的奇函数，所以， 令，即， 所以，即，即. 3．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 4．（2026·湖南·一模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数， 所以，， 所以， 因为当时，，所以，所以. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果. 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 6．（多选）（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 【答案】ABC 【分析】先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为， 对于A：因为的对称中心为，将其向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，所以对称中心变为，故A正确； 对于B：任取上一点，其关于直线的对称点为， 而， 因此其对称点也在上，所以的图象关于对称，故B正确； 对于C：因为，所以， 即的值域为，故C正确； 对于D：的定义域为，它仅在区间和上分别单调递减， 不能说在整个定义域上单调递减，例如：取， 有，不符合单调递减定义，故D错误. 7．（多选）（2026·安徽·模拟预测）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为偶函数，得. 对作变量代换，得，因此，. 将代入上式，得， 结合，得， 进而，，即的最小正周期为； 由，可得的最小正周期也为. 对于选项A：由，令，得，故A错误. 对于选项B：由，令，得，故B正确. 对于选项C：由，令，得，故C正确. 对于选项D：由周期为，得，故D正确. 8．（多选）（2026·四川绵阳·模拟预测）双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．函数是上的增函数 B．，恒成立 C．的值域为 D．曲线是中心对称图形 【答案】AD 【详解】对于A，与是上的增函数， 所以是上的增函数，所以A正确； 对于B，取，，， 所以，因为，， 则， ，所以B错误； 对于C，因为，，所以，所以C错误； 对于D，设， 则 ， 所以点是曲线的对称中心， 即曲线是中心对称图形，所以D正确. 9．（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先判断函数为上的偶函数且在上单调递增，将函数不等式转化为绝对值不等式求解即可 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以是上的偶函数， 因为，当时， ， 由于时 ， 所以，即在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减，且满足 因为 ， 所以 等价于 ， 因为在上单调递增， 所以等价于， 当时，不等式化为，即 ， 其判别式 ，不等式恒成立，故； 当时，不等式化为，即 ， 因式分解得 ，解得或 . 综上，实数的取值范围是 10．（2026·福建厦门·模拟预测）写出一个同时满足下列性质①②③的函数______. ①定义域为； ②； ③. 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意知图象关于点对称，再结合正比例函数构造即可； 【详解】由③得函数图象关于点对称， ，则可取，符合①②③. .（答案不唯一） 能力进阶 1．（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：，定义域为，，为奇函数； 选项B：，定义域为，，为偶函数， ，求导可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增，所以， 所以当时，，单调递增，所以， 因此当时，，在内单调递增； 选项C：，定义域为，，为奇函数； 选项D：，定义域为，，为偶函数， 当时，令，则，函数变为，根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得： ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 3．（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，为单调递增函数，当时，，所以此时. 当时，为单调递增函数，也为单调递增函数， ∴ 在上单调递增，且. ∴ 函数是定义域为的单调递增函数. 令，当时，有. 设（），则，整理得. 解得或，∵ ，∴ 不符合题意，舍去. ∴ ，即. ∵ 在上单调递增， ∴ 等价于，解得. ∴ 实数的取值范围为，故选A. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 5．（2026·山东济南·三模）已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的值域可得，令，，利用导数判断的单调性，利用单调性解不等式. 【详解】因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 又因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 由题意可知：，即， 令，，则， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为. 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性，结合定义域可知对称中心为，再根据定义式求出即可判断A；代入计算即可判断B；利用函数单调性判断CD即可． 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； ， 又在上单调递增，在上也单调递增， 所以是增函数，又，所以，所以C错误； 因为，所以， 又因为，所以，所以D错误． 7．（多选）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义域为R的偶函数且，，且满足，则（    ） A．是周期函数 B．直线是图象的一条对称轴 C． D． 【答案】ABD 【分析】先根据函数递推关系推导周期，结合偶函数性质分析对称轴，再利用函数性质求解特殊点函数值，最后计算求和判断选项. 【详解】选项A：由，将替换为得 ，故是周期为4的周期函数，A正确； 选项B：因为是偶函数，故 ，又周期为4，所以， 即，故直线是的对称轴，B正确； 选项C：由偶函数得 ，又，且，故， 解得，故 ，C错误； 选项D：计算得，周期为4， 故. 8．（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数满足，当时，，则（    ） A．为偶函数 B．若，则，且 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，先赋值求得，，再令，可得即可判断；对于B，根据函数单调性的定义结合奇偶性，可得函数在上单调递增，在上单调递减，进而解不等式即可判断；对于C，赋值，可得，进而得到，再根据函数的单调性判断即可；对于D，赋值，可得，进而可得，，再赋值，可得，进而结合函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，由， 令，得，即， 令，得，则，即， 令，得，则函数为偶函数，故A正确； 对于B，任取，且， 由，则， 所以，由于，则， 所以，即， 则函数在上单调递增，又为偶函数，则函数在上单调递减， 由，且，得， 则且，解得，且，故B正确； 对于C，由，， 令，则，即， 所以， 由B知，函数在上单调递增，则，故C错误； 对于D，由，， 令，则，即， 则， ， 由，令，，得， 则， 由于函数在上单调递增，则， 则，故D正确. 9．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用导数分别求函数和的值域，再根据不等式，转化为子集问题，即可列不等式求解. 【详解】，得或， 因为，所以，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， ，，，所以函数在区间的值域是， ，在区间恒成立，所以在区间单调递增， 所以在区间的值域为， 由条件可知函数在区间的值域是在区间的值域的子集， 即是的子集， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 10．已知定义在上的函数满足以下三个条件： ①对任意实数，都有； ②； ③在区间上为增函数． （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）求证：； （3）解不等式． 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）通过赋值，令，求，再赋值，求得函数是奇函数； （2）同样是赋值令，，再赋值证明； （3）根据奇函数和周期性可得函数关于对称，并且在单调递增，在单调递减，再利用赋值，可得，再利用函数性质解不等式. 【详解】（1）令 ， ， ， ， 令 ，代入得 ， ， ，， 函数是奇函数. （2）令 ， ， ，， ， . （3）因为函数是上奇函数，所以满足， 又 ， ，函数关于对称， 因为函数在单调递增，并且是奇函数， 在上也是单调递增， 在上单调递减， 令 ，代入可得， 函数关于对称，， ， 解得： 或 ， 在单调递增，且 ，（舍） ， 当 时， ， 又是周期为4的函数， 不等式的解集是. 真题实战 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 5．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 6．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 7．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 试卷第2页，共74页 学科网（北京）股份有限公司 $