精品解析：福建省龙岩市2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

龙岩市2024~2025学年第二学期期末高二教学质量检查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.36 C. 0.86 D. 0.64 3. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 4. 现有6张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，6.从这6张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若存在（为自然对数的底数，）使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 有两个极值点 C. 有一个零点 D. 点是曲线的对称中心 10. 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 新能源汽车购买数量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 则关于的（ ） 参考公式：，，. 参考数值：， A. 线性回归系数 B. 线性回归系数 C. 相关系数 D. 相关系数 11. 已知正三棱柱的底面边长为1，，点满足，其中，，下列选项正确的是（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，有且仅有一个点，使得平面 C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，则的值为______. 13. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为______. 14. 已知函数恰有一个零点，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的极大值. 16. 某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 （1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ （2）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，吸烟者的人数的数学期望. 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17. 如图，在三棱锥中，，，平面. （1）求证：平面平面； （2）若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）已知对于任意，直线与曲线有唯一公共点的实数的值组成的集合为，求证：. 19. 已知甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色和编号外，其它均相同.现从甲乙两袋中各取一个球交换放入对方袋中，重复进行次这样的操作，记甲袋中黑球的个数为. （1）若进行一次交换后，从甲袋中任取一个球，求这个球是黑球的概率； （2）求的数学期望； （3）信息传递与整合模拟是一种用于研究信息在系统中如何流动、组合以及形成新信息的方法.编号的黑白小球实验可以在一定程度上对信息传递与整合进行简单的信息模拟.现有个不同的袋子，每个袋子装有一黑一白两个小球，这些小球除颜色和编号外，其它均相同，袋中的黑白小球代表该信息源所拥有的基础信息单元.若将每个黑球和白球看作不同的信息单元，每个袋子代表一个信息源.现将袋中的所有球取出串成圆环，可模拟信息在个信息源之间传递与整合的过程，圆环上小球的排列顺序和组合方式反映了信息的组织和整合形式.若这串圆环上的小球黑白相间且同个袋子中的黑白两球相邻，这样产生了种不同的信号.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市2024~2025学年第二学期期末高二教学质量检查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，解得. 故选：D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.36 C. 0.86 D. 0.64 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可求出结果. 【详解】由，可得，. 故选：A. 3. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理得，进而求解. 【详解】由四点共面，所以，即， 故选：C. 4. 现有6张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，6.从这6张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合组合数的应用，利用古典概型的概率公式求解即可． 【详解】从这6张卡片中随机抽取3张有种情形，事件只包含一种情况即， 故. 故选：C 5. 如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取空间向量的一个基底，利用空间向量法求出异面直线的夹角余弦值. 【详解】在平行六面体中，， ，记，， 则， ，， ， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意在上成立，分离参数后，在上恒成立，根据题意求的最小值，求解即可. 【详解】由题意在上成立，因为时，， 则在上恒成立． 因为函数在上单调递减，所以当时，取得最小值， 所以，即实数的取值范围是． 故选：B. 7. 一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得. 【详解】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以 . 故选：C. 8. 设函数，若存在（为自然对数的底数，）使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由单调性的性质可知在定义域内单调递增，依题意在上有解，即在上有解，设，利用导数法求解的值域即可求解的取值范围. 【详解】由和在定义域内单调递增，知在定义域内单调递增， 若，则，若，则. 故存在使成立，则，即在上有解. 故， 设，则， 在上单增，在上单减， 故又，故. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 有两个极值点 C. 有一个零点 D. 点是曲线的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导后由，即可分析单调性和极值点，根据零点存在性定理判断ABC，利用函数对称性的定义可判断D. 【详解】由得，，所以在上单调递增， 故由极值点的概念可知，函数没有极值点，故A正确，B错误； 因为在上单调递增，且，， 所以由零点存在性定理可知只有一个零点，此零点位于内，故C正确； ，所以曲线关于中心对称，故D正确. 故选：ACD 10. 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 新能源汽车购买数量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 则关于的（ ） 参考公式：，，. 参考数值：， A. 线性回归系数 B. 线性回归系数 C. 相关系数 D. 相关系数 【答案】BC 【解析】 【分析】结合数据利用公式计算相关系数和线性回归系数，逐个选项判断即可. 【详解】由表格数据可知，，所以 ，，所以，所以相关系数，故选项C正确，选项D错误； ，故选项B正确，选项A错误. 故选：BC 11. 已知正三棱柱的底面边长为1，，点满足，其中，，下列选项正确的是（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，有且仅有一个点，使得平面 C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判断，然后利用线面平行的判定定理得平面，结合三棱锥的题意即可判断A，建立空间直角坐标系，设，利用及空间向量垂直的坐标运算求解判断B，先判断，把平面绕旋转到与平面共面，当，，三点共线时有最小值，先利用余弦定理及两角和的余弦公式求出，利用余弦定理求解判断C，先判断在含边界的矩形区域内，然后建立平面直角坐标系，从而得的轨迹是以为圆心，1为半径的圆弧，利用点圆的位置关系求解最值即可判断D. 【详解】对于A.设，为，的中点，∵，∴， ∴，平面，平面，∴平面， ∴三棱锥的体积为定值，∴A正确； 对于B.过在平面内作，以为原点， 以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图. 设，为，的中点，∵，∴， ∴，，设， ∴，， ∵平面，平面，∴，∴，解得， ∴仅有一个点，使得平面，∴B正确 对于C.∵，∴， 把平面绕旋转到与平面共面， 当，，三点共线时有最小值， ∵， ∵，∴， ∴ ， ， ，∴的最小值为，∴C不正确； 对于D.点P满足，其中，， ∴在含边界的矩形区域内， 以为原点，以，为轴、轴建立平面直角坐标系， 设，∴，∴，， ∵∴，∴的轨迹是以为圆心，1为半径的圆弧， ∴当，，三点共线时，最小，∴的最小值为，∴D正确. 故选：ABD 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】各次投篮是否投中相互独立，可以看成独立重复试验，利用独立事件概率求法计算得解. 【详解】由题各次投篮是否投中相互独立，该同学通过测试分为恰好投中两次或者恰好投中三次， 所以其概率为. 故答案为： 14. 已知函数恰有一个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将变为，令，则有一个根，然后按照和分类讨论，当时，分离参数，转化为和有一个交点，设，利用导数研究的单调性，数形结合求出的范围，即可得解. 【详解】， 令，易知是单调递增函数， 则有一个根，当时，等式，不符合题意， 故，等式转化为有两个根，即和有一个交点. 设，函数定义域为， 求得， 故当时，，在和上单调递减； 当时，，在上单调递增. 又时，时， 故的图象如下， 由图可得，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的极大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）通过求导分析的单调性，得的极大点，进而得函数的极大值. 【小问1详解】 因为，所以. 又，所以 所以在处的切线方程为： 即 【小问2详解】 因为. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以是的极大值点. 所以的极大值为. 16. 某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 （1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ （2）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，吸烟者的人数的数学期望. 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有95%的把握 （2） 【解析】 【分析】（1）结合列联表数据求出，与临界值比较即可判断； （2）先利用分层抽样求得不吸烟者人，则吸烟者4人，然后求出的取值及对应的概率，最后利用数学期望公式求解即可. 【小问1详解】 零假设：患慢性气管炎与吸烟无关， ， 由，而，从而否定原假设， 即有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. 【小问2详解】 按分层抽样，不吸烟者人，则吸烟者4人， 所以的可能值为0，1，2，3. 则，， ，， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，，，平面. （1）求证：平面平面； （2）若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 【答案】（1） ∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，则利用线面垂直的判断定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理正解即可. （2）平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求出，可得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过在平面内作， 以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图 ∵，，∴， ∴，，，∵为中点，∴， 设，， 设平面的法向量为， ∴， 令，，，即， 由（1）知平面，∴为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， ∴， 解得或， 由（1）知，当为中点即时，∴平面， 又∵二面角的余弦值为，∴二面角为锐角， ∴∴，∴， ∴，∴. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）已知对于任意，直线与曲线有唯一公共点的实数的值组成的集合为，求证：. 【答案】（1）减区间为，增区间为 （2）证明：设，则 令，， 由于，所以， 从而， 即，则在上单调递增. 所以，即. ∵，且在上单调递增，∴，即. （3）证明：法一：设， 令，，设， 则， ， 所以，即存在使， 所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点. 令， 以下证明，当，对任意，函数在区间上至多有一个零点. 易知. ①当时，，此时函数在区间内单调递减， 所以，函数在区间内至多有一个零点； ②当时，关于的方程，即有两个不同的实数根， 分别记为，，不妨设，可得. 易知，函数在区间和内单调递减，在区间内单调递增. 所以函数的极小值. . 而，又，所以. 所以在区间内至多有一个零点，得证. 法二：由已知得，设，， ，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. ， 当时，，即，即在上单调递减， 当无限趋向于0且时，无限趋向于正无穷大； 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0. 当时，直线与曲线有唯一公共点. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解单调区间. （2）设，利用导数研究函数单调性，由即可证明. （3）法一：设，令，，利用零点存在性定理得存在使，令，求导函数后按照和分类讨论研究函数的单调性，进一步判断在区间内至多有一个零点即可； 法二：由已知得，设，多次求导研究函数的单调性，进一步判断在区间内至多有一个零点即可. 【小问1详解】 . 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色和编号外，其它均相同.现从甲乙两袋中各取一个球交换放入对方袋中，重复进行次这样的操作，记甲袋中黑球的个数为. （1）若进行一次交换后，从甲袋中任取一个球，求这个球是黑球的概率； （2）求的数学期望； （3）信息传递与整合模拟是一种用于研究信息在系统中如何流动、组合以及形成新信息的方法.编号的黑白小球实验可以在一定程度上对信息传递与整合进行简单的信息模拟.现有个不同的袋子，每个袋子装有一黑一白两个小球，这些小球除颜色和编号外，其它均相同，袋中的黑白小球代表该信息源所拥有的基础信息单元.若将每个黑球和白球看作不同的信息单元，每个袋子代表一个信息源.现将袋中的所有球取出串成圆环，可模拟信息在个信息源之间传递与整合的过程，圆环上小球的排列顺序和组合方式反映了信息的组织和整合形式.若这串圆环上的小球黑白相间且同个袋子中的黑白两球相邻，这样产生了种不同的信号.求证：. 【答案】（1） （2）1 （3）证明：依题意， 要证，只要证， 即证，两边取自然对数有， 即证. 令， 当时，， 当时，① ，② 由①-②得 ， 令，则， ∴在上单调递增，∴， ∴，即， ∴，∴， 令，则，此时， ∴是单调递减数列，∴， 综上，即. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可. （2）法一：依题意可得可能取值为0，1，2对应的概率分别为，，，则，故，先求出，再利用概率关系求得，进一步有. 法二：先求出，然后推出时，，进一步有. （3）要证，即证，即证.令，当时，当时，，令，利用导数法证，即，进而，则，即可证明. 【小问1详解】 假设一次交换后甲的黑球为0个，1个、2个的事件分别为，，， 再从甲口袋任取一个球为黑球的记为事件. 则 . 【小问2详解】 法一：依题意可得可能取值为0，1，2对应的概率分别为，，， 则，故. 当时，，，，所以. 又∵；；. . 故有. 法二：设重复进行次这样的操作，口袋中黑球个数的数学期望为 当时 0 1 2 . 当时， . 综上，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $