1.5　一元二次方程、不等式（4大知识点+10大题型）（讲义+精练）-2027届高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次方程与不等式核心考点，涵盖一元二次、高次、分式、绝对值不等式等知识点，按基础梳理、题型归纳、真题回顾、拓展精练的逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导、真题演练等环节帮助学生构建知识网络，突破含参讨论、恒成立等难点。 资料突出“数学思维”培养，如用“穿针引线法”解高次不等式，结合二次函数图象分析实根分布，渗透推理意识与几何直观。设置分层练习与真题训练，确保复习针对性，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供系统指导。

1.5　一元二次方程、不等式 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、一元二次不等式 3 知识点二、高次不等式 3 知识点三、分式不等式 3 知识点四、无理不等式 4 常用二级结论 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 8 题型一：不含参数的一元一次、一元二次不等式求解（基础考点） 8 题型二：含参数的一元一次、一元二次不等式分类讨论求解（高频考点） 9 题型三：一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的相互转化（必考考点） 12 题型四：一元二次不等式在给定区间上的恒成立与能成立问题（高频考点） 15 题型五：一元高次不等式与分式不等式的穿针引线法求解（基础考点） 17 题型六：单绝对值与双绝对值不等式的基本解法（高频考点） 19 题型七：一元二次方程实根的分布与参数范围问题（压轴小题考点） 20 题型八：含参数绝对值不等式的分类讨论与几何意义解法（高频难点考点） 23 题型九：根据不等式组的整数解个数或范围求参数（高频考点） 24 题型十：通过解含参数不等式组确定参数的取值范围（高频考点） 26 05 课后拓展精练 30 知识点一、一元二次不等式 一元二次不等式或的解法： 对于一元二次方程，设，（当时，方程两根为） 的图象 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 R 的解集 知识点二、高次不等式 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. 知识点三、分式不等式 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味a，b同号，故与等价的； 与均意味a，b异号，故与等价的； ① ，且. ② ，且. 知识点四、无理不等式 ⑴或 ⑵ ⑶ 常用二级结论 1、一元二次不等式恒成立常用结论： ⑴的解集为R，则一定满足 ⑵的解集为，则一定满足 ⑶的解集为R，则一定满足 ⑷的解集为，则一定满足 ⑸在上恒成立，则 ⑹在上恒成立，则 1．（2025年高考天津卷数学真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 2．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 3．（2025年上海春季高考练习数学试题）不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 4．（2024年上海春季高考练习数学试题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【解析】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 5．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 6．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，使不等式成立的的取值范围为__________. 【答案】 【解析】， 即， 即， 故的取值范围是． 题型一：不含参数的一元一次、一元二次不等式求解（基础考点） 【解题妙招】 解一元二次不等式时，我们首先要找出与之对应的方程的根。将这些根标记在数轴上，有助于我们直观地理解不等式的解集分布。随后，结合二次函数的图象特征，我们可以清晰地确定不等式的解集范围，从而得出最终答案。 例1．求函数的解集__________. 【答案】 【解析】对原不等式 两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 . 因式分解得，因此原不等式等价于 . 令 ，解得两根为 和 . 由于二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上， 因此 解集为. 例2．不等式的解集是____. 【答案】 【解析】不等式化为， 因式分解得，解得. 不等式的解集为， 例3．（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为______． 【答案】 【解析】当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 变式1．（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 【答案】 【解析】因为，即， 令， 解得， 所以的解集为. 即不等式的解集是. 题型二：含参数的一元一次、一元二次不等式分类讨论求解（高频考点） 【解题妙招】 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 例4．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【解析】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 例5．解关于的不等式． 【解析】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 例6．解答下列各题. (1)若，求的最小值； (2)若正数满足，求的最小值； (3)解关于的不等式:． 【解析】（1）因为，由题 . 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为7. （2）由结合基本不等式可得： ， 又为正数，则 ，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （3）由，可得，令，解得或， 当时，有 ，的解集为两根之间，即 ； 当时，原不等式变为 ，无解； 当时，有 ，的解集为两根之间：. 综上：当时，解集为；当时，无解；当时，解集为 变式2．设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【解析】（1）因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 题型三：一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的相互转化（必考考点） 【解题妙招】 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 例7．（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【解析】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 例8．（多选题）（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【解析】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 例9．（多选题）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】因为不等式的解集是， 所以有，，， 所以，，因此选项A正确，选项B错误； ，因此选项C正确； 若，则，即， 解得，选项D正确. 变式3．（多选题）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 【答案】ABD 【解析】由，可得， A：当，显然，而，即不等式无实数解，对， B：当，则，而，故， 所以不等式组的解集可以为的形式，对， C、D：当不等式组解集恰好为，则， 所以，不等式的解集，即的解集为， 所以，可得，其中（此时不满足，舍）， 所以或（舍），故，C错，D对. 题型四：一元二次不等式在给定区间上的恒成立与能成立问题（高频考点） 【解题妙招】 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 例10．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 例11．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 例12．（2026·高三·天津宝坻·阶段检测）已知函数满足，且时.若对任意实数，有不等式恒成立，则非零实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由， 由此可知在单调递增，且 而在单调递增，且 又因为，所以在上单调递增， 由可得：，解得， 又因为非零实数，所以， 由于，所以， 而对于任意实数，有不等式恒成立， 则， 则，即， 所以由不等式， 解得， 即根据题意可得：， 所以，再由，可得， 故选：B. 变式4．（2026·高三·广东·期末）已知函数满足对任意，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以由， 得，得， 得对任意恒成立， 所以或对任意恒成立， 所以或， 且在区间[3，4]上单调递减，在区间[4，5]上单调递增，当时，； 当时，， 当时，， 所以，对任意， ，所以． 故选：D 题型五：一元高次不等式与分式不等式的穿针引线法求解（基础考点） 【解题妙招】 穿根法 例13．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 例14．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式，等价于或， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：A 例15．（2026·高三·河南南阳·阶段检测）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】， 当时，不等式显然不成立； 当时，，所以原不等式， 解得. 综上，原不等式的解集为. 故选：C 变式5．不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由，得， 等价于， 由穿根法可得不等式的解集为. 故选：B 题型六：单绝对值与双绝对值不等式的基本解法（高频考点） 【解题妙招】 一般的，与或同解；与同解． 一般的，，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论． 例16．（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 【答案】 【解析】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 例17．（2026·上海杨浦·模拟预测）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】因为不等式，不等式的最大值为， 对任意，不等式恒成立，所以， 则的取值范围为，即得的取值范围为. 例18．（2026·上海·一模）若不等式对于任意实数x恒成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】不等式恒成立，即不等式恒成立， 即不等式恒成立， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，两边平方化简得，解得， 即a的取值范围为. 变式6．（2026·高三·辽宁·期末） 的解集为_____ 【答案】 【解析】原不等式等价于 当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解； 当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为； 当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为； 综上所述，原不等式的解集为. 故答案为： 题型七：一元二次方程实根的分布与参数范围问题（压轴小题考点） 【解题妙招】 解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向． 例19．（2026·高三·全国·一轮复习）若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 【答案】. 【解析】因为关于的方程的两个不相等的实数根， 所以，解不等式得， 设方程的两个根为，则根据韦达定理，可得，， 又方程的两个不相等的实数根均小于， 所以，展开得， 代入韦达定理的结果，得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 例20．（2026·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】（1）当时，方程化为：，此时无解，舍去； （2）当时，考虑方程正实数根情况，只需研究当时方程解的情况， 即此时方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （3）当时，因为， 所以方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （4）当时，函数与轴有两个零点 函数与轴有两个零点 因为，所以即 作出函数与函数图象， 由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程有两个不相等的正实数根， 综上，满足条件的取值范围为或，即 故答案为： 例21．（2026·高三·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是____________. 【答案】 【解析】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 题型八：含参数绝对值不等式的分类讨论与几何意义解法（高频难点考点） 【解题妙招】 对于含参型绝对值不等式，零点分段法与图象法是行之有效的求解途径。零点分段法通过剖析绝对值符号内表达式取零的点，将数轴划分为不同区间，进而在各区间内去除绝对值符号求解不等式；图象法则借助函数图象直观呈现绝对值函数与相关参数函数的交互关系，助力确定不等式的解集。 例22．函数的最小值为_____. 【答案】15 【解析】因为，结合绝对值三角不等式可得： ， 等号成立的充要条件是且. 即当时，满足，取到最小值15. 故答案为：15 例23．（2026·江西宜春·模拟预测）若函数的最小值为，则_____． 【答案】或 【解析】由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 且该函数的最小值为，即，故或. 故答案为：或. 例24．（2026·上海杨浦·二模）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 变式8．若对于任意，总存在使得，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】设， 一方面，令，即，解得， 此时，在上的最大值为2，因此； 另一方面，当时，考虑，，， 则， 于是中至少有一个不小于2，符合题意， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型九：根据不等式组的整数解个数或范围求参数（高频考点） 【解题妙招】 在处理不等式组整数解以确定参数取值范围的问题时，分类讨论与数形结合是两种关键策略。通过分类讨论不同情况，并借助数轴等工具直观展示不等式关系，我们能更准确地找出符合条件的整数解，进而确定参数的合适值。 例25．（2026·高三·山东青岛·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 【答案】 【解析】当时，显然不合题意； 当时，原不等式可化为，即，所以， 因为解集中恰有两个整数，所以，即； 当时，原不等式可化为，即， 所以若时，则或，不合题意；若时，则或，不合题意；若时，则，不合题意. 综上可得，； 故答案为： 例26．（2026·高三·河北沧州·阶段检测）已知集合，集合，若集合内恰有两个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】不等式可化为，解得或， 所以， 若集合内恰有两个整数，则这两个整数为，所以. 故答案为：. 例27．若关于的不等式的解集中恰好含有2025个整数，则实数的取值集合是______ 【答案】或 【解析】当，即时，，解集为，有无数个解，不符合题意； 当，即时，， 当时，，则不等式的解集为， 包含无数个解，不符合题意； 当时，，则不等式解集为， 包含无数个解，不符合题意； 当时，解得或， 当时，，不等式解集为， 因为，所以， 因为解集中恰好含有2025个整数， 所以，解得； 当时，，不等式解集为， 因为，所以， 因为解集中恰好含有2025个整数， 所以，解得， 综上，实数的取值集合或. 故答案为：或 变式9．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是___________. 【答案】或 【解析】由得：， ①当时，不等式的解集为：， 因为解集中恰有3个整数，所以； ②当时，不等式的解集为，不符合题意； ③当时，不等式的解集为：， 因为解集中恰有3个整数，所以； 综上所述：实数m的取值范围是：或. 故答案为：或 题型十：通过解含参数不等式组确定参数的取值范围（高频考点） 【解题妙招】 在求解含不等式（组）参数的问题时，关键在于巧妙运用不等式的相关性质，结合已知不等式（组）的解集信息，通过分析、推理，在参数与解集之间构建起明确的对应关系，进而求解出参数的值或取值范围。 例28．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D 例29．关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得或；由 ，可得（*）. ① 若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ② 若时，则由（*），可得，显然不符合题意； ③ 若时，则由（*），可得， 此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即. 综上可得，实数的取值范围 故选：B. 例30．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 变式10．设集合，集合为关于的不等式组的解集，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式组的解集，，， 所以不等式在上恒成立， 且不等式的解集包含集合， 又不等式可化为， 所以不等式的解集为， 所以，所以，且，所以. 不等式在上恒成立，故，其中， 设，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以当时，函数，取最大值，最大值为， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为. 故选：C. 变式11．（2026·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（    ） A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2 【答案】A 【解析】，解得：，因为是不等式的解集的子集，故要满足：，解得：， 故选：A 1．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 2．（2026·高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】即为，故，故. 3．已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得或，解得，故选项D正确． 4．（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，所以问题转化为恒成立， 设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，所以，解得. 5．（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以. 因为，且， 所以，即实数的取值范围是. 6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 7．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 8．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 9．（多选题）（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【解析】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 10．（多选题）（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，则（   ） A．的解集为 B．的解集为 C．当时，的最小值为1 D．，恒成立 【答案】AC 【解析】对于A：等价于，解得或，故A正确， 对于B：等价于，即， 整理得，解得，且，故B错误； 对于C：当时，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：，，即，故D错误. 11．（多选题）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 12．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【解析】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 13．（2026·高三·上海黄浦·阶段检测）设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____ 【答案】 【解析】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当时，， 因为在上都是增函数，所以函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是 14．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以， 则，即， 所以关于b的一元二次不等式有解，且， 所以， 因为，所以，解得或， 当时，不等式为，得，符合题意； 当时，不等式为，得，符合题意， 则t的取值范围是. 故答案为： 15．解不等式． 【解析】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 16．（2026·云南·模拟预测）已知二次函数，且的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求在区间上的值域． 【解析】（1）因为的解集为，所以，且的两根为和2. 所以，，解得，. 所以. （2）. 因为，所以，令，则. 又在上单调递增，，， 所以在上的值域为， 即在区间上的值域为. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5　一元二次方程、不等式 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、一元二次不等式 3 知识点二、高次不等式 3 知识点三、分式不等式 3 知识点四、无理不等式 4 常用二级结论 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 6 题型一：不含参数的一元一次、一元二次不等式求解（基础考点） 6 题型二：含参数的一元一次、一元二次不等式分类讨论求解（高频考点） 6 题型三：一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的相互转化（必考考点） 7 题型四：一元二次不等式在给定区间上的恒成立与能成立问题（高频考点） 8 题型五：一元高次不等式与分式不等式的穿针引线法求解（基础考点） 9 题型六：单绝对值与双绝对值不等式的基本解法（高频考点） 9 题型七：一元二次方程实根的分布与参数范围问题（压轴小题考点） 10 题型八：含参数绝对值不等式的分类讨论与几何意义解法（高频难点考点） 10 题型九：根据不等式组的整数解个数或范围求参数（高频考点） 11 题型十：通过解含参数不等式组确定参数的取值范围（高频考点） 11 05 课后拓展精练 13 知识点一、一元二次不等式 一元二次不等式或的解法： 对于一元二次方程，设，（当时，方程两根为） 的图象 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 R 的解集 知识点二、高次不等式 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. 知识点三、分式不等式 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味a，b同号，故与等价的； 与均意味a，b异号，故与等价的； ① ，且. ② ，且. 知识点四、无理不等式 ⑴或 ⑵ ⑶ 常用二级结论 1、一元二次不等式恒成立常用结论： ⑴的解集为R，则一定满足 ⑵的解集为，则一定满足 ⑶的解集为R，则一定满足 ⑷的解集为，则一定满足 ⑸在上恒成立，则 ⑹在上恒成立，则 1．（2025年高考天津卷数学真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 2．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））不等式的解集为_________． 3．（2025年上海春季高考练习数学试题）不等式的解集为_____． 4．（2024年上海春季高考练习数学试题）已知，求的的取值范围_______. 5．（2024年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知则不等式的解集为______． 6．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 7．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，使不等式成立的的取值范围为__________. 题型一：不含参数的一元一次、一元二次不等式求解（基础考点） 【解题妙招】 解一元二次不等式时，我们首先要找出与之对应的方程的根。将这些根标记在数轴上，有助于我们直观地理解不等式的解集分布。随后，结合二次函数的图象特征，我们可以清晰地确定不等式的解集范围，从而得出最终答案。 例1．求函数的解集__________. 例2．不等式的解集是____. 例3．（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为______． 变式1．（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 题型二：含参数的一元一次、一元二次不等式分类讨论求解（高频考点） 【解题妙招】 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 例4．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 例5．解关于的不等式． 例6．解答下列各题. (1)若，求的最小值； (2)若正数满足，求的最小值； (3)解关于的不等式:． 变式2．设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 题型三：一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的相互转化（必考考点） 【解题妙招】 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 例7．（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 例8．（多选题）（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 例9．（多选题）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 变式3．（多选题）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 题型四：一元二次不等式在给定区间上的恒成立与能成立问题（高频考点） 【解题妙招】 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 例10．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例11．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例12．（2026·高三·天津宝坻·阶段检测）已知函数满足，且时.若对任意实数，有不等式恒成立，则非零实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高三·广东·期末）已知函数满足对任意，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型五：一元高次不等式与分式不等式的穿针引线法求解（基础考点） 【解题妙招】 穿根法 例13．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例14．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例15．（2026·高三·河南南阳·阶段检测）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 变式5．不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 题型六：单绝对值与双绝对值不等式的基本解法（高频考点） 【解题妙招】 一般的，与或同解；与同解． 一般的，，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论． 例16．（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 例17．（2026·上海杨浦·模拟预测）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 例18．（2026·上海·一模）若不等式对于任意实数x恒成立，则a的取值范围为______． 变式6．（2026·高三·辽宁·期末） 的解集为_____ 题型七：一元二次方程实根的分布与参数范围问题（压轴小题考点） 【解题妙招】 解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向． 例19．（2026·高三·全国·一轮复习）若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 例20．（2026·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________. 例21．（2026·高三·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是____________. 变式7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为________． 题型八：含参数绝对值不等式的分类讨论与几何意义解法（高频难点考点） 【解题妙招】 对于含参型绝对值不等式，零点分段法与图象法是行之有效的求解途径。零点分段法通过剖析绝对值符号内表达式取零的点，将数轴划分为不同区间，进而在各区间内去除绝对值符号求解不等式；图象法则借助函数图象直观呈现绝对值函数与相关参数函数的交互关系，助力确定不等式的解集。 例22．函数的最小值为_____. 例23．（2026·江西宜春·模拟预测）若函数的最小值为，则_____． 例24．（2026·上海杨浦·二模）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 变式8．若对于任意，总存在使得，则实数的取值范围是_______________. 题型九：根据不等式组的整数解个数或范围求参数（高频考点） 【解题妙招】 在处理不等式组整数解以确定参数取值范围的问题时，分类讨论与数形结合是两种关键策略。通过分类讨论不同情况，并借助数轴等工具直观展示不等式关系，我们能更准确地找出符合条件的整数解，进而确定参数的合适值。 例25．（2026·高三·山东青岛·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 例26．（2026·高三·河北沧州·阶段检测）已知集合，集合，若集合内恰有两个整数，则实数的取值范围是__________. 例27．若关于的不等式的解集中恰好含有2025个整数，则实数的取值集合是______ 变式9．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是___________. 题型十：通过解含参数不等式组确定参数的取值范围（高频考点） 【解题妙招】 在求解含不等式（组）参数的问题时，关键在于巧妙运用不等式的相关性质，结合已知不等式（组）的解集信息，通过分析、推理，在参数与解集之间构建起明确的对应关系，进而求解出参数的值或取值范围。 例28．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例29．关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 例30．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式10．设集合，集合为关于的不等式组的解集，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式11．（2026·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（    ） A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2 1．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 10．（多选题）（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，则（   ） A．的解集为 B．的解集为 C．当时，的最小值为1 D．，恒成立 11．（多选题）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 12．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 13．（2026·高三·上海黄浦·阶段检测）设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____ 14．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________． 15．解不等式． 16．（2026·云南·模拟预测）已知二次函数，且的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求在区间上的值域． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $