2.1函数的概念及其表示（15大题型）（讲义+精练）-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念及其表示核心考点，涵盖函数三要素、定义域值域求解、分段函数应用等内容，按知识点梳理、方法总结、题型归纳、真题训练的逻辑架构展开，通过考点精析、方法指导、真题演练等环节帮助学生构建知识网络，突破抽象函数定义域、值域求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以题型分层训练和方法总结为特色，如针对抽象函数定义域提出“括号内整体范围一致”的解题策略，培养学生数学思维中的推理能力，设置基础梳理、典例精讲、拓展精练三级练习，配合真题回顾强化实战应用，能有效提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

2.1　函数的概念及其表示 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点1、函数的概念 3 知识点2、分段函数的应用 3 方法总结1、具体函数定义域的方法 3 方法总结2、抽象函数定义域的方法 3 方法总结3、求值域、最值的方法 4 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 9 题型 1：函数定义域的求解 9 题型 2：抽象函数定义域的求解 10 题型 3：定义域约束下的参数范围求解 12 题型 4：函数值域的基本求解 13 题型 5：数形结合法求解值域 17 题型 6：判别式法求解值域 20 题型 7：三角换元法求解值域 22 题型 8：值域约束下的参数范围求解 25 题型 9：换元法求解函数解析式 27 题型 10：待定系数法求解函数解析式 29 题型 11：方程组消元法求解函数解析式 31 题型 12：赋值法求解函数解析式 33 题型 13：分段函数的值域求解 34 题型 14：分段函数的参数范围求解 38 题型 15：分段函数的综合运用 42 05 课后拓展精练 46 知识点1、函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 知识点2、分段函数的应用 1、分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数. 2、分段函数的图像 在一个坐标系中根据每段的定义域和解析式依次画出每段图像, 组合在一起就是完整的分段函数图像. 方法总结1、具体函数定义域的方法 （1）分式中的分母不为 0 ； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于 0 ； （3）零指数幂的底数不为 0 ； （4）指数式的底数大于 0 且不等于 1 ； （5）对数式的底数大于 0 且不等于 1 ，真数大于 0 ； （6） 正切函数 且 . 方法总结2、抽象函数定义域的方法 原则：(1)定义域一定是的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样. ①已知的定义域是，求的定义域 解不等式，其解集就是的定义域. ②已知的定义域是，求的定义域 利用求的值域，该值域就是的定义域. ③已知的定义域是，求的定义域 利用先求出的值域，然后解不等式，其解集就是的定义域. 方法总结3、求值域、最值的方法 1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值. 2、配方法(对称轴法)：对于形如，形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成.可以结合图象完成求值域或最值. 3、换元法：代数换元法，三角换元法. 常见的模型 ①，令，则. ②，令，则； ③，令，则； ④，令，则； ⑤，令，则； ⑥令，则； ⑦令，则. ⑧，令， (或令，). ⑨时，令，； ⑩令，则. 4、图象法(数形结合法)： ①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成. ②求或的值域 ③根据函数表达式的几何意义. 5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值. 6、基本（均值）不等式法 7、有界性法：含，，，，，，的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域。 8、判别式法 形如 中至少有一个不为零） 的函数求值域. 判别式法求其值域,要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值; ②定义域是否属于 ; ③闭区间的边界值也要考查达到该值时的 是否存在; ④ 分子、分母必须是既约分式（不可约分）. 9、导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值. 1．（2026年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【解析】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 2．（2025年高考北京卷数学真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2018年上海高考数学试题）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】A选项，若，将点依次旋转后可得到函数图像上的一些点， 由图可知，当、、0时，对应了两个y值，不符合函数定义， ∴. 同理，结合图像分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义， 故选：B 4．（2017年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 题型 1：函数定义域的求解 【典例1-1】（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 【典例1-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 【变式1-1】函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得解得， 所以的定义域为． 故选A． 【变式1-2】（2026·甘肃·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使函数有意义，需使，解得或， 即函数的定义域为. 【变式1-3】（2026·高三·广东·期末）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，则， 所以函数的定义域为. 故选：C 题型 2：抽象函数定义域的求解 【典例2-1】函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确． 故选：C． 【典例2-2】（2026·高三·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的定义域为， 所以函数要有意义则：，解得：， 所以函数的定义域为：. 【变式2-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 【变式2-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因函数的定义域为，则，得 又，即，得， 故的定义域为. 故选：B 【变式2-3】（2026·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 题型 3：定义域约束下的参数范围求解 【典例3-1】已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 【典例3-2】已知函数的定义域为，求实数的取值集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，所以对恒成立， 当时，不等式为，满足题意； 当时，，解得：， 综上所述：. 故选：B. 【变式3-1】已知函数的定义域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为， 所以恒成立，则，解得， 又，解得， 所以的取值范围是， 故选：A 【变式3-2】“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】定义域为R，即恒成立，故， 由于时一定满足，但时不能得到， 所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式3-3】已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 题型 4：函数值域的基本求解 【典例4-1】（2026·高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 【典例4-2】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【解析】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 【变式4-1】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【解析】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 【变式4-2】（2026·高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 【解析】（1）因为， 故的值域为； （2）令，则， 而，则，故， 即的值域为； （3），因为，故， 所以的值域为; （4）令，则， 当时，取到最大值5，无最小值， 故的值域为； （5）因为，令, 故， 由于，故， 即函数的值域为； （6）， 当时，；当时，；当时，， 故的值域为； （7）因为恒成立，故, 则由可得， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 故的值域为； （8）， 因为，故， 当且仅当，即时等号成立， 故，即函数值域为； 题型 5：数形结合法求解值域 【典例5-1】给定函数，，.用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】A 【解析】令得 ，所以 当 时，， 当时， 综上所述，. 故选：A 【典例5-2】给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即,解得, 所以， 当时，， 当或时，, 所以函数的最大值为3， 故选：． 【变式5-1】已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由或. 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得，. 故选：B 【变式5-2】表示与中的较大者.设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】C 【解析】令得或，则， 所以函数在上单调递减，当时，， 当时，，此时， 函数在上单调递增，当时，， 故， 故选：C. 【变式5-3】已知函数，，，则（   ） A．的最小值为，最大值为2 B．的最小值为2，无最大值 C．的最小值为，无最大值 D．的最小值为，最大值为2 【答案】C 【解析】，， 当时，，解得或，， 当时，，解得，， ， 的图象为： 从图像可知，当时，取最小值为，无最大值. 故选：C. 【变式5-4】表示三个数中的最小值，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出的图像， 由图像可知， ， 由图可知 的最大值为. 故选：D. 【变式5-5】函数的最小值为_____. 【答案】3 【解析】 其几何意义为抛物线上的点到直线的距离与点的距离之和. 过点向作垂线，垂足为， 如图，，等号成立时三点共线. 所以当时，函数的最小值为3. 故答案为：3 题型 6：判别式法求解值域 【典例6-1】函数的值域是______. 【答案】 【解析】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 【典例6-2】若实数x，y满足，则x的最大值是___________. 【答案】/ 【解析】将条件变形为，，解得， 故. 故答案为： 【变式6-1】函数的值域为_____________． 【答案】 【解析】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 【变式6-2】（2026·广东茂名·二模）已知实数a，b满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】因为实数a，b满足， 所以，且. 令，则，所以， 代入，则有， 所以关于b的一元二次方程有正根， 只需，解得：. 此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得. 综上所述：. 即的最小值是（此时，解得：）. 故答案为：. 【变式6-3】已知函数的值域为，则常数______． 【答案】7或 【解析】因为，所以， ，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故答案为：7或. 题型 7：三角换元法求解值域 【典例7-1】函数的最大值为________，最小值为________． 【答案】 1 【解析】由题，得，故设， 则，相当于过A，B直线的斜率. 点B所对应图形为以原点为圆心，半径为1的在轴上侧的半圆， 如下图所示. 如图，当，即点B坐标为时，直线AB斜率最大为. 如图，当直线AB与半圆相切时，直线AB斜率最小设为， 则直线AB方程为，因其与半圆相切， 则其到圆心距离. 解得或（舍，因其大于1）. 故答案为：1； 【典例7-2】（2026·高三·全国·二轮复习）函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】令， 则， 它表示半圆上的与连线的斜率（如图所示）， 由图象得当与半圆相切时，函数取最小值， 此时,,， ， 即的最小值为. 故答案为：. 【变式7-1】已知函数，则的最大值为___________． 【答案】/1.125 【解析】函数的定义域为，设，则同号， 则 ， 则时，，即的最大值为. 故答案为：. 【变式7-2】（2026·高三·湖南·阶段检测）设函数的最大值为，最小值为，则等于（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】,令 所以，又， 所以当时，有最小值为， 当时，有最大值 ，所以. 故选：A. 题型 8：值域约束下的参数范围求解 【典例8-1】已知函数有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数在时的最大值为； 当时，， 若，函数在上单调递增，且恒成立， 此时函数在上有最大值为，满足题意； 若，函数，此时， 即函数在上有最大值为，满足题意； 若，函数在上单调递减，且， 则若使函数在上有最大值，则，解得； 综上所述，若函数有最大值，则， 故选：B. 【典例8-2】（2026·高三·北京东城·期末）设函数，若在区间上的最大值为9，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【解析】由于时，，， 故最大值9一定为，取得， 又为开区间，故一定有， 且最大值在上取到，即， 解得或5（舍去）， 故选：A 【变式8-1】已知，若函数的值域为，则a的值最小为（   ） A．e B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】当时，又，所以； 当时，函数在上单调递增，所以； 又函数的值域为，所以，解得， 所以a的值最小为1. 【变式8-2】若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解析】由题知：函数是“函数”， 所以在区间的值域为， ，，即在区间的值域为. 当时，，值域为 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在区间为增函数，值域为. 所以，则的最大值为14. 故选：C 【变式8-3】已知函数，若有最大值，则m的最大值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解析】函数， 当时，的最大值为， 当时，函数单调递增，有， 若有最大值，则，解得， 所以m的最大值为16. 故选：C 题型 9：换元法求解函数解析式 【典例9-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，因为，则， ， 所以. 【典例9-2】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，因为，则， ， 所以. 【变式9-1】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以． 故选：D. 【变式9-2】（2026·高三·全国·二轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 因为，所以． 由，可得， ∴． 故选：B． 【变式9-3】已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 题型 10：待定系数法求解函数解析式 【典例10-1】已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 【典例10-2】若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 【变式10-1】若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式10-2】（2026·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 【变式10-3】已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【解析】∵，∴且，解得， ∴，∴. 故选：C. 【变式10-4】已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 题型 11：方程组消元法求解函数解析式 【典例11-1】已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【解析】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 【典例11-2】设，函数满足，函数的解析式为______. 【答案】 【解析】由，，① 将换成得：，② ①②得：， 即， 故答案为：. 【变式11-1】已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为______. 【答案】 【解析】由得， 联立两式解得. 故答案为：. 【变式11-2】若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的零点个数为___________． 【答案】2 【解析】由已知可得，. 又分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，，， 所以有. 又， 两式相加化简可得，. 两式相减化简可得，. 所以，. 解可得，或. 所以，函数的零点个数为2. 故答案为：2. 【变式11-3】（2026·高三·河南周口·阶段检测）已知，则________. 【答案】 【解析】因为，① 所以， 所以，② ②-①可得，． 故答案为：． 题型 12：赋值法求解函数解析式 【典例12-1】（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 【答案】（任意满足条件的即可） 【解析】，则在上满足指数函数性质， 又时，，则在上是增函数，可取， 因为是偶函数，所以可取．（任意满足条件的即可） 【典例12-2】（2026·高三·北京东城·期末）已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为，且.所以当时，满足题意. 所以满足条件的一个函数解析式. 故答案为：. 【变式12-1】函数满足：对任意x、，都有，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】令，可得， 再令，可得， 解得（舍）或， 可得，解得， 所以，解得， 故答案为：. 【变式12-2】设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 【答案】 【解析】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. 故答案为：. 【变式12-3】已知函数具有下列性质：①，，；②，，当时，，则函数可能的一个解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由②可知为上的递减函数，且满足①， 故的一个解析式为． 【变式12-4】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为_________. 【答案】 【解析】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，，， 以上各式相加得． 故答案为：. 题型 13：分段函数的值域求解 【典例13-1】（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】当时，，这部分值域为； 当时，，是增函数，这部分值域为， 要使整个函数的值域为，则， 画出和的图像，可知两个函数的交点为和，且当且仅当时，成立， 因此的取值范围是. 【典例13-2】（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【答案】 （答案不唯一，取均可） 【解析】当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，符合题意 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 所以. 当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 无解，故不满足题意. 综上所述，的取值范围为，最小值为. 【变式13-1】（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】因为当时，，此时，即， 所以在时，的值域为， 函数为，令，则在时为，且增大时减小， 在时单调递增，所以单调递减， 因此在上单调递增， 此时：当时，，当时，， 所以在时，的值域为， 所以要使函数的值域为，则， 解得：，则a的取值范围是 【变式13-2】记函数在上的最大值为，则的最小值为____________，此时____________． 【答案】 / / 【解析】解法一（分类讨论）：令，则的对称轴是. (1)当时，即时，在单调递增，所以. 此时，所以； (2)当时，即时，在单调递减，所以. 此时，所以； (3)当，即时，，即. 此时. 在上单调递增，所以. 当即时，. 因为单调递减，所以，即； 当，即时，，且单调递增，所以； (4)当，即时，，即. 此时，且单调递增，所以. 综上所述，当时，的最小值为． 解法二：此题虽然是二次函数的单峰形式，但左端点为零点，故只能构造对称轴和右端点相等的情况，属于单峰非平口函数，令，且，一定有，即时，的最大值取得最小值，最小值为． 解法三（结论法秒杀）： 破解结论：已知，在求最大值的最小值时，通过切比雪夫最佳逼近线可推导出以下结论：(i)当时，的最小值为，当且仅当时等号成立；(ii)当时，的最小值为，当且仅当时等号成立． 因为根据题意，可得. 所以的最大值的最小值为，此时． 故答案为：；. 【变式13-3】若函数存在最小值，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】当时，，无最小值，所以需时，取得最小值. 当时，， 若，则在单调递减，， 则当时，在定义域内存在最小值； 若，则在上恒为，在定义域内存在最小值； 若，则在单调递增，，无最小值，则在定义域内也不存在最小值. 综上可知，若函数存在最小值，则实数的取值范围为. 故答案为： 【变式13-4】（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 【答案】150 【解析】将定义域中的五个元素分为三组，每组的元素个数可为1，1，3 或 2，2，1， 当以 1，1，3 分组时，组数为，当2，2，1分组时，组数为， 所以可以组成的函数个数为. 题型 14：分段函数的参数范围求解 【典例14-1】（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 【典例14-2】（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 【变式14-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 【变式14-2】（2026·山东济南·三模）已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 又因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 由题意可知：，即， 令，，则， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为. 【变式14-3】（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得； 若，存在最大值； 若，则当时， 的最大值为， 所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 【变式14-4】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 题型 15：分段函数的综合运用 【典例15-1】（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 【答案】AB 【解析】A：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确. B：函数定义域为，关于原点对称， 若，则，， 若，则，， ∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确. C：令，在上，， 当时，，不满足单调递增的定义，故C错误. D：取，满足， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时，故D错误. 【典例15-2】（多选题）（2026·高三·陕西西安·期中）已知函数f(x)=，则下列判断正确的是（） A．是奇函数 B．的图象与直线有两个交点 C．的值域是 D．在内是增函数 【答案】CD 【解析】如图所示，作出函数图象， 显然图象不关于原点中心对称，故A不正确； 函数图象与直线有一个交点，故B错误； 函数的值域为，且在区间上是增函数，即C、D正确； 故选：CD 【变式15-1】（多选题）（2026·高三·山东枣庄·阶段检测）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ABC 【解析】对于A:由题，故A正确； 对于B:当时，，解得（舍去）； 当时，，又，，故B正确； 对于C: 当时，； 当时，. 故的值域为，故C正确； 对于D: 当时，，解得； 当时，解得. 综上的解集为， 故D不正确. 故选：ABC 【变式15-2】（多选题）（2026·高三·江苏扬州·开学考试）设，函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，方程有两个实数根 C．当时，函数存在最大值 D．当时，函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】选项 A：代入 ，函数为： 当 时，，故 ； 当 时，（等号在 时成立）； 当 时，（因为 ，故 ），故选项 A 正确. 选项 B：当 时，，解得 ； 由于 ，有 ，故 ，满足条件，是一个根； 当 时，，即 ， 由于 ，有 ，故 ，无实数解； 当 时，，即 ，解得 ， 但 ，而 ，不满足条件，故选项 B 错误. 选项 C：当 时，，值域是； 当 时，，这是一个开口向下的抛物线， 在 处取最大值 ； 当 时，，因为 ，所以； 比较各段：在 段，（因为 时 ）； 在 段，；在 段，. 因此，的最大值在 处取，值为 ，故选项 C 正确. 选项 D：当 时，，故函数在区间上单调递增； 当 时，，这是一个开口向下的抛物线，对称轴为： ， 故函数在区间上单调递增； 考虑分段点 ：当时，， 因此，函数在 上单调递增，故选项 D 正确. 故选：ACD 【变式15-3】（多选题）（2026·高三·重庆·阶段检测）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【解析】根据函数的解析式可知，定义域是全体实数，值域为，故AB正确； 当是有理数时，是有理数，， 当是无理数时，是无理数，，所以是偶函数，故C正确； 因为，所以不是单调函数，故D错误； 故选：ABC． 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由条件可知，，即，，得， 解得：. 2．（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【解析】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 3．（2026·江苏南京·三模）已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 4．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 5．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】图像如图． 设 则． 所以， ，， 设 ，则．所以在上单调递增． ， ． 所以时，． 6．（2026·山西晋城·三模）若函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，. 7．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【解析】由题意得：当时，， 所以， 则. 8．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 9．（多选题）（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C．当时， D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【解析】对于A选项，， 因为，则，可得，所以，所以A错误； 对于B选项，函数的定义域为，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，因为 ，故该函数在单调递减， 又由B知该函数为偶函数，且，即， 所以，所以D正确. 10．（多选题）（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 【答案】ABC 【解析】因为， 对于A：因为的对称中心为，将其向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，所以对称中心变为，故A正确； 对于B：任取上一点，其关于直线的对称点为， 而， 因此其对称点也在上，所以的图象关于对称，故B正确； 对于C：因为，所以， 即的值域为，故C正确； 对于D：的定义域为，它仅在区间和上分别单调递减， 不能说在整个定义域上单调递减，例如：取， 有，不符合单调递减定义，故D错误. 11．（多选题）（2026·河北石家庄·一模）已知函数，则（ ） A． B．函数的零点为 C．曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D．若，且，则 【答案】AC 【解析】已知，所以，解得，A正确； 所以，令（），则， 化简得，即，解得，B错误； 对求导得，其中， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 设切线倾斜角为，则斜率，又， 所以，故倾斜角不小于，C正确； 由知：在和上单调递增， 但不能直接得出，且时，， 如，时，，D错误. 12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，集合，则函数共有____个；若函数满足：，使得，则符合该条件的函数 共有____个. 【答案】 1024 570 【解析】空一：函数，集合有5个元素，集合有4个元素， 则每个自变量都有4种取值可能，因此总个数为 空二：条件，使得. 由于，差为3的唯一可能是， 因此必须有某个自变量取值为9，另一个自变量取值为6，即函数值域中必须同时包含6和9. 计算满足“值域同时包含6和9”的函数个数，函数总个数为，用容斥原理： 函数值域中不含6：每个自变量只能取，共个； 函数值域中不含9：每个自变量只能取，共个； 函数值域中既不含6也不含9：只能取 ，共个. 由容斥原理，函数值域中同时含有6和9的函数个数为 . 因此符合该条件的函数 共有个. 13．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 【答案】 【解析】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． 14．（2026·贵州安顺·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数的解析式：_____________．（答案不唯一） ①；②恰有两个不同的零点；③． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由，积分得（为常数）， 由恰有两个零点，得，即， 由，得，即， 取，得满足条件的一个函数解析式：． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1　函数的概念及其表示 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点1、函数的概念 3 知识点2、分段函数的应用 3 方法总结1、具体函数定义域的方法 3 方法总结2、抽象函数定义域的方法 3 方法总结3、求值域、最值的方法 4 03 真题回顾 6 04 经典题型归纳总结 7 题型 1：函数定义域的求解 7 题型 2：抽象函数定义域的求解 7 题型 3：定义域约束下的参数范围求解 8 题型 4：函数值域的基本求解 8 题型 5：数形结合法求解值域 10 题型 6：判别式法求解值域 11 题型 7：三角换元法求解值域 11 题型 8：值域约束下的参数范围求解 11 题型 9：换元法求解函数解析式 12 题型 10：待定系数法求解函数解析式 13 题型 11：方程组消元法求解函数解析式 13 题型 12：赋值法求解函数解析式 14 题型 13：分段函数的值域求解 14 题型 14：分段函数的参数范围求解 15 题型 15：分段函数的综合运用 16 05 课后拓展精练 18 知识点1、函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 知识点2、分段函数的应用 1、分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数. 2、分段函数的图像 在一个坐标系中根据每段的定义域和解析式依次画出每段图像, 组合在一起就是完整的分段函数图像. 方法总结1、具体函数定义域的方法 （1）分式中的分母不为 0 ； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于 0 ； （3）零指数幂的底数不为 0 ； （4）指数式的底数大于 0 且不等于 1 ； （5）对数式的底数大于 0 且不等于 1 ，真数大于 0 ； （6） 正切函数 且 . 方法总结2、抽象函数定义域的方法 原则：(1)定义域一定是的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样. ①已知的定义域是，求的定义域 解不等式，其解集就是的定义域. ②已知的定义域是，求的定义域 利用求的值域，该值域就是的定义域. ③已知的定义域是，求的定义域 利用先求出的值域，然后解不等式，其解集就是的定义域. 方法总结3、求值域、最值的方法 1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值. 2、配方法(对称轴法)：对于形如，形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成.可以结合图象完成求值域或最值. 3、换元法：代数换元法，三角换元法. 常见的模型 ①，令，则. ②，令，则； ③，令，则； ④，令，则； ⑤，令，则； ⑥令，则； ⑦令，则. ⑧，令， (或令，). ⑨时，令，； ⑩令，则. 4、图象法(数形结合法)： ①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成. ②求或的值域 ③根据函数表达式的几何意义. 5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值. 6、基本（均值）不等式法 7、有界性法：含，，，，，，的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域。 8、判别式法 形如 中至少有一个不为零） 的函数求值域. 判别式法求其值域,要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值; ②定义域是否属于 ; ③闭区间的边界值也要考查达到该值时的 是否存在; ④ 分子、分母必须是既约分式（不可约分）. 9、导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值. 1．（2026年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 2．（2025年高考北京卷数学真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2018年上海高考数学试题）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 4．（2017年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 题型 1：函数定义域的求解 【典例1-1】（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·甘肃·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高三·广东·期末）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 题型 2：抽象函数定义域的求解 【典例2-1】函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高三·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型 3：定义域约束下的参数范围求解 【典例3-1】已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知函数的定义域为，求实数的取值集合（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数的定义域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 4：函数值域的基本求解 【典例4-1】（2026·高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例4-2】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【变式4-1】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【变式4-2】（2026·高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 题型 5：数形结合法求解值域 【典例5-1】给定函数，，.用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 【典例5-2】给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-2】表示与中的较大者.设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．3 【变式5-3】已知函数，，，则（   ） A．的最小值为，最大值为2 B．的最小值为2，无最大值 C．的最小值为，无最大值 D．的最小值为，最大值为2 【变式5-4】表示三个数中的最小值，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】函数的最小值为_____. 题型 6：判别式法求解值域 【典例6-1】函数的值域是______. 【典例6-2】若实数x，y满足，则x的最大值是___________. 【变式6-1】函数的值域为_____________． 【变式6-2】（2026·广东茂名·二模）已知实数a，b满足，则的最小值是__________. 【变式6-3】已知函数的值域为，则常数______． 题型 7：三角换元法求解值域 【典例7-1】函数的最大值为________，最小值为________． 【典例7-2】（2026·高三·全国·二轮复习）函数的最小值为___________. 【变式7-1】已知函数，则的最大值为___________． 【变式7-2】（2026·高三·湖南·阶段检测）设函数的最大值为，最小值为，则等于（    ） A． B． C．3 D．2 题型 8：值域约束下的参数范围求解 【典例8-1】已知函数有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2026·高三·北京东城·期末）设函数，若在区间上的最大值为9，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式8-1】已知，若函数的值域为，则a的值最小为（   ） A．e B．2 C．1 D． 【变式8-2】若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式8-3】已知函数，若有最大值，则m的最大值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 题型 9：换元法求解函数解析式 【典例9-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·高三·全国·二轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型 10：待定系数法求解函数解析式 【典例10-1】已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【典例10-2】若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2026·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【变式10-4】已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型 11：方程组消元法求解函数解析式 【典例11-1】已知函数对任意的都有，则________． 【典例11-2】设，函数满足，函数的解析式为______. 【变式11-1】已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为______. 【变式11-2】若分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则函数的零点个数为___________． 【变式11-3】（2026·高三·河南周口·阶段检测）已知，则________. 题型 12：赋值法求解函数解析式 【典例12-1】（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 【典例12-2】（2026·高三·北京东城·期末）已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 【变式12-1】函数满足：对任意x、，都有，则不等式的解集为______． 【变式12-2】设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 【变式12-3】已知函数具有下列性质：①，，；②，，当时，，则函数可能的一个解析式为______． 【变式12-4】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为_________. 题型 13：分段函数的值域求解 【典例13-1】（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 【典例13-2】（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【变式13-1】（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【变式13-2】记函数在上的最大值为，则的最小值为____________，此时____________． 【变式13-3】若函数存在最小值，则实数的取值范围为___________． 【变式13-4】（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 题型 14：分段函数的参数范围求解 【典例14-1】（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【典例14-2】（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2026·山东济南·三模）已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-4】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型 15：分段函数的综合运用 【典例15-1】（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 【典例15-2】（多选题）（2026·高三·陕西西安·期中）已知函数f(x)=，则下列判断正确的是（） A．是奇函数 B．的图象与直线有两个交点 C．的值域是 D．在内是增函数 【变式15-1】（多选题）（2026·高三·山东枣庄·阶段检测）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的值域为 D．的解集为 【变式15-2】（多选题）（2026·高三·江苏扬州·开学考试）设，函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，方程有两个实数根 C．当时，函数存在最大值 D．当时，函数在区间上单调递增 【变式15-3】（多选题）（2026·高三·重庆·阶段检测）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．是单调函数 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 3．（2026·江苏南京·三模）已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 5．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山西晋城·三模）若函数则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 8．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C．当时， D．，不等式恒成立 10．（多选题）（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 11．（多选题）（2026·河北石家庄·一模）已知函数，则（ ） A． B．函数的零点为 C．曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D．若，且，则 12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，集合，则函数共有____个；若函数满足：，使得，则符合该条件的函数 共有____个. 13．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 14．（2026·贵州安顺·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数的解析式：_____________．（答案不唯一） ①；②恰有两个不同的零点；③． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $