暑假专题训练：图形与几何（专项训练）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

北师大版六年级下册数学暑假专题训练：图形与几何 一、选择题 1．一个圆柱和圆锥的底面积之比是1∶3，它们的高相等，这个圆柱与圆锥的体积之比是（    ）。 A．1∶3 B．1∶1 C．4∶1 D．3∶1 2．如下图，图中阴影部分的面积占全部图形的（    ）。 A． B． C． D． 3．在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）。 A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 4．把一个周长是31.4cm的圆片，剪成两个相同的半圆，这个半圆的周长是（    ）cm。 A．15.7 B．25.7 C．31.4 D．20.7 5．如下图，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD。取AB的中点M和BC的中点N，剪掉三角形MBN，得五边形AMNCD。则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（    ）。 A． B． C． D． 6．一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积与圆锥的体积比是（    ）。 A．3∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 二、填空题 7．等底等高的一个圆柱和一个圆锥，体积相差36立方厘米，这个圆柱体的体积是( )立方厘米，圆锥体的体积是( )立方厘米。 8．一个直角三角形，两个锐角的度数比是3∶2，较小的锐角是( )度。 9．用圆规画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两脚间的距离是( )厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 10．音乐光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是1厘米，外圆直径是10厘米，外圆周长是( )分米，圆环的面积是( )平方厘米。 11．一个半圆的半径是2cm，它的周长是( )cm，面积是( )。 12．一个长方形和一个圆的周长相等。已知长方形的长10米，宽5.7米。长方形的面积是( )平方米，圆的面积是( )平方米。 13．一张CD碟片的周长是37.68厘米，它的面积是( )平方厘米。 14．如图，把一个平行四边形分成四个部分，其中三角形c的面积占平行四边形的三分之一，三角形b的面积是8平方厘米，则这个平行四边形的面积是 平方厘米。 15．用棱长是1厘米的小正方体拼成如图。这个图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 16．下图中，甲的体积( )乙的体积，甲的表面积( )乙的表面积。（图中所有小正方体大小一样） 17．一条长方体木块，从上部截去高5厘米的长方体，剩下部分是正方体。表面积减少了120平方厘米，那么原来长方体的体积是( )立方厘米。 18．一块正方形草地，边长8米，用一根长3.5米的绳拴住一只羊到草地上吃草，羊最多能吃到( )平方米的草。（） 三、判断题 19．一个圆的直径增加1倍后，它的面积是原来的4倍。( ) 20．角不是轴对称图形。( ) 21．三个角的度数比是1∶1∶2的三角形，一定是等腰直角三角形。( ) 22．两根8厘米和一根17厘米的铁丝可以围成一个等腰三角形。( ) 23．两张完全相同的长方形纸，用两种不同的方法分别围成圆柱筒，这两个圆柱筒的侧面积相等。 ( ) 四、计算题 24．求阴影部分的面积。 25．计算（1）的表面积和（2）的体积。 （1）    （2） 五、解答题 26．一块长方形硬纸板，长9分米，宽6分米，四个角分别剪去一个边长为2分米的正方形，然后做成一个长方体的无盖的盒子，这个盒子的体积是多少立方分米？ 27．把一个长方体木块截成两个完全一样的正方体（如图），这两个正方体的棱长之和比原来长方体增加了48厘米，原来长方体木块的表面积是多少平方厘米？ 28．一根自来水管的内直径是2厘米，水管内水流速度为每秒10厘米。如果洗手后忘记关水龙头，10分才发现，这期间浪费了多少升水？ 29．为了抗旱，东东家挖了一个从里面量底面直径为6米，深为2米的圆柱形蓄水池，现在要用水泥涂抹蓄水池的内壁与底部，以防止漏水。如果每平方米需要6千克水泥，涂抹这个蓄水池需要多少千克水泥？ 30．陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】假设出圆柱的底面积和高，利用“圆柱的体积＝底面积×高”“圆锥的体积＝×底面积×高”表示出圆柱和圆锥的体积，最后求出圆柱与圆锥的体积比。 【详解】假设圆柱的底面积为S，高为h，则圆锥的底面积为3S。 圆柱的体积： 圆锥的体积：＝ 圆柱的体积∶圆锥的体积＝∶＝1∶1 故答案为：B 【点睛】掌握圆柱和圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 2．B 【分析】根据图形可知，阴影部分是三角形，理清三角形的底和高与长方形的长和宽之间的关系，即三角形的高和长方形的宽相等，假设小正方形的边长为1，则长方形的长为4，宽为1，三角形的底边长是2，高为1，再根据面积公式求出三角形和长方形的面积公式，再用三角形的面积除以长方形的面积即可得解。 【详解】假设小正方形的边长是1， 则长方形的长为4，宽为1，三角形的底边长是2，高为1， 三角形面积＝2×1×＝1 长方形面积＝4×1＝4 1÷4＝ 即图中阴影部分的面积占全部图形的。 故答案为：B 【点睛】此题考查的目的是掌握分数的意义及运用，采用赋值法，注意图形中三角形和长方形的边的关系及面积公式的运用。 3．D 【分析】由图可知，平行四边形、三角形、梯形的高相等，利用“平行四边形的面积＝底×高”“三角形的面积＝底×高÷2”“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出三个图形的面积，最后比较大小，据此解答。 【详解】假设平行四边形、三角形、梯形的高为h。 平行四边形的面积：4h 三角形的面积：8h÷2＝4h 梯形的面积：（2＋6）h÷2 ＝8h÷2 ＝4h 因为4h＝4h＝4h，所以三个图形的面积相等。 故答案为：D 【点睛】掌握平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是解答题目的关键。 4．B 【分析】半圆的周长＝整圆的周长的一半＋一条直径的长度，据此解答即可。 【详解】31.4÷2＋31.4÷3.14 ＝15.7＋10 ＝25.7（cm） 这个半圆的周长是25.7cm。 故答案为：B 【点睛】本题考查半圆的周长，明确半圆的周长＝整圆的周长的一半＋一条直径的长度是解题的关键。 5．D 【分析】由原图和折叠过程可知得到的图形是一个轴对称图形，从最终的图形向前推出剪去的三角形在原图中的位置，根据还原后的图形找出正确的选项，据此解答。 【详解】 由图可知，将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，可以用正方形纸片按照题中的折叠过程动手操作实践一下，即可得出正确结论。 6．B 【分析】因为一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，所削的圆锥和圆柱是等底等高的，所以根据圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的，即削去的体积是圆柱体积的（1－）；然后写出相应的比即可。 【详解】（1－）∶ ＝∶ ＝2∶1 所以，一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积与圆锥的体积比是：2∶1。 故答案为：B 【点睛】此题解题的关键是明确：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的，然后结合题意进行解答即可。 7． 54 18 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差2个圆锥的体积。据此，用36立方厘米除以2，求出圆锥的体积，再将其乘3，求出圆柱的体积即可。 【详解】36÷2＝18（立方厘米） 18×3＝54（立方厘米） 即这个圆柱体的体积是54立方厘米，圆锥体的体积是18立方厘米。 【点睛】本题考查了圆柱和圆锥体积的关系，圆柱的体积是和它等底等高圆锥体积的3倍。 8．36 【分析】在直角三角形中，两个锐角度数之和为90°，先用90°除以（3＋2）求出一份数，再乘最小的2份，即可求出较小锐角的度数；据此解答。 【详解】90÷（3＋2）×2 ＝90÷5×2 ＝18×2 ＝36° 所以，一个直角三角形，两个锐角的度数比是3∶2，较小的锐角是36度。 【点睛】此题考查了按比分配的应用以及直角三角形内角度数的认识。 9． 5 78.5 【分析】根据尺规画圆的方法可知，两脚间的距离就是这个圆的半径，由此先利用圆的周长公式求出半径：r＝C÷π÷2，再利用圆的面积公式：S＝πr2，将数值代入计算即可。 【详解】用圆规画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两脚间的距离是： 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 这个圆的面积是： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝ 78.5（平方厘米） 【点睛】此题考查圆的周长与面积公式的灵活应用。 10． 3.14 75.36 【分析】根据圆的周长公式C＝πd，求出外圆的周长，注意单位的换算：1分米＝10厘米； 根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出圆环的面积。 【详解】3.14×10＝31.4（厘米） 31.4厘米＝3.14分米 10÷2＝5（厘米） 3.14×（52－12） ＝3.14×（25－1） ＝3.14×24 ＝75.36（平方厘米） 外圆周长是3.14分米，圆环的面积是75.36平方厘米。 【点睛】掌握圆的周长、圆环的面积公式是解题的关键。 11． 10.28 6.28 【分析】根据半圆的周长＝πr＋2r，半圆的面积＝πr2÷2，列式计算即可。 【详解】3.14×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（cm） 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（） 它的周长是10.28cm，面积是6.28。 【点睛】关键是掌握并灵活运用半圆的周长和面积公式。 12． 57 78.5 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，据此求出长方形的面积；再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此求出长方形的周长也就是圆的周长，再根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆的半径，最后根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【详解】10×5.7＝57（平方米） （10＋5.7）×2 ＝15.7×2 ＝31.4（米） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 3.14×52＝78.5（平方米） 则长方形的面积是57平方米，圆的面积是78.5平方米。 【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。 13．113.04 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出圆的面积即可。 【详解】37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 3.14×62＝113.04（平方厘米） 【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。 14．48 【分析】由等底的图形面积大小及乘法分配律的应用，得到b的面积＋c的面积＝平行四边形的面积×，三角形c的面积占平行四边形的三分之一，由此可以求出b的面积占平行四边形的面积的分率，又由于b的面积是8平方厘米，根据分数除法的意义，进而可求出平行四边形的面积。 【详解】根据分析得，b的面积＝平行四边形的面积×－平行四边形的面积× 即平行四边形的面积＝b的面积÷（－） 8÷（－） ＝8÷（－） ＝8÷ ＝48（平方厘米） 即这个平行四边形的面积是48平方厘米。 【点睛】此题主要考查平行四边形的面积，三角形的面积，找出b的面积、c的面积、平行四边形的面积之间的关系是解题的关键。 15． 24 6 【分析】这个立体图形的每个面都是小正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出每个小正方形的面积；观察这个立体图形的上、下面都是5个面，左、右面都是3个面，前、后面都是4个面，据此算出小正方形的总个数，再乘每个小正方形的面积，即是这个立体图形的表面积； 这个立体图形是由6个小正方体组成的，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出每个小正方体的体积，再乘6即可。 【详解】小正方形的个数： （5＋4＋3）×2 ＝12×2 ＝24（个） 这个图形的表面积是： 1×1×24＝24（平方厘米） 这个图形的体积： 1×1×1×6＝6（立方厘米） 【点睛】掌握不规则的立体图形的表面积、体积的计算方法是解题的关键。 16． 大于 等于 【分析】物体所占空间的大小就是体积；乙比甲少了一小块正方体，所以甲的体积大于乙的体积；乙比完整的正方体少了3个面但又增加了3个面的面积，所以乙的表面积与甲的表面积相等。 【详解】由分析可知： 甲的体积大于乙的体积，甲的表面积等于乙的表面积。 【点睛】本题考查体积和表面积，明确体积和表面积的定义是解题的关键。 17．396 【分析】根据长方体的特点，相对的面面积相等，从上部截去高5厘米的长方体后剩下是正方体，可知底面是正方形，表面积减少了120平方厘米，减少的只是前后左右的4个相等侧面积，用120÷4＝30厘米，求出减少的一个侧面，再除以截去部分的高，就可以求出剩下部分正方体的棱长，据此求出底面积，再用底面棱长加上截去的高，就是原来长方体的高，据此解答。 【详解】由题意可知底面是正方形，底面边长为： 120÷4÷5 ＝30÷5 ＝6（厘米） 原来的体积： 6×6×（5＋6） ＝36×11 ＝396（立方厘米） 【点睛】本题考查长方体的体积计算，解答的关键是理解表面积减少的只是侧面积，只要求出剩下部分正方体的棱长，再根据长方体体积公式，即可解答。 18．38.465 【分析】根据题意，羊最多能吃草的面积是一个以绳子为半径的圆形面积，因此求羊最多能吃到草面积就是半径为3.5米的圆形面积，根据公式：S＝πr2，代入数据计算；结果注意检查结果是否小于正方形的面积。 【详解】3.5×3.5×3.14 ＝12.25×3.14 ＝38.465（平方米） 8×8＝64（平方米），38.465平方米＜64平方米，3.5×2＝7（米），7米＜8米； 因此，羊最多能吃到38.465平方米的草。 【点睛】此题考查了正方形里面画圆的面积计算，关键是能够理解吃草面积是圆形，绳子是圆形的半径，再用公式求解。 19．√ 【分析】根据题意，设圆的直径为d，增加1倍后的直径为2d，根据圆的面积公式可分别计算出直径增加前和增加后圆的面积，然后再用增加后的面积除以原来的面积即可。 【详解】设圆的直径为d，圆的半径为，增加1倍后的直径为2d，圆的半径为d 原来的面积为：π（）2 增加后的面积为：πd2 所以πd2÷π（）2＝4 【点睛】本题考查了圆的面积知识，完成本题要在了解圆的面积公式的基础上进行。 20．× 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断。 【详解】由分析可得：角是轴对称图形，故原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合。 21．√ 【分析】判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分成1＋1＋2＝4份，最大角占总和的，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可。 【详解】180°×＝90° 根据三个角的度数比是1∶1∶2可知，有两个角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形，最大的角又是90度，所以这个三角形又是一个等腰直角三角形，原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形。 22．× 【分析】根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可解答。 【详解】8＋8＝16 16＜17 所以两根8厘米、一根17厘米长的铁丝首尾相接不能围成一个等腰三角形，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题是考查了三角形三边关系的应用。 23．√ 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。据此判断。 【详解】两张完全相同的长方形纸，用两种不同的方法分别围成圆柱筒，这两个圆柱筒的侧面积都与原长方形纸面积相等。 故答案为：√ 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用。 24．34.83cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝长是9×2cm，宽是9cm的长方形面积－半径是9cm圆的面积的一半；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；圆的面积公式：面积＝π×半径2；代入数据，即可解答。 【详解】（9×2）×9－3.14×92÷2 ＝18×9－3.14×81÷2 ＝162－254.34÷2 ＝162－127.17 ＝34.83（cm2） 25．（1）251.2cm2；（2）1177.5cm3 【分析】（1）从图中可知，小圆柱和大圆柱有重合部分，把小圆柱的上底面向下平移到重合处，补给大圆柱的上底面，这样大圆柱的表面积是完整的，而小圆柱只需计算侧面积； 组合图形的表面积＝小圆柱的侧面积＋大圆柱的侧面积＋大圆柱的2个底面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 （2）组合图形的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】（1）小圆柱的侧面积： 3.14×4×2 ＝3.14×8 ＝25.12（cm2） 大圆柱的侧面积： 3.14×8×5 ＝3.14×40 ＝125.6（cm2） 大圆柱的2个底面积： 3.14×（8÷2）2×2 ＝3.14×16×2 ＝3.14×32 ＝100.48（cm2） 组合图形的表面积： 25.12＋125.6＋100.48 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（cm2） （2）圆锥的体积： ×3.14×（10÷2）2×9 ＝×3.14×25×9 ＝3.14×75 ＝235.5（cm3） 圆柱的体积： 3.14×（10÷2）2×12 ＝3.14×25×12 ＝3.14×300 ＝942（cm3） 组合图形的体积： 235.5＋942＝1177.5（cm3） 26．20立方分米 【分析】由题意可知，该长方体的长是9－2×2＝5分米，宽是6－2×2＝2分米，高是2分米，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（9－2×2）×（6－2×2）×2 ＝5×2×2 ＝10×2 ＝20（立方分米） 答：这个盒子的体积是20立方分米。 【点睛】本题考查长方体的体积，明确该长方体的长、宽和高是解题的关键。 27．360平方厘米 【分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加2个面，增加了8条棱，因为分成后的两个正方体的棱长之和比原长方体增加48厘米，即增加的8条棱的长度和是48厘米，进而用48÷8＝6厘米得出一条棱的长度，则原长方体的长是6×2＝12厘米，宽和高都是6厘米，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此计算即可。 【详解】48÷8＝6（厘米） 6×2＝12（厘米） （12×6＋12×6＋6×6）×2 ＝（72＋72＋36）×2 ＝180×2 ＝360（平方厘米） 答：原来长方体木块的表面积是360平方厘米。 【点睛】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了8条棱，然后根据题中给出的条件，求出一条棱的长度，进而根据长方体的表面积计算公式进行解答。 28．18.84升 【分析】由题意可知，把水的体积看作是一个圆柱形，根据速度×时间＝路程，据此求出水的高度，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【详解】10分＝600秒 3.14×（2÷2）2×（10×600） ＝3.14×1×6000 ＝18840（立方厘米） ＝18.84（立方分米） ＝18.84（升） 答：这期间浪费了18.84升水。 【点睛】本题考查圆柱的体积，熟记公式是解题的关键。 29．395.64千克 【分析】由题意，抹水泥的是圆柱侧面积和一个底面积，根据公式计算出面积，再乘6即可。 【详解】 （千克） 答：涂抹这个蓄水池需要395.64千克水泥。 【点睛】明确涂抹水泥的面的面积是解题关键。 30．113.04立方厘米 【分析】由题干可知，圆柱和圆锥是等底的，求圆柱和圆锥的体积之和就是陀螺的体积。分别利用圆柱和圆锥的体积公式求解即可。 【详解】3.14×（6÷2）2×3＋×3.14×（6÷2）2×3 ＝3.14×32×3＋×3×3.14×32 ＝3.14×9×3＋3.14×9 ＝84.78＋28.26 ＝113.04（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是113.04立方厘米。 【点睛】此题考查的是圆柱和圆锥的体积公式的应用，熟记公式是解题关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$