精品解析：天津市静海区唐官屯中学2025-2026学年第二学期第二次阶段性检测高二数学试卷

唐官屯中学2025-2026学年度第二学期第二次阶段性检测 高二数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页.试卷满分120分.考试时间100分钟. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则下列结论中正确的是 A. A⊆B B. A∩B＝{2} C. A∪B＝{1，2，3，4，5} D. A∩（）＝{1} 2. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 函数的单调递减区间为 A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 5. 在二项式的展开式中，的系数为（ ） A. -60 B. 60 C. -30 D. 30 6. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 7 C. 21 D. 22 9. 对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，y的估计值为（ ） x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A. 210 B. 210.5 C. 211.5 D. 212.5 10. 已知为随机变量X和Y的样本相关系数，为随机变量M和N的样本相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则X和Y负相关 B. 若，则M和N线性不相关 C. 若，，则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D. 若越接近1，则M和N的线性相关程度越弱 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 11. 已知集合，，则______． 12. 不等式的解集为______． 13. 设复数z满足（i为虚数单位），则________ 14. 曲线在点处的切线方程为__________． 15. 的展开式中的常数项为_____ 16. 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是__________．（用数字作答） 17. 在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 18. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 19. 某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则___________. 20. 已知的展开式中的系数为5，则______． 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知． （1）求的值； （2）求的值； 22. 已知. （1）当时，求： ①展开式中的中间一项； ②展开式中常数项的值； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大，求展开式中含项的系数. 23. 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7， （1）求甲同学到第三天才预约成功的概率； （2）记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望. 24. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （1）设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列； （2）设Y表示取到的粽子的种类数，求Y的分布列． 25. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐官屯中学2025-2026学年度第二学期第二次阶段性检测 高二数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页.试卷满分120分.考试时间100分钟. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则下列结论中正确的是 A. A⊆B B. A∩B＝{2} C. A∪B＝{1，2，3，4，5} D. A∩（）＝{1} 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为但，所以A不对，因为，所以B不对，因为，所以C不对，经检验，D是正确的，故选D． 考点：集合的运算． 2. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入计算可得结果. 【详解】由可得， 令可得，解得. 故选：C 3. 函数的单调递减区间为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导，得（）,令，解得， 因此函数的单调减区间为，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 4. 甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【详解】先对甲进行排序，有3种不同的选择， 再对其他3人进行全排列，有种不同方法， 则一共有种不同名次排列. 5. 在二项式的展开式中，的系数为（ ） A. -60 B. 60 C. -30 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出二项展开式的通项公式，再令x的指数为4求解. 【详解】∵二项式的展开式的通项公式为：； 令可得：； 故选：B. 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题. 6. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 7. 已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将转化为的取值范围，再利用离散型随机变量分布列的概率性质计算对应概率和即可. 【详解】由，解得，即， 利用分布列性质：离散型随机变量所有取值的概率之和为1， 因此， 即. 8. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. 7 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 9. 对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，y的估计值为（ ） x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A. 210 B. 210.5 C. 211.5 D. 212.5 【答案】C 【解析】 【分析】求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当时，的估计值． 【详解】由题意可知：， ． ∵回归直线方程经过样本中心，∴，， 回归直线方程为：， 当时，的估计值为：． 故选：C． 10. 已知为随机变量X和Y的样本相关系数，为随机变量M和N的样本相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则X和Y负相关 B. 若，则M和N线性不相关 C. 若，，则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D. 若越接近1，则M和N的线性相关程度越弱 【答案】B 【解析】 【分析】利用，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，结合每个选项的条件逐项判断即可. 【详解】A，若，则X和Y正相关，故A错误； B，若，则M和N线性不相关，故B正确； C，若，，则， 所以X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度弱，故C错误； D，若越接近1，则M和N的线性相关程度越强，故D错误. 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 11. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用交集运算得答案． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题． 12. 不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法计算即可. 【详解】由，得，即， 得且，解得或， 所以原不等式的解集为或． 故答案为：或 13. 设复数z满足（i为虚数单位），则________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，即， 可得，所以. 14. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求得函数y的导数，可得x＝1处切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】y＝x3的导数为y′＝3x2， 即有曲线在x＝1处的切线的斜率为5， 切线方程为y+1＝5（x﹣1）， 即为5x﹣y﹣6＝0， 故答案为5x﹣y﹣6＝0． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的应用，考查运算能力，属于基础题． 15. 的展开式中的常数项为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先出展开式的通项，令指数等于，求得的值，即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 令可得， 所以常数项为， 故答案为：. 16. 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是__________．（用数字作答） 【答案】-160 【解析】 【详解】的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数为 故答案为-160. 17. 在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据超几何分布概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】满足超几何分布，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查利用超几何分布概率计算公式计算事件的概率，属于基础题. 18. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 19. 某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率的概率公式即可求解. 【详解】由题意可得：，，， 由条件概率公式可得， 故答案为：. 20. 已知的展开式中的系数为5，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据产生的两种可能分别得到其系数的等式解出． 【详解】因为的展开式中的系数为5，则，即，解得； 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知． （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令代入等式求出结果； （2）令 代入等式，再结合第一问等式组成方程组求出结果. 【小问1详解】 令 ，得  【小问2详解】 令 ，得 . 两式相加得 ， 即 . 令 ，得  ， 所以 。 22. 已知. （1）当时，求： ①展开式中的中间一项； ②展开式中常数项的值； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大，求展开式中含项的系数. 【答案】（1）①；②；（2）. 【解析】 【分析】（1）当时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值； （2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于求出的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含项的系数． 【详解】（1）①当时，的展开式共有项， 展开式中的中间一项为； ②展开式的通项公式为， 令，得，所求常数项的值为； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于， 而展开式中各项系数之和为，各二项式系数之和为， 则，即，解得. 所以，展开式通项为， 令，解得，因此，展开式中含项的系数为. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 23. 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7， （1）求甲同学到第三天才预约成功的概率； （2）记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列如下： 2 3 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的概率求和公式可得答案. （2）求出随机变量的可能取值和概率可得答案； 【小问1详解】 设甲同学到第三天才预约成功的事件为， 根据独立事件的乘法公式，； 【小问2详解】 随机变量的可能取值为， ， ， ， 2 3 ； 24. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （1）设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列； （2）设Y表示取到的粽子的种类数，求Y的分布列． 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 1 2 3 （2）的分布列为：【解析】 【分析】（1）确定的所有可能取值，结合古典概型和组合数计算各取值对应的概率，即可得到的分布列； （2）确定的所有可能取值，先计算取1类、3类的概率，再利用对立事件的概率计算公式求取2类的概率，即可得到分布列. 【小问1详解】 依题意，的可能取值为0，1，2，从10个粽子中任取3个包含的基本事件的个数为. ； ； . 所以X的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】依题意的所有可能取值为1，2，3. ； ； . 所以Y的分布列为： 1 2 3 25. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切线的斜率，然后根据函数值求出切线方程即可. （2）对函数求导，判断函数在区间上的单调性，求出极值和端点的函数值，从而求得函数的最值. （3）对函数求导，判断单调性，画出图象，从而得到的范围. 【小问1详解】 因为， 所以；，， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 令，即，解得或， 在区间上，的单调递增区间为，递减区间为， 且，，； 所以当时，最大值为， 所以当时，最小值为. 【小问3详解】 c的取值范围为. 因为函数有三个零点，所以方程有三个根. 对函数求导得. 当或时，；当时，. 所以函数在单调递增，在上单调递减， 当时，；；；当时， 画出图象为： 要使函数有三个零点，则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $