解题大招20 点击函数问题的三大秘技：中值求和、同构、凹凸性（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以中值求和、同构、凹凸性三大秘技为核心，构建函数问题系统性解题方法体系，通过模型化提炼与高考真题适配，培养数学思维与理性精神。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中值求和|3典例+4训练|四大对称模型（奇函数、中心对称等）及三次函数对称中心结论|从函数对称性切入，通过模型归纳实现求和问题转化| |同构|3典例+5训练|顺反/同位同构法，指对同构三类形式（积/商/和差型）|基于结构特征分析，通过函数构造实现方程/不等式转化| |凹凸性|3典例+4训练|定义+二阶导判定+琴生不等式（二维/多维）|从函数图像特征到定量判定，结合不等式实现放缩与最值求解|

解题大招20 点击函数问题的三大秘技： 中值求和、同构、凹凸性 知识点01 中值求和 1．中值求和的四大模型 模型一：若函数是奇函数，则有 (1) ;(2) ． 模型二：若函数关于点中心对称，则有(1); (2)； (3)若 ，则有. 寻找对称中心的一个技巧：若，其中 是奇函数，则的对称中心为； 显然，从而有或 ． 模型三：若函数关于点中心对称， 则, 当n为偶数时，. 模型四：若两个函数图象的对称中心相同，均为点(a,b),则这两个函数图象的交点相应地也关于点(a,b)对称.设关于该中心对称的两点坐标分别为和，则有且 2．关于三次函数图象的对称中心的二级结论 (1)任意三次函数的图象都是中心对称图形，其对称中心一定在三次函数的图象上，其对称中心的坐标为． (2)三次函数图象的对称中心横坐标也是其二阶导为0的方程的实根，即若，则对称. 知识点02 同构 1．同构的概念 同构式是指除了变量不同其余地方均相同的表达式，构造同构式解题的方法称之为同构. 2．同构的应用 (1)在方程中的应用如果方程和呈现同构特征则可视为方程的两个根 (2)在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征则可将相同的结构构造为一个函数进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式 3．同构的方法 (1)顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数. (2)同位同构： ①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构； ②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可； ③差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之. 3．指对同构 指对同构的常用形式 (1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex； ②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x； ③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x. (2)商型：≤，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：≤，构造函数f(x)＝； ②同右构造形式：≤，构造函数f(x)＝； ③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x. (3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x； ②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x. 知识点03 函数的凹凸性与琴生不等式 1．凹函数的定义： 设函数是定义在区间上的函数，若区间上任意两点, 都有 ，则称函数为定义在区间上的凹函数. 如下图所示： 此时曲线任意两点与之间的部分位于弦 的下方.如右图所示. 2．凸函数的定义： 设函数是定义在区间上的函数，若区间上任意两点, 都有，则称函数为定义在区间上的凸函数. 如下图所示： 此时曲线任意两点与之间的部分位于弦 的上方. 3.琴生不等式（二维形式） 设函数在区间上连续，对上任意两点，如果在区间上是凸函数，恒有: 如果在区间是凹函数，恒有（当且仅当时等号成立）. 4.琴生不等式（维形式） （1）若是区间上的凹函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. （2）若是区间上的凸函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 知识点04 函数凹凸性的判定定理 如果函数在上连续，在内具有二阶导数，若在内： （1），则函数在上为凹函数； （2），则曲线在上为凸函数. (巧记：以帮助记忆，，由，得，此时在上为凹函数；由，得，此时在上为凸函数) 凸函数的5种等价描述为：（1） ；（2）曲线任意两点之间的部分位于这两点的弦线下方；（3）当不变时，增加；（4）为增函数；（5）． 凹函数的5 种等价描述与此完全相似. 题型01 中值求和的应用 先确定函数的对称性，再利用中值求和模型求和,注意遇到不少于3个以上的函数值之和时，要两个两个一组确定总的组数和单出来的数，再利用中值求和模型求和. 【典例1-1】函数1，则 A．-1 B． 0 C． 1 D． 2 【典例1-2】已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则 （ ） A． 0 B．2026 C．5052 D.5053 【典例1-3】已知函数满足，若函数与的图象的交点为 ，则（ ） A． 0 B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知函数，若，则（ ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 2．函数的图象与函数的图象的所有交点的横、纵坐标之和等于（ ） A．2 B． 4 C． 6 D． 8 3．已知函数 ． 4．设函数的最大值为，最小值为，则 ． 题型02同构法的应用 同构法解决函数问题的基本步骤 1.式子拆分：将题干等式/不等式变形，把含相同变量的项移至同侧，匹配两端结构完全一致的形式，常见为（为等号或不等号）. 2.函数构造：提炼公共结构构造新函数h(x)，分析其单调性、奇偶性、定义域等核心性质。 3.转化求解：利用函数性质剥离外层结构，转化为自变量间的等量/不等关系求解，最后验证定义域合规性即可. 【典例2-1】若，则 A． B． C． D． 【典例2-2】 若当0＜x1＜x2＜a时，x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2恒成立，则实数a的最大值为(　B　) A．　 B．1 C．e　 D．2e 【典例2-3】 若函数f(x)＝xex－x－ln x＋a－2有两个零点，则实数a的取值范围是(　D　) A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(－∞，1) 【跟踪训练】 1．若，则（ ） A． B． C． D． 2．已知是方程的一个根，则的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea C．ab<e D．b<ea 4.已知函数f(x)＝ex－a ln x(其中a为参数)，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式f(x)＞a ln a恒成立，则正实数a的取值范围是____. 5．已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______． 题型03 函数的凹凸性的应用 利用同构策略解决函数问题 利用函数凹凸性解决问题，核心依托琴生不等式：凹函数（二阶导≥0）满足，凸函数则反向。应用时通过同构策略，将目标式凑成不等式对应形式：证明不等式时，把分散变量统一为凸、凹函数的自变量，利用凹凸性放缩；求最值时，同构后转化为凸/凹函数的单调性或极值点分析，简化问题. 【典例3-1】在下列四个函数中，当时，能使 成立的函数是（ ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2018年新课标I卷）已知函数，则的最小值是 ． 【典例3-3】（2025年新高考I卷节选）设函数，求在的最大值. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·贵州铜仁·期中）任取，且，若，称是上的凹函数，则下列图象中，是凹函数图象的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·一模）已知函数y=f（x），若对其定义域内任意x1和x2均有，则称函数为“凸函数”；若均有，则称f（x）函数为“凹函数”.下列函数中是“凹函数”的是 A． B． C． D． 3．设函数，对于任意的，有下列命题：（1） ；（2） ；（3） 0 ；（4） ．其中正确命题的序号是_____ 4．（24-25高三上·云南曲靖·期末）设函数定义域在区间连续，对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数；若在区间上为凸函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）． (1)证明：函数在上为凸函数； (2)设，且，求的最大值； (3)设为正实数，且，证明：． 1．设函数 的最大值与最小值分别为和 ，则（ A． B． C． D． 2．若实数a，b满足4a＋log3a＝8b＋3log27b，则( ) A． B． C．a>b3 D．a<b3 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·二模）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设函数，是公差为的等差数列，，则 （ ） A．0 B． C． D． 6．（多选）（25-26高二下·辽宁·阶段检测）丹麦数学家琴生（Jensen）在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若为上任意个实数，满足，则称函数在上为＂上凸函数＂．设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”．下列结论正确的是（   ） A．函数在上为“上凸函数” B．函数在上为“上凸函数” C．在中， D．已知函数在上为“上凸函数”，则实数的取值范围是 7．若f(x)＝xex－a(x＋ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 8．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 9．（25-26高一上·四川泸州·期中）某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数． (1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)试判断在上的凹凸性，并说明理由； (3)设，，且，求的最小值． 10．（25-26高三下·安徽阜阳·期末）设函数在区间上的图象是连续不断的，如果对上任意，恒有，那么称在上是凹函数；如果恒有，那么称在上是凸函数.若是凹函数的一条切线，则总有成立，而凸函数则相反.已知. (1)已知，求过点A且与曲线相切的直线方程； (2)判断在上是凹函数还是凸函数，并加以证明； (3)证明：. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招20 点击函数问题的三大秘技： 中值求和、同构、凹凸性 知识点01 中值求和 1．中值求和的四大模型 模型一：若函数是奇函数，则有 (1) ;(2) ． 模型二：若函数关于点中心对称，则有(1); (2)； (3)若 ，则有. 寻找对称中心的一个技巧：若，其中 是奇函数，则的对称中心为； 显然，从而有或 ． 模型三：若函数关于点中心对称， 则, 当n为偶数时，. 模型四：若两个函数图象的对称中心相同，均为点(a,b),则这两个函数图象的交点相应地也关于点(a,b)对称.设关于该中心对称的两点坐标分别为和，则有且 2．关于三次函数图象的对称中心的二级结论 (1)任意三次函数的图象都是中心对称图形，其对称中心一定在三次函数的图象上，其对称中心的坐标为． (2)三次函数图象的对称中心横坐标也是其二阶导为0的方程的实根，即若，则对称. 知识点02 同构 1．同构的概念 同构式是指除了变量不同其余地方均相同的表达式，构造同构式解题的方法称之为同构. 2．同构的应用 (1)在方程中的应用如果方程和呈现同构特征则可视为方程的两个根 (2)在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征则可将相同的结构构造为一个函数进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式 3．同构的方法 (1)顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数. (2)同位同构： ①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构； ②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可； ③差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之. 3．指对同构 指对同构的常用形式 (1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex； ②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x； ③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x. (2)商型：≤，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：≤，构造函数f(x)＝； ②同右构造形式：≤，构造函数f(x)＝； ③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x. (3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x； ②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x. 知识点03 函数的凹凸性与琴生不等式 1．凹函数的定义： 设函数是定义在区间上的函数，若区间上任意两点, 都有 ，则称函数为定义在区间上的凹函数. 如下图所示： 此时曲线任意两点与之间的部分位于弦 的下方.如右图所示. 2．凸函数的定义： 设函数是定义在区间上的函数，若区间上任意两点, 都有，则称函数为定义在区间上的凸函数. 如下图所示： 此时曲线任意两点与之间的部分位于弦 的上方. 3.琴生不等式（二维形式） 设函数在区间上连续，对上任意两点，如果在区间上是凸函数，恒有: 如果在区间是凹函数，恒有（当且仅当时等号成立）. 4.琴生不等式（维形式） （1）若是区间上的凹函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. （2）若是区间上的凸函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 知识点04 函数凹凸性的判定定理 如果函数在上连续，在内具有二阶导数，若在内： （1），则函数在上为凹函数； （2），则曲线在上为凸函数. (巧记：以帮助记忆，，由，得，此时在上为凹函数；由，得，此时在上为凸函数) 凸函数的5种等价描述为：（1） ；（2）曲线任意两点之间的部分位于这两点的弦线下方；（3）当不变时，增加；（4）为增函数；（5）． 凹函数的5 种等价描述与此完全相似. 题型01 中值求和的应用 先确定函数的对称性，再利用中值求和模型求和,注意遇到不少于3个以上的函数值之和时，要两个两个一组确定总的组数和单出来的数，再利用中值求和模型求和. 【典例1-1】函数1，则 A．-1 B． 0 C． 1 D． 2 【答案】D 【解析】易知为奇函数，所以的图象关于点（1，0）对称， 所以由中值求和模型得，所以2. 【典例1-2】已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则 （ ） A． 0 B．2026 C．5052 D.5053 【答案】D 【解析】易证得h（x）为中心对称函数，其图象的对称中心为点（0，1），由中值求和模型可知，则有, 所以原式= 【典例1-3】已知函数满足，若函数与的图象的交点为 ，则（ ） A． 0 B． C． D． 【答案】B 【解析】显然函数与函数图象的对称轴相同，均为直线．根据中值求和模型可知，可将所有交点的横坐标一律当作1，从而有，从而选B. 【跟踪训练】 1．已知函数，若，则（ ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 【答案】C 【解析】易知的图象关于点（0，f(0)）对称，所以 由中值求和模型知 ，从而有 ，从而选C. 2．函数的图象与函数的图象的所有交点的横、纵坐标之和等于（ ） A．2 B． 4 C． 6 D． 8 【答案】D 【解析】题中两个函数都关于 中心对称，从而所有交点的横、纵坐标可分别看作 1 和 0 。现在唯一需要关心的是一共有多少个交点。数形结合（见图2－57），不难发现一共有 8 个交点，从而所有横、纵坐标之和为 ，从而选D． 3．已知函数 ． 【答案】-6 【解析】易证得的图象关于点（0，1）对称，故由中值求和模型知 ，则有 ． 4．设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】2 【解析】，由复合函数奇偶性知 是奇函数，则 关于中心对称，从而有． 题型02同构法的应用 同构法解决函数问题的基本步骤 1.式子拆分：将题干等式/不等式变形，把含相同变量的项移至同侧，匹配两端结构完全一致的形式，常见为（为等号或不等号）. 2.函数构造：提炼公共结构构造新函数h(x)，分析其单调性、奇偶性、定义域等核心性质。 3.转化求解：利用函数性质剥离外层结构，转化为自变量间的等量/不等关系求解，最后验证定义域合规性即可. 【典例2-1】若，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B． 【典例2-2】 若当0＜x1＜x2＜a时，x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2恒成立，则实数a的最大值为(　B　) A．　 B．1 C．e　 D．2e 【答案】B 【解析】x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2 ⇒ －≤－，即＋≤＋.令f(x)＝＋，则f(x)在(0，a)上为增函数，所以f′(x)≥0在(0，a)上恒成立．因为f′(x)＝，令f′(x)＝0，解得x＝1，可得f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以a≤1，故a的最大值为1. 【典例2-3】 若函数f(x)＝xex－x－ln x＋a－2有两个零点，则实数a的取值范围是(　D　) A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(－∞，1) 【答案】D 【解析】令f(x)＝xex－x－ln x＋a－2＝0，所以xex－x－ln x＝ex＋ln x－(x＋ln x)＝2－a.令F(x)＝ex＋ln x－(x＋ln x)，定义域为(0，＋∞)，y＝2－a，令t＝x＋ln x，易知t(x)在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R，所以F(x)＝g(t)＝et－t，则函数f(x)有两个零点转化为函数g(t)＝et－t的图象与直线y＝2－a有两个交点．又g′(t)＝et－1，当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0，所以g(t)＝et－t在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(t)≥g(0)＝e0－0＝1，当t→－∞时，g(t)→＋∞；当t→＋∞时，g(t)→＋∞，则y＝2－a＞1，解得a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1). 【跟踪训练】 1．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性. 【解析】由移项变形为 设 易知是定义在R上的增函数，故由，可得，所以 从而，故选A． 2．已知是方程的一个根，则的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 设，恒成立，故单调递增， 由得，所以， 所以 故选：B. 3．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea C．ab<e D．b<ea 【答案】B 【解析】由已知aea<bln b，则ealn ea<bln b. 设f(x)＝xln x，则f(ea)<f(b)． ∵a>0，∴ea>1， ∵b>0，bln b>aea>0，∴b>1. 当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea<b. 4.已知函数f(x)＝ex－a ln x(其中a为参数)，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式f(x)＞a ln a恒成立，则正实数a的取值范围是____. 【答案】(0，e) 【解析】由f(x)＞a ln a，得－ln a＞ln x，即ex－ln a－ln a＞ln x，两边同时加x得ex－ln a＋x－ln a＞eln x＋ln x．令g(t)＝et＋t，则g(x－ln a)＞g(ln x).因为g(t)为增函数，所以x－ln a＞ln x，即ln a＜x－ln x.令h(x)＝x－ln x，则h′(x)＝，所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1，因此ln a＜1，解得0＜a＜e. 5．已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______． 【答案】2 【解析】由，化简为：，即， 设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)， 且，所以，即. 题型03 函数的凹凸性的应用 利用同构策略解决函数问题 利用函数凹凸性解决问题，核心依托琴生不等式：凹函数（二阶导≥0）满足，凸函数则反向。应用时通过同构策略，将目标式凑成不等式对应形式：证明不等式时，把分散变量统一为凸、凹函数的自变量，利用凹凸性放缩；求最值时，同构后转化为凸/凹函数的单调性或极值点分析，简化问题. 【典例3-1】在下列四个函数中，当时，能使 成立的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】条件“翻译”过来就是必须是上的上凸函数，显然只有A满足． 【典例3-2】（2018年新课标I卷）已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】∵，∴是奇函数，又周期T=2π，结合， 与的图象，当时，可取得最大值.当，是凹函数，根据琴生不等式得： 当且仅当时，等号成立，∴的最小值为. 【典例3-3】（2025年新高考I卷节选）设函数，求在的最大值. 【解析】 当，是上凸函数，根据琴生不等式得： 当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为. 注意：本题需要说明一下当时的函数值都比小. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·贵州铜仁·期中）任取，且，若，称是上的凹函数，则下列图象中，是凹函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任取, 则A中成立，故A不满足要求； 则B中，与大小不确定，故B不满足要求； 则C中，成立，故C满足要求； 则D中，,故D不满足要求. 故选:C. 2．（2026·四川宜宾·一模）已知函数y=f（x），若对其定义域内任意x1和x2均有，则称函数为“凸函数”；若均有，则称f（x）函数为“凹函数”.下列函数中是“凹函数”的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，，所以不符合“凹函数”的定义； 对于B，任意，，， 因为， 所以，符合“凹函数”的定义； 对于C，因为，，所以不符合“凹函数”的定义； 对于D，因为，所以不符合“凹函数”的定义； 故选：B. 3．设函数，对于任意的，有下列命题：（1） ；（2） ；（3） 0 ；（4） ．其中正确命题的序号是_____ 【答案】（1）（3）（4）． 【解析】因为函数是单调递增的指数函数，显然（1）（3）正确；又因为 是下凸的，则必有 ．综上，正确的命题是（1）（3）（4）． 4．（24-25高三上·云南曲靖·期末）设函数定义域在区间连续，对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数；若在区间上为凸函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）． (1)证明：函数在上为凸函数； (2)设，且，求的最大值； (3)设为正实数，且，证明：． 【解析】(1)由，设， 则，， 因为，当且仅当时去等号， 再由在为增函数， 所以则， 即， 所以函数在上为凸函数 （2）因为函数在上为凸函数， 则 也即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）构造函数在上为凸函数， 证明如下：， 要证， 等价于； 等价于； 等价于；而此式由基本不等式可知恒成立，当且仅当取等号， 故在上为凸函数， 所以， 即， 又， 所以， 即， 即； 得证. 1．设函数 的最大值与最小值分别为和 ，则（ A． B． C． D． 【答案】C 【解析】．由复合函数的奇偶性知 是奇函数，从而知函数 关于 中心对称，从而有. 2．若实数a，b满足4a＋log3a＝8b＋3log27b，则( ) A． B． C．a>b3 D．a<b3 【答案】A 【解析】由题意知a>0，b>0，∵4a＝22a,8b＝23b,3log27b＝log3b， ∴22a＋log3a＝23b＋log3b，∴22a＋log3a＋log32＝23b＋log3b＋log32， 即22a＋log32a＝23b＋log32b，∵y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增， ∴log32b<log33b， ∴22a＋log32a<23b＋log33b. 设f(x)＝2x＋log3x，则f(2a)<f(3b)， ∵y＝2x与y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴2a<3b，即 3．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， 令，则，所以函数在上单调递增； 又，得，又， 则，又函数在上单调递增，则， 即，所以，选项A正确，B不正确； 又无法确定与的关系，故CD不正确； 故选：A. 4．（2026·四川成都·二模）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：因为 所以f'(x)=mex+(x+1)[lnm﹣ln(x+1)]+1，f″(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1， 因为在区间(﹣1，+∞)上为“凹函数”， 所以f''(x)=mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0对任意x∈(﹣1，+∞)都成立， 因为mex+lnm﹣ln(x+1)﹣1>0⇔mex+lnm>ln(x+1)+1 ⇔ex+lnm+(x+lnm)>ln(x+1)+(x+1) ⇔ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1)， 且g(x)=ex+x在(﹣∞，+∞)是增函数， 所以ex+lnm+(x+lnm)>eln(x+1)+ln(x+1) ⇔x+lnm>ln(x+1)⇔lnm>ln(x+1)﹣x， 由题意，lnm>h(x)=ln(x+1)﹣x的最大值， ， ， ， 单调递增； ，单调递减， ， 即lnm>0，所以m>1， 故选：A 5．设函数，是公差为的等差数列，，则 （ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】本题逆向运用中值求和模型来解答．显然 ，而，则有，则有，从而选D． 6．（多选）（25-26高二下·辽宁·阶段检测）丹麦数学家琴生（Jensen）在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若为上任意个实数，满足，则称函数在上为＂上凸函数＂．设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”．下列结论正确的是（   ） A．函数在上为“上凸函数” B．函数在上为“上凸函数” C．在中， D．已知函数在上为“上凸函数”，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】对于A项，在上恒成立，在上不成立，故在上不是“上凸函数”，A项错误； 对于B项，的导函数，，当时，， 所以，所以函数在上为“上凸函数”，B项正确； 对于C项，对于函数，在上恒成立， 所以在上为“上凸函数”，又为的内角， 所以，即，C项正确； 对于D项，函数，求导得，， 依题意，恒成立， 又函数在上单调递增，所以，则，所以实数的取值范围是，D项正确． 故选：BCD． 7．若f(x)＝xex－a(x＋ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 【答案】(e，＋∞) 【解析】 f(x)＝xex－a(x＋ln x)＝ex＋ln x－a(x＋ln x)， 令t＝x＋ln x，t∈R，显然该函数为增函数． 当t≠0时，由et－at＝0，得， 可知函数 (t≠0)的图象与直线y＝a有两个交点，可画出函数图象(图略)得到a的取值范围是(e，＋∞)． 8．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得，构造函数， 则 ，， 当时，，当时， ，所以在上单调递增， 得，，在上恒成立， 设，， 当时，，单调增， 当时，，单调减， ，所以 故选: A. 9．（25-26高一上·四川泸州·期中）某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数． (1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)试判断在上的凹凸性，并说明理由； (3)设，，且，求的最小值． 【解析】（1）函数在上单调递增， 不等式， 依题意，对任意，恒成立，即对任意，恒成立， 而当时，，则； 当，即时，，则， 所以实数的取值范围是. （2） 函数在上为凹函数. 证明如下： ，， 则 ， 所以在上为凹函数. （3）令，由（2）知在上为凹函数， 因此在上为凹函数， 由，得， 由琴生不等式得， 即， 因此，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 10．（25-26高三下·安徽阜阳·期末）设函数在区间上的图象是连续不断的，如果对上任意，恒有，那么称在上是凹函数；如果恒有，那么称在上是凸函数.若是凹函数的一条切线，则总有成立，而凸函数则相反.已知. (1)已知，求过点A且与曲线相切的直线方程； (2)判断在上是凹函数还是凸函数，并加以证明； (3)证明：. 【解析】（1），令切点， 则过点的切线方程， 因为切线过点，则，解得， 所以切线方程为. （2）是凹函数.证明如下： 令，则 不妨令，则， 记， 则 因为，所以，则，所以在单调递减， 则， 所以， 从而，所以是凹函数. （3）证明：由题意，因为是凹函数，且是它的切线，则， 记，则， 即.所以. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $