解题大招18 轻松突破一元二次方程实根分布的7大题型（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以“概念-策略-题型”为逻辑链，系统构建一元二次方程实根分布的7大题型解法体系，融合韦达定理与二次函数图像分析，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实根分布基础|2知识点+2策略|韦达定理法/二次函数图像法（判别式、对称轴、端点函数值）|从根与零的位置关系（零分布）拓展到与任意实数k的位置关系（k分布）| |区间分布应用|2知识点+4题型|区间内外根分布的充要条件（含跨区间、同区间）|结合二次函数图像特征推导区间根分布条件，形成“图像-符号-不等式”转化链| |综合拓展|3题型（整数根/绝对值/双曲线）|整数根用韦达定理整除性分析，绝对值问题分段拆分|从代数根分布延伸到解析几何（双曲线相交），体现数学建模与应用意识|

解题大招18 轻松突破一元二次方程实根分布的7大题型 知识点01 一元二次方程的实根分布 1.概念 一元二次方程的实根分布是指含参数的一元二次方程的实根落在指定实数区间内的问题，核心是判断根与区间端点的位置关系，通常结合对应二次函数的图象特征分析或者利用韦达定理列式求解. 2.基本策略 (1)对于实根的正负问题，往往结合韦达定理、根的判别式列式求解. (2)先明确对应二次函数的开口方向，再通过判别式确认实根存在性，最后联立区间端点的函数值符号、对称轴与区间的位置关系两类约束条件，求解即可得到参数的取值范围. 知识点02 一元二次方程实根的零分布 所谓一元二次方程的实根的零分布，是指方程的根相对于零的位置关系，比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程的一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧. 策略一：韦达定理法 设一元二次方程的两个实根为，，且，则有： （1） （2） （3）． （4），且. 策略二：二次函数法 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的实根的零分布情况如下表所示（每种情况对应的均是充要条件） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 知识点03 一元二次方程实根的k分布 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的实根的k分布情况如下表所示（每种情况对应的均是充要条件） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 知识点04 一元二次方程实根在区间（m，n）上的分布 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的实根在区间（m，n）上的分布情况如下表所示（每种情况对应的均是充要条件） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 根在区间上的分布还有一种情况：两根在区间两侧，即，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 题型01 根的零分布 方法一：韦达定理+判别式法（首选方法）； 方法二：构造相应的二次函数，从其图象的对称轴、根的判别式及0处的函数值正负入手列式求解. 具体策略详见知识点01. 【典例1-1】（2026高三·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】（2026高三·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【跟踪训练】 1．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·北京·专题练习）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 3．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 题型02 根的k分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 1.一根小于、一根大于（跨点分布）：仅需，自动满足，计算最简； 2.两根均大于： 3.两根均小于： 原理：结合抛物线开口，对称轴控制根整体位置，保证两点在同侧。 【典例2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【典例2-2】（2026高三·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为___________. 3．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知方程的两根，满足，，则实数的取值范围为__________. 题型03 根在区间上的分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根都在闭区间内，四个约束条件缺一不可： 拓展：恰有一根在内：①；②端点取等，一根等于区间端点、另一根在区间内部，需单独验证。 【典例3-1】（25-26高三上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026高三·全国·专题练习）设方程在上有两个根，求的取值范围． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·河南郑州·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）已知函数且在区间上有零点，则最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2026高三·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 题型04 根在区间外的分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根分居区间两侧，无需判别式、对称轴，仅需端点函数值异号： 1.一根，一根： 开口向上时；开口向下时； 2.简化记忆：抛物线两端点函数值同时与开口反向，图像穿过区间左右外侧。 【典例4-1】若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C. D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 【典例4-2】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（浙江省G5联盟2025-2026学年高三学期期中联考数学试卷）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 2．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 3．（25-26高三上·北京通州·期中）已知函数有三个零点记为，其中和． (1)求实数的取值范围； (2)记曲线在点处的切线为，设直线与轴交点的坐标为，求的范围． 4．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 题型05 整数根问题 1.基础思路： ①先讨论二次项系数为0（一次方程）； ②二次方程优先因式分解，直接解出根，利用整数条件限制参数； ③无法因式分解时用韦达定理：均为整数，构造参数表达式，利用整除求解。 2.拓展题型（不等式整数解限定）： 二次不等式解集内仅有个整数，结合二次函数零点区间，列不等式锁定零点左右边界，限制整数个数。 【典例5-1】（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）已知关于x的二次方程有两个整数根，且，则下列结论正确的是（    ） A．整数m的值为4或12 B．整数m的值为12或24 C．整数m的值为24或40 D．整数m的值为40或60 【典例5-2】已知整数，满足，方程有整数根，满足这样条件的整数对的个数为（    ） A．0 B．2个 C．4个 D．前三个答案都不对 【跟踪训练】 1．（2007高二·河南·竞赛）已知n是整数，且方程有两个整数根，则________. 2．（2026高三·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值. 题型06 与绝对值综合的实根分布 若遇到多层绝对值嵌套，则先分段划分绝对值内式子正负区间，拆分得到分段二次函数，再分别对每一段二次函数使用根分布条件，联立所有区间约束，最终取参数交集得到完整取值范围，全程需舍去小于 0 的t根，防止出现零点计数错误。 【典例6-1】（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数恰有1个零点，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【典例6-2】（多选）（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）给出下列四个命题：其中真命题的是（   ） A．已知函数，当时，总有，则实数a的取值范围是 B．存在不同的实数k，使得关于x的方程，分别恰有2个和4个不同的实根 C．存在不同的实数k，使得关于x的方程，分别恰有5个和8个不同的实根 D．存在不同的实数k，使得关于x的方程，分别恰有0个和3个不同的实根 【跟踪训练】 1．（多选）（25-26高三下·黑龙江·阶段检测）已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2026·陕西咸阳·二模）若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 题型07 破解直线与双曲线相交的问题 1.联立直线与双曲线方程，消元得到含参一元二次方程； 2.双重限制： ①二次前提：二次项系数（排除渐近线平行的直线，无两个交点）； ②判别式：保证存在两个不同交点； 3.结合双曲线分支使用韦达定理根分布： （1）交于右支两点：两根同正； （2）交于左支两点：两根同负； （3）左右支各一点：两根异号； 4.联立全部不等式，解出参数的取值范围. 【典例7-1】（25-26高三下·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【典例7-2】（25-26高三上·陕西西安·期末）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与的左、右两支分别相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·湖南邵阳·模拟）已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的左支于两点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 1．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的两个零点分别落在区间和上，则点构成的图形的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．4 6．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数，方程有两个小于1的不等正根，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2026高三·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高三上·浙江宁波·阶段检测）已知定义域为的函数在区间内恰有一个零点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 9．（多选）（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知二次函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若恒成立，则 D．若在内有零点，则 10．（2026高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 11．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）方程有两根，，且，则的取值范围为______. 12．（25-26高二上·湖北·期末）直线与双曲线左、右支各一个交点，则双曲线离心率的取值范围为___________． 13．（2026·福建厦门·二模）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 14．（2025高三·全国·竞赛）设都是整数，如果二次方程有两个不同实根，且都在区间内，那么正整数的最小值是_____． 15．（25-26高三上·天津·阶段检测）设，函数．若在区间内恰有2个零点，则a的取值范围是____________． 16．（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数且满足． (1)求的值； (2)已知函数有两个不同的正数零点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值： 17．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围． 18．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数在上的值域为. (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是函数的两个零点，且，求实数的取值范围. 19．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）已知关于x的方程的根为负数，其中k为实数. (1)求k的取值范围. (2)已知一元二次方程有两个整数根，且m为整数.从①，②两个条件中任意选一个条件，求.[注]如果选择两个条件分别作答，则按第一个条件作答计分. 20．（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程在上： (1)有实根，求的取值范围； (2)有两个不同的实根，求的取值范围； (3)有一个实根，求的取值范围； (4)无实根，求的取值范围． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招18 轻松突破一元二次方程实根分布的7大题型 知识点01 一元二次方程的实根分布 1.概念 一元二次方程的实根分布是指含参数的一元二次方程的实根落在指定实数区间内的问题，核心是判断根与区间端点的位置关系，通常结合对应二次函数的图象特征分析或者利用韦达定理列式求解. 2.基本策略 (1)对于实根的正负问题，往往结合韦达定理、根的判别式列式求解. (2)先明确对应二次函数的开口方向，再通过判别式确认实根存在性，最后联立区间端点的函数值符号、对称轴与区间的位置关系两类约束条件，求解即可得到参数的取值范围. 知识点02 一元二次方程实根的零分布 所谓一元二次方程的实根的零分布，是指方程的根相对于零的位置关系，比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程的一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧. 策略一：韦达定理法 设一元二次方程的两个实根为，，且，则有： （1） （2） （3）． （4），且. 策略二：二次函数法 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的实根的零分布情况如下表所示（每种情况对应的均是充要条件） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 知识点03 一元二次方程实根的k分布 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的实根的k分布情况如下表所示（每种情况对应的均是充要条件） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 知识点04 一元二次方程实根在区间（m，n）上的分布 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的实根在区间（m，n）上的分布情况如下表所示（每种情况对应的均是充要条件） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 根在区间上的分布还有一种情况：两根在区间两侧，即，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 题型01 根的零分布 方法一：韦达定理+判别式法（首选方法）； 方法二：构造相应的二次函数，从其图象的对称轴、根的判别式及0处的函数值正负入手列式求解. 具体策略详见知识点01. 【典例1-1】（2026高三·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 【典例1-2】（2026高三·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 【跟踪训练】 1．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 2．（2025高三·北京·专题练习）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】因为方程，存在2个根， 所以， 解得或 设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，. 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 题型02 根的k分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 1.一根小于、一根大于（跨点分布）：仅需，自动满足，计算最简； 2.两根均大于： 3.两根均小于： 原理：结合抛物线开口，对称轴控制根整体位置，保证两点在同侧。 【典例2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 【典例2-2】（2026高三·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，结合题意分析可得，运算求解即可. 【详解】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求出“方程有两个小于1的正根”的等价条件，再利用充分必要条件判断即得. 【详解】设，为方程的两个小于1的正根， 则，且，， 因且等价于且， 则得，且， 故是的必要条件； 当，时，若取，， 此时方程无实根，故不是的充分条件. 综上可得，p是q的必要不充分条件. 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】分，，结合二次函数零点分布，可求实数的取值范围. 【详解】因为函数有两个零点，，所以. 又因为，，所以或， 由； 由. 综上可知：. 故答案为： 3．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知方程的两根，满足，，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先由判断两根异号，结合韦达定理确定的范围，再将绝对值条件转化为含的不等式求解，最后综合分析即可. 【详解】由，可知两根异号，因此， 由韦达定理得：，， 所以，得：，所以， 又因为，，所以，，则： ，对变形为：， 即，整理得：， 即，解得：或， 综上所述：. 故实数的取值范围为. 题型03 根在区间上的分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根都在闭区间内，四个约束条件缺一不可： 拓展：恰有一根在内：①；②端点取等，一根等于区间端点、另一根在区间内部，需单独验证。 【典例3-1】（25-26高三上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在区间上有两个零点，即函数在上与x轴有两个交点，则需要满足，根据二次函数图像列出不等式即可求解. 【详解】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点， 所以，即， 整理得，解得 所以则的取值范围为. 故选：A. 【典例3-2】（2026高三·全国·专题练习）设方程在上有两个根，求的取值范围． 【答案】 【分析】设方程在上的两个根分别为，则，当时，，分析和的范围即可求解. 【详解】设方程在上的两个根分别为， 则， 则当时，， 又． ． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·河南郑州·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，即当且时， 由题意只需，解得且， 又时，，即， 其实数根为，满足题意， 时，，即， 其实数根为，满足题意， 所以且； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 2．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）已知函数且在区间上有零点，则最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值. 【详解】依题意在区间上有零点， 整理得在上有解， 表示坐标系中，直线（看成参数）上的点， 所以的最小值表示原点到直线的距离的平方的最小值，， 设， 由于，所以当时，取得最小值为， 所以的最小值为1. 故选：C. 3．（2026高三·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果. 【详解】在区间内、外各有一个实数根， 令， 当不是方程的根时， 所以， 解得：； 当是方程的根时， 得， 此时方程变为：， 解得：或， 在区间内，在区间外，符合题意； 当是方程的根时，得， 此时方程变为：， 解得：或， 此时方程的两根均在区间外，不符合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，解题时要注意分析判别式、对称轴以及端点（与根比大小的数）的函数值符号. 题型04 根在区间外的分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根分居区间两侧，无需判别式、对称轴，仅需端点函数值异号： 1.一根，一根： 开口向上时；开口向下时； 2.简化记忆：抛物线两端点函数值同时与开口反向，图像穿过区间左右外侧。 【典例4-1】若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C. D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 【答案】C　 【详解】 设f(x)=x2-2ax+4,由题意作出y=f(x)的大致图象,如图, 故解得a>.故实数a的取值范围是.故选C. 【典例4-2】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可. 【详解】令 由题可知： 则，即 故选：C 【跟踪训练】 1．（浙江省G5联盟2025-2026学年高三学期期中联考数学试卷）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 2．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】分析函数的图象特征，列出不等式组求解即可． 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在点（2，0）的右侧， 如图． 根据图象可得，解得． 故答案为：． 3．（25-26高三上·北京通州·期中）已知函数有三个零点记为，其中和． (1)求实数的取值范围； (2)记曲线在点处的切线为，设直线与轴交点的坐标为，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据及，可知为的零点，然后根据二次函数零点分布列不等式求解即可； （2）利用导数的几何意义求得直线的方程为，令得，结合得，，构造函数利用导数法求解值域，即可求得的范围. 【详解】（1），显然， 由题意，为的零点， 因为和，为开口向上的抛物线， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）由得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令得， 由（1）知， 所以， 又及得， 所以，， 记，，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以的范围为. 4．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5) 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 题型05 整数根问题 1.基础思路： ①先讨论二次项系数为0（一次方程）； ②二次方程优先因式分解，直接解出根，利用整数条件限制参数； ③无法因式分解时用韦达定理：均为整数，构造参数表达式，利用整除求解。 2.拓展题型（不等式整数解限定）： 二次不等式解集内仅有个整数，结合二次函数零点区间，列不等式锁定零点左右边界，限制整数个数。 【典例5-1】（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）已知关于x的二次方程有两个整数根，且，则下列结论正确的是（    ） A．整数m的值为4或12 B．整数m的值为12或24 C．整数m的值为24或40 D．整数m的值为40或60 【答案】C 【分析】先求关于的一元二次不等式的解集，在由题意可知一元二次方程的判别式一定为平方数，据此可求出正确答案. 【详解】解不等式 , 得 . 又由 , 得 . 因为此方程有整数根, 所以 为完全平方数， 所以 或 . 当 时, 原方程为 , 解得 或 ; 当 时, 原方程为 , 解得 或 . 故选：C 【典例5-2】已知整数，满足，方程有整数根，满足这样条件的整数对的个数为（    ） A．0 B．2个 C．4个 D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】根据韦达定理可得两个根的关系，根据因数分解可求解的组数. 【详解】设的两根分别为，，且，则，． 根据题意，，因此， 也即，而， 故或或或， 对应的分别为：， 于是对应的解共有4组． 故选：C 【跟踪训练】 1．（2007高二·河南·竞赛）已知n是整数，且方程有两个整数根，则________. 【答案】0或-2 【详解】把方程分解为. 求得两根为，. 所以，要使为整数，n+1只能为±1，±2；要使为整数，n+1只能为±1，±3. 从而，要使、都是整数，n+1只能为±1，即n=0或-2. 2．（2026高三·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3. 题型06 与绝对值综合的实根分布 若遇到多层绝对值嵌套，则先分段划分绝对值内式子正负区间，拆分得到分段二次函数，再分别对每一段二次函数使用根分布条件，联立所有区间约束，最终取参数交集得到完整取值范围，全程需舍去小于 0 的t根，防止出现零点计数错误。 【典例6-1】（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数恰有1个零点，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式化为分段函数，分、和三种情况进行讨论，结合函数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定的取值范围. 【详解】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，符合题意； 若时，则，当时，， 则在上单调递增，即时，取得最小值， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即时，取得最大值， 因为函数有且只有一个零点，所以，解得； 若时，则，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即时，取得最小值， 当时，， 则在上单调递增， 即时，取得最大值， 因为函数有且只有一个零点，所以，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C 【典例6-2】（多选）（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）给出下列四个命题：其中真命题的是（   ） A．已知函数，当时，总有，则实数a的取值范围是 B．存在不同的实数k，使得关于x的方程，分别恰有2个和4个不同的实根 C．存在不同的实数k，使得关于x的方程，分别恰有5个和8个不同的实根 D．存在不同的实数k，使得关于x的方程，分别恰有0个和3个不同的实根 【答案】ABC 【分析】对于A，通过单调递增可判断；对于BCD，通过，结合一元二次方程判别式及求根公式即可判断. 【详解】对于A，由当时，总有， 可知：当时，总有， 即当单调递增， 所以，A正确； 由，令， 得，，即， 由求根公式可得：，且， （1）当时，，即， 解得：或，方程有4个根， （2）当时，可得或， 即，解得或 或，解得，方程有5个根， （3）当时，即两根都是正根， 因为，所以 由，可得：或 可取取， 此时解可得， 此时解可得， 即方程有8个根， （4）当时，又， 所以， 此时解得：， 因为，舍去， 解得：，方程有2个根， 故BC正确， 若，，即， 方程无解，此时无解， 综上可知：不存在实数k，使得关于x的方程有3个不同的实根，D错误； 故选：ABC 【跟踪训练】 1．（多选）（25-26高三下·黑龙江·阶段检测）已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】化简，作出图象，由图像即可得到的取值范围，得出答案. 【详解】，图象如图 则在上共有3个零点， 即在上有3个根，，，. 又因为函数在上存在两个零点，故. 故选：BCD. 2．（2026·陕西咸阳·二模）若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 【答案】 【分析】把函数零点问题转化成方程根的问题，利用韦达定理和判别式讨论的取值范围，进而求解4个零点之和的取值范围． 【详解】函数的零点即的解，，且时， ，所以方程的解必定为整数解，， 当时，方程为，即①； 当时，方程为，即②； 要使有4个不同零点，需两个二次方程各有2个不同的正实根，且满足符号条件， 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 综上可得，当时，两个二次方程各有2个不同的正实根，且无公共根， 有4个不同的零点， 方程①的两根之和为，方程②的两根之和为， 所有零点之和为， ， ，故所有零点之和的取值范围为． 题型07 破解直线与双曲线相交的问题 1.联立直线与双曲线方程，消元得到含参一元二次方程； 2.双重限制： ①二次前提：二次项系数（排除渐近线平行的直线，无两个交点）； ②判别式：保证存在两个不同交点； 3.结合双曲线分支使用韦达定理根分布： （1）交于右支两点：两根同正； （2）交于左支两点：两根同负； （3）左右支各一点：两根异号； 4.联立全部不等式，解出参数的取值范围. 【典例7-1】（25-26高三下·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设出直线，联立双曲线，由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】过点作斜率为的直线方程为， 将与联立可得， 显然，， 解得， 设直线与双曲线右支相交的两点分别为， 则， 故，解得， 综上，，显然只有满足要求. 【典例7-2】（25-26高三上·陕西西安·期末）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与的左、右两支分别相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与双曲线的左、右两支分别相交，得到直线的斜率与双曲线渐近线斜率的关系，进而求出离心率的取值范围. 【详解】设点的坐标为.由题可知， 整理可得，即，所以， 则，即，则离心率. 故选：C 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·湖南邵阳·模拟）已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先由判别式及根与系数的关系可得或，再由可得所求值的范围. 【详解】联立与，消去，得. 双曲线与直线相交于互异两点， 等价于同时成立. 解不等式,解得或. 因为正数为双曲线一条渐近线的斜率，所以. 当时，；当时，. 所以正数的取值范围是. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的左支于两点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法1：当直线的斜率不存在时，满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线联立，根据方程有两个负根列不等式组求解即可； 方法2：根据直线与双曲线的渐近线的位置关系，数形结合即可得解. 【详解】方法1：左焦点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，显然满足题意； 当直线的斜率存在时，设为， 由消去并整理得 因为与双曲线的左支交于两点，所以 解得或． 故选：D． 方法2：因为双曲线的渐近线方程为，直线过双曲线的左焦点， 结合图形可知，当直线的斜率时，与双曲线只有一个交点； 当时，与双曲线的左右各有一个交点； 当或时，与双曲线的左支有两个交点． 故选：D． 3．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意直线过点且双曲线的右顶点为， 又双曲线的渐近线方程为， 因此由题意，解得， 所以b的取值范围为. 1．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解，结合有且只有一个零点，即无解或有等根，分类计算后即可参数的取值范围． 【详解】， 因为有且只有一个零点，即无解，或有两个等根为 所以，或，解得． 2．（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】方程， 当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根； 当时，方程为，显然是此方程的一个实根， 当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解， 当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得， 所以的取值范围是. 3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的零点分布可得，解不等式组即可求解. 【详解】二次函数的图象是一条抛物线， 开口向上，对称轴方程为， 若它的两个零点都在区间内， 只需满足，解得. 所以的取值范围为. 故选：C. 30．（2026高三·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设出直线，联立双曲线，由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】过点作斜率为的直线方程为， 将与联立可得， 显然，， 解得， 设直线与双曲线右支相交的两点分别为， 则， 故，解得， 综上，，显然只有满足要求. 4．（2026高三·全国·专题练习）设函数，方程的两个实根满足．则当时，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，结合，，与二次不等式解法及作差法可判断选项正误. 【详解】由题意可知， 因，则或. 所以当时，，即； 又 . 因，，所以，即， 综上可得，． 故选：B 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的两个零点分别落在区间和上，则点构成的图形的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据零点分布确定限制条件，结合图象可求答案. 【详解】由于函数的两个零点分别落在区间和上， 所以令得 由得画出图象，得面积为2． 故选：C 6．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数，方程有两个小于1的不等正根，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】法1，由已知结合可得，分和讨论求解；法2，极端原理；法3，将二次函数设成两根式形式，根据条件写出两根式形式的关系式，将分离出来，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】解法1：由条件应有，由，得， 所以，可得， 若，则当时，，矛盾； 所以，即，所以的最小值为5. 解法2：考虑极端情况，由得，由得，从而， 此时，方程两根是等根，所以. 所以的最小值为5. 解法3：设方程两个小于1的不等正根为，故设， 又，所以，即， 所以， ， ，故，所以. 故选：D. 7．（2026高三·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，与双曲线方程联立，转化为方程有一正一负根求解. 【详解】设该直线为， 联立，化简整理得， 由直线与双曲线的左，右两支均相交， 所以，解得， 所以该直线斜率的取值范围为. 故选：B. 8．（多选）（25-26高三上·浙江宁波·阶段检测）已知定义域为的函数在区间内恰有一个零点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】ABD 【分析】对于A，根据求解判断；对于B，根据且求解判断；对于C根据或求解判断；对于D，根据分为，，并结合二次函数性质求解判断. 【详解】注意到，， 对于A，若，，开口向下，故要使函数在区间内恰有一个零点，只需，即，解得，故正确； 对于B，若，，，要使函数在区间内恰有一个零点，只需开口向下且，即且，解得，故正确； 对于C，若，，要使函数在区间内恰有一个零点，只需或，解得或，故错误； 对于D，若，， 当时，函数开口向下，要使函数在区间内恰有一个零点，只需，即，解得，即时满足题意； 当时，得，满足题意； 当时，要使函数在区间内恰有一个零点，只需或，解得或， 综上，若时，要使函数在区间内恰有一个零点，则或，故正确. 故选：ABD 9．（多选）（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知二次函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若恒成立，则 D．若在内有零点，则 【答案】ACD 【分析】对于A：配方整理即可；对于B：举反例说明即可；对于C：根据一元二次函数恒成立问题结合判别式运算求解即可；对于D：整理可得，进而求取值范围. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：当时，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于选项B：当时，，故B错误； 对于选项C：若二次恒成立， 则，解得，故C正确； 对于选项D：令， 因为，则，， 可得，故D正确； 故选：ACD. 10．（2026高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，即实数的取值范围是. 故答案为： 11．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）方程有两根，，且，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】令，易得，依题意可得，解之即得. 【详解】令，图象恒过点， 方程0在区间内有两个不同的根， ，解得. 12．（25-26高二上·湖北·期末）直线与双曲线左、右支各一个交点，则双曲线离心率的取值范围为___________． 【答案】 【分析】联立直线和双曲线方程，结合韦达定理列不等式求解. 【详解】联立直线和双曲线方程得到，， 设直线和双曲线的交点的横坐标为， 结合题意与韦达定理，， 即，即， 即，则. 13．（2026·福建厦门·二模）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图象恰有两个交点. ①当恒成立，即时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由. 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得：若函数恰有两个零点，则的取值范围是. 14．（2025高三·全国·竞赛）设都是整数，如果二次方程有两个不同实根，且都在区间内，那么正整数的最小值是_____． 【答案】6 【分析】解法1：由题意可得，记，进而计算可得，利用枚举法可知均不行，又的两根满足要求，可得结论. 解法2：考虑两根之差，必小于，当时，进而得，得，若，则是整数，方程的根均为有理根，设为，进而可得，结合的两根，可得结论. 【详解】解法1：是正整数，故开口向上， 条件要求，，即若记， 则，枚举知均不行． 当时，的两根满足要求． 所以正整数的最小值是6. 解法2：考虑两根之差，必小于，故． 因整数，故当时，，从而，得． 若，则是整数，方程的根均为有理根，设为，其中为正整数（且显然）， ，则，由此知． 若，则只能，与方程有两根不同相矛盾．故． 综上知．当时，的两根满足要求． 所以正整数的最小值是6. 故答案为：6. 15．（25-26高三上·天津·阶段检测）设，函数．若在区间内恰有2个零点，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】对不同情况下的分类，然后分别讨论相应的零点分布，即可得到的取值范围. 【详解】当时，时，， 因为， 所以在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件； 当时，有， 所以在上无零点， 而若，则只可能，所以在上至多可能有1个零点. 故在R上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件； 当时，解，得， 从而确为在上的一个零点. 再解方程，即， 可得两个不同的实数根. 而，， 故确为在上的一个零点， 而当且仅当时，另一根是在上的一个零点. 因为在区间内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能： 或，解得； 当时，，知恰有两个零点和4，满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 16．（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数且满足． (1)求的值； (2)已知函数有两个不同的正数零点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值： 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据函数满足得二次函数对称轴，求出，再根据求出； （2）将化为，根据题意结合韦达定理列出不等式组，解不等式组即可求出的取值范围；根据即可求出的值. 【详解】（1）函数为二次函数，图象开口向上，对称轴为， 又函数满足，则，解得， 又，所以，. （2）由（1）知， 所以. （i）因为函数有两个不同的正数零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. （ii）因为， 所以，又，所以. 17．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据奇函数的定义域关于原点对称求得，然后再根据奇函数的定义求得； （2）根据题意得及，即可求得，然后将函数零点问题转化为在上有两个不同的零点，且不是的零点，然后根据二次函数零点分布列不等式组求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，所以， 又，所以，即恒成立， 所以； （2）若点在直线上，则，又函数的图象过点， 所以，所以，所以； 所以， 因为在上有两个不同的零点， 所以在上有两个不同的解，且， 记，其开口向上，对称轴为， 要使在上有两个不同的零点， 则，即，解得， 又，所以且， 所以且，即的取值范围为. 18．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数在上的值域为. (1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是函数的两个零点，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题求出，问题转化为在上恒成立，列式求解； （2）由题可得，运算得解. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为“”是“”的充分条件，所以在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是 （2）因为是函数的两个零点，且，开口向上， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 19．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）已知关于x的方程的根为负数，其中k为实数. (1)求k的取值范围. (2)已知一元二次方程有两个整数根，且m为整数.从①，②两个条件中任意选一个条件，求.[注]如果选择两个条件分别作答，则按第一个条件作答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)根据题意可得，结合且列出不等式组，解之即可； (2)根据选的条件可得对应的一元二次方程，结合且解出m的范围，利用韦达定理求出m的值，即可解方程. 【详解】（1）因为关于x的方程的根为负数，所以且. 由，得， 则解得且. 故k的取值范围是. （2）选①. 由题意，把代入方程，得，则且，解得. 因为是整数，m也是整数，所以为整数， 所以或，由，可得， 则，解得. 又，所以. 选②. 由题意，把代入方程，得，则且， 解得或. 因为是整数，m也是整数，所以为整数， 所以或或或， 由，可得或. 若，则，无整数解； 若，则，解得. 故. 20．（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程在上： (1)有实根，求的取值范围； (2)有两个不同的实根，求的取值范围； (3)有一个实根，求的取值范围； (4)无实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 有交点，作图数形结合即可. （2）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 有2个不同的交点，作图数形结合即可. （3）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 只有一个交点，作图数形结合即可. （4）令 ，分离参数可得到，问题可转化为与在 没有交点，作图数形结合即可. 【详解】（1）令 ，由于 ，有 ， 方程可化为：，可得， ， 令，， 作出的图象如图： 问题可转化为与在 有交点， 只需， 所以. （2）由第一问知：，， 问题可转化为：与在 有两个不同交点，作出图象： 由图可知，得 . （3）由第一问知：，， 问题可转化为：与在 上只有一个交点，作出图象： 由图可知：或， 故或. （4）由第一问知：，， 问题可转化为：与在 没有交点，作出图象： 由图可知：或， . 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $