2026年苏科版七升八数学暑期预习讲义（第5讲）——实数的初步认识（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第5讲）——实数的初步认识（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 2 【知识点一】平方根 2 【题型 1】平方根、算术平方根概念的理解 2 【题型 2】求一个数的平方根与算术平方根 3 【题型 3】利用非负性求参数（高频考点） 4 【知识点二】立方根 4 【题型 4】立方根性质的理解 4 【题型 5】立方根求值运算 4 【知识点三】实数（核心） 5 【题型 6】实数的分类与性质 6 【题型 7】实数大小比较 6 二.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 8】算术平方根、平方根、立方根的综合运算 7 【题型 9】已知一个数算术平方根、平方根、立方根，求这个数的综合运算 7 【题型 10】算术平方根、平方根、立方根的应用 8 【题型 11】与实数有关运算 8 【题型 12】与实数运算的有关规律探究 9 三.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读定义、记性质、学例题、练变式，就能完全掌握《实数初步认识》所有核心重难点。循序渐进、零基础可学。 学习方法：读概念→理解性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 【知识点一】平方根 1. 算术平方根 （1）定义：若一个非负数的平方等于（即，），则这个非负数叫做的算术平方根。 （2）表示方法：的算术平方根记作（读作”根号”），其中叫做被开方数。 （3）特殊规定：0的算术平方根是0，即。 （4）性质：① 双重非负性：被开方数，算术平方根；② 正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 2. 平方根 （1）定义：若一个数的平方等于（即），则这个数叫做的平方根（也叫二次方根）。 （2）表示方法：正数的平方根记作。 （3）性质：① 正数有两个互为相反数的平方根；② 0的平方根是0；③ 负数没有平方根。 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 （1）区别：个数不同（正数1个算术平方根、2个平方根）、符号不同（算术平方根非负，平方根一正一负）； （2）联系：算术平方根是平方根中的非负根，正数的两个平方根互为相反数。 【题型 1】平方根、算术平方根概念的理解 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根是正数 B．100的平方根是10 C．是100的一个平方根 D．的平方根是 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）25的平方根用符号表示为________；25的算术平方根用符号表示为________， 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在下列结论中，正确的是（   ） A． B．是的平方根 C．一定没有平方根 D．的算术平方根是 【变式3】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）先说出下列各式的意义，再计算． （1） （2） （3） 【题型 2】求一个数的平方根与算术平方根 【例题2】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）计算： 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； 求下列各数的平方根： （3）； （4）14． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．16的负的平方根是 C．任何数的平方根都是正数 D．任何数的算术平方根都是正数 【变式2】（专题05平方根-2021-2022学年八年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版））（1）的平方根是________； （2）的平方根是________，算术平方根是________； （3）的平方根是________，算术平方根是________； （4）的平方根是________，算术平方根是________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）请填写下列表格： 平方根 算术平方根 64 37 【题型 3】利用非负性求参数（高频考点） 【例题3】（25-26八年级下·四川广元·期中）已知三角形的三边分别为a、b、c，其中a、b两边满足，求这个三角形的最大边c的取值范围． 【变式1】（2026·四川乐山·中考真题）若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川雅安·二模）若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是________． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知实数a、b满足，求： （1）a、b的值； （2）求代数式的值． 【知识点二】立方根 1. 定义：若一个数的立方等于（即），则这个数叫做的立方根（也叫三次方根）。 2. 表示方法：的立方根记作，其中“3”是根指数，不可省略（平方根根指数2可省略）。 3. 核心性质：① 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；② 任意实数都有且只有一个立方根（无正负成对情况）；③ 重要公式：。 【题型 4】立方根性质的理解 【例题4】（25-26七年级下·全国·周测）已知与互为相反数，求a的值． 【变式1】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）下列式子错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是_________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【题型 5】立方根求值运算 【例题5】（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值： （1）； （2） 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 【变式3】（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）（1）计算：①；②； （2）求下列各式中的值：①；②． 【知识点三】实数（核心） 1. 实数的分类 （1）有理数：整数和分数的统称，可化为有限小数或无限循环小数； （2）无理数：无限不循环小数，常见类型：①开方开不尽的数（）；②特殊常数（）；③无限不循环小数（0.1010010001...）。 （3）实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2. 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 3. 实数的性质： ① 相反数：实数的相反数是； ② 绝对值：正数、0的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数； ③ 大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大；正数>0>负数，两个负数绝对值大的反而小。 4. 实数的运算 实数可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算，有理数的运算法则、运算律对实数同样适用。 【题型 6】实数的分类与性质 【例题6】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）了解无理数与实数的概念 （1）______小数叫做无理数； （2）有理数和_____统称为实数． 【变式1】（重庆市潼南区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B．3.1415926 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川自贡·期中）把下列各数填在相应的括号内：，，，0，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）． 整数集合｛                              } 分数集合｛                              } 无理数集合｛                             } 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）请完成下列表格： 原数 绝对值 相反数 【题型 7】实数大小比较 【例题7】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： （1）与． （2）与． 【变式1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在实数，，，中，最小的数是（     ） A． B． C．-2 D． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较大小： （1）与； （2）与． 二.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】算术平方根、平方根、立方根的综合运算 【例题8】（25-26七年级下·天津·阶段检测）计算与解方程： （1）． （2）． 【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段检测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·吉林长春·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为__________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）计算： （1） （2） 【题型 9】已知一个数算术平方根、平方根、立方根，求这个数的综合运算 【例题9】（25-26七年级下·山东济南·期末）已知的平方根是，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【变式1】（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·云南红河·期末）已知的立方根是，的算术平方根是．则________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西·期末）已知的平方根是，的立方根是3． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【题型 10】算术平方根、平方根、立方根的应用 【例题10】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 【变式1】（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，一块面积为的正方形丝巾，它的边长是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，则正方形的边长是________；若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为   ____________ ．    【变式3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）小明的爸爸打算用如图的面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 【题型 11】与实数有关运算 【例题11】（25-26七年级下·广西梧州·期中）计算： （1） （2） 【变式1】（25-26七年级下·广西防城港·期末）如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（2018·湖北襄阳·中考真题）_____． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期末）计算： （1） （2） 【题型 12】与实数运算的有关规律探究 【例题12】（假期作业13立方根）（1）填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律； （3）若，求的值[利用（2）的规律计算，计算结果用表示]． 【变式1】（25-26七年级下·安徽六安·期中）观察下表，然后回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决问题：已知，若，则（    ） A．32.4 B．324 C．3240 D．32400 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）________． 【变式3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）的平方根为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广西防城港·期末）下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆合川·期末）化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知一个正数的平方根是和，则的值是（     ） A．3 B．0 C．2 D．1 5．（25-26七年级下·广西桂林·期中）一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·重庆江津·期末）关于“”，下列说法不正确的是（     ）． A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示 C．它可以表示面积为的正方形的边长 D．它不是实数 8．（25-26九年级下·山东烟台·期中）根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 9．（23-24七年级下·上海·期末）已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 10．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，正方形的面积为6，数轴上点A的坐标为0．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴分别交于点M，N，的长为（     ） A．6 B．12 C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·北京海淀·期末）已知：，则____________． 12．（25-26七年级下·福建厦门·期末）直接写出结果： （1）________；（2）________． 13．（25-26七年级下·河南新乡·期末）若，，则____． 14．（2026·福建泉州·模拟预测）若，则___________． 15．（25-26七年级下·广西南宁·期末）若与是同一个正数的两个不同的平方根，则_________． 16．（22-23七年级下·山东德州·阶段检测）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 17．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 18．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，把纸沿长边对折可得到纸，把纸沿长边对折可得到纸，把纸对折可得到纸……，所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，这个定值是_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·北京·期中）计算： （1） （2） 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是________，小数部分是_________； （2）若，其中：a是整数，．求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为和． （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： （1）比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） （2）已知，且，若，，试比较A和B的大小． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： （1）上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 （2）类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第5讲）——实数的初步认识（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 2 【知识点一】平方根 2 【题型 1】平方根、算术平方根概念的理解 2 【题型 2】求一个数的平方根与算术平方根 4 【题型 3】利用非负性求参数（高频考点） 7 【知识点二】立方根 9 【题型 4】立方根性质的理解 9 【题型 5】立方根求值运算 10 【知识点三】实数（核心） 13 【题型 6】实数的分类与性质 13 【题型 7】实数大小比较 15 二.经典题型精析（综合提升） 17 【题型 8】算术平方根、平方根、立方根的综合运算 17 【题型 9】已知一个数算术平方根、平方根、立方根，求这个数的综合运算 19 【题型 10】算术平方根、平方根、立方根的应用 21 【题型 11】与实数有关运算 23 【题型 12】与实数运算的有关规律探究 24 三.同步自测 28 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 28 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读定义、记性质、学例题、练变式，就能完全掌握《实数初步认识》所有核心重难点。循序渐进、零基础可学。 学习方法：读概念→理解性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 【知识点一】平方根 1. 算术平方根 （1）定义：若一个非负数的平方等于（即，），则这个非负数叫做的算术平方根。 （2）表示方法：的算术平方根记作（读作”根号”），其中叫做被开方数。 （3）特殊规定：0的算术平方根是0，即。 （4）性质：① 双重非负性：被开方数，算术平方根；② 正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 2. 平方根 （1）定义：若一个数的平方等于（即），则这个数叫做的平方根（也叫二次方根）。 （2）表示方法：正数的平方根记作。 （3）性质：① 正数有两个互为相反数的平方根；② 0的平方根是0；③ 负数没有平方根。 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 （1）区别：个数不同（正数1个算术平方根、2个平方根）、符号不同（算术平方根非负，平方根一正一负）； （2）联系：算术平方根是平方根中的非负根，正数的两个平方根互为相反数。 【题型 1】平方根、算术平方根概念的理解 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根是正数 B．100的平方根是10 C．是100的一个平方根 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作，0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．根据平方根的定义逐项分析即可． 解：A、正数的平方根有2个，它们互为相反数，故错误； B、100的平方根是，故错误； C、∵， ∴是100的一个平方根，正确； D、没有平方根，故此选项错误； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）25的平方根用符号表示为________；25的算术平方根用符号表示为________， 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，根据平方根、算术平方根的定义进行求解即可． 解：25的平方根记为，25的算术平方根记为， 故答案为：，． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在下列结论中，正确的是（   ） A． B．是的平方根 C．一定没有平方根 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根以及算术平方根，熟练掌握平方根以及算术平方根的定义是解本题的关键． 根据算术平方根的意义，平方根的意义进行判断即可． 解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、是的平方根，故此选项正确，符合题意； C、当时，的平方根等于，故此选项错误，不符合题意； D、的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）先说出下列各式的意义，再计算． （1） （2） （3） 【答案】（1）表示的算术平方根；；（2）表示的平方根；；（3）表示的负的平方根； 【分析】本题考查了求一个数的平方根与算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义解得即可； （2）根据平方根与的定义解得即可； （3）根据平方根的定义解得即可． 解：（1）解：表示的算术平方根，． （2）解：表示的平方根，． （3）解：表示的负的平方根，． 【题型 2】求一个数的平方根与算术平方根 【例题2】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）计算： 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； 求下列各数的平方根： （3）； （4）14． 【答案】（1）30；（2）1；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，注意正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根；正数的算术平方根有一个，0的算术平方根是0． （1）（2）考查了一个正数的算术平方根； （3）（4）考查了一个正数的平方根． 解：（1）900的算术平方根是30， （2）1的算术平方根是1， （3）的平方根是， （4）14的平方根是． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．16的负的平方根是 C．任何数的平方根都是正数 D．任何数的算术平方根都是正数 【答案】B 【分析】根据平方根，算术平方根解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 解：A. 4的平方根是，错误，不符合题意； B. 16的负的平方根是，正确，符合题意； C. 0的平方根是0，错误，不符合题意； D. 0的算术平方根是0，错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（专题05平方根-2021-2022学年八年级数学上册链接教材精准变式练（北师大版））（1）的平方根是________； （2）的平方根是________，算术平方根是________； （3）的平方根是________，算术平方根是________； （4）的平方根是________，算术平方根是________． 【答案】 5 【分析】分别利用平方根、算术平方根的定义计算即可． 平方根的定义：一个数x的平方等于a，这个数x叫a的平方根； 算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根． 解：（1）的平方根是________； （2）的平方根是________，算术平方根是____5____； （3）的平方根是________，算术平方根是_____； （4）的平方根是____，算术平方根是___． 故答案为： （1）；（2），5（3），；（4）， 【点拨】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义，解题注意：一个正数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）请填写下列表格： 平方根 算术平方根 64 37 【答案】见分析 【分析】本题考查了求一个数的平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题关键．根据，，，，，求解即可得． 解：∵， ∴64的平方根是，算术平方根是8； ∵， ∴的平方根是，算术平方根是； ∵， ∴的平方根是，算术平方根是； ∵， ∴37的平方根是，算术平方根是； ∵，， ∴的平方根是，算术平方根是． 则填写表格如下： 平方根 算术平方根 64 8 37 【题型 3】利用非负性求参数（高频考点） 【例题3】（25-26八年级下·四川广元·期中）已知三角形的三边分别为a、b、c，其中a、b两边满足，求这个三角形的最大边c的取值范围． 【答案】 【分析】先求出，则，再根据三角形的三边关系和为这个三角形的最大边解答即可． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵三角形的三边分别为， ∴，即， ∴， 又∵为这个三角形的最大边， ∴， ∴． 【变式1】（2026·四川乐山·中考真题）若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可． 解： ，，且， ，， 解得： ，， ． 【变式2】（2026·四川雅安·二模）若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出，的值，再根据等腰三角形的定义分类讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可计算得到周长． 解：，且，， ，， 解得：，， 当等腰三角形的腰长为，底边长为时，三边长为，，， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时，三边长为，，， 满足三角形三边关系， 此时三角形的周长为． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知实数a、b满足，求： （1）a、b的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1），；（2）代数式的值为 解：（1）解：∵，，且两者和为0， ∴，， 解得：，； （2）解：将，代入代数式： . 【知识点二】立方根 1. 定义：若一个数的立方等于（即），则这个数叫做的立方根（也叫三次方根）。 2. 表示方法：的立方根记作，其中“3”是根指数，不可省略（平方根根指数2可省略）。 3. 核心性质：① 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；② 任意实数都有且只有一个立方根（无正负成对情况）；③ 重要公式：。 【题型 4】立方根性质的理解 【例题4】（25-26七年级下·全国·周测）已知与互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、立方根、解一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． 根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解． 解：与互为相反数， ， ，即， 解得． 【变式1】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）下列式子错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义，根据定义计算每个选项，即可找出错误的式子. 解： 表示的算术平方根，结果为非负数，，本选项错误； ，，本选项正确； ，，本选项正确； ，，本选项正确； 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 解：（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． 【题型 5】立方根求值运算 【例题5】（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 解：（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 【答案】 2 3 3 / / 0 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解决问题的关键．如果一个数的立方是a，则这个数的立方根是， 根据立方根的定义即可得到结论． 解：（1）∵， ∴8的立方根是2； ， 的立方根是； （2）， 的立方根是3，即； （3）∵，∴的立方根是； （4）∵，∴的立方根是； （5）∵，∴0的立方根是0； （6）∵，∴9的立方根是 ． 故答案为：2，，3，3，，，0，． 【变式3】（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）（1）计算：①；②； （2）求下列各式中的值：①；②． 【答案】（1）①；②；（2）①或；②． 【分析】本题考查了算术平方根，平方根、立方根的计算； （1）①先计算根式，再加减计算． ②先计算根式和乘方，再加减计算． （2）①两边除以4，再计算平方根． ②先移项，再两边同时除以2，再计算立方根． 解：（1）① ； ② ； （2）①， ， ∴， 解得：或 ， ②， ， ∴， 解得：． 【知识点三】实数（核心） 1. 实数的分类 （1）有理数：整数和分数的统称，可化为有限小数或无限循环小数； （2）无理数：无限不循环小数，常见类型：①开方开不尽的数（）；②特殊常数（）；③无限不循环小数（0.1010010001...）。 （3）实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2. 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 3. 实数的性质： ① 相反数：实数的相反数是； ② 绝对值：正数、0的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数； ③ 大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大；正数>0>负数，两个负数绝对值大的反而小。 4. 实数的运算 实数可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算，有理数的运算法则、运算律对实数同样适用。 【题型 6】实数的分类与性质 【例题6】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）了解无理数与实数的概念 （1）______小数叫做无理数； （2）有理数和_____统称为实数． 【答案】 无限不循环 无理数 【分析】根据无理数与实数的概念进行填空． 解：（1）无限不循环小数叫做无理数； （2）有理数和无理数统称为实数． 【点拨】本题考查了无理数与实数的概念． 【变式1】（重庆市潼南区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B．3.1415926 C． D． 【答案】C 【分析】有限小数和无限循环小数都是有理数，无理数是无限不循环小数，据此即可判定选项． 解：∵是分数，属于有理数； 3.1415926是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 【变式2】（25-26七年级下·四川自贡·期中）把下列各数填在相应的括号内：，，，0，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）． 整数集合｛                              } 分数集合｛                              } 无理数集合｛                             } 【答案】整数集合｛， ｝ 分数集合｛｝ 无理数集合｛，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）} 【分析】先将化简，再根据实数的分类，填入相应的集合即可求解． 解：0，是整数，是分数；，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）是无理数． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）请完成下列表格： 原数 绝对值 相反数 【答案】见分析 【分析】本题考查了求绝对值，求相反数． 根据绝对值、相反数的定义填表即可． 解：表格如下： 原数 绝对值 相反数 【题型 7】实数大小比较 【例题7】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： （1）与． （2）与． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． （1）使用作差法，计算两数之差，通过判断差的正负来比较大小； （2）使用作差法，计算两数之差，若差为正，则被减数大于减数． 解：（1）解：， ． （2）解：， ． 【变式1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在实数，，，中，最小的数是（     ） A． B． C．-2 D． 【答案】D 【分析】利用“正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小”的规则求解即可． 解：∵ ，，，， ∴ 正数都大于负数，只需比较两个负数的大小， ∵，，且， ∴ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小， ∴，即四个数中最小的数是． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较大小： （1）与； （2）与． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． （1）直接利用作差法比较大小即可； （2）将两数相减得到，接着比较与的大小，将、分别平方即可比较大小，由此可比较原数的大小． 解：（1）解： ， ， ，即， ． （2）解： ． ，， ， ， ， ． 二.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】算术平方根、平方根、立方根的综合运算 【例题8】（25-26七年级下·天津·阶段检测）计算与解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先利用平方差公式、立方根的性质化简各项，再进行加减乘除混合运算即可； （2）利用平方根的性质解方程即可． 解：（1）解： ； （2）解： ， 或， ，． 【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段检测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·吉林长春·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，进而得出结果． 解：是即4的算术平方根， ， 是的立方根， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查平方根与立方根运算，读懂题意，准确表示出与值是解决问题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平方根，立方根的计算方法，即可求解， （2）根据平方根，立方根，负整数指数幂的计算方法，即可求解， 本题考查了实数的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 解：（1）解： （2）解： ． 【题型 9】已知一个数算术平方根、平方根、立方根，求这个数的综合运算 【例题9】（25-26七年级下·山东济南·期末）已知的平方根是，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），；（2）的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出关于、的方程，先求出、的值； （2）把，代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解结果． 解：（1）解：的平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 把代入得， 解得； （2）解：把，代入得：， 的算术平方根是， 的算术平方根为． 【变式1】（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·云南红河·期末）已知的立方根是，的算术平方根是．则________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和算术平方根的定义，求出，的值，再代入计算即可． 解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得，， ． 【变式3】（25-26七年级下·陕西·期末）已知的平方根是，的立方根是3． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）的值为6，的值为6；（2） 【分析】（1）根据平方根与立方根的定义分别列出关于的方程，解方程即可； （2）把（1）中求得的值代入，再求算术平方根即可． 解：（1）解：∵的平方根是， ∴，解得； ∵， ∴， ∵的立方根是3， ∴，解得， ∴的值为6，的值为6； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 【题型 10】算术平方根、平方根、立方根的应用 【例题10】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 【答案】 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长． 解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为． 【变式1】（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，一块面积为的正方形丝巾，它的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形面积的计算，根据正方形的面积公式边长的平方等于面积求解算术平方根即可． 解：设正方形丝巾的边长为 ， 正方形的面积为 ， ， ∴， ， ，即正方形丝巾的边长是 ． 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，则正方形的边长是________；若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为   ____________ ．    【答案】 / 【分析】利用正方形面积公式求出边长，再根据数轴的特点（右侧的数比左侧的数大）即可求出点所表示的数． 解：设正方形的边长为，则根据题意可得：； 解得：； ∵，点在数轴上表示的数为1，且点在点的右侧， ∴ 则点所表示的数为． 【变式3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）小明的爸爸打算用如图的面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 【答案】不能裁出符合要求的长方形． 【分析】设长方形的长、宽分别为，则，可得．故不能裁出符合要求的长方形． 解：设长方形的长、宽分别为，则 ，， ∴． ∴． ∴不能裁出符合要求的长方形． 【题型 11】与实数有关运算 【例题11】（25-26七年级下·广西梧州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）11；（2）2 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式． 【变式1】（25-26七年级下·广西防城港·期末）如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数值转换器示意图可得输入的数值首先求算术平方根，算术平方根若是有理数，则对所得算术平方根继续求算术平方根，直到得到的结果是无理数，就是输出的的值． 解：∵的算术平方根是，是有理数， ∴取的算术平方根是，是无理数， ∴输出. 【变式2】（2018·湖北襄阳·中考真题）_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的性质．根据负数的绝对值是它的相反数． 解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）13；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根，正确求解是解答的关键． （1）先计算算术平方根、立方根和乘方，再进行加减运算即可； （2）先进行乘方、开方和绝对值运算，再进行加减运算即可； 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 12】与实数运算的有关规律探究 【例题12】（假期作业13立方根）（1）填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律； （3）若，求的值[利用（2）的规律计算，计算结果用表示]． 【答案】（1）0.01，0.1，1，10，100；（2）一个数的小数点每向右（或向左）移动三位，这个数的立方根的小数点就向右（或向左）移动一位；（3）． 【分析】此题考查立方根的知识，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键. （1）由立方根与立方互为逆运算，可从立方入手计算； （2）规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位，由此解决问题； （3）根据（2）的规律计算即可得到结果. 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴填表如下： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 故答案为：0.01   0.1   1   10   100 （2）由上表可得，被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位. （3）∵ ∴即 即 【变式1】（25-26七年级下·安徽六安·期中）观察下表，然后回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决问题：已知，若，则（    ） A．32.4 B．324 C．3240 D．32400 【答案】D 【分析】根据被开方数每移动2位，算术平方根向相同的方向移动1位，进行求解即可. 解：∵，， ∴. 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了与算术平方根有关的规律探索，观察可知，第n排第n个数为，而同一排相邻的两个数，右边的那个数的开方数比前面的数的开方数大1，据此求解即可． 解：第1排，第1个数为1， 第2排第2个数为2， 第3排第3个数为3， 第4排第4个数为4， ……， 以此类推可知，第n排第n个数为， ∴第1排到第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义，需要注意正数有两个互为相反数的平方根，不要与算术平方根混淆． 解： ， 的平方根为 ． 2．（25-26七年级下·广西防城港·期末）下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可得到答案． 解：选项A，是整数，属于有理数； 选项B，是分数，属于有理数； 选项C，是整数，属于有理数； 选项D，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 3．（25-26八年级下·重庆合川·期末）化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵， ∴． 4．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知一个正数的平方根是和，则的值是（     ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】D 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据该性质列方程即可求解的值． 解：∵一个正数的两个平方根互为相反数 去括号得 合并同类项得 移项得 解得． 5．（25-26七年级下·广西桂林·期中）一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体体积等于棱长的三次方，已知体积求棱长，计算得出结果即可． 解：设这种正方体集装箱的棱长为． ∵正方体体积公式为体积等于棱长的三次方， ∴． ∵，棱长为正数， ∴． 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的运算性质，根据平方根、立方根的定义对各选项逐一计算即可判断对错． 解：对于选项A，表示的平方根，结果为，不等于，A错误； 对于选项B，根据立方根的性质，负数的立方根是负数，可得，，B正确； 对于选项C，表示的算术平方根，结果为，不是，C错误； 对于选项D，，不等于，D错误． 7．（25-26七年级下·重庆江津·期末）关于“”，下列说法不正确的是（     ）． A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示 C．它可以表示面积为的正方形的边长 D．它不是实数 【答案】D 【分析】根据无理数定义，数轴的意义，正方形面积公式和实数的分类，逐一判断各选项，选出说法错误的选项即可． 解：∵11不是完全平方数，开方开不尽， ∴是无理数，A选项说法正确，不符合题意； ∵所有实数都可以用数轴上的一个点表示，是实数， ∴它可以用数轴上的一个点表示，B选项说法正确，不符合题意； ∵若正方形面积为，设边长为，则且，可得， ∴可以表示面积为11的正方形的边长，C选项说法正确，不符合题意； ∵是无理数，无理数属于实数，∴“它不是实数”的说法错误，D选项符合题意． 8．（25-26九年级下·山东烟台·期中）根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先计算的结果，若结果小于2，则输出结果，若结果大于或等于2，则把结果作为x的值重新输入到进行计算，据此逐步求解即可． 解：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴输出的结果为． 9．（23-24七年级下·上海·期末）已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 10．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，正方形的面积为6，数轴上点A的坐标为0．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴分别交于点M，N，的长为（     ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的概念可求，据此计算即可得到答案． 解：∵正方形的面积为6， ； ∵以A点为圆心，为半径，与数轴分别交于点M，N， ∴； ∴的长为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·北京海淀·期末）已知：，则____________． 【答案】 【分析】几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求出的值，再代入求值即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 12．（25-26七年级下·福建厦门·期末）直接写出结果： （1）________；（2）________． 【答案】 【分析】（1）根据平方根的定义，求出25的正负平方根； （2）先计算平方，再依据算术平方根结果为非负数化简求值． 解：（1）； （2）． 13．（25-26七年级下·河南新乡·期末）若，，则____． 【答案】 解：， 由题干可知， ∴． 14．（2026·福建泉州·模拟预测）若，则___________． 【答案】 解：∵，， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·广西南宁·期末）若与是同一个正数的两个不同的平方根，则_________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，据此建立关于的方程，求解后再计算的值． 解：与是同一个正数的两个不同的平方根， ， 去括号，合并同类项得， 解得， ． 16．（22-23七年级下·山东德州·阶段检测）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【答案】/ 【分析】先求出与的值，再求出点所表示的数． 解：∵正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， 又∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 17．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 18．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，把纸沿长边对折可得到纸，把纸沿长边对折可得到纸，把纸对折可得到纸……，所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，这个定值是_______． 【答案】 【分析】设长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据题意，得长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，建立等式，求解即可． 解：设长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据题意，得长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是， 根据题意，得所有的A型纸张的长宽之比是一个定值， 故， 整理得， 解得，边长不能为负，故舍去， 故， 故． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·北京·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是________，小数部分是_________； （2）若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】（1）3，3；（2） 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 解：（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为和． （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： （1）比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） （2）已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： （1）上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 （2）类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①；（2）①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 解：（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． ②略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $