2026年北师大版七升八数学暑期预习讲义（第12讲）——一次函数与实际问题（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第12讲）——一次函数与实际问题 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】一次函数实际应用本质 1 【知识点二】一次函数实际问题解题五步法（标准答题模板） 2 【知识点三】一次函数增减性与实际意义 2 【知识点四】一次函数五大必考应用模型 2 【知识点五】高频易错点（预习必避坑） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】计费收费问题（基础必考·打车/水电/套餐） 2 【题型 2】行程运动问题（期末高频·匀速运动） 5 【题型 3】库存与剩余量问题（递减型一次函数） 9 【题型 4】销售利润与成本问题（考试大题重点） 12 【题型 5】几何动态变化问题（综合拔高） 15 【题型 6】一次函数方案选择问题（期末压轴基础） 20 三.同步自测 24 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 24 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 37 一.教材知识梳理 【知识点一】一次函数实际应用本质 生活中大量两个变量成线性变化的问题，都可以用一次函数 建模解决。 核心特征：一个量均匀变化，另一个量随之均匀变化（匀速、匀速增减、固定单价等）。 自变量取值范围：实际问题中，x 不能为负数、小数、分数、超出现实场景范围，必须结合题意限定，这是实际应用题和纯函数题最大的区别。 【知识点二】一次函数实际问题解题五步法（标准答题模板） 1. 找变量：确定自变量 、因变量 ，读懂谁随谁变化。 2. 建模型：根据题意设一次函数解析式。 3. 代数据：代入两组对应数值，用待定系数法求出 。 4. 定范围：写出自变量 的实际取值范围（必考得分点）。 5. 做解答：利用解析式、增减性、图像求解求值、最值、比较大小等问题。 【知识点三】一次函数增减性与实际意义 1. ， 随 增大而增大（越多越贵、越跑越远、产量递增）； 2. ， 随 增大而减小（库存递减、剩余水量递减、成本递减）； 3. 代表初始量、起步价、初始库存、初始距离。 【知识点四】一次函数五大必考应用模型 1. 费用计费模型：总费用=单价×数量+起步费用 2. 行程运动模型：路程=速度×时间+初始路程（匀速运动） 3. 库存增减模型：剩余量=原有量±变化速率×时间 4. 销售利润模型：总销售额、总成本随销量线性变化 5. 几何动态模型：边长、周长、面积随线段长度线性变化 【知识点五】高频易错点（预习必避坑） 1. 忘记写自变量取值范围，考试直接扣分； 2. 忽略实际意义：人数、物品数量为非负整数； 3. 混淆 和 的实际含义，答非所问； 4. 直接看图不列式，综合题必须先求解析式再计算； 5. 最值问题忘记结合取值范围，直接取端点出错。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】计费收费问题（基础必考·打车/水电/套餐） 【例题1】（2026·吉林长春·模拟预测）节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示． （1）优惠前草莓的销售价格为每千克________元； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若某游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，直接写出该游客所花的费用． 【答案】（1）40；（2）；（3）900元 【分析】（1）根据函数图象，用即可求解； （2）根据待定系数法求解析式即可求解； （3）先理解题意，再把代入求解即可． 解：（1）解：依题意，， ∴优惠前草莓的销售价格为每千克40元． （2）解：设当时y与x的函数解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴当时y与x的函数解析式为． （3）解：∵ ∴当时，． 答：该游客所花的费用为900元． 【变式1】（2026·广东汕头·一模）某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时 【答案】B 【分析】根据费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，设出一次函数解析式，代入求值即可． 解：设， 由题意知，， 解得， ， 当时，， 答：该停车场免费停车时间为1小时． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 【答案】4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元（不足1小时按1小时算）．设骑行时间为x小时（，且x为正整数），总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若小明骑行3.5小时，应付多少元？ （3）若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【答案】（1）；（2）9元；（3）最多骑行5小时 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 解：（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 【题型 2】行程运动问题（期末高频·匀速运动） 【例题2】（2026·吉林·中考真题）一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）求汽车在高速公路上行驶的速度． （2）求所在直线对应的函数解析式． （3）记者出发后多长时间到达采访地？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据路程除以时间即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入即可求解． 解：（1）解：， 答：汽车在高速公路上行驶的速度为； （2）解：设所在直线对应的函数解析式为， 代入和 则 解得 ∴所在直线对应的函数解析式为； （3）解：由解析式，得到汽车在普通公路上行驶的速度为； 则汽车在普通公路上行驶时间为， 总用时为 答：记者出发后到达采访地． 【变式1】（2026·广东深圳·二模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度（单位：m）与上升的时间（单位：s）的对应关系如图所示．下列说法正确的是（   ） A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快 C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同 【答案】B 【分析】数形结合可得答案． 解：由题可知：甲从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，起飞时甲、乙高度不相同，故A不正确； 速度路程时间，由两图像交点知，相同时间内，甲上升的距离大于乙上升的距离，甲无人机的上升速度更快，故B正确，C不正确，D不正确． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系．根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元．若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其他因素（红绿灯，堵车等），他从家到机场需要的时间是_____小时． 【答案】 【分析】根据题意可得当时，y与x的函数关系式，再把代入函数关系式求出x的值，然后根据网约车的速度可得答案． 解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 设当时，y与x的函数关系式为， 把点代入得： ， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 当时，， 解得， 即他从家到机场需要的时间是小时． 【变式3】（2026·陕西·中考真题）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发后运动员才出发，运动员出发后追上机器人．如图，，分别表示运动员、机器人距起点的距离与时间之间的关系． （1）求对应的函数表达式； （2）求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出，的交点为，再由待定系数法求解对应的函数表达式； （2）可求运动员在第时到达终点，然后求出机器人行驶的路程，即可求解机器人距终点的距离． 解：（1）解：由题意得，机器人的速度为， 由题意得，运动员时追上机器人，此时机器人跑了 ∴，的交点为 设对应的函数表达式为，代入点，， 则 解得 ∴，当时， 则，解得， ∴对应的函数表达式为； （2）解：对于，当时， 则， 解得， ∴ ∴当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为． 【题型 3】库存与剩余量问题（递减型一次函数） 【例题3】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，李师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）剩余电量为，该电动车在高速公路上行驶了______； （2）求y与x之间的关系式； （3）李师傅从B市高速公路出口驶出时，该电动车的剩余电量为______． 【答案】（1）150；（2）；（3）32 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）直接根据图象求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求得当时，求出y的值即可． 解：（1）解：由函数图象知，当时，， ∴剩余电量为，该电动车在高速公路上行驶了， 故答案为：150； （2）解：设y与x之间的关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴ （3）解：当时，， ∴电动车的剩余电量为， 故答案为：32． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）春节假期小明一家自驾车从长沙到离家约的铜仁旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达铜仁时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察表格即可判断AB，根据该车每行驶耗油列式计算即可判断C，根据油箱剩余油量最开始油箱的油量消耗的油量即可判断D． 解：由表格可得，该车的油箱容量为，故A正确，不符合题意； 由表格可得，该车每行驶耗油，故B正确，不符合题意； ，故当小明一家到达铜仁时，油箱中剩余油，故C错误，符合题意； 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025·浙江杭州·二模）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 若该轿车满油为，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开______公里就必须去加油． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法求解析式是关键． 根据表格信息运用待定系数法得到一次函数解析式，再根据题意求自变量或函数值即可． 解：根据题意，设行驶的路程与油箱剩余油量的函数解析式为， 当时，， ∴， 解得，， ∴， 当是，， 解得，， ∴小明家的轿车至多开公里就必须去加油， 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期末）新能源电池的能量密度和放电效率是制约新能源汽车发展的核心因素，实际驾驶中发现，新能源汽车充满电后，前半部分电量的续航效率通常更高，消耗相同电量时，前半段能行驶的路程更远，折线表示某型号新能源汽车蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程s（千米）之间的关系． （1）剩余电量为40千瓦时的时候，汽车已行驶的路程为 千米； （2）求所在直线的表达式，并求该汽车剩余电量为20千瓦时的时候，已行驶的路程是多少？ 【答案】（1）160；（2），230千米 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）观察图象即可； （2）利用待定系数法求出线段对应的函数关系式并将代入，求出对应的值即可． 解：（1）解：由图象可知，剩余电量为40千瓦时的时候，汽车已行驶的路程为160千米． 故答案为：160． （2）解：设线段对应的函数关系式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入，得， 解得， ∴线段对应的函数关系式为， 当时，得， 解得． 答：该汽车剩余电量为20千瓦时的时候，已行驶的路程是230千米． 【题型 4】销售利润与成本问题（考试大题重点） 【例题4】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为迎接“国家级文明卫生城市”检查，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元．现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个． （1）求购买垃圾箱的总花费W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式； （2）当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）（，且x为整数）；（2）购买16个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为3280元 解：（1）解：由题意得：（，且x为整数）， 答：函数关系式为（，且x为整数）． （2）解：由（1）知是x的一次函数， ∵， ∴W随x的增大而减小， 又，且x为整数， 当时，W取最小值，且最小值为， 答：购买16个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为3280元． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点拨】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需______元． 【答案】70 【分析】根据表格可以求出y与x的关系式，将代入求出x的值，进一步计算即可． 解：设买入价x与利润y之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得：， 故：， 当代入得： ， 解得：， 即：1吨水的买入价为7元， 则买入10吨水共需元． 故答案为：70． 【点拨】本题考查了一次函数，根据表格求出一次函数的关系式是解题的关键． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）某水果店准备购进甲种橙子千克，付款元，与的函数关系如图所示；购进乙种橙子的价格是每千克元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若水果店计划一次性购进甲、乙两种橙子共千克，其中甲种橙子不少于千克且不超过千克，设付款总金额为元，求的最小值． 【答案】（1）；（2）元 【分析】（1）分和两段，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出关于的一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可． 解：（1）解：当时，设， 代入得， 即， 当时，设， 代入， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵总金额， ， 随的增大而减少，当时， （元） 答：总金额的最小值为元． 【题型 5】几何动态变化问题（综合拔高） 【例题5】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A、B两点的坐标； （2）求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时M点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 解：（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上，； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 【变式1】（23-24八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，在长方形中， 已知， 动点P从点A出发， 沿A-B-C-O的路线匀速运动，设动点 P的运动时间为t，的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点产生的面积问题，分段函数，一次函数的图象；①当时，，②当时③当时，，求出函数关系式，即可判断；掌握能根据不同位置进分类是解题的关键． 解：四边形是长方形， ， ， ， ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ； ， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，动点P在x轴上，动点Q在线段上，满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用及等腰三角形的性质，根据题意，为等腰三角形时有三种情况，分类讨论①当时，②当时，③当时分别求出三种情况下的P点坐标即可． 解：对于，当时，；当时，即，解得，， ∴ ∴ 由勾股定理得，， 当时，如图， 则， 又 ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴点的坐标为； 当时，此时点Q与点A重合，, ∴点的坐标为； 当时，则 ∵ ∴， 根据三角形外角性质得：， ∴此种情况不存在； 当时，则，即，设此时， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，直线：交x轴于点，点）在直线l上． （1）求m，n的值； （2）已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据直线上的点的坐标满足直线的解析式来求解m和n的值； （2）设，利用求解即可； 解：（1）将点代入得： ， 解得：， 又直线：过点，得 ， 解得：， （2）设，则，， 即 ， 解得：或 故点P的坐标为或 【题型 6】一次函数方案选择问题（期末压轴基础） 【例题6】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）为响应“绿色校园”号召，某班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆18元，多肉每盆10元．设该班购买了绿萝盆（为整数，且），花店提供两种采购方案，两种方案只能选择其中一种． 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． （1）请分别写出方案一所需费用，方案二所需费用与购买绿萝的数量之间的函数表达式； （2）请帮助该班确定选用哪种方案更省钱？ 【答案】（1），；（2）当购买绿萝的盆数时，选用方案一更省钱，当购买绿萝的盆数为20盆时，两种方案费用相同；当购买绿萝的盆数时，选用方案二更省钱 解：（1）解：由题意得，     ． （2）解：当时，即，解得，     当时，即，解得，     当时，即，解得， 当购买绿萝的盆数时，选用方案一更省钱， 当购买绿萝的盆数为20盆时，两种方案费用相同， 当购买绿萝的盆数时，选用方案二更省钱． 【变式1】（2025·四川眉山·一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，若通讯费用为62元，则B方案比A方案的通话时间多_____分钟． 【答案】30 【分析】本题考查一次函数的应用．求出通讯费用为62元时，两种方案的通话时间，即可得到答案． 解：当时，设A方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系为， 把，代入得：， 解得， ∴， 令得， 解得， ∴通讯费用为62元，A方案通话时间是200分钟； 当时，设B方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系为， 把，代入得：， 解得， ∴， 令得， 解得， ∴通讯费用为62元，B方案通话时间是230分钟； ∴B方案比A方案的通话时间多30分钟； 故答案为：30． 【变式3】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． （1）设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； （2）请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【答案】（1），；（2）当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式，分别计算出、与x之间的函数关系式即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 解：（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·湖北武汉·二模）某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（     ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】先设商品每件的原价为元，根据题意可得超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为：，由图像可知，过点，代入求解即可． 解：设商品每件的原价为元， 超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为： ， 由图像可知，过点， ∴， 解得：， 答：商品每件的原价为元． 2．（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）如图，已知一次函数与坐标轴交于两点．点是轴上一点，横坐标为，若的面积为，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．先求出一次函数与坐标轴的交点，，再根据三角形面积公式表示出与的函数关系式即可． 解：一次函数与坐标轴交于两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 点是轴上一点，横坐标为， ， ， ， 故选：C． 3．（23-24八年级上·山西运城·期末）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【答案】A 解：根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（     ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】观察图象可知小明家到学校的距离可判定①；根据速度、路程、时间的关系求出小明步行的速度，根据图象求出小明家到图书馆的距离，即可判定②；理用待定系数法求得线段可判定③；同理可得线段得解析式，最后分别计算小明到达学校前与离开学校后距离学校100米时所用时间即可判定④． 解：由图象可知：小明家到学校的距离为240米，即①正确； 小明步行的速度是（米/分）， 小明家到图书馆的距离为（米），则小明从家到新华书店所用时间为（分），即；故②正确； 设线段所表示的y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）． 将坐标分别代入得： 得，解得， ∴线段所表示的y与x之间的函数表达式为，即③正确； 同理可得：线段所表示的y与x之间的函数表达式， 当时，，解得； 当时，，解得． ∴在分钟和分钟时，小明距离学校100米，故④不正确． 综上，正确的有①②③， 故选A． 5．（25-26八年级下·重庆开州·期末）我国新能源汽车产业高质量发展，充电技术不断提升．李老板购买了一辆新能源汽车，它的充电过程会经历两个不同阶段，电量与充电时间的函数关系如图所示，若李老板的新能源汽车电量从0充至，则整个充电过程需要的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察函数图象，确定电量所在的充电阶段，利用待定系数法求出该阶段与的函数解析式，最后将代入计算即可 解：由图象可知，点的坐标为，点的坐标为 当电量充至时，处于第二阶段充电过程，即 设当时，与的函数关系式为 将，代入得： 解得 当时， 解得 ∴整个充电过程需要的时间为． 6．（25-26七年级下·福建宁德·期末）在弹性限度内，下表呈现了某种弹簧长度与所挂物体质量关系的一组数据，根据表格估计当弹簧长度为时，所挂物体质量可能为（     ） 所挂物体质量（） 弹簧长度（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由表格数据可知弹簧长度y与所挂物体质量x符合一次函数关系，设出一次函数解析式，代入数据求出解析式，再将代入即可求出对应x的值． 解：由表格可知，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加，故弹簧长度y与所挂物体质量x符合一次函数关系, 设y与x的函数解析式为 ∵由表格可知时；时 ∴可得方程组 . 解得. ∴函数解析式为. 把代入解析式得：. 解得 ∴所挂物体质量为． 7．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）某文具店售卖笔记本，每本进价2元，售价元，每日销量（本）与售价的关系为，下列结论错误的是（     ） A．该函数图象经过第一、二、四象限 B．当售价为10元时，每日销量为0 C．该函数图象可由直线向上平移100个单位长度得到 D．售价越高，每日销量越高 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象性质、平移规律的相关知识逐一判断选项即可． 解：已知每日销量与售价的函数为 ，是一次函数. 对于A选项，∵ ，， ∴ 函数图象经过第一、二、四象限， A结论正确． 对于B选项，当 时，， ∴ 每日销量为0， B结论正确． 对于C选项，根据一次函数平移规律，直线 向上平移100个单位长度得到 ， C结论正确． 对于D选项，∵ ， ∴ 随 的增大而减小，即售价越高，每日销量越低， D结论错误． 故选D． 8．（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能大致表示y与x的函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，先求出，，，则可得，再得出，则，进而可得，根据一次函数的图象特征解答即可． 解：如图，过点作轴于点， ∵点的坐标为，点是轴正半轴上的一动点，且点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴，，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数关系的图象是一条射线（不含端点），且经过点， 观察四个选项可知，只有选项D符合． 9．（2026·贵州黔东南·三模）如图①，在四边形 中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（     ） A．7 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】过点作于点，根据矩形的判定和性质得出相等的边，利用面积求出，假设未知数，利用勾股定理列出方程求解． 解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由图形可知， ∴， 设，则，， 由勾股定理， ∴， 解得， ∴， ∴． 10．（2026·广西钦州·三模）某生物小组观察一株植物生长，得到植物的高度（单位：）与观察的时间（单位：天）之间的关系如图所示（是线段，射线平行于轴），下列说法正确的是（     ） A．从开始观察起，30天后该植物停止长高 B．直线对应的函数解析式为 C．观察第40天时，该植物的高度为 D．该植物最高为 【答案】C 【分析】根据图像获取点、的坐标，利用待定系数法求出线段的函数解析式，进而求出点的坐标，结合图像性质逐一判断各选项即可． 解：设线段对应的函数解析式为 ∵图像过点， ∴， 解得 ∴线段的解析式为，故B选项错误 当时，，即点坐标为 ∵射线平行于轴 ∴50天后该植物停止长高，且最高高度为，故A、D选项错误 当时，，即第40天植物高度为，故C选项正确． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·上海金山·一模）某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是_____元． 【答案】6600 【分析】根据图象求出线段AB的解析式，求出当x=8时的y值，再根据利润公式计算即可． 解：设线段AB的解析式为y=kx+b，点A、B的坐标代入，得 ，解得， ∴y=-600x+7000， 当x=8时，y=， ∴这天销售苹果的盈利是=6600（元）， 故答案为：6600． 【点拨】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象求出线段AB的解析式是解题的关键． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是李明、王平两人在一次赛跑中，路程s与时间t之间的函数关系，读图填空： （1）这是一次________m赛跑； （2）先到终点的是________； （3）王平在赛跑中速度是________． 【答案】 500 李明 5 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题． （1）根据图象中点的纵坐标即可直接求得； （2）根据图象可得两人所用时间，据此即可判断； （3）根据图象可得王平用了跑了，据此即可求解． 解：（1）根据两人所跑的路程都是，则这是一次的赛跑． 故答案为：500； （2）根据图象可得，李明到达终点用了，王平到达终点用了，则先到终点的是李明． 故答案为：李明； （3）王平的速度是：． 故答案为：5． 13．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过千克收费元，超过千克的部分每千克收费元，设快递物品的重量为千克，那么从大连发快递到北京的快递费（元）与物品重量（千克）的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，依据题意得，从而可以判断得解．解题时要能读懂题意，列出关系式是解题的关键． 解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·河北邢台·期末）一支蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如表所示，则蜡烛原长为__________． 燃烧时间/分 10 20 30 40 50 … 剩余长度 19 18 17 16 15 … 【答案】 【分析】根据表格中燃烧时间与剩余长度的变化规律，得到剩余长度与燃烧时间的函数关系式，燃烧时间为时的剩余长度即为蜡烛原长． 解：设燃烧时间为分钟，蜡烛剩余长度为， 由表格数据可得，燃烧时间每增加分钟，剩余长度减少，可得蜡烛每分钟燃烧， 设函数关系式为，其中为蜡烛原长， 将代入关系式得 ， 解得， 即蜡烛原长为． 15．（2026·山西阳泉·三模）已知在一定温度下的饱和溶液中，溶质质量与溶剂质量呈正比例关系．当温度为时，水中溶解的硝酸钾达到饱和，则在此温度下，硝酸钾饱和溶液中溶质质量（单位：g）与溶剂质量x（单位：g）的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据题意可知溶质质量与溶剂质量成正比例关系，因此设正比例函数解析式，代入已知对应值求解系数即可得到函数关系式． 解：溶质质量与溶剂质量成正比例关系， 设函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得，， 函数关系式为． 16．（2026·上海浦东新·模拟预测）某出租车公司运价执行新标准：日间起步价13元（含3公里），超出3公里后每公里收费2.6元；若单程行驶超过15公里，则超出15公里的部分需加收的空驶费（即超出15公里的部分按3.9元/公里计费）．设某出租车的行驶里程为x公里，运价为y元，当单程行程时，运价y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】当时，按收费标准将运价拆分为三部分分别计算，再合并整理即可得到函数解析式． 解：当时，按收费标准拆分计算运价： 3公里内起步价为13元， 3公里到15公里的路程为公里，这部分费用为元， 超出15公里的路程为公里，这部分费用为元， ∴总运价 整理得： 即 因此，函数解析式为． 17．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，点在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】点P在点A右侧，根据可知，设直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出直线的解析式，再根据直线上的点的纵坐标是求出点的横坐标． 解：如下图所示， ∵， ∴， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点坐标是． 18．（2026·甘肃陇南·二模）已知学校热水器有一个可以储升（L）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．当水加满时，储水装置内水的温度为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出对应的函数解析式，代入，即可求解． 解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴加满水时，， ∴ （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·陕西渭南·一模）2025年3月1日，陕西省《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． （1）求关于的函数表达式； （2）若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 【答案】（1）；（2）该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可分用水量在13立方米以内和超过13立方米，然后分别列出函数关系式即可； （2）根据（1）中函数关系式可直接进行求解． 解：（1）解：由题意得：当时，则； 当时，则有； 综上所述：关于的函数表达式为； （2）解：由（1）可知：当时，则，解得：； 当时，则，解得：； ∴（立方米）； 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·重庆·期中）问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 【答案】（1）；（2）行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准． 解：（1）解：设函数解析式为：， 当时，，代入得， ∵汽车以平均时速匀速行驶，x小时行驶的路程为， ∴函数解析式为：； （2）解：令，代入解析式：， 解得：， 所以行驶小时后，剩余续航达到充电提醒标准． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河北廊坊·期末）为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动，需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的1.5倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为x件，总费用为y元．请回答以下问题： （1）写出总费用y与x的函数关系式； （2）在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1）；（2）购买机器人模型的数量为36件，电子元件套装24件，总费用最低，最低费用5280元 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）求出购买电子元件套装的数量为件，根据单价计算即可； （2）先根据题意求出，再根据一次函数的性质作答即可． 解：（1）解：∵购买机器人模型的数量为件，购买两种物品共60件， ∴购买电子元件套装的数量为件， ∵机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件， ∴； （2）解：∵机器人模型数量不少于电子元件套装的倍，且电子元件套装至少购买10件， ∴，解得 ，， 总费用随的增大而增大， 当时，（件）， 此时（元）． 购买机器人模型的数量为36件，电子元件套装24件，总费用最低，最低费用5280元． 22．（本小题满分10分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线分别交x轴、轴于点，，直线交轴于点，两直线交于点． （1）求直线与坐标轴围成的的面积． （2）求点的坐标和的面积． 【答案】（1）；（2），面积为 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，一次函数与几何综合. （1）由函数解析式，求出与坐标轴的交点即可知道的底与高，即可求得面积； （2）点既在直线上，也在直线上，则可求得点坐标，求出与轴 的交点即可知道三角形的底边长以及底边上的高，进而求出面积. 解：（1）解：直线分别交轴、轴于点，， 当时， 解得； 当时， ， ， ， ． （2）解：点在直线上， 把点代入， 得， ∴． 直线交轴于点， 当时， ， 解得， ， . 23．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·模拟预测）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影．近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件（），销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 【答案】（1）；（2）甲汉服购进件时，销售完获利最多，最大利润为元 【分析】（1）根据总利润等于两种汉服的利润和列出函数关系式，并确定自变量取值范围； （2）根据乙汉服数量的限制条件列不等式求出x的取值范围，再利用一次函数的增减性求最大利润． 解：（1）解：由题意可知，甲汉服数量为x件，则乙汉服数量为件， 甲每件利润为（元），乙每件利润为（元）； 总利润， 结合条件得，即y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍， ∴，解得：， ∵， ∴（x取整数）， 由（1）知， ∵， ∴y随x的增大而减小 ∴当时，y取得最大值， 将代入得，最大利润（元）． 答：当甲汉服购进40件时，该店销售完这两种汉服后获利最多，最大利润为8800元． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·广西防城港·期末）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 （1）设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 （2）若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 （3）结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】（1）（，且为整数）；（2）当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元；（3）总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与A款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的A款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 解：（1）解：根据题意，得， 其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，． 故当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知，， ，且， 随的增大而增大， ∴当时，的最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第12讲）——一次函数与实际问题 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】一次函数实际应用本质 1 【知识点二】一次函数实际问题解题五步法（标准答题模板） 2 【知识点三】一次函数增减性与实际意义 2 【知识点四】一次函数五大必考应用模型 2 【知识点五】高频易错点（预习必避坑） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】计费收费问题（基础必考·打车/水电/套餐） 2 【题型 2】行程运动问题（期末高频·匀速运动） 3 【题型 3】库存与剩余量问题（递减型一次函数） 5 【题型 4】销售利润与成本问题（考试大题重点） 6 【题型 5】几何动态变化问题（综合拔高） 7 【题型 6】一次函数方案选择问题（期末压轴基础） 8 二.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.教材知识梳理 【知识点一】一次函数实际应用本质 生活中大量两个变量成线性变化的问题，都可以用一次函数 建模解决。 核心特征：一个量均匀变化，另一个量随之均匀变化（匀速、匀速增减、固定单价等）。 自变量取值范围：实际问题中，x 不能为负数、小数、分数、超出现实场景范围，必须结合题意限定，这是实际应用题和纯函数题最大的区别。 【知识点二】一次函数实际问题解题五步法（标准答题模板） 1. 找变量：确定自变量 、因变量 ，读懂谁随谁变化。 2. 建模型：根据题意设一次函数解析式。 3. 代数据：代入两组对应数值，用待定系数法求出 。 4. 定范围：写出自变量 的实际取值范围（必考得分点）。 5. 做解答：利用解析式、增减性、图像求解求值、最值、比较大小等问题。 【知识点三】一次函数增减性与实际意义 1. ， 随 增大而增大（越多越贵、越跑越远、产量递增）； 2. ， 随 增大而减小（库存递减、剩余水量递减、成本递减）； 3. 代表初始量、起步价、初始库存、初始距离。 【知识点四】一次函数五大必考应用模型 1. 费用计费模型：总费用=单价×数量+起步费用 2. 行程运动模型：路程=速度×时间+初始路程（匀速运动） 3. 库存增减模型：剩余量=原有量±变化速率×时间 4. 销售利润模型：总销售额、总成本随销量线性变化 5. 几何动态模型：边长、周长、面积随线段长度线性变化 【知识点五】高频易错点（预习必避坑） 1. 忘记写自变量取值范围，考试直接扣分； 2. 忽略实际意义：人数、物品数量为非负整数； 3. 混淆 和 的实际含义，答非所问； 4. 直接看图不列式，综合题必须先求解析式再计算； 5. 最值问题忘记结合取值范围，直接取端点出错。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】计费收费问题（基础必考·打车/水电/套餐） 【例题1】（2026·吉林长春·模拟预测）节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示． （1）优惠前草莓的销售价格为每千克________元； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若某游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，直接写出该游客所花的费用． 【变式1】（2026·广东汕头·一模）某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元（不足1小时按1小时算）．设骑行时间为x小时（，且x为正整数），总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若小明骑行3.5小时，应付多少元？ （3）若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【题型 2】行程运动问题（期末高频·匀速运动） 【例题2】（2026·吉林·中考真题）一位记者乘坐汽车赴外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）求汽车在高速公路上行驶的速度． （2）求所在直线对应的函数解析式． （3）记者出发后多长时间到达采访地？ 【变式1】（2026·广东深圳·二模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度（单位：m）与上升的时间（单位：s）的对应关系如图所示．下列说法正确的是（   ） A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快 C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系．根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元．若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其他因素（红绿灯，堵车等），他从家到机场需要的时间是_____小时． 【变式3】（2026·陕西·中考真题）在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发后运动员才出发，运动员出发后追上机器人．如图，，分别表示运动员、机器人距起点的距离与时间之间的关系． （1）求对应的函数表达式； （2）求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离． 【题型 3】库存与剩余量问题（递减型一次函数） 【例题3】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，李师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）剩余电量为，该电动车在高速公路上行驶了______； （2）求y与x之间的关系式； （3）李师傅从B市高速公路出口驶出时，该电动车的剩余电量为______． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）春节假期小明一家自驾车从长沙到离家约的铜仁旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达铜仁时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 【变式2】（2025·浙江杭州·二模）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 若该轿车满油为，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开______公里就必须去加油． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期末）新能源电池的能量密度和放电效率是制约新能源汽车发展的核心因素，实际驾驶中发现，新能源汽车充满电后，前半部分电量的续航效率通常更高，消耗相同电量时，前半段能行驶的路程更远，折线表示某型号新能源汽车蓄电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程s（千米）之间的关系． （1）剩余电量为40千瓦时的时候，汽车已行驶的路程为 千米； （2）求所在直线的表达式，并求该汽车剩余电量为20千瓦时的时候，已行驶的路程是多少？ 【题型 4】销售利润与成本问题（考试大题重点） 【例题4】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为迎接“国家级文明卫生城市”检查，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元．现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个． （1）求购买垃圾箱的总花费W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式； （2）当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需______元． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）某水果店准备购进甲种橙子千克，付款元，与的函数关系如图所示；购进乙种橙子的价格是每千克元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若水果店计划一次性购进甲、乙两种橙子共千克，其中甲种橙子不少于千克且不超过千克，设付款总金额为元，求的最小值． 【题型 5】几何动态变化问题（综合拔高） 【例题5】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A、B两点的坐标； （2）求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【变式1】（23-24八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，在长方形中， 已知， 动点P从点A出发， 沿A-B-C-O的路线匀速运动，设动点 P的运动时间为t，的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，动点P在x轴上，动点Q在线段上，满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是______． 【变式3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，直线：交x轴于点，点）在直线l上． （1）求m，n的值； （2）已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 【题型 6】一次函数方案选择问题（期末压轴基础） 【例题6】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）为响应“绿色校园”号召，某班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆18元，多肉每盆10元．设该班购买了绿萝盆（为整数，且），花店提供两种采购方案，两种方案只能选择其中一种． 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． （1）请分别写出方案一所需费用，方案二所需费用与购买绿萝的数量之间的函数表达式； （2）请帮助该班确定选用哪种方案更省钱？ 【变式1】（2025·四川眉山·一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，若通讯费用为62元，则B方案比A方案的通话时间多_____分钟． 【变式3】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． （1）设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； （2）请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·湖北武汉·二模）某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（     ）． A．元 B．元 C．元 D．元 2．（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）如图，已知一次函数与坐标轴交于两点．点是轴上一点，横坐标为，若的面积为，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山西运城·期末）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 4．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（     ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 5．（25-26八年级下·重庆开州·期末）我国新能源汽车产业高质量发展，充电技术不断提升．李老板购买了一辆新能源汽车，它的充电过程会经历两个不同阶段，电量与充电时间的函数关系如图所示，若李老板的新能源汽车电量从0充至，则整个充电过程需要的时间为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·福建宁德·期末）在弹性限度内，下表呈现了某种弹簧长度与所挂物体质量关系的一组数据，根据表格估计当弹簧长度为时，所挂物体质量可能为（     ） 所挂物体质量（） 弹簧长度（） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）某文具店售卖笔记本，每本进价2元，售价元，每日销量（本）与售价的关系为，下列结论错误的是（     ） A．该函数图象经过第一、二、四象限 B．当售价为10元时，每日销量为0 C．该函数图象可由直线向上平移100个单位长度得到 D．售价越高，每日销量越高 8．（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能大致表示y与x的函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·贵州黔东南·三模）如图①，在四边形 中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（     ） A．7 B． C．8 D． 10．（2026·广西钦州·三模）某生物小组观察一株植物生长，得到植物的高度（单位：）与观察的时间（单位：天）之间的关系如图所示（是线段，射线平行于轴），下列说法正确的是（     ） A．从开始观察起，30天后该植物停止长高 B．直线对应的函数解析式为 C．观察第40天时，该植物的高度为 D．该植物最高为 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·上海金山·一模）某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是_____元． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是李明、王平两人在一次赛跑中，路程s与时间t之间的函数关系，读图填空： （1）这是一次________m赛跑； （2）先到终点的是________； （3）王平在赛跑中速度是________． 13．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过千克收费元，超过千克的部分每千克收费元，设快递物品的重量为千克，那么从大连发快递到北京的快递费（元）与物品重量（千克）的函数表达式为___________． 14．（24-25八年级下·河北邢台·期末）一支蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如表所示，则蜡烛原长为__________． 燃烧时间/分 10 20 30 40 50 … 剩余长度 19 18 17 16 15 … 15．（2026·山西阳泉·三模）已知在一定温度下的饱和溶液中，溶质质量与溶剂质量呈正比例关系．当温度为时，水中溶解的硝酸钾达到饱和，则在此温度下，硝酸钾饱和溶液中溶质质量（单位：g）与溶剂质量x（单位：g）的函数关系式为______． 16．（2026·上海浦东新·模拟预测）某出租车公司运价执行新标准：日间起步价13元（含3公里），超出3公里后每公里收费2.6元；若单程行驶超过15公里，则超出15公里的部分需加收的空驶费（即超出15公里的部分按3.9元/公里计费）．设某出租车的行驶里程为x公里，运价为y元，当单程行程时，运价y关于x的函数解析式为______． 17．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，点在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________． 18．（2026·甘肃陇南·二模）已知学校热水器有一个可以储升（L）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．当水加满时，储水装置内水的温度为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·陕西渭南·一模）2025年3月1日，陕西省《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． （1）求关于的函数表达式； （2）若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·重庆·期中）问界M6纯电版汽车于2026年4月22日正式发售，其中续航版本的CLTC综合续航里程约为．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于（对应电量约）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速匀速行驶时，剩余续航里程y（）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（） 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·河北廊坊·期末）为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动，需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的1.5倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为x件，总费用为y元．请回答以下问题： （1）写出总费用y与x的函数关系式； （2）在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？ 22．（本小题满分10分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线分别交x轴、轴于点，，直线交轴于点，两直线交于点． （1）求直线与坐标轴围成的的面积． （2）求点的坐标和的面积． 23．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·模拟预测）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影．近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件（），销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·广西防城港·期末）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 （1）设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 （2）若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 （3）结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $