2026年北师大版七升八数学暑期预习讲义（第11讲）——二元一次方程组的应用（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第11讲）——二元一次方程组的应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】核心概念：二元一次方程组应用题建模思想 1 【知识点二】列方程组解应用题标准六步法（必考规范） 2 【知识点三】高频题型等量关系汇总（预习必背） 2 【知识点四】易错点汇总（预习避坑） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】和差倍分问题（基础必考） 3 【题型 2】古代问题（基础必考） 3 【题型 3】鸡兔同笼问题（经典高频） 4 【题型 4】行程相遇问题（中档重点） 5 【题型 5】商品利润问题（考试必考） 6 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 6】产品配套问题（重难点） 7 【题型 7】几何问题（重难点） 8 【题型 8】图表信息应用题（特色题型） 9 四.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.教材知识梳理 【知识点一】核心概念：二元一次方程组应用题建模思想 当实际问题中含有两个未知量，且存在两组独立的等量关系时，适合用二元一次方程组求解。相比于一元一次方程，二元一次方程组无需逆向推导，可直接顺着题意列等式，更适合条件复杂的实际问题。 【知识点二】列方程组解应用题标准六步法（必考规范） 1. 审（审题）：读懂题意，找出题目中的已知量、未知量，梳理两组核心等量关系（解题关键）。 2. 设（设未知数）一般设两个直接未知量为 ，带单位，简洁规范。 3. 列（列方程组）根据两组等量关系，列出两个二元一次方程，组成方程组。 4. 解（解方程组）用代入消元法或加减消元法求解方程组，得出未知数的值。 5. 验（双重检验）① 检验解是否满足方程组；② 检验解是否符合实际意义（正数、整数、取值范围）。 6. 答：（规范作答）完整写出答案，带对应单位。 【知识点三】高频题型等量关系汇总（预习必背） 1. 和差倍分问题：大数+小数=和、大数-小数=差、大数=小数×倍数±多余/缺少数。 2. 行程问题（相遇、追及）：路程=速度×时间；相遇路程=速度和×相遇时间；追及路程=速度差×追及时间。 3. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，常设总工作量为1。 4. 利润利率问题：利润=售价-进价；利润率=；总利润=单件利润×数量。 5. 配套问题：配套部件数量成固定比例（核心比例关系列等式）。 6. 浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度；混合前后总溶质、总溶液质量不变。 7. 鸡兔同笼问题：总数量之和、总特征数量之和两组等量关系。 8. 图表信息问题：从表格、文字信息中提取两组独立条件列方程。 【知识点四】易错点汇总（预习避坑） 1. 找错等量关系，两组方程出现重复条件，导致方程组无解； 2. 未知数漏写单位，最终作答不规范，考试扣分； 3. 忽略实际问题限制：人数、物品数量必须为正整数； 4. 行程、浓度问题混淆公式，速度、溶质计算出错； 5. 解题后不检验，保留不符合题意的解。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】和差倍分问题（基础必考） 【例题1】（2026·河南·中考真题）近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？ 【变式1】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）某企业计划投入资金用于技术升级与植树造林以实现碳中和目标．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放3吨；植树造林每投入1万元可吸收碳排放2吨．若投入10万元，共实现碳排放净减少量28吨，则技术升级和植树造林分别投入（     ） A．8万元，2万元 B．2万元，8万元 C．6万元，4万元 D．5万元，5万元 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是______． 【变式3】（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 【题型 2】古代问题（基础必考） 【例题2】（2025·安徽阜阳·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？ 请你运用二元一次方程组知识解答这个古代数学问题． 【变式1】（重庆市九龙坡区2025—2026学年七年级下学期期末学业测评数学试题）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”这首诗的意思是：几个客人分银子，每人分7两就多出4两，每人分9两就差8两（旧制1斤两，半斤两）．问：有多少位客人？多少两银子？若设人数为人，银子数为两．则下列二元一次方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车，九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐人，则人需要步行；若每辆车都坐人，则两辆车是空的．问：车与人各多少？设有辆车、人，根据题意，列方程组得________________． 【变式3】（2026·江苏南通·三模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” （1）问牛、羊每头各值金多少两？ （2）若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 【题型 3】鸡兔同笼问题（经典高频） 【例题3】（22-23七年级下·河南洛阳·期中）我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，其大意是：现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 【变式1】（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何，”其大意是“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，问鸡兔各有多少只？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为______． 【变式3】（【新东方】初中数学20210622-086【初一下】）古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？ （1）试用一元一次方程解决上述问题． （2）如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x，y的二元一次方程组并详细写出求解过程． 【题型 4】行程相遇问题（中档重点） 【例题4】（25-26七年级下·山东烟台·期中）某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． （1）求观光车的车头与每节车厢的长度； （2）某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【变式1】（25-26七年级下·陕西安康·期中）甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·山东淄博·阶段检测）甲、乙二人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲、乙二人两次运动的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意可列的方程组是______． 【变式3】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， （1）列出关于，的二元一次方程； （2）问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【题型 5】商品利润问题（考试必考） 【例题5】（25-26八年级下·重庆南川·期末）2026年世界乒乓球团体锦标赛在伦敦举办，中国男女团勇夺冠军，掀起了一股乒乓热潮．某经销商计划购进乒乓球拍钥匙扣和乒乓文化衫两类伴手礼用于销售，若购进3个钥匙扣和2件文化衫共需110元，若购进4个钥匙扣和5件文化衫共需240元． （1）经销商购进一个钥匙扣、一件文化衫分别为多少元？ （2）该经销商计划购进这两种伴手礼共50个（件），其中钥匙扣的数量不超过文化衫数量的2倍．出售时，若每个钥匙扣的售价为20元，每件文化衫的售价为45元．问：经销商应怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式1】（2026·山西阳泉·模拟预测）山西博物院某文创商店热销两款经典文创产品：晋侯鸟尊钥匙扣与雁鱼铜灯书签．已知购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元．设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据题意，所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东青岛·二模）随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要2000元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要1450元．则购买颗型芯片需要______元． 【变式3】（25-26六年级下·上海松江·期末）某水果店4月份购进苹果、橙子两种水果共花费1100元，其中苹果2元/千克，橙子8元/千克，全部售完；5月份，苹果的进价上调为4元/千克，橙子10元/千克．该店5月份购进这两种水果的数量与4月份相同，却多花费500元． （1）问该店4月份分别购进苹果、橙子两种水果多少千克？ （2）该店5月份苹果的售价为6元/千克，橙子的售价为16元/千克，在5月份购进的苹果出售一半、橙子全部售完后，商店决定对苹果打折处理，在售完5月份购进的全部水果后，5月份获得的总利润为810元，问剩余苹果打几折销售？ 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】产品配套问题（重难点） 【例题6】（2026·山西·中考真题）《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）某车间有80名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片300片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 【题型 7】几何问题（重难点） 【例题7】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ （2）如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【变式1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示．若小长方形的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点A的坐标为，则点B的坐标是________． 【变式3】（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线． （1）若，，求证：； （2）若比大，比大，请结合二元一次方程组求的度数． 【题型 8】图表信息应用题（特色题型） 【例题8】（25-26七年级下·广东惠州·期中）为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是（   ）公里赛程的比赛． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 【变式3】（25-26七年级上·河南·期末）灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 （1）该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ （2）若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级下·江苏·期末）有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00小明看到的两位数为（    ） A．21 B．32 C．42 D．51 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）根据以下对话，可以求得明明所买的笔和笔记本的价格分别是（     ） A．元/支，元/本 B．元/支，元/本 C．元/支，元/本 D．元/支，元/本 5．（25-26七年级下·福建漳州·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2．则一个直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少，设人数为人，车数为辆，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·广西南宁·期中）某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河南南阳·期末）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a、b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则图中叠合部分的长是（     ） A．20 B．40 C．60 D．100 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则：明文a，b对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，那么密文，13对应的明文应是（     ） A．5，1 B．13， C．5，3 D．，11 10．（25-26七年级下·四川眉山·期末）《九章算术》是我国古代经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋称重后相等，两袋相互交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）地至地的航线长，一架飞机从地顺风飞往地需，它以同样的速度逆风飞行同样的航线需，则这架飞机在无风时的平均速度是________ ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）新考法  两组数据：与的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组新数据：，则这组新数据的众数为___________． 13．（25-26八年级上·河南·阶段检测）阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了________ 张． 14．（24-25七年级下·福建漳州·阶段检测）甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书______本． 15．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 16．（25-26七年级上·河南鹤壁·开学考试）西湖是杭州著名景点，周末，旅行团52人游湖，一共租了10条船，正好全部坐满．已知每条大船限乘6人，每条小船限乘4人，租了_______条大船，_______条小船． 17．（25-26七年级下·北京·期末）《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领，问士兵和铠甲各有多少？设有士兵x人，铠甲y领，根据题意，可列方程组为______． 18．（25-26七年级下·天津河西·期末）将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江苏泰州·期末）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，其中技术难度最高的是桥梁、隧道、人工岛组合的主体工程．已知在这个主体工程中，隧道长度比桥隧总长的少，桥梁长度比隧道长度多．求主体工程中的桥梁长度和隧道长度． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·河南周口·期中）“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． （1）笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ （2）面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 22．（本小题满分10分）（2026·安徽六安·模拟预测）爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： （1）用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； （2）列方程组并求出时里程表上的数． 23．（本小题满分10分）（2026·江苏常州·一模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． （1）若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； （2）若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·山东泰安·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． （1）求的值； （2）6月份小王家用水，应交水费多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第11讲）——二元一次方程组的应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】核心概念：二元一次方程组应用题建模思想 1 【知识点二】列方程组解应用题标准六步法（必考规范） 2 【知识点三】高频题型等量关系汇总（预习必背） 2 【知识点四】易错点汇总（预习避坑） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】和差倍分问题（基础必考） 3 【题型 2】古代问题（基础必考） 5 【题型 3】鸡兔同笼问题（经典高频） 7 【题型 4】行程相遇问题（中档重点） 9 【题型 5】商品利润问题（考试必考） 11 三.经典题型精析（综合提升） 14 【题型 6】产品配套问题（重难点） 14 【题型 7】几何问题（重难点） 16 【题型 8】图表信息应用题（特色题型） 19 四.同步自测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 31 一.教材知识梳理 【知识点一】核心概念：二元一次方程组应用题建模思想 当实际问题中含有两个未知量，且存在两组独立的等量关系时，适合用二元一次方程组求解。相比于一元一次方程，二元一次方程组无需逆向推导，可直接顺着题意列等式，更适合条件复杂的实际问题。 【知识点二】列方程组解应用题标准六步法（必考规范） 1. 审（审题）：读懂题意，找出题目中的已知量、未知量，梳理两组核心等量关系（解题关键）。 2. 设（设未知数）一般设两个直接未知量为 ，带单位，简洁规范。 3. 列（列方程组）根据两组等量关系，列出两个二元一次方程，组成方程组。 4. 解（解方程组）用代入消元法或加减消元法求解方程组，得出未知数的值。 5. 验（双重检验）① 检验解是否满足方程组；② 检验解是否符合实际意义（正数、整数、取值范围）。 6. 答：（规范作答）完整写出答案，带对应单位。 【知识点三】高频题型等量关系汇总（预习必背） 1. 和差倍分问题：大数+小数=和、大数-小数=差、大数=小数×倍数±多余/缺少数。 2. 行程问题（相遇、追及）：路程=速度×时间；相遇路程=速度和×相遇时间；追及路程=速度差×追及时间。 3. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，常设总工作量为1。 4. 利润利率问题：利润=售价-进价；利润率=；总利润=单件利润×数量。 5. 配套问题：配套部件数量成固定比例（核心比例关系列等式）。 6. 浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度；混合前后总溶质、总溶液质量不变。 7. 鸡兔同笼问题：总数量之和、总特征数量之和两组等量关系。 8. 图表信息问题：从表格、文字信息中提取两组独立条件列方程。 【知识点四】易错点汇总（预习避坑） 1. 找错等量关系，两组方程出现重复条件，导致方程组无解； 2. 未知数漏写单位，最终作答不规范，考试扣分； 3. 忽略实际问题限制：人数、物品数量必须为正整数； 4. 行程、浓度问题混淆公式，速度、溶质计算出错； 5. 解题后不检验，保留不符合题意的解。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】和差倍分问题（基础必考） 【例题1】（2026·河南·中考真题）近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？ 【答案】这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺 【分析】设这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺，根据“一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺”列出二元一次方程组求解． 解：设这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 【变式1】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）某企业计划投入资金用于技术升级与植树造林以实现碳中和目标．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放3吨；植树造林每投入1万元可吸收碳排放2吨．若投入10万元，共实现碳排放净减少量28吨，则技术升级和植树造林分别投入（     ） A．8万元，2万元 B．2万元，8万元 C．6万元，4万元 D．5万元，5万元 【答案】A 【分析】设技术升级投入万元，植树造林投入万元，根据总投入资金和总碳排放净减少量列方程组，求解即可得到结果． 解：设技术升级投入万元，植树造林投入万元， ∵总投入为万元，总碳排放净减少量为吨， ∴可得方程组， 解得， ∴技术升级投入万元，植树造林投入万元． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是______． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 设小倩同学有x元，小玲同学有y元，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 解：设小倩同学有x元，小玲同学有y元，x，y均为非负整数， ∵小玲给小倩2元，小倩给小玲n元， ∴，， 由题意可得方程组：， 将代入②中得，消去x得： 即： ∵为正整数 ∴的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当时，，，成立； 当时，，，成立； 当时，，，成立； 当时，，，成立； 综上可得：n的值分别为8，3，2，1； 即n的可能值有4个． 故答案为：4． 【变式3】（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 【答案】每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元 【分析】根据题意找出等量关系，设未知数列出方程组求解即可； 解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得：， 解得：， 答：每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元． 【题型 2】古代问题（基础必考） 【例题2】（2025·安徽阜阳·一模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？ 请你运用二元一次方程组知识解答这个古代数学问题． 【答案】木条长尺 【分析】设绳子长尺，木条长尺，再根据题干中两种测量情况得到等量关系，列出方程组求解，即可得到木条的长度． 解：设绳子长尺，木条长尺， 依题意得，， 解得， 答：木条长尺． 【变式1】（重庆市九龙坡区2025—2026学年七年级下学期期末学业测评数学试题）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”这首诗的意思是：几个客人分银子，每人分7两就多出4两，每人分9两就差8两（旧制1斤两，半斤两）．问：有多少位客人？多少两银子？若设人数为人，银子数为两．则下列二元一次方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：当每人分7两时，多出4两银子，可得方程； 当每人分9两时，少8两银子，可得方程； 因此所列方程组为． 【变式2】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车，九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐人，则人需要步行；若每辆车都坐人，则两辆车是空的．问：车与人各多少？设有辆车、人，根据题意，列方程组得________________． 【答案】 解：设有辆车、人， 根据题意得． 【变式3】（2026·江苏南通·三模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” （1）问牛、羊每头各值金多少两？ （2）若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每头牛值金两，每头羊值金两；（2）方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 【分析】（1）设每头牛值金两，每头羊值金两，根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两”，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买牛头，羊头，根据购买牛和羊恰好用金34两，列出方程，求方程的正整数解即可． 解：（1）解：设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组， 解得：， 答：每头牛值金两，每头羊值金两． （2）解：设购买牛头，羊头， 可得方程：， ， 是正整数 ∴，， 答：有2种方案：方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头． 【题型 3】鸡兔同笼问题（经典高频） 【例题3】（22-23七年级下·河南洛阳·期中）我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，其大意是：现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 【答案】鸡有只，兔有只，解答见分析． 【分析】设鸡有只，兔有只，由题意：从上面数共有个头，从下面数共有只脚，列出二元一次方程组，解方程组即可． 解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 解得：， 答：鸡有只，兔有只． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式1】（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 【答案】A 【分析】该题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，根据题意解答即可． 解：A．设鸡有x只，则兔有只， 则所列方程为，故该选项错误，符合题意； B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为，故该选项正确，不符合题意； C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔，故该选项正确，不符合题意； D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何，”其大意是“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，问鸡兔各有多少只？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为______． 【答案】 【分析】根据“一共有35个头，94条腿”列方程组即可． 解：设鸡有x只，兔有y只， 由题意得：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 【变式3】（【新东方】初中数学20210622-086【初一下】）古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？ （1）试用一元一次方程解决上述问题． （2）如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x，y的二元一次方程组并详细写出求解过程． 【答案】（1）笼中有鸡23只，兔12只；（2）见分析 【分析】（1）设笼中有鸡x只，根据题意得到等量关系是：鸡的脚数+兔的脚数=94，根据此等式列方程求解即可． （2）根据上有三十五头，得方程x+y=35；根据下有九十四足，得方程2x+4y=94，联立得方程组，解之即可． 解：（1）设笼中有鸡x只，则有兔35-x只， 由题意可得：2x+4（35-x）=94， 解得：x=23， ∴笼中有鸡23只，兔12只； （2）假设鸡有x只，兔有y只， 根据题意，得， 解得， ∴鸡有23只，兔有12只． 【点拨】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程（组），并能够熟练解方程（组）． 【题型 4】行程相遇问题（中档重点） 【例题4】（25-26七年级下·山东烟台·期中）某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． （1）求观光车的车头与每节车厢的长度； （2）某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】（1）车头与每节车厢的长度分别为4米，8米；（2）隧道的长度为120米 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，列出方程组，即可解决问题． 解：（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 【变式1】（25-26七年级下·陕西安康·期中）甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用顺流速度，逆流速度与静水速度，水流速度的关系，结合路程公式列方程组求解即可． 解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， 由题意可得：， 解得：， ∴这艘轮船在静水中的速度为． 【变式2】（23-24九年级下·山东淄博·阶段检测）甲、乙二人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲、乙二人两次运动的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意可列的方程组是______． 【答案】 【分析】根据“路程=速度×时间”结合两次运动的情形，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意，得即 【变式3】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， （1）列出关于，的二元一次方程； （2）问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出方程即可； （2）添加甲的速度比乙快，求两人的速度，列出方程组进行求解即可． 解：（1）解：由题意，，整理，得； （2）解：增加条件：甲的速度比乙快，即， 则，解得； 答：甲，乙两人的速度分别为和． 【题型 5】商品利润问题（考试必考） 【例题5】（25-26八年级下·重庆南川·期末）2026年世界乒乓球团体锦标赛在伦敦举办，中国男女团勇夺冠军，掀起了一股乒乓热潮．某经销商计划购进乒乓球拍钥匙扣和乒乓文化衫两类伴手礼用于销售，若购进3个钥匙扣和2件文化衫共需110元，若购进4个钥匙扣和5件文化衫共需240元． （1）经销商购进一个钥匙扣、一件文化衫分别为多少元？ （2）该经销商计划购进这两种伴手礼共50个（件），其中钥匙扣的数量不超过文化衫数量的2倍．出售时，若每个钥匙扣的售价为20元，每件文化衫的售价为45元．问：经销商应怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）购进一个钥匙扣10元，购进一件文化衫40元；（2）购进33个钥匙扣，17件文化衫时可获得最大利润，最大利润是415元 【分析】（1）根据题干给出的两种进货的总费用，设未知数列二元一次方程组，求解即可得到两种商品的进价； （2）设钥匙扣的进货数量，根据利润关系得到总利润的一次函数表达式，再根据数量限制得到自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最大利润和对应的进货方案． 解：（1）解：设经销商购进一个钥匙扣需要元，购进一件文化衫需要元， 根据题意列方程组得， 解得， 答: 经销商购进一个钥匙扣10元，购进一件文化衫40元； （2）解：设购进钥匙扣个，全部售完获得的总利润为元，则购进文化衫件， 每个钥匙扣的利润为（元）， 每件文化衫的利润为（元）， 因此总利润， 根据题意，钥匙扣的数量不超过文化衫数量的2倍，可得， 解得， ， 随的增大而增大， 又为正整数， 当时，取得最大值， 此时（元）， 文化衫数量为（件）， 答: 购进33个钥匙扣，17件文化衫时获得最大利润，最大利润是415元． 【变式1】（2026·山西阳泉·模拟预测）山西博物院某文创商店热销两款经典文创产品：晋侯鸟尊钥匙扣与雁鱼铜灯书签．已知购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元．设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据题意，所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据“购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元”，列方程组求解即可； 解：设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元， 根据题意可得：． 【变式2】（2026·山东青岛·二模）随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要2000元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要1450元．则购买颗型芯片需要______元． 【答案】 【分析】设购买颗型芯片需要元. 购买颗型芯片需要元，根据题意列出方程组，并求解即可． 解：设购买颗型芯片需要元. 购买颗型芯片需要元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴购买颗型芯片需要元． 【变式3】（25-26六年级下·上海松江·期末）某水果店4月份购进苹果、橙子两种水果共花费1100元，其中苹果2元/千克，橙子8元/千克，全部售完；5月份，苹果的进价上调为4元/千克，橙子10元/千克．该店5月份购进这两种水果的数量与4月份相同，却多花费500元． （1）问该店4月份分别购进苹果、橙子两种水果多少千克？ （2）该店5月份苹果的售价为6元/千克，橙子的售价为16元/千克，在5月份购进的苹果出售一半、橙子全部售完后，商店决定对苹果打折处理，在售完5月份购进的全部水果后，5月份获得的总利润为810元，问剩余苹果打几折销售？ 【答案】（1）该店4月份购进苹果150千克，橙子100千克；（2）剩余苹果打八折 【分析】（1）设该店4月份购进苹果千克，橙子千克，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设剩余苹果打折，根据题意列出一元一次方程，据此求解即可． 解：（1）解：设该店4月份购进苹果千克，橙子千克， 根据题意得，， 解得， 答：该店4月份购进苹果150千克，橙子100千克； （2）解：设剩余苹果打折． 根据题意得，， 解得， 答：剩余苹果打八折． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】产品配套问题（重难点） 【例题6】（2026·山西·中考真题）《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 【答案】可制作4个鼎和12面铜镜 【分析】设制作x个鼎、y面铜镜，根据铜总质量、锡总质量列出二元一次方程组，即可解答． 解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作个鼎和面铜镜．根据题意，得      解得     答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜． 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）某车间有80名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片300片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出题目中的两个等量关系，一个是工人总人数，另一个是配套关系下镜片和镜架的数量关系，据此列出方程组即可． 解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， ∵车间总共有名工人， ∴， ∵两个镜片和一个镜架配套，因此镜片总数量应为镜架总数量的倍，生产镜片总数量为，生产镜架总数量为， ∴， ∴可得方程组． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 【答案】60 【分析】本题考查二元一次方程组在配套问题中的应用，掌握根据配套比例建立数量关系，结合总资源数列方程的方法是解题的关键． 根据总板材数和桌椅配套关系列出二元一次方程组，通过代入法求解． 解：设用块板材制作桌子，块板材制作椅子， 由总板材数可得． 生产桌子张，椅子把，由于配套要求为张桌子配把椅子，故椅子数量是桌子数量的倍，即． 联立方程得： 解得： 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答） 【答案】应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮 【分析】设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再进行求解即可． 解：设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮， 由题意可得， 解得， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮． 【题型 7】几何问题（重难点） 【例题7】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ （2）如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】（1）放入的大球为4个，放入的小球为6个；（2）有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程（组）． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 解：（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【变式1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示．若小长方形的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知两个小长方形的长加一个小长方形的宽等于长方形活动场地的长，即，两个小长方形的宽加一个小长方形的长等于长方形场地的宽，即，进一步列方程组即可． 解：设小长方形的长为，宽为，根据题意得：. 【变式2】（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点A的坐标为，则点B的坐标是________． 【答案】 【分析】设小长方形纸片的长为，宽为，根据点的坐标列出关于、的二元一次方程组求得、的值，结合点所在的位置即可解答． 解：设小长方形纸片的长为，宽为， ∵点A的坐标为， ∴， 解得：， ， 点在第二象限内， 点的坐标是． 【变式3】（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线． （1）若，，求证：； （2）若比大，比大，请结合二元一次方程组求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查角平分线的定义、平角的定义及二元一次方程组的应用，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据角平分线的定义得出，利用平角的定义求出，再次利用平角定义求出即可得结论； （2）设，，得出，，利用角平分线的定义及平角定义列二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得答案． 解：（1）证明：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设，， ∵比大，比大， ∴，，， ∴， 解得：， ∴． 【题型 8】图表信息应用题（特色题型） 【例题8】（25-26七年级下·广东惠州·期中）为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品3包，B种食品2包 解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在某一马拉松比赛中，小明和小王报名参加了相同赛程的比赛如图，开赛若干分钟后，小明跑了公里，小王跑了公里，又跑了分钟两人相遇，相遇后小王再跑分钟到达终点，小明再跑分钟到达终点，请问小明和小王参加的是（   ）公里赛程的比赛． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟，根据路程相同分别列出关于a，b的二元一次方程组求解得出a，b的值，最后再计算路程即可． 解：设小明的速度为公里分钟，则小王的速度为b公里分钟， 根据函数图象可得： 解得：， （公里）， 小明和小王参加的是公里赛程的比赛． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 【答案】 解：根据题意，得， 解得． 【变式3】（25-26七年级上·河南·期末）灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 （1）该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ （2）若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 【答案】（1）该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克；（2）九五折 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克，根据表格信息建立方程求解即可． （2）设剩余孟津梨打折，根据获利1044元建立方程求解即可． 解：（1）解：设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克． 根据题意，列方程为． 解得． （千克）． 答：该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克． （2）解： 设剩余孟津梨打折． 根据题意，列方程为 ． 解得． 答：剩余孟津梨打了九五折． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级下·江苏·期末）有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】先设派辆大车，辆小车，根据有货物，大卡车一次能装，小车一次能运，列出方程，再进行讨论，即可得出答案；本题考查了列二元一次方程并分类讨论求解的实际应用，找到等量关系并设未知数列方程是解题的关键． 解：设派辆大车，辆小车， 由题意（、为正整数）， 当派大车1辆时，小车辆； 当派大车2辆时，小车辆； 当派大车3辆时，小车辆； 当派大车4辆时，小车辆； 则共有4种派车方案； 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00小明看到的两位数为（    ） A．21 B．32 C．42 D．51 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据表格中的内容，可用含的代数式表示出，及时看到里程表上的数，根据“时里程碑上的两个数字之和是，及行驶的路程与时间成正比”，可列出关于的二元一次方程组，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 解：设：时里程碑上的这个两位数十位数字为，个位数字为， 根据题意得：时里程碑上的数字为； 时里程碑上的数字为； 时里程碑上的数字为； 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：时里程碑上的数为． 故选：D. 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 4．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）根据以下对话，可以求得明明所买的笔和笔记本的价格分别是（     ） A．元/支，元/本 B．元/支，元/本 C．元/支，元/本 D．元/支，元/本 【答案】C 【分析】先理解题意，设笔的价格为x元/支，笔记本为y元/本，根据对话内容进行列方程组，再解得，即可作答． 解：设笔的价格为x元/支，笔记本为y元/本， 依题意，列方程组：， 解得， ∴笔的价格为元/支，笔记本为元/本， 5．（25-26七年级下·福建漳州·期中）将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2．则一个直角三角形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意和图形，可以先设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图1和图2可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长． 解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ∴， 解得， ∴直角三角形的面积为：． 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少，设人数为人，车数为辆，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：设人数为人，车数为辆， ∵个人乘一辆车，则空辆车，说明实际使用辆车，总人数等于每车人数乘使用车辆数， ∴； ∵个人乘一辆车，则有个人要步行，说明总人数等于乘车人数加上步行人数， ∴； ∴可得方程组． 7．（25-26七年级下·广西南宁·期中）某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车可得方程，根据技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成可得方程，据此列出方程组即可． 解：设升级前每天装配辆，现在每天装配辆， 由题意得，． 8．（25-26七年级下·河南南阳·期末）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a、b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则图中叠合部分的长是（     ） A．20 B．40 C．60 D．100 【答案】A 【分析】根据题意，列出方程组进行求解即可. 解：由题意可知，解得， ∴重叠部分的长为. 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则：明文a，b对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，那么密文，13对应的明文应是（     ） A．5，1 B．13， C．5，3 D．，11 【答案】C 【分析】根据给定的加密规则，由已知密文列出关于明文，的二元一次方程组，解方程组即可得到对应的明文． 解：设密文,对应的明文为,，根据加密规则可得 将第二个方程两边同乘，得 将所得方程与第一个方程相加，得 ，解得 把代入，得，解得 ∴明文为，， 故选C． 10．（25-26七年级下·四川眉山·期末）《九章算术》是我国古代经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋称重后相等，两袋相互交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组，找准等量关系是解题关键. 解：∵ 原来9枚黄金总重量与11枚白银总重量相等，每枚黄金重两，每枚白银重两， ∴ ； ∵ 交换1枚后，甲袋重量为，乙袋重量为，甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量比甲袋重量多13两， ∴ ； 因此可得方程组. （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）地至地的航线长，一架飞机从地顺风飞往地需，它以同样的速度逆风飞行同样的航线需，则这架飞机在无风时的平均速度是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了行程问题，设飞机无风时的速度为；平均风速为，根据顺风和逆风所需时间找出等量关系求解即可. 解：飞机无风时的速度为；平均风速为， 则 解得 无风时飞机的平均速度是 故答案为： ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）新考法  两组数据：与的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组新数据：，则这组新数据的众数为___________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平均数的定义，列二元一次方程组解决实际问题，众数的定义等内容，解题的关键是熟练掌握以上公式和定义． 根据平均数的定义列出二元一次方程组求解得出新数据，然后根据众数的定义进行求解即可． 解：根据题意得 解得， ∴新数据为3，8，8，5，8，6，4， 8出现的次数最多，所以众数为8， 故答案为：8． 13．（25-26八年级上·河南·阶段检测）阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了________ 张． 【答案】350 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出方程组是解题的关键． 设单人票售出x张，双人票售出y张，根据总票数和总票款列方程组，求解即可． 解：设单人票售出x张，双人票售出y张， 由题意可得：， 解得：． 所以，单人票售出350张． 故答案为：350． 14．（24-25七年级下·福建漳州·阶段检测）甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书______本． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有图书本，乙原有图书本，根据题意列方程组即可求解． 解：设甲原有图书本，乙原有图书本， 根据题意得：， 解得：， 甲原有图书本， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【分析】通过已知完整的对角线求出 “幻和”（即每行、每列、对角线的和），利用列或行的和建立方程，依次求出未知数和的值，最后计算． 解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 16．（25-26七年级上·河南鹤壁·开学考试）西湖是杭州著名景点，周末，旅行团52人游湖，一共租了10条船，正好全部坐满．已知每条大船限乘6人，每条小船限乘4人，租了_______条大船，_______条小船． 【答案】 6 4 【分析】通过建立二元一次方程组，根据总船数和总人数列出方程，并利用消元法求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 解：设租大船x条，小船y条， 根据题意，得方程组：， 解得， 故租大船6条，小船4条， 故答案为：6，4． 17．（25-26七年级下·北京·期末）《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领，问士兵和铠甲各有多少？设有士兵x人，铠甲y领，根据题意，可列方程组为______． 【答案】 【分析】根据两种分铠甲的情况，分别找出铠甲总数与士兵人数的等量关系，列出方程组即可． 解：根据题意可得方程组为． 18．（25-26七年级下·天津河西·期末）将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度_______． 【答案】105 【分析】设长方体的长为，宽为，根据图中的信息列方程计算． 解：如图，设长方体的长为，宽为， 由图①可得，③， 由图②可得，④， ，得， 即， 解得． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江苏泰州·期末）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，其中技术难度最高的是桥梁、隧道、人工岛组合的主体工程．已知在这个主体工程中，隧道长度比桥隧总长的少，桥梁长度比隧道长度多．求主体工程中的桥梁长度和隧道长度． 【答案】主体工程中的桥梁长度是，隧道长度是 【分析】设主体工程中的桥梁长度为千米，隧道长度为千米，根据题意列二元一次方程组，求解即可． 解：设主体工程中的桥梁长度为千米，隧道长度为千米， 由题意得， 解得， 答：主体工程中的桥梁长度是，隧道长度是． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·河南周口·期中）“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． （1）笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ （2）面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 【答案】（1）甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题；（2）能，理由见分析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． （1）设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题，根据甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，即可列出二元一次方程组，即可解答． （2）根据题意，求出乙同学的总得分，即可解答． 解：（1）解：设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题． 根据题意，得， 解得， ． 答：甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题． （2）根据题意，乙同学答对了23道题，答错了2道题． 他的总得分． 因为乙同学的总得分为90， 所以，乙同学能被评为“消防安全小达人”． 22．（本小题满分10分）（2026·安徽六安·模拟预测）爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： （1）用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； （2）列方程组并求出时里程表上的数． 【答案】（1）；；；（2），时里程表上的数为51 【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 解：（1）解：∵时里程表上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程表上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； （2）解：根据题意，得， 解得：． ∴小靖在时看到里程表上的两位数． 答：小靖在时看到里程表上的两位数是51． 23．（本小题满分10分）（2026·江苏常州·一模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． （1）若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； （2）若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】（1），乙的速度是；（2）4分钟或7分钟 【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 解：（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·山东泰安·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． （1）求的值； （2）6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】（1）a值为值为4.2；（2）146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 解：（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $