暑期预习讲义（第4讲）——勾股定理与折叠、最值问题 （知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

暑期预习讲义（第4讲）——勾股定理与折叠、最值问题 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】折叠问题知识点与解题思路 1 【知识点二】最值知识点与解题思路 2 二.经典题型精析 3 【题型 1】直角三角形内部折叠（沿直角边、斜边折叠） 3 【题型 2】矩形折叠（考最多，必考模型） 7 【题型 3】正方形折叠 10 【题型 4】将军饮马模型（平面最短路径，最常考） 14 【题型 5】圆柱表面最短路径 19 【题型 6】长方体与正方体表面最短路径 22 【题型 7】垂线段最短（直角三角形内最值） 26 三.同步自测 31 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 31 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 40 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 47 一.知识梳理 【知识点一】折叠问题知识点与解题思路 1. 折叠的核心性质 （1）全等性：折叠前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等； （2）对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线； （3）隐含结论：折叠后出现相等线段、相等角，是构造等量关系的核心。 2. 通用解题步骤 （1）标已知：标出原图形边长、直角，梳理折叠后相等的线段； （2）设未知数：把未知线段设为，用含的代数式表示同一直角三角形的三边； （3）找直角三角形：锁定包含未知边的直角三角形； （4）列方程：利用勾股定理建立方程求解； （5）作答。 【知识点二】最值知识点与解题思路 核心思路：两点之间，线段最短；点线之间，垂线段最短，结合勾股定理计算长度。 模型一：将军饮马模型（平面最短路径，最常考） 1. 基本图形 直线同侧有两个定点，在直线上找一点P，使最小。 2. 解题方法 (1)作其中一个点关于直线的对称点； (2)连接对称点与另一个定点，连线与直线l的交点即为所求点； (3)该连线的长度就是的最小值，利用勾股定理计算线段长。 模型二：立体图形表面最短路径（圆柱、长方体、正方体） 核心原理:立体图形表面行走，需将立体图形展开为平面图形，再用 “两点之间线段最短”，最后用勾股定理计算。 1. 圆柱表面最短路径 步骤： (1)把圆柱侧面沿高剪开，展开成矩形； （2）矩形一边是圆柱的高，另一边是底面圆周长的一半； （3）起点、终点落在矩形两个顶点，连线为斜边，由勾股定理即可求出最短距离。 2. 长方体（正方体）表面最短路径 长方体长、宽、高，两个顶点在表面爬行，分三种展开方式，分别计算长度后取最小值： 展开后直角边：、，距离； 展开后直角边：、，距离； 展开后直角边：、，距离。 规律：两个较短棱长拼接，得到的路径最短。 模型三：垂线段最短（直角三角形内最值） （1）公理：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短； （2）应用：直角三角形中，求斜边上的高、动点到定直线的最小距离； （3）计算：利用面积法求高（直角边，斜边）。 4. 最值问题通用解题步骤 （1）判模型：区分是平面将军饮马，还是立体展开图； （2）做转化：对称或展开，把折线转化为直线； （3）构直角三角形：确定两直角边长度； （4）用勾股定理计算线段长度，即为最值。 5. 易错点 （1）立体图形展开方式遗漏（长方体只算一种展开图，导致结果错误）； （2）圆柱展开时，误把整圆周长当作直角边（应为半周长）； （3）将军饮马忘记作对称点，直接连线求值。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】直角三角形内部折叠（沿直角边、斜边折叠） 【例题1】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． （1）求的面积． （2）求折痕的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合折叠性质得，设，，根据勾股定理列出一元一次方程并求解即可． 解：依题意得：，，，， 设，， 中，， ， 解得， ． 【变式2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后根据等面积法求解． 解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合． （1）求的长； （2）由折叠可知与_____（填“全等”或“不全等”）； （3）求的长． 【答案】（1）；（2）全等；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，勾股定理， （1）利用勾股定理即可得到的值； （2）根据折叠前后的图形全等，即可解答； （3）设，则，在中，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 解：（1）解：在中，； （2）解：将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， ， 故答案为：全等． （3）解：设，则， ， ， ， 在中，可得， 可得方程， 解得， 故为． 【题型 2】矩形折叠（考最多，必考模型） 【例题2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： （1）的长． （2）的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 解：（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 【变式1】（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．．由折叠的性质可知，，，由勾股定理，得出，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．灵活利用勾股定理是解题关键． 解：由折叠的性质可知，，， 四边形是长方形， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 解：∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 【变式3】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段检测）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 解：（1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 【题型 3】正方形折叠 【例题3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． （1）求线段长． （2）求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的，本题中翻折是解题的关键． （1）设长度为．由题意得，，在中，，根据勾股定理得：，建立方程求解即可； （2）连接，设的长度为，在中，，根据勾股定理得：，在中，，根据勾股定理得；，建立方程求解即可． 解：（1）解：设长度为． 由题意得，， 在中，，根据勾股定理得：， 解得： ∴线段的为； （2）解：连接，设的长度为． 由题意得，， ∴在中，，根据勾股定理得：， 在中，，根据勾股定理得；， 解得： 的长为． 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定．过点N作，垂足为H，在中，由勾股定理可求得，轴对称的性质可知，再证明，故此可知，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 解：如图，过点N作，垂足为H， ∵正方形纸片的边长为， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵对称轴的性质可得知， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 设，由翻折的性质可知，则. 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 解：由题意可得：，， ∵点是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，点F是的中点，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了勾股定理以及翻折变换的知识，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等． （1）由题意得，，，于是得到，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）设，则，由折叠的性质得，，在中，利用勾股定理列式计算即可得到结论． 解：（1）证明：由折叠的性质得，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点F是的中点，∴，设，则， 由折叠的性质得，， ， 在中， ，即， 解得， ∴． 【题型 4】将军饮马模型（平面最短路径，最常考） 【例题4】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（   ） A．3 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上取一点，使，连接，此时的最小值为的长． 解：在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴的最小值是5． 【变式2】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 【答案】 10 【分析】本题考查利用轴对称确定最短路线问题，运用数形结合思想和利用勾股定理等几何知识直观求解代数问题是解题的关键．（1）由，，即可得到；（2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点，当点与重合时，值最小，根据勾股定理求出． 解：（1）∵，， ∴； （2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点， 当与重合时，式子取等号，值最小． ， ． 【变式3】（24-25八年级上·四川达州·阶段检测）如图，，角内有一点P，，R，Q分别是上一点（均不与点O重合），则的周长的最小值是_________________，当周长取最小值时， ________． 【答案】 /90度 【分析】根据轴对称图形的性质，作出P关于的对称点M、N，连接，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出的值即可；根据对称的性质求得，即可求得的度数． 解：分别作P关于的对称点M、N， 连接交交于Q、R， 连接， 则， ， 故 为等腰直角三角形， ， 根据对称的性质得到， ， 为等腰直角三角形， ， ， 即． 故答案为：，． 【点拨】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据题意构造出对称点，转化为直角三角形的问题是解题的关键． 【题型 5】圆柱表面最短路径 【例题5】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】沿剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为，再利用勾股定理求出即可解决问题．本题考查平面展开最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，理解题意，能将立体图形展开成平面图形，利用勾股定理解答是解题的关键． 解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意，知， ∵圆柱底面周长为，圆柱高， ∴，，， 由勾股定理，得， ， ∴ 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长__________________． 【答案】29 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键； 由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决． 解：如图在中，由勾股定理得 ∵ ∴ ∴这根藤条有29尺． 故答案为：29． 【变式2】（23-24八年级上·四川达州·阶段检测）如图，圆柱的高为6cm，底面圆的周长为12cm，在圆柱底部的A处，有一只蚂蚁，A点的对侧，圆柱内部距圆柱体上沿2cm的B处，有一小块实物，蚂蚁要吃到B处的食物，则它要爬过的最短路程为多少cm？ 【答案】蚂蚁爬过的最短路程为 【分析】将圆柱体侧面展开，作出B关于的对称点E，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 解：如图：将圆柱体侧面展开，作出B关于的对称点E，连接，则即为最短距离， ∵圆柱的高为6cm，底面圆的周长为12cm，在圆柱内部距圆柱体上沿2cm的点B处有食物， ∴，，， ∴， 在中， ， ∴蚂蚁爬过的最短路程为． 【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图以及勾股定理，先将圆柱侧面展开，找出棉线绕圆柱侧面3圈的路径在展开图中的表示，然后利用勾股定理求出这条路径的长度，就是棉线的最短长度． 解：圆柱体的展开图如图所示， 最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，从点沿着3个长方形的对角线运动到的路线最短， ∵底面半径为， ∴底面周长为， 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是：， 即， ， ∴最短为． 故选：A． 【题型 6】长方体与正方体表面最短路径 【例题6】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． （1）一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ （2）小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把空间问题转化为平面图形问题是解题的关键； （1）将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程，利用勾股定理即可求解． （2）将长方体的侧面沿展开，利用勾股定理求出即可． 解：（1）解：如图，将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程． 在Rt中，， ． 答：蚂蚁走的最短路程是． （2）解：如图，将长方体的侧面沿展开， 则， ． 答：彩带的长度最短是． 【变式1】（25-26八年级下·湖北·期中）如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则的最小值为_______． 【答案】 解：当吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，为； 当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线的长，高为， 由勾股定理得：包装盒内部的吸管的长度， 的最小值为． 【变式2】（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． （1）正方体的边长为 cm； （2）求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． （3）若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 【答案】（1）3；（2）蜘蛛爬行的最短路径为；（3）竹签的最大长度为 【分析】本题主要考查了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据求一个数的立方根即可得到答案； （2）因为是正方体所以把链接的两个面铺平即可找到最短路径，根据勾股定理求出答案即可； （3）根据题意找到最长的长度，运用两次勾股定理求出答案即可； 解：（1）解： ∵ ∴正方体的变成为3， 故答案为：3； （2）解：如图所示，线段AB为蜘蛛爬行的最短路线． 在中， ， ∴蜘蛛爬行的最短路成为 （3）解：在中， ， 在中， ，， 所以竹签的最大长度为 【变式3】（24-25八年级上·四川达州·阶段检测）如图是一块长，宽，高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（       ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可知就是蚂蚁爬的最短路线，分三种情况，根据勾股定求解即可． 解：如图，就是蚂蚁爬的最短路线，    有三种情况： 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； ， 最短路径的长是． 故选：C． 【题型 7】垂线段最短（直角三角形内最值） 【例题7】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，点P是上的动点，的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查“垂线段最短”，勾股定理，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 推导出当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，求出，根据，得到，解得，即可解答． 解：∵点P是上的动点， ∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级下·广西河池·开学考试）如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接，作于点，由垂线段最短知的最小值为的长，根据勾股定理结合等积法即可求解． 解：在上取点，使，连接，作于点， 平分， ， ， ， ， 根据垂线段最短的性质知，当点与点H重合时，的最小值为的长， ， ， ， ， ， ， 则的最小值为． 【变式2】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， ∵， ∴． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 的最小值为． 【变式3】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，点是边的中点，点为边上一动点，平分交于点，点是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接，作于点证明，得到，根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长，进行求解即可． 解：如图1，在上取点，使，连接，作于点 平分， ， ， ， ， 根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长， 如图2，连接 在中，， 为中点， ， 即的最小值为． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点C为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和垂线段最短，根据勾股定理得，根据垂线段最短，可知当时，最小，根据面积法即可求出答案． 解：∵，， ∴， 当时，最小， 此时 解得， ∴的最小值为4.8． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）如图，圆柱形杯子底面直径为，高为．将一根长的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为，则h的最小值是（    ）    A．9 B．11 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 即h的最小值是． 故选：B． 【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 3．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式．过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 4．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在长方形ABCD中，，，F是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【分析】作A关于的对称点，连接，过F作于点G，则，当三点依次在同直线上时，的值最小，求出此时的值便可． 解：作A关于的对称点，连接，过F作于点G，则 ， ∴， ∵， ∴当三点依次在同直线上时，的值最小， ∴的最小值为：3． 故选：A． 【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确的找出点的位置是解题的关键． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（    ）    A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】将放在中，利用三角形的三边关系得出：当，，三点共线时，最小，再利用勾股定理求出即可求解． 解：如图，连接，    ， ， 的最小值为， 当，，三点共线时，最小， 在矩形中，，，点E是边的中点，将沿所在直线折叠到，， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解当，，三点共线时，最小． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等腰三角形中，，，D是边上的中点，，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，勾股定理，根据垂线段最短，确定是的最小值解决问题的关键． 作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 解：如图，作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ∵，D是边上的中点， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，，D是边上的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　） A．160 B．150 C．140 D．130 【答案】A 【分析】本题考查轴对称解决最短路径问题、勾股定理，熟练掌握利用轴对称解决最短路径问题是解题的关键． 作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E，则线段的长为的最小值，根据勾股定理得到，即；延长交于点，则，当点P运动到时，有最大值，过点B作于点F，则，根据勾股定理求得，即有最大值，据此求解即可． 解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E， 线段的长为的最小值， 、、, 、、， 即的最小值； 延长交于点， 、 当点P运动到时，有最大值， 、、， 过点B作于点F，则， 即有最大值， ， 故选：A． 8．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法． 利用勾股定理求出，根据垂线段最短，求出的最小值即可解决问题． 解：∵， ∴， ∴， 根据垂线段最短得，当时，的值最小，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值． 故选：A． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点飞到与之相对的点，那么它飞行的最短路程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径，根据题意，则长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，根据底面圆的周长得，然后运用勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，将圆柱侧面展开，则长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，    ∵圆柱的底面周长是，圆柱高为， ∴，， 根据勾股定理， ∴蜜蜂飞行的最短路程为， 故选：． 10．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出的距离． 解：将半圆面展开可得： 米，米， 在中，（米）． 即滑行的最短距离为22米． 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）在中，，，为上一动点，则线段的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短，运用勾股定理是解题的关键． 根据垂线段最短可知时，最小，由勾股定理求得，再由面积法即可求解． 解：根据垂线段最短可知时，最小， ∵，，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理．过点作，并使得，连接构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案． 解：过点作，并使得连接，如图所示： 则， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值， ∵， ∴， ， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作，并在上截取，构造全等三角形，得到当、、三点共线时，可求得的最小值；再过点作，交得延长线于点，构造长方形，利用勾股定理求解即可． 解：过点作，并在上截取，连接、， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，为的长， 、、， 在中，由勾股定理得： ， 过点作，交得延长线于点， 四边形为长方形， 、， 在中，由勾股定理得： ， 得最小值为． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为_______． 【答案】13 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，勾股定理，找出P点的位置是解题的关键． 作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，此时有最小值，即的长度． 解：作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q， 连接，，    ∵，由对称性可知，，， ∴， ∴， 由对称性可得，， 由勾股定理得，， ∴， 当M、N、P、Q共线时，的值最小， 即的最小值为13． 故答案为：13. 15．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为_____dm． 【答案】128 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长为，圆柱高为， ，， ， ， 这圈金属丝的周长最小为， 则这圈金属丝的周长的最小值的平方为． 故答案为：128． 【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 16．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，点为斜边上任意一点． （1）的长度等于________； （2）线段的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂线段最短，解题关键是熟练掌握勾股定理和垂线段最短的知识点． （1）由勾股定理即可求出的长； （2）当时，线段的值最小，由三角形面积公式得到，即可求出线段的最小值． 解：（1） ， 故答案为：； （2）当时，线段的最小值， 的面积， ， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为，若一只蚂蚁想从盒底的点 处沿盒子的表面爬行一周到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路程问题，先画出长方体的侧面展开图，再根据勾股定理解答即可求解，正确画出长方体的侧面展图是解题的关键． 解：把长方体的侧面展开如图所示： 由图可得，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在长方体盒子中，已知，，，长为的细直木棒恰好从小孔处插入，木棒的一端与底面接触，且端点可以在长方形内及边界上任意运动．    （1）长度的最大值为_____； （2）长度的最小值为_____． 【答案】 5 / 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）最小时，最大，当I运动到点C时，最小，据此求解即可； （2）当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可． 解：（1）当最小时，最大，当I运动到点C时，最小， 此时长度的最大值为， 故答案为：5； （2）当最大时，最小，当I运动到点A时，最大， 此时， 而， ∴， ∴长度的最小值为． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图：在正方形网格上有一个． （1）作关于直线的对称图形（不写作法） （2）在直线上找一点P，使有最小值，那么最小值为 ． 【答案】（1）图见分析；（2） 【分析】本题考查轴对称作图． （1）根据成轴对称的性质，画出，即可； （2）连接，根据，求出的长即可． 掌握成轴对称的性质，是解题的关键． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）连接，则：， ∴最小值即为的长， 由勾股定理，得：； 故答案为：． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江西上饶·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），C（0，3），若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ＋QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】存在，AQ＋QC的最小值为＋． 【分析】过点C作与y轴夹角为30°的直线CB，过点A作AM⊥CB，垂足为M，则MQ=CQ，AQ+QC最小值＝AQ+MQ＝AM，即可求解． 解：AQ＋QC存在最小值． 在y轴左侧作∠OCB＝30°，过Q作QM⊥BC于M， ∴MQ＝QC， 当A，Q，M共线时，AQ＋QC存在最小值， 最小值就是线段AM的长． 设OB＝x，则BC＝2x，由勾股定理，得 x2＋32＝（2x）2，解得x＝ ． ∴AB＝＋1。 ∵∠OCB＝30°，∴∠OBC＝60°，∴∠BAM＝30°。 由勾股定理，得AM＝AB＝ （＋1）＝＋， 即AQ＋QC的最小值为＋． 【点拨】本题考查的是勾股定理以及线段和的最小值问题,将两条线段的关系转移到同一直线上,是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，蚂蚁在长方体木块的顶点处，长方体木块的长、宽、高分别是，，，在、两点的中点处有一滴蜜糖，蚂蚁要从处爬到处去吃蜜糖，有无数种走法，则最短路程是多少？ 【答案】从处爬到处的最短路程是 【分析】本题考查了平面展开图—路径最短问题，解题的关键是数形结合．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短求解即可． 解：如图1展开，连接，则的长就是从处爬到处的最短路程， 在中， ，， 由勾股定理得：， 即从处爬到处的最短路程是． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； （2）如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； （3）如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【答案】（1）①图见分析；②5；（2）；（3） 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称-最短问题． （1）①利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求；②作，交的延长线于点H，证明四边形是长方形，再根据勾股定理求出结论即可． （2）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，利用勾股定理求出点的长即可； （3）首先利用证明，得，将的最小值转化为的最小值，然后由（2）同理可得答案． 解：（1）解：①如下图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求作； ②作，交的延长线于点H， ∴ ∴四边形是长方形， ， ， ， ， ∵点A关于直线l的对称点， ， 的最小值为； （2）解：作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 则， 正方形中，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． （1）政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； （2）现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】（1）475米；（2）1000米 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 解：（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山西晋城·阶段检测）综合与探究：如图，在长方形中，，．点P，Q分别在，上，连接，，，． （1）求的面积． （2）若点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度沿方向运动（不超过点O），点Q从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿方向运动（不超过点A），设P，Q两点同时出发，运动时间为t秒，求的面积S与t之间的函数关系式． （3）若，点Q在上运动时，存在最小值，请直接写出其最小值．（结果不用化简） 【答案】（1）75；（2）；（3）的最小值为 【分析】（1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）根据求出S与t之间的函数关系式即可； （3）作点P关于的对称点，连接，交于点Q，证明点P、O、在同一直线上，根据，得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，根据勾股定理求出． 解：（1）解：∵四边形为长方形， ∴， ； （2）解：∵点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度沿方向运动，点Q从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿方向运动， ∴，， ∴ ， 即． （3）解：作点P关于的对称点，连接，交于点Q，如图所示：    ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴， ∴点P、O、在同一直线上， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握勾股定理． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第4讲）——勾股定理与折叠、最值问题 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】折叠问题知识点与解题思路 1 【知识点二】最值知识点与解题思路 2 二.经典题型精析 3 【题型 1】直角三角形内部折叠（沿直角边、斜边折叠） 3 【题型 2】矩形折叠（考最多，必考模型） 4 【题型 3】正方形折叠 5 【题型 4】将军饮马模型（平面最短路径，最常考） 6 【题型 5】圆柱表面最短路径 8 【题型 6】长方体与正方体表面最短路径 9 【题型 7】垂线段最短（直角三角形内最值） 10 三.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.知识梳理 【知识点一】折叠问题知识点与解题思路 1. 折叠的核心性质 （1）全等性：折叠前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等； （2）对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线； （3）隐含结论：折叠后出现相等线段、相等角，是构造等量关系的核心。 2. 通用解题步骤 （1）标已知：标出原图形边长、直角，梳理折叠后相等的线段； （2）设未知数：把未知线段设为，用含的代数式表示同一直角三角形的三边； （3）找直角三角形：锁定包含未知边的直角三角形； （4）列方程：利用勾股定理建立方程求解； （5）作答。 【知识点二】最值知识点与解题思路 核心思路：两点之间，线段最短；点线之间，垂线段最短，结合勾股定理计算长度。 模型一：将军饮马模型（平面最短路径，最常考） 1. 基本图形 直线同侧有两个定点，在直线上找一点P，使最小。 2. 解题方法 (1)作其中一个点关于直线的对称点； (2)连接对称点与另一个定点，连线与直线l的交点即为所求点； (3)该连线的长度就是的最小值，利用勾股定理计算线段长。 模型二：立体图形表面最短路径（圆柱、长方体、正方体） 核心原理:立体图形表面行走，需将立体图形展开为平面图形，再用 “两点之间线段最短”，最后用勾股定理计算。 1. 圆柱表面最短路径 步骤： (1)把圆柱侧面沿高剪开，展开成矩形； （2）矩形一边是圆柱的高，另一边是底面圆周长的一半； （3）起点、终点落在矩形两个顶点，连线为斜边，由勾股定理即可求出最短距离。 2. 长方体（正方体）表面最短路径 长方体长、宽、高，两个顶点在表面爬行，分三种展开方式，分别计算长度后取最小值： 展开后直角边：、，距离； 展开后直角边：、，距离； 展开后直角边：、，距离。 规律：两个较短棱长拼接，得到的路径最短。 模型三：垂线段最短（直角三角形内最值） （1）公理：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短； （2）应用：直角三角形中，求斜边上的高、动点到定直线的最小距离； （3）计算：利用面积法求高（直角边，斜边）。 4. 最值问题通用解题步骤 （1）判模型：区分是平面将军饮马，还是立体展开图； （2）做转化：对称或展开，把折线转化为直线； （3）构直角三角形：确定两直角边长度； （4）用勾股定理计算线段长度，即为最值。 5. 易错点 （1）立体图形展开方式遗漏（长方体只算一种展开图，导致结果错误）； （2）圆柱展开时，误把整圆周长当作直角边（应为半周长）； （3）将军饮马忘记作对称点，直接连线求值。 二.经典题型精析 【题型 1】直角三角形内部折叠（沿直角边、斜边折叠） 【例题1】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． （1）求的面积． （2）求折痕的长． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【变式3】（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合． （1）求的长； （2）由折叠可知与_____（填“全等”或“不全等”）； （3）求的长． 【题型 2】矩形折叠（考最多，必考模型） 【例题2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： （1）的长． （2）的面积． 【变式1】（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为________． 【变式3】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段检测）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为； （2）若，，求的长． 【题型 3】正方形折叠 【例题3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． （1）求线段长． （2）求线段的长． 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【变式2】（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 【变式3】（23-24八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，点F是的中点，求的长度． 【题型 4】将军饮马模型（平面最短路径，最常考） 【例题4】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式1】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（   ） A．3 B． C．5 D．6 【变式2】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 【变式3】（24-25八年级上·四川达州·阶段检测）如图，，角内有一点P，，R，Q分别是上一点（均不与点O重合），则的周长的最小值是_________________，当周长取最小值时， ________． 【题型 5】圆柱表面最短路径 【例题5】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长__________________． 【变式2】（23-24八年级上·四川达州·阶段检测）如图，圆柱的高为6cm，底面圆的周长为12cm，在圆柱底部的A处，有一只蚂蚁，A点的对侧，圆柱内部距圆柱体上沿2cm的B处，有一小块实物，蚂蚁要吃到B处的食物，则它要爬过的最短路程为多少cm？ 【变式3】（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【题型 6】长方体与正方体表面最短路径 【例题6】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． （1）一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ （2）小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 【变式1】（25-26八年级下·湖北·期中）如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则的最小值为_______． 【变式2】（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． （1）正方体的边长为 cm； （2）求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． （3）若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 【变式3】（24-25八年级上·四川达州·阶段检测）如图是一块长，宽，高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（       ）    A． B． C． D． 【题型 7】垂线段最短（直角三角形内最值） 【例题7】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，点P是上的动点，的最小值为_______． 【变式1】（25-26九年级下·广西河池·开学考试）如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，点是边的中点，点为边上一动点，平分交于点，点是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点C为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）如图，圆柱形杯子底面直径为，高为．将一根长的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为，则h的最小值是（    ）    A．9 B．11 C．12 D．14 3．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 4．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在长方形ABCD中，，，F是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是（　　） A． B．5 C． D．4 5．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（    ）    A．2 B．4 C． D． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等腰三角形中，，，D是边上的中点，，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．10 B． C．12 D． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　） A．160 B．150 C．140 D．130 8．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点飞到与之相对的点，那么它飞行的最短路程为（   ）    A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）在中，，，为上一动点，则线段的最小值是________． 12．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值是______． 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为 ． 14．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为_______． 15．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为_____dm． 16．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，点为斜边上任意一点． （1）的长度等于________； （2）线段的最小值为________． 17．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为，若一只蚂蚁想从盒底的点 处沿盒子的表面爬行一周到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在长方体盒子中，已知，，，长为的细直木棒恰好从小孔处插入，木棒的一端与底面接触，且端点可以在长方形内及边界上任意运动．    （1）长度的最大值为_____； （2）长度的最小值为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图：在正方形网格上有一个． （1）作关于直线的对称图形（不写作法） （2）在直线上找一点P，使有最小值，那么最小值为 ． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江西上饶·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），C（0，3），若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ＋QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，蚂蚁在长方体木块的顶点处，长方体木块的长、宽、高分别是，，，在、两点的中点处有一滴蜜糖，蚂蚁要从处爬到处去吃蜜糖，有无数种走法，则最短路程是多少？ 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； （2）如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； （3）如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． （1）政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； （2）现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山西晋城·阶段检测）综合与探究：如图，在长方形中，，．点P，Q分别在，上，连接，，，． （1）求的面积． （2）若点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度沿方向运动（不超过点O），点Q从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿方向运动（不超过点A），设P，Q两点同时出发，运动时间为t秒，求的面积S与t之间的函数关系式． （3）若，点Q在上运动时，存在最小值，请直接写出其最小值．（结果不用化简） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $