2026年北师大版七升八数学暑期预习讲义（第9讲）——待定系数法求一次函数解析式（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第9讲）——待定系数法求一次函数解析式 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】核心概念回顾 1 【知识点二】待定系数法核心原理 2 【知识点三】待定系数法标准四步法（必考） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】已知两点坐标，求一次函数解析式（基础必考） 2 【题型 2】已知一点坐标，求正比例函数解析式（简单基础） 4 【题型 3】已知函数图像与坐标轴交点，求解析式（高频题型） 5 三.经典题型精析（综合提升） 8 【题型 4】已知函数增减性+定点，求解析式（进阶题型） 8 【题型 5】已知函数过定点且与已知函数平行，求解析式（重难点） 11 【题型 6】已知直线与坐标轴围成的面积，求解析式（重难点） 13 四.同步自测 17 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 27 一.知识梳理 【知识点一】核心概念回顾 1. 一次函数定义：形如 （ 为常数，）的函数，叫做一次函数。 2. 正比例函数定义：当 时，（）为正比例函数，是特殊的一次函数。 3. 核心关键：求一次函数解析式，本质是求出未知常数 和 的值。 【知识点二】待定系数法核心原理 1、定义：先设出函数解析式，再根据题目已知条件列出方程（组），求出解析式中未知系数，从而确定函数解析式的方法，叫做待定系数法。 2、解题逻辑： （1）一次函数 有 2个未知系数（），需要 2组独立条件 求解； （2） 正比例函数 只有 1个未知系数（），只需要 1组条件 求解。 【知识点三】待定系数法标准四步法（必考） 第一步：设 根据题意设出函数解析式：（1）已知是一次函数：设 ；（2）已知是正比例函数：设 。 第二步：代 将已知点的坐标代入解析式，得到关于未知系数的方程（组） 第三步：求 解方程（组），求出 的值 第四步：写 将求出的系数回代，写出最终的函数解析式 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】已知两点坐标，求一次函数解析式（基础必考） 【例题1】（2026·新疆和田·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和，求k、b的值． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 解：∵一次函数的图象过点和， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）已知一次函数的图象经过点和，则、的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将两个已知点代入一次函数解析式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到结果． 解：∵一次函数的图象经过点和， ∴把点和代入中，得： ， 解得：． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知一次函数的图像经过点和，则这个一次函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入一次函数解析式，得到关于待定系数，的方程组，解方程组求出系数即可得到一次函数解析式． 解：将点和代入， 得， 解得：， 所以这个一次函数的解析式为． 【变式3】（25-26八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数的图象经过两点，求k、b的值． 【答案】k、b的值分别为． 【分析】将两个点的坐标代入函数关系式得出二元一次方程组，再解方程组求出解即可． 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， 即k、b的值分别为． 【题型 2】已知一点坐标，求正比例函数解析式（简单基础） 【例题1】（22-23八年级下·湖南长沙·期中）已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个正比例函数的解析式； （2）若该正比例函数的图象恰好经过点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设成正比例函数解析式为，把点代入解析式，求出即可； （2）由题意把代入求出的值即可． 解：（1）解：设这个正比例函数的解析式为，将点代入得： 解得， ∴正比例函数的解析式为； （2）把代入，得， ，   解得． 【点拨】本题考查用待定系数法求正比例函数解析式和求函数图象上的点坐标，解答关键是根据题意设出正比例函数解析式求出待定系数． 【变式1】（2026·贵州·三模）若点在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题使用待定系数法求解正比例函数表达式，先设正比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出比例系数，即可得到函数表达式． 解：设这个正比例函数的表达式为， ∵点在该正比例函数的图象上， ∴，解得， ∴这个正比例函数的表达式是． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为____________． 【答案】 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式． 解：设函数解析式为，将代入函数解析式，得 ． 解得， 函数解析式为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1）；（2）x的值为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据成正比例的定义，设，然后把，代入求出k，从而得到y与x的函数表达式； （2）利用（1）中的解析式，把代入求解即可． 解：（1）设， 把，代入得， 解得， ∴， 即y与x的函数表达式为； （2）当时，， 解得， 即x的值为． 【题型 3】已知函数图像与坐标轴交点，求解析式（高频题型） 【例题3】（25-26八年级下·北京·单元复习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线向上平移2个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）直接把点和代入一次函数，求出，的值即可得出函数解析式； （2）求出直线平移后的函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式即可得出结论． 解：（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得： ∴； （2）解：一次函数的解析式为， 直线向上平移个单位后所得直线的解析式为， 当时，； 当时，， 直线与坐标轴的交点为，， 平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【变式1】（2024·陕西·模拟预测）已知直线与坐标轴相交于点和点，则该直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，把点和点分别代入，再运用代入法解出的值，即可作答． 解：依题意， 把点和点分别代入，得 ， 解得， ∴该直线的解析式为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）直线与两坐标轴交点如图，则_________，_________． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，由图象与y轴的交点坐标可直接得到b，然后把代入解析式可求出a． 解：由图像知，直线与坐标轴交点的坐标为，， ∴ 把代入，得 ∴， ∴． 故答案为：2，2． 【变式3】（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线AB向上平移6个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． （1）直接把点和代入一次函数，求出，的值即可得出函数解析式； （2）求出直线平移后的函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式即可得出结论． 解：（1）解：一次函数的图象经过点和， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：一次函数的解析式为， 直线向上平移6个单位后所得直线的解析式为， 当时，； 当时，， 直线与坐标轴的交点为，， 平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 4】已知函数增减性+定点，求解析式（进阶题型） 【例题4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一次函数（a为常数，）和． （1）当时，求两个函数图象的交点坐标； （2）不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过一个定点，求这个定点坐标． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一次函数，两条直线的交点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再联立即可求解； （2）先将变形为，满足过定点，则与无关，故即可． 解：（1）解：当时，， 当，得， 解得， 当时，， ∴两个函数图象的交点坐标为； （2）解：， 当时，， 此时， ∴不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过定点． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 先求出点的坐标，然后用待定系数法即可求解． 解：∵直线始终过定点， 当时，， 即直线始终过点， ∴， 将和代入直线中，有： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·安徽·阶段检测）已知直线． （1）若该直线与直线没有公共点，则______； （2）若，直线经过定点，则点的坐标是______． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握互相平行的两条直线的特点，是解题的关键． （1）根据两条直线互相平行时，两条直线没有公共点，求出k的值即可； （2）将直线的解析式进行变形，然后求出结果即可． 解：（1）∵该直线与直线没有公共点， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵， ∴令， 解得：， 当时，， ∴定点的坐标是． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知一次函数． （1）求其图像经过的定点坐标． （2）若函数图像与直线平行，求k的值及此时函数图像与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1）；（2），函数图像与两坐标轴围成的三角形面积为 【分析】此题考查了一次函数的性质，一次函数的和几何综合，求一次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先将变形为，然后令求解即可； （2）根据题意求出，得到函数表达式为，然后求出与x轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，进而求解即可． 解：（1） 令，即，当时， 该函数图像经过的定点坐标为； （2）函数的图像与直线平行 ， 此时函数表达式为 当时， ，即与x轴的交点坐标为 当时，，即与轴的交点坐标为 此时函数图像与两坐标轴围成的三角形面积为． 【题型 5】已知函数过定点且与已知函数平行，求解析式（重难点） 【例题5】（25-26八年级下·上海·期末）已知直线与直线平行，且经过点． （1）求此直线的解析式； （2）若该直线上、下平移后经过点，求该直线平移的方向和单位． 【答案】（1）；（2）向上平移16个单位长度. 【分析】（1）利用两平行直线的一次项系数相等求出，再代入已知点求出，得到直线解析式； （2）平移不改变一次项系数，代入已知点求出平移后的解析式，再根据常数项的变化判断平移的方向和单位． 解：（1）解：∵直线与直线平行， ， 设直线解析式为， 将点代入解析式得， 解得， 此直线的解析式为； （2）解：设平移后的直线解析式为， 将点代入得， 解得， 平移后的直线解析式为， ， 该直线向上平移了16个单位长度． 【变式1】（2026八年级下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，直线：与直线：平行，且经过点，则的值为（    ） A．6 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线：与直线：平行，得，；把代入得，解得，计算，解答即可． 本题考查了一次函数平行的条件，待定系数法，熟练掌握条件和待定系数法是解题的关键． 解：根据直线：与直线：平行， 得，； 把代入 得， 解得， 故， 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知一次函数与的图象平行，且过点，则一次函数的解析式为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先根据两个一次函数的图象平行可得，再将点代入求出的值，由此即可得． 解：∵一次函数的图象与的图象平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴该一次函数的解析式为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·吉林松原·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与直线平行，且经过点． （1）求该一次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据两直线平行，得到，待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求得当时，；当时，；再根据可知，随的增大而减小，即可求解． 解：（1）解：∵一次函数：的图象与直线平行， ∴， 将点代入中，得，解得， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：当时，； 当时，； ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，． 【题型 6】已知直线与坐标轴围成的面积，求解析式（重难点） 【例题6】（25-26八年级下·云南·期末）六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形等内容，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作轴，交轴于点，设直线与轴交于点，因为直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，所以每一部分的面积是，根据求出，即，由题意得，根据、两点的坐标求出直线的函数表达式即可． 解：过点作轴，交轴于点，设直线与轴交于点， 直线将这六个正方形分成面积相等的两部分， 每一部分的面积是， ， ，， ，即， 由题意得， 设直线的函数表达式为，将，代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线与坐标轴交点的坐标，再求出中点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 解：一次函数， 令，得，； 令，得，； 直线过原点且将分割为面积相等的两个三角形， 直线必经过线段的中点． 设的中点为，则点的坐标为，即． 设直线的解析式为． 将代入，得，解得． 直线的解析式为． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象过点，且与y轴交于点B，的面积是2，则这个一次函数的表达式为________． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，关键是计算出的值，注意有两个值，不要漏解． 根据图象经过点，得出，再根据的面积为2，得出，进而算出的值，再计算出，然后把的值代入，即可得到的值，写出函数解析式即可． 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴的交点是， ∴， 即， ∴，， 将，分别代入， 得，， ∴一次函数的表达式是或． 【变式3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 _____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．根据题意，先求得直线的解析式，得到直线上一点，得出点的纵坐标为，再利用待定系数法，求的解析式即可． 解：设直线为：， ，两点在直线上， ， 解得：， 直线：， ∵四边形的顶点坐标分别为，，，， ∴ ∵过点的直线将四边形分成面积相等的两部分， 设与的交点为，连接， ∴ ∴ 当时，， ， ，， 设直线为：， ， ， ：， 故答案为：． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·云南大理·期末）已知函数的图像经过点，则（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将已知点的坐标代入函数式，解一元一次方程即可求出k的值． 解：∵函数 的图像经过点， ∴ 将代入函数解析式， 得，解得：． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）在中，当时，；当时，；则当时，y的值为（　　） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【分析】先求出函数解析式，再将代入解析式计算即可． 解：∵在中，当时，，当时，， ∴代入得方程组， 解得， ∴函数解析式为， 将代入解析式，得． 3．（2026·安徽·二模）如图，若直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，且的面积为6，则该直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形面积公式求出得到，然后利用待定系数法求直线解析式． 解：， ， ，解得， ， 把，代入， ，解得， 直线解析式为． 4．（2026·甘肃兰州·一模）在一定范围内，固定质量的酒精的体积（单位：）可近似地看作温度（单位：）的一次函数，其图象如图所示，则与之间的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合，由待定系数法列方程组求解即可． 解：由图可知，一次函数表达式为， 将、代入表达式得， 解得， 与之间的表达式为． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于点和点，并与正比例函数的图像平行，下列说法不正确的是（    ） A．点的坐标是 B．点在函数图像上 C．的周长是 D．关于的方程的解是 【答案】B 【分析】根据一次函数的图像与正比例函数的图像平行，一次函数的图像与轴交于点，求出一次函数解析式为，然后逐项进行判断即可． 解：∵一次函数的图像与正比例函数的图像平行， ∴， ∵一次函数的图像与轴交于点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 把代入得：， ∴点的坐标是，故A正确，不符合题意； ∵把代入得：， ∴点不在函数图像上，故B不正确，符合题意； ∵， ∴的周长是，故C正确，不符合题意； ∵一次函数的图像与轴交于点， ∴关于的方程的解是，故D正确，不符合题意． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将点代入正比例函数的解析式求得其坐标，设这个一次函数的表达式为，然后代入一次函数的表达式即可求解． 解：∵正比例函数的图象过点， ∴， ∴， 设这个一次函数的表达式为，把，代入得， ，解得：， ∴这个一次函数的表达式为． 7．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两平行的一次函数图像的一次项系数相等，再利用待定系数法求解即可． 解：设此一次函数的解析式为． ∵ 所求一次函数的图像与直线平行． ∴ ． 又∵ 函数图像过点． ∴ 将，，代入解析式得，解得：． ∴ 此一次函数的解析式为． 故选C． 8．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图直线与y轴、x轴分别交于A、B，C是线段的中点，点在直线上，P为x轴上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，结合是线段的中点，可得出点的坐标，由点，关于轴对称可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标． 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示： 当时，， 点A的坐标为 当时，， 解得：， 点的坐标为． ∵在直线上， ∴， 解得， ∴； 又是线段的中点， 点的坐标为， 则点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的函数解析式为． 当时，， 解得：， 点的坐标为． 9．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知一次函数（k为常数），y随x的增大而减小，若点N在该函数的图象上，则点N的坐标不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数增减性得到，再将各选项坐标代入函数解析式，计算的值，判断是否满足，即可得到不可能的坐标． 解：∵一次函数中，随增大而减小， ∴． A．将代入解析式得：，解得，符合条件，故A可能； B．将代入解析式得：，解得，符合条件，故B可能； C．将代入解析式得：，解得，符合条件，故C可能； D．将代入解析式得：，解得，不符合，故D不可能． 10．（25-26八年级下·全国·期末）象棋是我国传统文化艺术的瑰宝，深受人们喜爱．小明在学习平面直角坐标系后，将如图所示的象棋盘与平面直角坐标系联系起来，若“相”的坐标为，“炮”的坐标为，则经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立直角坐标系得出“兵”的坐标和“帅”的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可． 解：根据“相”的坐标为，“炮”的坐标为建立直角坐标系如下： 则“兵”的坐标为：和“帅”的坐标为：， 设经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是， 则， 解得， 故经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（重庆市沙坪坝区2025-2026学年度春季学期初中期末调研测试八年级数学试题）若点在一次函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【分析】点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求解的值． 解：∵点在一次函数的图象上， ∴将，代入，得， 解得． 12．（25-26八年级下·天津·期末）已知直线l经过和，把直线l沿y轴向上平移3个单位得到直线，则直线的解析式为_______． 【答案】 【分析】先求出原直线的解析式，再根据平移规律即可得到直线的解析式． 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得， 因此直线的解析式为， 将直线沿轴向上平移个单位， 可得直线的解析式为：． 13．（22-23八年级下·吉林长春·阶段检测）直线与平行，且经过点，则______． 【答案】 【分析】先根据两平行直线的一次项系数相等求出的值，再将已知点的坐标代入直线解析式求出的值.最后计算得到结果． 解：∵直线与平行， ∴， ∵直线经过点， ∴将，，代入得， 解得， ∴． 14．（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知函数的图象过点，那么________． 【答案】6 【分析】将点代入函数的解析式，即可求出的值． 解：函数的图象过点， ， 解得． 15．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则其解析式为______． 【答案】 【分析】先根据两直线平行的性质确定的值，再将已知点的坐标代入解析式求出的值，即可得到该一次函数的解析式． 解：一次函数的图象与直线平行， ， 一次函数经过点， 将点代入，得， 解得， 该一次函数的解析式为． 16．（21-22八年级下·四川眉山·阶段检测）已知三点，，在同一条直线上，则 ______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线 的一次函数解析式，再将点坐标代入解析式求出的值即可． 解：设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点，，在同一条直线上， ∴． 17．（25-26八年级下·内蒙古通辽·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为，，，若一次函数的图象将分成面积为的两个部分，则k的值为____________________． 【答案】或 【分析】先找出一次函数经过点，再根据题意将分成面积为的两个部分，求出E、F两点的坐标，用待定系数法代入一次函数解析式即可． 解：∵一次函数，当时，， ∴一次函数过定点，即过点A． 如图，直线或将分成面积为的两个部分， ∵B、C两点的坐标分别为，， ∴， ∴此时两三角形的高相等，面积之比等于底之比， 即或， ∴或， ∴，， 将代入得，，解得； 将代入得，，解得； 综上所述，或． 18．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将两点坐标代入直线解析式，消去参数，整理即可得到关于的函数解析式． 解：直线经过点和． 将两点坐标代入直线解析式，得 整理第一个等式，移项得 整理第二个等式，移项得 联立得 移项，合并同类项得． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·四川乐山·期末）在平面直角坐标系中，平行于的直线经过点，求这条直线的解析式． 【答案】 【分析】平行直线的一次项系数相等，得到所求直线的一次项系数，再用待定系数法代入已知点坐标求出常数项，即可得到直线解析式． 解：设平行于的直线解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴这条直线的解析式为． 20．（本小题满分8分）（26-27九年级·全国·暑假作业）已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式． 【答案】 解：设这个一次函数的表达式为（）， 由图象可得，一次函数的图象经过点和点， 将两个点的坐标代入函数表达式，得， 解得：， 因此这个一次函数的表达式为． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法，求出一次函数解析式即可． 解：设，根据题意得： ， 解得：， 函数解析式为：． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖南娄底·期末）下表中，y是x的一次函数． x 0 1 2 3 y 5 3 1 m n （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2） ， ； 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入一次函数解析式求解即可． 解：（1）解：设一次函数关系式为，代入和得， ∴， ； （2）解：将代入，得，即； 将代入，得，即． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西北海·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（k，b为常数，）的图象是由函数的图象平移而得，并且这个一次函数的图象经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）若一次函数与y轴交于点A，与交于点B，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一次函数图象平移规律确定k的值，再将点代入函数求出b的值； （2）在中，令，求出对应的y值，即可得点A的坐标，联立和即可求出点B的坐标，再根据求解． 解：（1）解：∵一次函数的图象是由函数的图象平移而得， ， ， ∵这个一次函数图象经过点， ， ， ； （2）解：在中，当时， ， ， 由，解得， ， ． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，直线与轴相交于点，已知，两点的坐标，点是坐标原点． （1）求直线的函数解析式； （2）求直线的函数解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）直线的函数解析式为；（2）直线的函数解析式为；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求得，再利用三角形面积公式求解即可． 解：（1）解：设直线的函数解析式为， ∵， ∴， ∴直线的函数解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为； （3）解：令，则， 解得， ∴， ∴的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第9讲）——待定系数法求一次函数解析式 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】核心概念回顾 1 【知识点二】待定系数法核心原理 2 【知识点三】待定系数法标准四步法（必考） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】已知两点坐标，求一次函数解析式（基础必考） 2 【题型 2】已知一点坐标，求正比例函数解析式（简单基础） 2 【题型 3】已知函数图像与坐标轴交点，求解析式（高频题型） 3 三.经典题型精析（综合提升） 4 【题型 4】已知函数增减性+定点，求解析式（进阶题型） 4 【题型 5】已知函数过定点且与已知函数平行，求解析式（重难点） 4 【题型 6】已知直线与坐标轴围成的面积，求解析式（重难点） 5 四.同步自测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.知识梳理 【知识点一】核心概念回顾 1. 一次函数定义：形如 （ 为常数，）的函数，叫做一次函数。 2. 正比例函数定义：当 时，（）为正比例函数，是特殊的一次函数。 3. 核心关键：求一次函数解析式，本质是求出未知常数 和 的值。 【知识点二】待定系数法核心原理 1、定义：先设出函数解析式，再根据题目已知条件列出方程（组），求出解析式中未知系数，从而确定函数解析式的方法，叫做待定系数法。 2、解题逻辑： （1）一次函数 有 2个未知系数（），需要 2组独立条件 求解； （2） 正比例函数 只有 1个未知系数（），只需要 1组条件 求解。 【知识点三】待定系数法标准四步法（必考） 第一步：设 根据题意设出函数解析式：（1）已知是一次函数：设 ；（2）已知是正比例函数：设 。 第二步：代 将已知点的坐标代入解析式，得到关于未知系数的方程（组） 第三步：求 解方程（组），求出 的值 第四步：写 将求出的系数回代，写出最终的函数解析式 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】已知两点坐标，求一次函数解析式（基础必考） 【例题1】（2026·新疆和田·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和，求k、b的值． 【变式1】（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）已知一次函数的图象经过点和，则、的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知一次函数的图像经过点和，则这个一次函数的解析式为_________． 【变式3】（25-26八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数的图象经过两点，求k、b的值． 【题型 2】已知一点坐标，求正比例函数解析式（简单基础） 【例题1】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个正比例函数的解析式； （2）若该正比例函数的图象恰好经过点，求的值． 【变式1】（2026·贵州·三模）若点在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为____________． 【变式3】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求x的值． 【题型 3】已知函数图像与坐标轴交点，求解析式（高频题型） 【例题3】（25-26八年级下·北京·单元复习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线向上平移2个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【变式1】（2024·陕西·模拟预测）已知直线与坐标轴相交于点和点，则该直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）直线与两坐标轴交点如图，则_________，_________． 【变式3】（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线AB向上平移6个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 4】已知函数增减性+定点，求解析式（进阶题型） 【例题4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一次函数（a为常数，）和． （1）当时，求两个函数图象的交点坐标； （2）不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过一个定点，求这个定点坐标． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽·阶段检测）已知直线． （1）若该直线与直线没有公共点，则______； （2）若，直线经过定点，则点的坐标是______． 【变式3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知一次函数． （1）求其图像经过的定点坐标． （2）若函数图像与直线平行，求k的值及此时函数图像与两坐标轴围成的三角形面积． 【题型 5】已知函数过定点且与已知函数平行，求解析式（重难点） 【例题5】（25-26八年级下·上海·期末）已知直线与直线平行，且经过点． （1）求此直线的解析式； （2）若该直线上、下平移后经过点，求该直线平移的方向和单位． 【变式1】（2026八年级下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，直线：与直线：平行，且经过点，则的值为（    ） A．6 B．2 C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知一次函数与的图象平行，且过点，则一次函数的解析式为_______ ． 【变式3】（25-26八年级下·吉林松原·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与直线平行，且经过点． （1）求该一次函数的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【题型 6】已知直线与坐标轴围成的面积，求解析式（重难点） 【例题6】（25-26八年级下·云南·期末）六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象过点，且与y轴交于点B，的面积是2，则这个一次函数的表达式为________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 _____ ． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·云南大理·期末）已知函数的图像经过点，则（     ） A．1 B．2 C． D． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）在中，当时，；当时，；则当时，y的值为（　　） A．2 B． C． D．5 3．（2026·安徽·二模）如图，若直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，且的面积为6，则该直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃兰州·一模）在一定范围内，固定质量的酒精的体积（单位：）可近似地看作温度（单位：）的一次函数，其图象如图所示，则与之间的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于点和点，并与正比例函数的图像平行，下列说法不正确的是（    ） A．点的坐标是 B．点在函数图像上 C．的周长是 D．关于的方程的解是 6．（2026·陕西西安·模拟预测）过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图直线与y轴、x轴分别交于A、B，C是线段的中点，点在直线上，P为x轴上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知一次函数（k为常数），y随x的增大而减小，若点N在该函数的图象上，则点N的坐标不可能是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·全国·期末）象棋是我国传统文化艺术的瑰宝，深受人们喜爱．小明在学习平面直角坐标系后，将如图所示的象棋盘与平面直角坐标系联系起来，若“相”的坐标为，“炮”的坐标为，则经过棋子“兵”和“帅”所在点的一次函数图象是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（重庆市沙坪坝区2025-2026学年度春季学期初中期末调研测试八年级数学试题）若点在一次函数的图象上，则的值为________． 12．（25-26八年级下·天津·期末）已知直线l经过和，把直线l沿y轴向上平移3个单位得到直线，则直线的解析式为_______． 13．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）直线与平行，且经过点，则______． 14．（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知函数的图象过点，那么________． 15．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则其解析式为______． 16．（24-25八年级下·四川眉山·阶段检测）已知三点，，在同一条直线上，则 ______． 17．（25-26八年级下·内蒙古通辽·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为，，，若一次函数的图象将分成面积为的两个部分，则k的值为____________________． 18．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·四川乐山·期末）在平面直角坐标系中，平行于的直线经过点，求这条直线的解析式． 20．（本小题满分8分）（26-27九年级·全国·暑假作业）已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求这个一次函数的解析式． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖南娄底·期末）下表中，y是x的一次函数． x 0 1 2 3 y 5 3 1 m n （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2） ， ； 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西北海·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（k，b为常数，）的图象是由函数的图象平移而得，并且这个一次函数的图象经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）若一次函数与y轴交于点A，与交于点B，求的面积． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，直线与轴相交于点，已知，两点的坐标，点是坐标原点． （1）求直线的函数解析式； （2）求直线的函数解析式； （3）求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $