暑期预习讲义（第2讲）——实数、平方根与立方根 （知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

暑期预习讲义（第2讲）——实数、平方根与立方根（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】平方根 1 【知识点二】立方根 2 【知识点三】实数 2 二.经典题型精析 4 【题型 1】 平方根与算术平方根概念辨析 4 【题型 2】 求平方根或算术平方根 5 【题型 3】 算术平方根的非负性 7 【题型 4】立方根概念辨析 9 【题型 5】求立方根 10 【题型 6】立方根的简单应用 12 【题型 7】实数的分类（有理数与无理数区分） 13 【题型 8】实数的性质与实数与数轴 15 【题型 9】实数的大小比较 17 【题型10】平方根与立方根的综合辨析 19 【题型 11】实数的简单运算（加减乘除，开方与有理数混合） 21 【题型 12】勾股定理与无理数 23 三.同步自测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32 一.教材知识梳理 【知识点一】平方根 1. 平方根的定义 如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫二次方根）。 2. 平方根的性质 （1）正数：有两个互为相反数的平方根，正数的正平方根叫做算术平方根，记作；负平方根记作，合写为； （1）0：平方根只有 1 个，就是0本身，即； （3） 负数：没有平方根。 【特别说明】算术平方根的补充：算术平方根是平方根里非负的那个，当且仅当时，才有意义，且，这是算术平方根的双重非负性。 3. 开平方运算 求一个数的平方根的运算叫做开平方，它是平方运算的逆运算。 【知识点二】立方根 1. 立方根的定义 如果一个数的立方等于，即，那么叫做的立方根（三次方根），记作。 2. 立方根的性质 （1）正数：有一个正的立方根。 （2）0：立方根是0。 （3）负数：有一个负的立方根（负数可以开立方，和平方根有明显区别）。 3. 开立方运算 求一个数的立方根的运算叫开立方，是立方运算的逆运算。重要公式：，可以把负号移出立方根从而简化计算。 【知识点三】实数 1. 无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数，常见三类形式：① 含的数：如、；②开方开不尽的数：如、；③ 特殊无限不循环小数：如0.1010010001...）（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）。 2. 实数的定义与分类 有理数和无理数统称实数，分类方式： 方式 1：按定义分 方式2：按性质分 3. 实数与数轴的关系 实数和数轴上的点一一对应：每一个实数都能在数轴上找到唯一的点；数轴上每一个点都对应唯一的实数。可以用数轴上的点表示这类无理数（用边长为 1 的正方形对角线长度在数轴截取）。 4. 实数的性质 相反数：实数的相反数是，如的相反数是； 绝对值：，如； 倒数：非零实数的倒数是； 大小比较：数轴上右边的实数总比左边的大；正数负数；两个正数，平方大的数更大；两个负数，绝对值大的反而更小。 5. 实数的运算 有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内依然适用，开方和加减乘除可以混合运算。 二.经典题型精析 【题型 1】 平方根与算术平方根概念辨析 【例题1】（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，因此2的平方根应表示为正负两个值． 解：2的平方根用符号表示为 ． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是______，这个数的算术平方根是______，两个平方根的和是____． 【答案】 0 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得另一个平方根，再根据算术平方根的非负性可得这个数的算术平方根，最后根据相反数的性质即可解答． 解：∵一个正数的平方根是m， ∴那么这个数的另一个平方根是； 根据算术平方根的非负性可知，这个正数的算术平方根是； 根据一个正数的两个平方根互为相反数可知，这个正数的0． 故答案为，，0． 【点拨】本题主考查了平方根、算术平方根的意义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）下列正确的是（    ） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是4的平方根，即 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根的概念，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 解：A．6是36的算术平方根，即，因此选项A不符合题意； B．6是的算术平方根，即，因此选项B符合题意； C．是49的平方根，即，因此选项C不符合题意； D．是4的平方根，即，因此选项D不符合题意． 故选：B． 【题型 2】 求平方根或算术平方根 【例题2】（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知正数m的两个不同的平方根分别是和． （1）求a的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）1；（2）7． 【分析】（1）由平方根的性质建立方程求解即可； （2）先求解，再进一步求解即可. 解：（1）解：由题意得， 解得， a的值为1． （2）解：由（1）可知， ， ， ， 的算术平方根为． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义计算各选项即可判断对错，算术平方根的结果为非负数，负数没有算术平方根. 解：∵算术平方根是一个非负数的正的平方根， ∴，A错误； ∵负数没有算术平方根， ∴无意义，B错误； ∵， ∴，C正确； ∵， ∴ ，D错误. 【变式2】（25-26七年级下·新疆和田·期中）若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，． （1）求a和x的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求出a的值，进而求出x的值即可； （2）求出b的值，进而求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 解：（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 【题型 3】 算术平方根的非负性 【例题3】（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． （1）求的值． （2）求满足条件的的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）先根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可写出整数的值． 解：（1）解： ∵ ∴ 解得； （2）解：∵的三边长均为整数， ∴ ∴， 可取． 【变式1】（2026·河北石家庄·二模）若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 解：∵，， ∴， ∴，， ． 【变式2】（2026·重庆渝中·三模）若实数，同时满足，，则________． 【答案】 【分析】先根据平方的性质求出的所有可能值，再结合算术平方根的非负性舍去不符合题意的值，最后代入原方程求出，计算即可． 解：， 是算术平方根， ，即， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，代入 得 ， 两边平方得， 解得， ． 【变式3】（23-24七年级下·云南大理·期中）探究题：根据计算结果回答 （1）计算： ； ； ； ； ． （2）一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请用数学语言描述出来； （3）利用（2）题总结的规律计算： 利用你总结的规律计算，当时，的值． 【答案】（1），，，，，；（2）不一定，；（3）； 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 解：（1）解：，，， ，，； （2）解：由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，即； （3）解：， ； ∵， ∴， ∴． 【题型 4】立方根概念辨析 【例题4】（25-26七年级下·全国·周测）已知与互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、立方根、解一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． 根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解． 解：与互为相反数， ， ，即， 解得． 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段检测）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义，由题意可得，由此即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴是的立方根， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）立方根等于的实数是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的定义，若一个实数的立方根为 ，则该实数为 ，计算可得结果． 解：∵， ∴立方根等于的实数是． 故答案为 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 解：（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． 【题型 5】求立方根 【例题5】（25-26八年级下·云南昭通·期中）求的值：． 【答案】 解：， 【变式1】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义计算即可，注意负数的立方根仍是负数． 解：根据立方根的定义，若，则是的立方根． ∴ 因此结果为． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 解：． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根． 【答案】4 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，分别求得的值，进而求得的值，再求立方根，即可求解． 解：由题意得，， 解得，， ， 的立方根为4． 【题型 6】立方根的简单应用 【例题6】（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）一个正方体的棱长是x，体积是1．一个正方形的边长是y，面积是16，求的值． 【答案】16 【分析】利用正方体的体积等于棱长的立方，正方形的面积等于边长的平方，分别求立方根与算术平方根即可得到棱长与边长，再代入值计算． 解：∵正方体的体积是1， ∴． ∵正方形的面积是16， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃容器的水中，水位升高了，已知玻璃容器的底面积是，那么正方体铁块的棱长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】水位上升部分的体积等于正方体铁块的体积，据此求出正方体铁块的体积，再根据正方体体积公式计算棱长即可． 解：∵ 正方体铁块完全浸入水中， ∴上升部分水的体积等于正方体铁块的体积． ， ∴正方体铁块的棱长是． 【变式2】（25-26七年级下·陕西安康·期中）已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 【答案】能，理由见分析 【分析】本题考查了利用立方根解题，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先根据球的体积公式求出铅球半径，进而得到直径，再根据立方体容积求出棱长，最后比较铅球直径与立方体棱长的大小． 解：能． 理由：设铅球的半径为， 根据题意，得 ， 即， ． 设立方体容器从里面测量棱长为， 则， ． ， 铅球能被装到容积为的立方体容器中． 【题型 7】实数的分类（有理数与无理数区分） 【例题7】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． （1）正实数：{ }； （2）负实数：{ }； （3）有理数：{ }； （4）无理数：{ }． 【答案】（1），，，（两个1之间依次增加一个7）；（2），；（3），，；（4），，（两个1之间依次增加一个7） 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 解：（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 【变式1】（2026·辽宁大连·二模）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，有理数是整数和分数的统称，逐一判断选项即可得到答案． 解：有限小数，整数，分数都属于有理数， 是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 【答案】6 【分析】先根据无理数的定义确定无理数的个数得到的值，再根据非负数的定义确定非负数的个数得到的值，最后计算即可． 解：无理数为：，（相邻的两个2之间依次多一个0），共个，即， 非负数为：，，，，共个，即， 则． 【变式3】（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14． （1）整数集合：{                    …}； （2）分数集合：{                    …}； （3）非负有理数集合：{                …}； （4）无理数集合：{                    …}． 【答案】（1）③④⑥ （2）①⑨⑩ （3）④⑨⑩ （4）②⑤⑦⑧ 【分析】（1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据非负有理数的定义作答即可； （4）根据无理数的定义作答即可． 解：（1）解： ③是整数，④0是整数，⑥是整数， 整数集合： ③④⑥； （2）解：①是分数，⑨是分数，⑩是分数． 分数集合： ①⑨⑩； （3）解：④0是非负有理数，⑨是非负有理数，⑩3.14是非负有理数； 非负有理数集合：④⑨⑩； （4）解：②是无理数，⑤是无理数，⑦是无理数， ⑧ （相邻的两个3之间依次多1个0）是无理数， 无理数集合：②⑤⑦⑧． 【题型 8】实数的性质与实数与数轴 【例题8】（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数和绝对值： （1）． （2）． 【答案】（1）的相反数为3，；（2）的相反数为， 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的化简，以及相反数和绝对值的定义，掌握先化简根式，再根据定义求相反数和绝对值，绝对值要先判断数的正负是解题的关键． （1）先化简立方根得到，再根据相反数、绝对值的定义，分别计算的相反数和绝对值； （2）先判断的正负性，再根据相反数的定义改变符号，正数的绝对值为其本身，直接得出结果． 解：（1）解：∵，， ∴的相反数为3． 由绝对值的意义，得． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的相反数为． 由绝对值的意义，得． 【变式1】（2026·贵州贵阳·一模）如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 解：∵点A与点B到原点的距离相等， ∴点A与点B表示的数互为相反数， ∵数轴上点A表示的数是， ∴点B表示的数是. 【变式2】（25-26七年级下·天津·期中）的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 解：的相反数为. ， ，则 ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形为正方形． （1）图中的点表示的数是________． （2）在图中画出表示的点． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）过点作，，连接，以点O为圆心，的长为半径画圆，此圆与x轴正半轴的交点即为点M． 解：（1）解：∵正方形的边长为1， ∴， ∴图中的点表示的数是． （2）解：如图所示，点即为所求． 【题型 9】实数的大小比较 【例题9】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： （1）与4． （2）与3． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了立方根的性质和实数的大小比较，掌握立方法比较立方根大小的方法是解题的关键． （1）比较含立方根的数与正数的大小，使用立方法，对两数同时立方后比较结果； （2）比较正数的立方根与正数的大小，使用立方法，对两数同时立方，通过立方结果的大小判断原数大小． 解：（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·云南昭通·期中）在这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用正数大于负数，两个负数比较绝对值大的数反而小的规则，估算无理数的值后即可比较得到结果． 解：比较三个负数的绝对值： ，，； ∵，且两个负数比较，绝对值大的数反而小， ∴ ， ∴ 四个数中最小的数是， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】将两个分数化为同分母分数，通过比较分子大小得到两个数的大小关系，可通过平方法比较无理数和整数的大小. 解：对通分，得 . 比较分子和的大小： ，. 因为，所以. 因此，即. 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较大小： （1）与； （2）4，，． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握分数比较可通分或平方；不同根号形式的数比较可通过乘方化为同次幂，或转化为同一种根号形式是解题的关键． （1）两个分数比较大小，可通过通分或平方的方法比较分子大小； （2）三个数比较大小，可通过乘方化为相同次数的幂，或转化为同一种根号形式来比较． 解：（1）解：通分，将分母统一为： 比较分子​与， 平方得： ， ， 故：​​ ． （2）解：比较与：， ， ， 即 比较4与：， ， 综上所述，． 【题型10】平方根与立方根的综合辨析 【例题10】（24-25七年级下·全国·课后作业）若立方根等于本身的数的个数为，平方根等于本身的数的个数为，算术平方根等于本身的数的个数为，则的值为________． 【答案】6 【分析】本题考查的是平方根，算术平方根，解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做它的算术平方根．同时注意0和的特殊性．根据平方根，算术平方根的定义即可得到结果． 解：∵立方根等于本身的数的个数为0和，平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知下列说法正确的是（   ） A．平方根等于它本身的数是0和1 B．立方根等于它本身的数是0和1 C．无限小数都是无理数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 解：平方根等于本身的数只有0，故A错误； 立方根等于本身的数是0、1、，故B错误； 无限不循环小数是无理数，故C错误； 实数与数轴上的点一一对应，故D正确． 【变式2】（24-25八年级上·北京丰台·期中）下列说法正确的是_____． ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】① 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据平方根的定义和立方根的定义即可求解． 解：负数没有平方根，则①正确； 一个实数的立方根不是正数就是负数或0，则②错误； 负数没有平方根，则③错误； 平方根等于它本身的数是0，则④错误； 综上，正确的是①． 故答案为：①． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的一个平方根．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据实数与数轴的关系，有理数的定义，平方根，立方根，逐项判断，即可． 解：①∵实数和数轴上的点一一对应， ∴①说法正确； ②不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但是无理数， ∴②说法错误； ③∵负数有一个负的立方根， ∴③说法错误； ④∵17的平方根是， ∴是17的一个平方根， ∴④说法正确． 综上，正确的说法共有2个． 【题型 11】实数的简单运算（加减乘除，开方与有理数混合） 【例题11】（25-26七年级下·新疆和田·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级下·河北邢台·期中）依据图中呈现的运算关系，求的值． 【答案】 【分析】根据图中呈现的运算关系得出，即可求出a的值． 解：由题意得，， 解之得，． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）计算： （1）求下列各式的值． ①； ②． （2）求下列各式中x的值 ①； ②． 【答案】（1）①5；②；（2）①或；② 解：（1）解：① ； ② ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴， ∴． 【题型 12】勾股定理与无理数 【例题12】（24-25八年级下·广东广州·期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． （1）在图①中画一条长度为的线段； （2）在图②中画一个面积为5的正方形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）找一个长3格宽2格的长方形的对角线长即为； （2）根据勾股定理得出边长为的正方形即可； 解：（1）解：如图，， （2）解：如图，正方形边长为，则面积为 【变式1】（2026·贵州黔南·一模）如图②，，以点C为圆心，图①中的的长为半径画弧，交于点E；以点C为圆心，图①中的的长为半径画弧，交于点D．连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图可得：，可得，，再进一步求解即可. 解：由作图可得：， ∴， ∴， ∴. 【变式2】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 【答案】 【分析】根据勾股定理找到规律即可． 解：，以此类推，可得 ． 【变式3】（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． （1）正方形的面积是 ，点表示的数是 ； （2）请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） （3）在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 【答案】（1）；；（2）见分析；（3） 【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案； （2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）由题意可得：，再根据，得到答案即可． 解：（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半， 即； 根据勾股定理，正方形边长， 以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为； （2）解：以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）解：由题意可得：， ，数轴正半轴上的点表示的数为， ， ． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列各数中是无理数的是（　　） A． B．38 C． D．3.1415926 【答案】A 解：A、的被开方数6开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数，符合要求； B、38是整数，属于有理数，不符合要求； C、是分数，属于有理数，不符合要求； D、3.1415926是有限小数，属于有理数，不符合要求． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）实数的相反数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据相反数定义即可直接求出结果． 解：∵ 根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，数的相反数为， ∴ 的相反数为 ． 3．（2026·贵州黔南·一模）如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D．25 【答案】C 解：点A、B到原点距离相等，则两数互为相反数， 而 的相反数是， ∴点B表示的数是. 4．（2026·广东惠州·二模）下列各数中，最小的是（     ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 解：∵，即，负数小于0，0小于正数， ∴； ∴最小的数为. 5．（25-26七年级下·重庆·期中）已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而得到整数的值． 解：∵ ， ∴ ， 即 ， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 6．（25-26七年级下·重庆南川·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．454 【答案】C 【分析】根据算术平方根的性质，即被开方数扩大为原来的100倍，其算术平方根扩大为原来的10倍，将待求式变形后结合已知条件计算即可 解：∵，且， ∴ 7．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 8．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 解：， 又， ． 9．（25-26七年级下·山西忻州·期中）若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘方法比较正数大小，带根号的正数同时乘相同次数的方去掉根号后，结果越大则原数越大，据此依次比较得到三者的大小关系． 解：∵，，均为正数，正数乘方后大小关系与原数一致， 先比较与，将两数同时平方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 再比较与，将两数同时立方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 综上可得 ． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·陕西西安·模拟预测）大于小于的整数有________个． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，再根据整数的定义找出大于小于的所有整数，统计个数即可． 解： 设满足条件的整数为，根据题意得 则符合条件的整数为，，，共个． 12．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 【答案】 ，， ；， ；， 【分析】先化简题目中的算术平方根，再根据整数、分数、无理数的定义对各数进行分类即可. 解：， 整数是正整数、零、负整数的统称， 整数有：，，； 分数包括有限小数与无限循环小数， 分数有：，； 无理数是无限不循环小数， 无理数有：，. 13．（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可． 解：算术平方根和绝对值都是非负数，且 ∴ ， 解得， 的平方根为． 15．（25-26七年级下·河北雄安·期中）一个正数的两个不同的平方根是与，则的值为______． 【答案】 【分析】如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 解：根据题意，得． 解方程，得． 所以． 所以． 16．（25-26七年级下·河南焦作·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是3，则的值为_________． 【答案】12 【分析】直接利用算术平方根以及立方根的定义得出a，b的值，再代入计算即可． 解：∵的算术平方根是5， ∴， 解得：， ∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∴． 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 【答案】3 【分析】先把三角形的三边长分别为2，4，4代入求得，再估算S的取值范围即可解答． 解：∵三角形的三边长分别为2，4，4， ∴设， ∴； ∵，， ∴n为的整数部分，即． 18．（25-26七年级下·吉林·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点表示的数是______． 【答案】/ 解：由图可得正方形的边长为，即到点表示的数的距离为， ∴点表示的数为. （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·天津南开·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）或；（2） 解：（1）解： 解得或； （2）解： 解得． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·广东广州·期中）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据，求解即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式； 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是________，小数部分是_________； （2）若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】（1）3，3；（2） 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 解：（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． （1）若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． （2）请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 【答案】（1），或；（2） 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． 解：（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2）略 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题： （1）【特例探究】 _______，_______，______． （2）【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． （3）【学以致用】 计算：． 【答案】（1）5，0，6；（2）a，；（3） 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 解：（1）解：，，． （2）解：根据算术平方根的非负性，， 当时，； 当时，． （3）解：∵，，，， ∴ ． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）【问题探究】，______，，______； （2）【问题拓展】探究的近似值，如下表． …… …… 小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______． （3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根的性质、无理数的估算及代数式求值，解题关键是利用算术平方根的小数点移动规律、夹逼法估算无理数范围，进而解决相关问题． （1）根据算术平方根的小数点移动规律，被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位，据此计算即可． （2）通过表格中给出的平方数范围，利用夹逼法确定精确到的近似值；再根据整数部分与小数部分的关系，写出的小数部分． （3）先估算的范围，从而确定的整数部分和小数部分，再将代入代数式进行计算． 解：（1） ，， ， ，， ． 故答案为． （2） 由表格可知， ，， ， 整数部分是， 小数部分为． 故答案为． （3） ，， ， ， 即 ， ，为正整数，， ，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第2讲）——实数、平方根与立方根（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】平方根 1 【知识点二】立方根 2 【知识点三】实数 2 二.经典题型精析 4 【题型 1】 平方根与算术平方根概念辨析 4 【题型 2】 求平方根或算术平方根 4 【题型 3】 算术平方根的非负性 4 【题型 4】立方根概念辨析 5 【题型 5】求立方根 5 【题型 6】立方根的简单应用 6 【题型 7】实数的分类（有理数与无理数区分） 6 【题型 8】实数的性质与实数与数轴 7 【题型 9】实数的大小比较 7 【题型10】平方根与立方根的综合辨析 8 【题型 11】实数的简单运算（加减乘除，开方与有理数混合） 8 【题型 12】勾股定理与无理数 9 三.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.教材知识梳理 【知识点一】平方根 1. 平方根的定义 如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫二次方根）。 2. 平方根的性质 （1）正数：有两个互为相反数的平方根，正数的正平方根叫做算术平方根，记作；负平方根记作，合写为； （1）0：平方根只有 1 个，就是0本身，即； （3） 负数：没有平方根。 【特别说明】算术平方根的补充：算术平方根是平方根里非负的那个，当且仅当时，才有意义，且，这是算术平方根的双重非负性。 3. 开平方运算 求一个数的平方根的运算叫做开平方，它是平方运算的逆运算。 【知识点二】立方根 1. 立方根的定义 如果一个数的立方等于，即，那么叫做的立方根（三次方根），记作。 2. 立方根的性质 （1）正数：有一个正的立方根。 （2）0：立方根是0。 （3）负数：有一个负的立方根（负数可以开立方，和平方根有明显区别）。 3. 开立方运算 求一个数的立方根的运算叫开立方，是立方运算的逆运算。重要公式：，可以把负号移出立方根从而简化计算。 【知识点三】实数 1. 无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数，常见三类形式：① 含的数：如、；②开方开不尽的数：如、；③ 特殊无限不循环小数：如0.1010010001...）（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）。 2. 实数的定义与分类 有理数和无理数统称实数，分类方式： 方式 1：按定义分 方式2：按性质分 3. 实数与数轴的关系 实数和数轴上的点一一对应：每一个实数都能在数轴上找到唯一的点；数轴上每一个点都对应唯一的实数。可以用数轴上的点表示这类无理数（用边长为 1 的正方形对角线长度在数轴截取）。 4. 实数的性质 相反数：实数的相反数是，如的相反数是； 绝对值：，如； 倒数：非零实数的倒数是； 大小比较：数轴上右边的实数总比左边的大；正数负数；两个正数，平方大的数更大；两个负数，绝对值大的反而更小。 5. 实数的运算 有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内依然适用，开方和加减乘除可以混合运算。 二.经典题型精析 【题型 1】 平方根与算术平方根概念辨析 【例题1】（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是______，这个数的算术平方根是______，两个平方根的和是____． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）下列正确的是（    ） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是4的平方根，即 【题型 2】 求平方根或算术平方根 【例题2】（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知正数m的两个不同的平方根分别是和． （1）求a的值； （2）求的算术平方根． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·新疆和田·期中）若，则的平方根是__________． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，． （1）求a和x的值； （2）求的平方根． 【题型 3】 算术平方根的非负性 【例题3】（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． （1）求的值． （2）求满足条件的的值． 【变式1】（2026·河北石家庄·二模）若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【变式2】（2026·重庆渝中·三模）若实数，同时满足，，则________． 【变式3】（23-24七年级下·云南大理·期中）探究题：根据计算结果回答 （1）计算： ； ； ； ； ． （2）一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请用数学语言描述出来； （3）利用（2）题总结的规律计算： 利用你总结的规律计算，当时，的值． 【题型 4】立方根概念辨析 【例题4】（25-26七年级下·全国·周测）已知与互为相反数，求a的值． 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段检测）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）立方根等于的实数是________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【题型 5】求立方根 【例题5】（25-26八年级下·云南昭通·期中）求的值：． 【变式1】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根． 【题型 6】立方根的简单应用 【例题6】（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）一个正方体的棱长是x，体积是1．一个正方形的边长是y，面积是16，求的值． 【变式1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃容器的水中，水位升高了，已知玻璃容器的底面积是，那么正方体铁块的棱长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西安康·期中）已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 【题型 7】实数的分类（有理数与无理数区分） 【例题7】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． （1）正实数：{ }； （2）负实数：{ }； （3）有理数：{ }； （4）无理数：{ }． 【变式1】（2026·辽宁大连·二模）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 【变式3】（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14． （1）整数集合：{                    …}； （2）分数集合：{                    …}； （3）非负有理数集合：{                …}； （4）无理数集合：{                    …}． 【题型 8】实数的性质与实数与数轴 【例题8】（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数和绝对值： （1）． （2）． 【变式1】（2026·贵州贵阳·一模）如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·天津·期中）的相反数是______，的绝对值是______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形为正方形． （1）图中的点表示的数是________． （2）在图中画出表示的点． 【题型 9】实数的大小比较 【例题9】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： （1）与4． （2）与3． 【变式1】（25-26八年级下·云南昭通·期中）在这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）比较大小： （1）与； （2）4，，． 【题型10】平方根与立方根的综合辨析 【例题10】（24-25七年级下·全国·课后作业）若立方根等于本身的数的个数为，平方根等于本身的数的个数为，算术平方根等于本身的数的个数为，则的值为________． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知下列说法正确的是（   ） A．平方根等于它本身的数是0和1 B．立方根等于它本身的数是0和1 C．无限小数都是无理数 D．实数与数轴上的点一一对应 【变式2】（24-25八年级上·北京丰台·期中）下列说法正确的是_____． ①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④平方根等于它本身的数是0和1． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的一个平方根．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型 11】实数的简单运算（加减乘除，开方与有理数混合） 【例题11】（25-26七年级下·新疆和田·期中）计算 （1） （2） 【变式1】（25-26七年级下·河北邢台·期中）依据图中呈现的运算关系，求的值． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算： （1）； （2）． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）计算： （1）求下列各式的值． ①； ②． （2）求下列各式中x的值 ①； ②． 【题型 12】勾股定理与无理数 【例题12】（24-25八年级下·广东广州·期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． （1）在图①中画一条长度为的线段； （2）在图②中画一个面积为5的正方形． 【变式1】（2026·贵州黔南·一模）如图②，，以点C为圆心，图①中的的长为半径画弧，交于点E；以点C为圆心，图①中的的长为半径画弧，交于点D．连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，，过点作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得_____． 【变式3】（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． （1）正方形的面积是 ，点表示的数是 ； （2）请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） （3）在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列各数中是无理数的是（　　） A． B．38 C． D．3.1415926 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）实数的相反数是（     ） A． B． C．2 D． 3．（2026·贵州黔南·一模）如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D．25 4．（2026·广东惠州·二模）下列各数中，最小的是（     ） A．0 B． C． D．3 5．（25-26七年级下·重庆·期中）已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26七年级下·重庆南川·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．454 7．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 8．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·山西忻州·期中）若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·陕西西安·模拟预测）大于小于的整数有________个． 12．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 13．（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 14．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若，则的平方根是__________． 15．（25-26七年级下·河北雄安·期中）一个正数的两个不同的平方根是与，则的值为______． 16．（25-26七年级下·河南焦作·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是3，则的值为_________． 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 18．（25-26七年级下·吉林·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点表示的数是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·天津南开·期中）解方程： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·广东广州·期中）计算： （1） （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是________，小数部分是_________； （2）若，其中：a是整数，．求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． （1）若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． （2）请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题： （1）【特例探究】 _______，_______，______． （2）【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． （3）【学以致用】 计算：． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）【问题探究】，______，，______； （2）【问题拓展】探究的近似值，如下表． …… …… 小明通过上表探究得______（精确到）；所以的整数部分是4，可是的小数部分是无限不循环的，聪明的小明将的小数部分写成______． （3）【问题应用】已知，其中为正整数，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $