第09讲 一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

第09讲 一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解 预习目标 知识回顾 1.理解一元一次不等式、不等式组定义，会规范求解并在数轴表示解集。 2.掌握含参一次不等式（组）解法，能根据解集求参数范围。 3.理解一元二次不等式定义，会按Δ三种情况求解一元二次不等式。 1.理解等式的基本性质与不等式的基本性质，明确两类性质的联系与区别；能正确判断等式、不等式变形的正误，能够通过反例说明错误的变形（重点） 2.能借助性质完成等式与不等式的代数变形，掌握作差法比较实数与代数式大小的基本方法（重点、难点） 3. 在利用性质进行推理证明的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言表达，发展代数推理素养（难点） 新知导图 预习精讲 一元一次不等式的求解 在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式. 形如 的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、 、 . 一元一次不等式组的求解 将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解. 最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 大大小小 是空集 含参一元一次不等式(组)的求解 含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全. 特殊一元二次不等式的求解 定义 设a , b , c为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为一元二次不等式． 特别地，形如 的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则． （1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如 、、 等，这里的 、、 为系数，即为常数． （2） ＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次．注意二次项系数不为 0 ，即 ．若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集． 利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集 设方程 的判别式 0 或 ，其两根记为 、 ，且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 一元二次方程 的两根为 、 且 ，其解按照 可分三种情况．相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 类别 . 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 . 题型速练 题型一、解不含参数的一元一次不等式 “”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．既非充分又非必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件 【答案】D 【分析】先求出不等式的解，根据充分条件、必要条件及充要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得，由，解得. 因为可以推出，反之不能推出， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：D. 不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】解一元一次不等式，将结果写成集合的形式即可得出答案. 【详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【方法总结】 单不等式：按去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1的步骤求解，系数为负时不等号方向反转. 不等式组：分别求解每个不等式，借助数轴或“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小是空集”口诀确定公共解集. 不等式组无实数解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解. 【详解】对于， 当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解， 综上，. 故答案为： 若，，，则________． 【答案】 【分析】求出两个集合，再求出补集，最后求出交集即可. 【详解】, ， 因此. 故答案为：. 题型二、解含参数的一元一次不等式 不等式的解集为，则_________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集确定a的正负，即可得到，即可得，求得答案. 【详解】由不等式的解集为，可得，则， 故， 故答案为：5 若不等式组有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，根据不等式组有解可得. 【详解】解不等式，得． 解不等式，得． 因为不等式组有解，所以，即． 所以实数的取值范围为. 【方法总结】 先整理为 （或）标准形式，按一次项系数分类讨论： ：判断是否成立，解集为全体实数或空集； ：直接系数化1，不等号方向不变； ：系数化1时不等号方向改变. 不等式组有解/无解、整数解问题：根据解集边界关系列不等式，反向求解参数取值范围. 若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为______. 【答案】 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 如果不等式的解集为，那么a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式解法分类讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，不等式无解； 当时，，故． 故答案为：. 若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数__________. 【答案】0 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 设m、k均为实数，求关于x的方程的解集． 【答案】答案见解析 【分析】讨论、，结合一元一次方程的解法求解集. 【详解】由题设，讨论如下： 若，即时，则： 当，此时方程的解集为； 当，此时方程无解，故解集为； 若，即时，则，此时方程解集为. 设，解关于x的不等式：． 【答案】当时，R；当时，；当时，． 【分析】首先把不等式整理为，然后分，，三种情况求解即可. 【详解】由，得， 当时，原不等式为，所以不等式的解集为R； 当时，由，得，所以不等式的解集为； 当时，由，得，所以不等式的解集为. 综上知：当时，解集为R；当时，解集为； 当时，解集为． 题型三、一元二次不等式的概念及辨析 完成下面的表格： 的图象 的根 有两个不同相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 或 ______ ______ 的解集 ______ ______ 【答案】 【方法总结】 定义判定：同时满足“1个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0、整式不等式”. 三者关联辨析：结合“二次函数图像→一元二次方程根→一元二次不等式解集”的对应关系，通过判别式判断根的数量，推导解集形态. 条件判断：先求解不等式解集，再通过集合的包含关系判定充分/必要条件. 已知且，则“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】只需举反例推翻充分性和必要性即可得出结论. 【详解】若且，则方程有解， 但此时不等式的无解，故充分性不成立， 对于必要性，当且时， 关于的不等式的解为全体实数， 但是关于的方程无实数解，故必要性也不成立. 所以“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的既非充分又非必要条件. 故选：D 已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案. 【详解】由的解集为空，结合对应二次函数性质有. 故选：B 题型四、解不含参数的一元二次不等式 不等式的解集为_______. 【答案】 【分析】应用一元二次不等式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【方法总结】 第一步：将不等式整理为(或)的一般形式.（注意：一般将二次项系数调整为正数形式，避免后面运算符号错误.） 第二步：一元二次不等式转化为一元二次方程，通过因式分解或求根公式得到对应方程的根. 第三步：确定解集： ：大于取两边，小于取中间； ：大于0解集为，小于0解集为空集； ：大于0解集为，小于0解集为空集. 不等式组：分别求解后取各解集的交集. 已知，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】由，得：， 解得：. 故答案为： 不等式的解集为______（用区间表示）． 【答案】 【分析】解一元二次不等式求出不等式的解集． 【详解】， 解得， 不等式的解集为． 故答案为： 的解集为___________ 【答案】 【分析】根据题意可得和，解不等式取交集即可得结果. 【详解】因为， 对于，即，解得； 对于，即，解得或； 可得或，所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型五、解含有参数的一元二次不等式 已知，. (1)若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别求解不等式，再根据，的真假，分类讨论，即可求得答案； （2）根据是的充分不必要条件，列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由，得； 当时，由，得. 若，有且只有一个为真命题，则真假，或假真， 当真假时，或，得； 当假真时，或，解得， 综上，实数的取值范围为或. （2）由，得. 因为是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 【方法总结】 1.先讨论二次项系数是否为0，再讨论正负（决定开口方向）； 2.判别式：分判断方程根的存在性； 3.根的大小：两根存在时，比较两根大小，结合开口方向写出解集区间. －已知解集反解：由解集端点得方程的根，结合开口方向确定系数符号，代入求解新不等式. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以有， 所以，或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由的解集为， 可得，且方程的解为， 所以，则， 所以， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的解可得且,进而代入二次不等式中，由一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】由于不等式的解集为，故且, 即且, 则为，进而得，解得， 故不等式的解集为， 故答案为： 若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为______. 【答案】或或或 【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可. 【详解】①时，由题意知方程有唯一的实数根2，此时，且， 得不等式，即， 则当时，；当时，. ②当时，由题意知方程有唯一的实数根2， 即二次函数的图象与轴只有一个交点， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，不等式的解集为或或或； 故答案为：或或或 题型六、由一元二次不等式的解确定参数 若关于x的不等式的解集是，则________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集可得对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以的两根分别为， 所以，即， 故答案为： 【方法总结】 区间型解集：解集端点是对应方程的根，利用韦达定理(根与系数关系)列方程求参数； 恒成立/空集型：结合二次函数图像，解集为且；解集为空集且； 元素个数型：分二次项系数为0(一次方程)和不为0(用限定)两类讨论. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】根据一元二次不等式解集求参，再计算求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以，所以， 则. 故答案为：1. 已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次函数的图像和性质求解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 根据二次函数的图像和性质可得，，解得. 故答案为：. 不等式的解集为，则实数______． 【答案】 【分析】由题意得的两个根为2，3，利用韦达定理求解即可. 【详解】因为不等式的解集为，， 所以的两个根为2，3， 由韦达定理有. 故答案为：. 函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）解一元一次不等式可得结果； （2）分和，结合根的判别式得到不等式，即可得到的值； （3）分和，结合二次函数的图象性质得到不等式，即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，当时，，解得， 所以的解集为. （2）由题意，只有1个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1. （3），即的解集为， 当时，，解得，不符合要求， 当时，需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 已知集合． (1)求的值； (2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系来求解系数即可； （2）利用分类讨论，结合一元一次方程和一元二次方程思想来得出参数范围. 【详解】（1）由可得：方程的两根为， 根据韦达定理有：所以有； （2）当时，，该集合满足至多只有一个元素， 当时，若A中至多只有一个元素，则满足， 因为所以， 综上可得取值范围是. 题型七、一元二次方程根的分布问题 已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 【方法总结】 构造对应二次函数(默认)，结合图像列不等式组： 一正一负根：； 两个正/负根：满足、对称轴符号、符号三个条件； 定点两侧分布(如两根在两侧)：； 无实根/至少一实根：直接通过或求解，注意二次项系数为0的特殊情况. 若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】由方程有两个正根，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 关于x的方程无实数解，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用判别式小于0列出不等式求解. 【详解】由关于x的方程无实数解，得，解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是______. 【答案】 【分析】由题意，利用一元二次方程实根的分布规律列式求解即可. 【详解】设，显然函数的图象开口向上， 又的两根一个比2大，另一个比2小，则， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用并集的结果，结合一元二次方程根的分布列式求解. 【详解】由，得，而， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 基础过关 不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出不等式的解集，即可得出答案. 【详解】由， 解得， 故不等式组的解集在数轴上表示为选项A. 故选：A. 已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式或， 若，则；反之，当时，不等式不一定成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可. 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为； 故不等式解集不可能为. 故选：C. 若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数______． 【答案】0 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得，要使不等式组的解集非空， 需使，所以，故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 已知，若关于的不等式的解集为，则______________. 【答案】1 【分析】由题意知不等式的解集为，则，解之即可求解. 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 已知集合，，若，则实数______． 【答案】 【详解】因为，说明一元二次不等式的解集就是，即和是对应方程的两个实根， 根据韦达定理得，因此， 验证： 因式分解得，解集确实为，符合. 某学校高一（3）班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一（3）班的男生宿舍可能的房间数量是______． 【答案】4或5 【分析】根据题意列出不等式即可求解. 【详解】设男生宿舍房间数为，则男生总人数为 因为每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生， 所以，解得， 因为为正整数，所以的值为4或5， 故答案为: 4或5. 关于的不等式的解集为，则实数________ 【答案】 【解析】根据不等式的解集可得，且，由可得结果. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，所以，得. 故答案为：. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是_____. 【答案】{x|x<-2或x>3} 【分析】根据表格中的数据，结合二次函数的图象和性质，画出二次函数的图象，考查轴上方的部分所对应的点的横坐标的取值范围，即为所求不等式的解集. 【详解】根据表格可以画出一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的草图如图.    由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}. 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次函数的图象的关系，属基础题. 解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3)R (4) 【分析】根据不含参数的一元二次不等式的解法，逐题求解即可. 【详解】（1）因为，故的解集为； （2）因为，所以的解集为； （3）因为，所以的解集为R； （4）因为，所以的解集为. 命题：，命题：，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】解出P对应一元二次不等式的解集为，由题可知是Q解集的真子集，据此列不等式求解即可． 【详解】解，因式分解得，故P的解集为， 解，因式分解得， 因为命题是命题的充分不必要条件，所以是Q解集的真子集， 当时，Q的解集为，不符，舍； 当时，Q的解集为， 又因为是Q解集的真子集，所以有（等号不同时取），解得； 综上，实数的取值范围． 能力提升 若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围______． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式组的解集来求得的取值范围. 【详解】， 由于的解集为，所以. 故答案为： 若0<a<1，则不等式(a－x) >0的解集是________． 【答案】 【分析】将原不等式化为，再根据的取值范围，得到与的关系，从而得解； 【详解】解:原不等式即， 由，得，所以． 所以不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于基础题. 已知关于的不等式 （1）解这个不等式； （2）当此不等式的解集为时，求实数m的值． 【答案】（1）当时，解集为，当时，，当且时，；（2） 【解析】（1）根据题意变形得，再分情况讨论即可得答案； （2）根据题意并结合（1）得，，解方程即可得 【详解】解：（1）由得，且， 即， 故当时，此时，不等式恒成立，故解集为， 当时，， 当且时，， 故不等式的解集为：当时，解集为， 当时，， 当且时，. （2）由（1）得当不等式的解集为时， 只需满足，且，即：， 解得. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题. 已知集合A=，B=. （1）若A∩B=，求实数的取值范围； （2）若AB=B，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）化简集合A，B，由，即可求解； （2）根据，可转化为，利用数轴即可求解. 【详解】（1）由可得， 解得， , 又， , （2）AB=B， ， ， 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和应用,解题时要认真审题,注意集合知识的灵活运用. 已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可； （2）利用对称轴分为三类区间来讨论二次函数的单调性，然后求出最小值； （3）利用分离参变量思想，构造对勾函数来判断单调性求最大值，即可求解参数的范围. 【详解】（1）当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； （2）因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； （3）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则，令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 挑战一刻 已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求不等式的解集； (2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是不等式的解集，得到，再根据两个不等式的关系求解； （2）将不等式转化为 ，再根据M中的一个元素是0，将x=0代入求解. 【详解】（1）解：因为是不等式的解集， 所以， 不等式，即为， 所以或， 所以不等式的解集是； （2）不等式转化为： ， 因为M中的一个元素是0， 所以， 解得 或 ， 所以实数a的取值范围是 . 对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1. （1）求a，b的值； （2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围． 【答案】（1）；（2）－2≤p＜－. 【分析】（1）根据新定义运算列方程组可解得； （2）利用新定义运算把新不等式组转化为一元一次不等式组，然后解之，再利用不等式组的解恰好有3个整数可得的不等关系，从而得出结论． 【详解】（1）由T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1，得 即 解得 （2）由（1），得T(x，y)＝，则不等式组可化为 解得－≤m＜. 因为不等式组恰好有3个整数解，所以2＜≤3，解得－2≤p＜－. 【点睛】本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义，利用新定义把问题转化为我们熟知的一元一次不等式组求解． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解 预习目标 知识回顾 1.理解一元一次不等式、不等式组定义，会规范求解并在数轴表示解集。 2.掌握含参一次不等式（组）解法，能根据解集求参数范围。 3.理解一元二次不等式定义，会按Δ三种情况求解一元二次不等式。 1.理解等式的基本性质与不等式的基本性质，明确两类性质的联系与区别；能正确判断等式、不等式变形的正误，能够通过反例说明错误的变形（重点） 2.能借助性质完成等式与不等式的代数变形，掌握作差法比较实数与代数式大小的基本方法（重点、难点） 3. 在利用性质进行推理证明的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言表达，发展代数推理素养（难点） 新知导图 预习精讲 一元一次不等式的求解 在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式. 形如 的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、 、 . 一元一次不等式组的求解 将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解. 最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 大大小小 是空集 含参一元一次不等式(组)的求解 含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全. 特殊一元二次不等式的求解 定义 设a , b , c为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为一元二次不等式． 特别地，形如 的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则． （1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如 、、 等，这里的 、、 为系数，即为常数． （2） ＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次．注意二次项系数不为 0 ，即 ．若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集． 利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集 设方程 的判别式 0 或 ，其两根记为 、 ，且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 一元二次方程 的两根为 、 且 ，其解按照 可分三种情况．相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 类别 . 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 . 题型速练 题型一、解不含参数的一元一次不等式 “”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．既非充分又非必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件 不等式的解集为__________． 【方法总结】 单不等式：按去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1的步骤求解，系数为负时不等号方向反转. 不等式组：分别求解每个不等式，借助数轴或“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小是空集”口诀确定公共解集. 不等式组无实数解，则的取值范围是______. 若，，，则________． 题型二、解含参数的一元一次不等式 不等式的解集为，则_________． 若不等式组有解，求实数的取值范围． 【方法总结】 先整理为 （或）标准形式，按一次项系数分类讨论： ：判断是否成立，解集为全体实数或空集； ：直接系数化1，不等号方向不变； ：系数化1时不等号方向改变. 不等式组有解/无解、整数解问题：根据解集边界关系列不等式，反向求解参数取值范围. 若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为______. 如果不等式的解集为，那么a的取值范围是________． 若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数__________. 设m、k均为实数，求关于x的方程的解集． 设，解关于x的不等式：． 题型三、一元二次不等式的概念及辨析 完成下面的表格： 的图象 的根 有两个不同相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 或 ______ ______ 的解集 ______ ______ 【方法总结】 定义判定：同时满足“1个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0、整式不等式”. 三者关联辨析：结合“二次函数图像→一元二次方程根→一元二次不等式解集”的对应关系，通过判别式判断根的数量，推导解集形态. 条件判断：先求解不等式解集，再通过集合的包含关系判定充分/必要条件. 已知且，则“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 题型四、解不含参数的一元二次不等式 不等式的解集为_______. 【方法总结】 第一步：将不等式整理为(或)的一般形式.（注意：一般将二次项系数调整为正数形式，避免后面运算符号错误.） 第二步：一元二次不等式转化为一元二次方程，通过因式分解或求根公式得到对应方程的根. 第三步：确定解集： ：大于取两边，小于取中间； ：大于0解集为，小于0解集为空集； ：大于0解集为，小于0解集为空集. 不等式组：分别求解后取各解集的交集. 已知，则不等式的解集为___________． 不等式的解集为__________. 不等式的解集为______（用区间表示）． 的解集为___________ 题型五、解含有参数的一元二次不等式 已知，. (1)若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【方法总结】 1.先讨论二次项系数是否为0，再讨论正负（决定开口方向）； 2.判别式：分判断方程根的存在性； 3.根的大小：两根存在时，比较两根大小，结合开口方向写出解集区间. －已知解集反解：由解集端点得方程的根，结合开口方向确定系数符号，代入求解新不等式. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________． 若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为______. 题型六、由一元二次不等式的解确定参数 若关于x的不等式的解集是，则________． 【方法总结】 区间型解集：解集端点是对应方程的根，利用韦达定理(根与系数关系)列方程求参数； 恒成立/空集型：结合二次函数图像，解集为且；解集为空集且； 元素个数型：分二次项系数为0(一次方程)和不为0(用限定)两类讨论. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则___________． 已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________. 不等式的解集为，则实数______． 函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 已知集合． (1)求的值； (2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 题型七、一元二次方程根的分布问题 已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【方法总结】 构造对应二次函数(默认)，结合图像列不等式组： 一正一负根：； 两个正/负根：满足、对称轴符号、符号三个条件； 定点两侧分布(如两根在两侧)：； 无实根/至少一实根：直接通过或求解，注意二次项系数为0的特殊情况. 若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 关于x的方程无实数解，则实数k的取值范围是______. 已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是______. 已知集合，若，求实数的取值范围. 基础过关 不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要 不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数______． 已知，若关于的不等式的解集为，则______________. 已知集合，，若，则实数______． 某学校高一（3）班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一（3）班的男生宿舍可能的房间数量是______． 关于的不等式的解集为，则实数________ 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是_____. 解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 命题：，命题：，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 能力提升 若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围______． 若0<a<1，则不等式(a－x) >0的解集是________． 已知关于的不等式 （1）解这个不等式； （2）当此不等式的解集为时，求实数m的值． 已知集合A=，B=. （1）若A∩B=，求实数的取值范围； （2）若AB=B，求实数的取值范围. 已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 挑战一刻 已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求不等式的解集； (2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1. （1）求a，b的值； （2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $