专题10：分式不等式与绝对值不等式的求解（3大知识点+10大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接数学沪教版

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题10 分式不等式与绝对值不等式的求解 知识点01：分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 知识:02：简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 【注意】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1） |x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a； （2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m； （4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1） |f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)； （2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 知识点一、分式不等式解法 题型01：简单分式不等式的解法 【名师点拨】(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【例1】不等式的解集为（       ） A． B． C． D．或 【例2】不等式的解集是（　　） A．{x|x≤2} B．{x|x＜2} C．{x|x＞2或x} D．{x|x} 【例3】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.解下列分式不等式： （1） <0.（2）≤1； 2.解下列不等式：（1）；（2）；（3）； 题型02：含参分式不等式 【例4】若实数a，b满足a＋b<0，则不等式的解集为 【例5】解关于的不等式：。 【跟踪训练】 1．解关于的不等式. 2．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是______． 3．已知关于x的不等式的解集为S. (1)当时，求集合S； (2)若且，求实数m的取值范围. 题型03：已知含参分式不等式的解集求参数的值或取值范围 【例6】已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是 【例7】关于x的不等式的解集是，则的值为____. 【跟踪训练】 1.关于x的不等式的解集是{x|<x<1}，求a，b的值。 2．已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 3．已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数的取值范围是 ． 题型04：分式不等式的简单应用 【例8】某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头，停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头．如果水流速度为4 km/h，该船要在5 h内（包含5 h）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到（    ）千米． A．45 B．46 C．47 D．48 【跟踪训练】 1.某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍。 知识点二、绝对值不等式解法 题型05：含有一个绝对值号不等式的解法 【例9】解不等式：（1）； （2） （3） 【例10】解不等式：（1）；（2）；（3）； 【例11】不等式的解集是___________ 【例12】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【例13】解不等式： 【跟踪训练】 1.解不等式： 2.解下列不等式 （1）；（2）；（3）；（4）. 题型06：解含双绝对值的不等式 【例14】不等式的解集为 ． 【例15】不等式的解集为 【跟踪训练】 1.解不等式 ； 2.解不等式|2x－1|＜|x|＋1. 3.解不等式 题型07：含参数的绝对值不等式的解法 【例16】已知，解关于的不等式：； 【例17】若不等式的解集为，则实数 . 【例18】若不等式的解集是为，则实数的范围为 __________. 【例19】已知，使不等式在实数集上的解集不是空集，求的取值范围． 【例20】若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[2,4] B．[1,2]C．[－2,4] D．[－4，－2] 【例21】若不等式|x＋1|＋|x－2|<a无实数解，则a的取值范围是________． 【跟踪训练】 1.（1）不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围； （2）不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （3）不等式的解集非空，求实数的取值范围． 2.已知关于的绝对值不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)若对于任意的实数，以上不等式恒成立，求实数的取值范围. 知识点三、不等式恒成立问题 题型08：分式不等式恒成立问题 【例22】若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例23】若不等式<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围。 【跟踪训练】 1、若不等式对一切实数x恒成立，则实数a的范围是 2.若不等式的解集为R，求实数m的取值范围。 题型09：绝对值不等式恒成立问题 【例24】对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是 【例25】若不等式对一切恒成立，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 2.设函数，其中. （1）当时，解不等式； （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 知识点四、综合提升 题型10：综合压轴 【例26】已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【例27】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1．已知全集，非空集合， (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 2．设集合. (1)若，试用区间表示集合，并求； (2)若，求不等式的解集. 一、填空题 1．（2024·上海市甘泉外国语中学高一期中）不等式＜的解集是（　　） A．(－7，+∞) B．(－∞，7) C．(－7，3)∪(3，+∞) D．(－∞，3)∪(3，7) 2. （2024松江二中高一月考）不等式的解集是…………………………… （） A. B. C. D. 3. （2024徐汇中学高一月考）若等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. ； B. ；C. ； D. . 4．（2024-2025闵行区高一期中）已知，不等式的解集为，且，则的取值范围为(　　) A．(－3，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞) 5．（2024上海·同济大学第二附属中学高一期末）若不等式对一切恒成立，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．（2024秋•浦东新区校级期末）“对于任意x∈R的实数，不等式|x+2|﹣|3﹣x|≥a恒成立”的一个充分必要条件是（　　） A．a∈（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） B．a∈[﹣2，3] C．a∈（﹣∞，5] D．a∈（﹣∞，﹣5] 二、选择题 7．（2024上海市大同中学高一阶段练习）不等式的解集用区间表示是______. 8．（2023上海·高一单元测试）不等式的解集是________. 9．（2024上海·华东师范大学第一附属中学高一阶段练习）不等式的解集是____________（用区间表示） 10．（2024秋·上海徐汇·高一统考期末）不等式的解集为________． 11．（2023上海·高一单元测试）已知不等式的解集为或，则________. 12．（2024七宝中学高一月考）不等式|x﹣1|＜2的解集为　　． 13．（2022·上海虹口·高一期末）不等式的解集为______． 14．（2020·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______； 15. （2024格致中学高一月考）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为 . 16. （2024-25大同中学高一月考）已知集合，，若，则的取值范围为 . 17. （2024-25延安中学高一月考）设满足不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 . 18．（2021·上海市延安中学高一期中）已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________. 3、 解答题 19.（2024行知中学高一阶段练习）解下列分式不等式： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（2021·上海浦东新·高一期中）解不等式组：. 21．（2024上海·高一专题练习）解下列不等式： （1）；（2）； （3）；（4） 22．（2024上海市南洋模范中学高一期中）（1）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若中有且只有三个元素，求实数m的取值范围. 23．（2024秋·上海嘉定·高一校考期中）已知关于的不等式的解集为A. (1)当时，求集合A； (2)若，求实数a的取值范围. (3)若，，求实数a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题10 分式不等式与绝对值不等式的求解 知识点01：分式不等式的解法 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形：；； ；； 知识:02：简单绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝． 【注意】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 （1） |x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a； （2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a; （3）|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m； （4）|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a. ②几种主要的基本类型 （1） |f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)； （2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x); （3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);　 （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 知识点一、分式不等式解法 题型01：简单分式不等式的解法 【名师点拨】(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【例1】不等式的解集为（       ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由等价于，进而可求出不等式的解集. 【详解】由题意，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【点睛】本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题. 【例2】不等式的解集是（　　） A．{x|x≤2} B．{x|x＜2} C．{x|x＞2或x} D．{x|x} 【解题思路】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集． 【解答过程】解：不等式 ， 移项得：，即 0， 可化为：或 解得：x＜2， 则原不等式的解集为：x＜2 故选：B． 【例3】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以且， 所以且，所以且， 所以不等式的解集为，故选：C 【跟踪训练】 1.解下列分式不等式： （1） <0.（2）≤1； 【答案】（1）{或}.（2）{或}； 【解析】（1）由<0得>0，此不等式等价于 (x－1)>0， 解得x<－或x>1， ∴原不等式的解集为或}. （2）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4. ∴原不等式的解集为 {或} 2.解下列不等式：（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）原不等式，所以，原不等式的解集为. （2）原不等式 ，所以，原不等式的解集为. （3）分母：，则 原不等式 或，所以，原不等式的解集为. 题型02：含参分式不等式 【例4】若实数a，b满足a＋b<0，则不等式的解集为 【答案】 【解析】原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0，即(x－b)(x＋a)>0；因为a＋b<0，所以b<－a. 所以原不等式的解集为． 【例5】解关于的不等式：。 【解析】（1）当时，不等式恒成立，解集为； （2）当时，不等式化为，即且， 时，不等式为且，所有，， 时，不等式化为且，， 时，不等式化为且， 时，或， 时，或． 综上不等式解集为： 当时,， 当时,， 当时,， 当时,， 当时,． 【跟踪训练】 1．解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】不等式等价于，然后分和的大小关系，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可. 【解析】等价于 当时，或，； 当时，或，； 当时，，. 综上所述：或，无解； 当或时，解集为； 当时，解集为. 2．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据题意得到，故原不等式等价于⇔. 【详解】的解集是，，得，解得 ⇔⇔⇔⇔. 故答案为：. 3．已知关于x的不等式的解集为S. (1)当时，求集合S； (2)若且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入后，将分式不等式转化为一元二次不等式求解； （2）根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 解得：， 所以不等式的集合为； （2）若且， 则或，解得：或， 所以的取值范围是. 题型03：已知含参分式不等式的解集求参数的值或取值范围 【例6】已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是 【答案】 【解析】原不等式等价于(x-1)[(a-1)x+1]<0，因为不等式的解集为{x|x<1或x>3},所以( x-3) (x-1)>0. 即.故a=. 【例7】关于x的不等式的解集是，则的值为____. 【答案】3 【分析】先化简不等式得到，且，再利用不等式的解集为，得，解得. 【详解】由题知，，整理得， 所以，且， 因为不等式，且，的解集为， 所以，. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.关于x的不等式的解集是{x|<x<1}，求a，b的值。 【答案】a=4，b=2； 【解析】(注意多种解法）因为x2+x+1=，x2-x+1=, 所以原不等式等价于(x-a)(x2-x+1)>(x-b)(x2+x+1)，整理得(a-b+2)x2-(a+b)x+a-b<0.① 由已知可得当x∈{x|<x<1}时,( x-) (x-1)<0，即2x2-3x+1<0,② 比较①②可知；故a=4，b=2； 2．已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据得到时不等式不成立，即或，然后解不等式和方程即可. 【解析】因为，所以或，即或，解得或. 故答案为：或. 3．已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分、、、四种情况求解不等式组的解集，再根据题意列不等式组求解即可. 【解析】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有两个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有两个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有两个整数解， 所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型04：分式不等式的简单应用 【例8】某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头，停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头．如果水流速度为4 km/h，该船要在5 h内（包含5 h）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到（    ）千米． A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】B 【分析】设船速为，然后根据题意直接列不等式求解即可. 【详解】设船速为，则由题意得（）， 所以， 化简得， 所以，解得（舍去），或， 所以船速至少为46 ． 故选：B 【跟踪训练】 1.某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍。 【解析】设楼梯的长度为，甲的速度为，自动扶梯的运行速度为， 于是甲上楼所需时间为，乙上楼所需时间为， 由题意，得，整理的， 由于此处速度为正值，因此上式可化为，即.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍。 知识点二、绝对值不等式解法 题型05：含有一个绝对值号不等式的解法 【例9】解不等式：（1）； （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【例10】解不等式：（1）；（2）；（3）； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． （2）由题意，或，解得或， 所以原不等式的解集为． （3）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． 【例11】不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】不等式可化为， ∴，或； 解之得：或， 即不等式的解集是. 故答案为：. 【例12】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式.故选：D. 【例13】解不等式： 【答案】 【解析】方法一：（零点分段法） （1）当时，原不等式变为：， 解得，所以； （2）当时，原不等式变为：， 解得，所以； 综上所述，原不等式的解集为． 方法二：或，解得或， 所以原不等式的解集为． 【跟踪训练】 1.解不等式： 【解析】解法1：等价于：，两边同时加上3：，同时乘以有： 所以，原不等式的解集为； 解法2：两边同时平方：，化简得： 这里可以因式分解：， ，从而原不等式的解集为； 解法3：还有没有其它方法？ 前面有同学提到绝对值里面正的、负的。 注意观察绝对值的定义，想到什么？ ——分类讨论 ① （当时，我们有。注意到这两个不等式要同时成立） ② （当时，我们有。一样，这两个不等式也要同时成立） 综上，原不等式的解集为. 解法4：除了上述方法之外，我们还有没有别的方法？ 同学们可以回想一下，我们如何求解一元二次不等式？ 数形结合，利用二次函数的图像。那么这里，我们可不可以利用函数图像来求解呢？ 我们可以将不等式两边看作函数，从函数图像进行分析。 先画出函数的图像： （以后在函数里面，我们还会继续学习，称为：分段函数） 当然我们还可以先画出的图像，然后将轴下方的图像翻折上去。 将左边看作函数。要求解集，只要寻找函数的图像在函数的图像的下方部分所对应的的范围即可； 这里不难求出函数和的图像的交点的横坐标为， 所以，原不等式的解集为. 2.解下列不等式 （1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】（1）由绝对值定义得，原不等式， 所以，原不等式的解集为； （2）原不等式或或 不存在或或， 所以，原不等式的解集为； （3）原不等式 或或或， 所以，原不等式的解集为. （4）原不等式 ； 所以，原不等式的解集为； 【说明】此例有一定难度，教师可视学生实际适当选用。 题型06：解含双绝对值的不等式 【例14】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】法一：两边平方，化为一元二次不等式，求解即可； 法二：由绝对值的性质去掉绝对值，再将分式不等式转化为一元二次不等式，由其解法得出解集. 【解析】法一：不等式等价于，整理得. 即，解得， 则不等式的解集为. 法二：当时，满足； 当时，不等式，可化为， 即或，即或， 即或. 解得或. 综上，不等式的解集为. 故答案为： 【例15】不等式的解集为 【答案】 【解析】当时，，故； 当时，恒成立，故； 当时，，故 综上： 故不等式的解集为： 【跟踪训练】 1.解不等式 ； （3）由不等式两边平方得，，整理得，即，解得，所以，原不等式的解集为. 2.解不等式|2x－1|＜|x|＋1. 解：当x＜0时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1，解得x＞0，又因为x＜0，所以这样的x不存在． 当0≤x＜时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1，解得x＞0， 又因为0≤x＜，所以0＜x＜. 当x≥时，原不等式可化为2x－1＜x＋1，解得x＜2，又因为x≥，所以≤x＜2. 综上所述，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}． 3.解不等式 【解析】方法1：考虑临界点－2和1把数轴分成几段？ 分为三个区间：，，． ① 当时，原不等式变为， 化简：，，即； （不要把前提条件忘记） ② 当时，原不等式变为， （分类讨论要包含所有的点，不要忘记） 化简得：，即； （表示不等式恒成立，不是没有解，是对一切都成立） ③ 当时，原不等式变为， 解得：，即． 综上，知原不等式的解集为． （最后把①、②、③三种情况合并起来，求并集如果困难，借助于轴.） 方法2：从函数的角度思考，可分别画出函数和的图象．观察即得． ． 不难看出，要使，只须． 所以，原不等式的解集为． 方法3：【分析】再次回顾一下方法1，我们是根据绝对值的几何意义来求解。 的几何意义是什么？的几何意义又是什么？的几何意义呢？ 因此我们知道：不等式的几何意义是是表示数轴上与及两点距离之和小于4的点。而两点距离为3，因此线段上每一点到、的距离之和都等于3.我们只要找到与、的距离这和为4的点，问题就迎刃而解了． 解：如上图，要找到与、距离之和为4的点，只需由点向右移动个单位，这时距离之和增加1个单位，即移到点．或由点向左移动个单位，即移到点． 可以看出，数轴上点向左的点或者向右的点到、两点的距离之和均小于4． 所以，原不等式的解集为． 题型07：含参数的绝对值不等式的解法 【例16】已知，解关于的不等式：； 【分析】讨论和，由绝对值的几何意义去绝对值即可求解； 【详解】（1）当时，无解，此时解集为， 当时，由可得：， 所以，可得， 综上所述：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 【例17】若不等式的解集为，则实数 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式去掉绝对值符号化为，分，解不等式，由不等式的解集列方程可得的值. 【详解】解：不等式解集为，则，所以， 当时，不等式的解为，所以，解得不符合，舍去； 当时，不等式的解为，所以，解得符合. 故答案为：. 【例18】若不等式的解集是为，则实数的范围为 __________. 【答案】 【解析】根据数轴上两点之间距离公式，代数式“”的几何意义是： 数轴上动点到定点、的距离之和，所以有最小值，再结合数轴得; 【例19】已知，使不等式在实数集上的解集不是空集，求的取值范围． 【答案】设y=|x-4|+|x-3|，y为实数x对应的点与3、4对应的点的距离|PA|与|PB|之和 ∵|PA|+|PB|≥1，∴y≥1对一切x都成立∴要使原不等式有解，只需a>1． 【例20】若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[2,4] B．[1,2]C．[－2,4] D．[－4，－2] 【答案】C 【解析】∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 【例21】若不等式|x＋1|＋|x－2|<a无实数解，则a的取值范围是________． 【答案】(－∞，3] 【解析】由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，而|x＋1|＋|x－2|<a无解，∴a≤3. 【跟踪训练】 1.（1）不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围； （2）不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （3）不等式的解集非空，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 含有多个绝对值的式子，仍然要去绝对值，找出分界点，在数轴上表示出来，把实数分段讨论．（2）是（1）的补集． 2.已知关于的绝对值不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)若对于任意的实数，以上不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论，和，解不等式即可求出答案； （2）由的几何意义求出的最小值为2，即2>，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）当时，原不等式变为：由 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得. 故所求不等式的解集为：. （2）由在数轴上表示到-1与1的距离之和（或由三角不等式）， 的最小值为2， 则有2>，可化为， 所以. 知识点三、不等式恒成立问题 题型08：分式不等式恒成立问题 【例22】若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为恒成立 所以恒成立 恒成立 恒成立 故，解之得：故选：A 【例23】若不等式<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围。 【解析】因为x2－8x＋20＝(x－4)2＋4>0，所以原不等式同解于mx2－mx－1<0. 要使原不等式对一切x∈R恒成立，只需mx2－mx－1<0恒成立即可． ①当m＝0时，mx2－mx－1＝－1<0恒成立； ②当m≠0时，则需即－4<m<0， 所以实数m的取值范围为(－4，0]； 【跟踪训练】 1、若不等式对一切实数x恒成立，则实数a的范围是 【答案】 【解析】， 所以恒成立等价于恒成立， 即不等式恒成立，所以，解得. 2.若不等式的解集为R，求实数m的取值范围。 【答案】m<. 【解析】由于x2-8x+20>0恒成立,故问题等价于mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R. 只需，即，解得m<. 即实数m的取值范围为m<. 题型09：绝对值不等式恒成立问题 【例24】对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是 答案：(－∞，－2]；解析：令y＝|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin， 因为ymin＝0，所以m＋2≤0，所以m≤－2，所以m的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2] 【例25】若不等式对一切恒成立，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由绝对值不等式解法，分类讨论去绝对值，再根据恒成立问题的解法即可求得a的取值范围． 【详解】根据绝对不等式，分类讨论去绝对值，得     所以 所以 所以选D 【点睛】本题考查了绝对值不等式化简方法，恒成立问题的基本应用，属于基础题． 【跟踪训练】 1．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令求出，即可求出参数的取值范围. 【解析】令，则， 所以当时取最大值，且， 因为不等式的解集为，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 2.设函数，其中. （1）当时，解不等式； （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据题意得到，分，，三种情况讨论，即可得出结果； （2）先由关于的不等式恒成立，得到恒成立，代入特殊值可知f（2）≥1，从而有a≤1或a≥3；令F（x）＝f（x）﹣x+1，分类讨论a≤1或a≥3时F（x）的最小值，使得F（x）min≥0，可求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，即为， 当时，，解得； 当时，，可得解集为空集； 当时，，解得解集为空集， 综上，原不等式的解集为； （2）关于的不等式恒成立，即为恒成立， 因为f（2）≥1成立，即|2﹣a|≥1，解得a≤1或a≥3， 设函数F（x）＝f（x）﹣x+1，则F（x）≥0恒成立， 若a≥3，则F（x）＝， 由此F（x）min＝﹣1与F（x）≥0恒成立矛盾， 若a≤1，则F（x）＝， 由此F（x）min＝1﹣a≥0恒成立，符合F（x）≥0恒成立的要求， 综上，a的取值范围为（﹣∞，1]． 【点睛】方法点睛：（1）含绝对值的不等式的解法，通常需要用到分类讨论的思想，去掉绝对值求解； （2）含绝对值不等式的恒成立有解问题，可以通过做图像数形结合的方法求参，也可以通过含参讨论去绝对值求参. 知识点四、综合提升 题型10：综合压轴 【例26】已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，利用并集运算求解即可； （2）由可得，然后利用与两种情况讨论即可. 【解析】（1）， 且， ， ， 当时，， . （2）. 由（1）知，又. 则当即时，， 要使，则得. 当即时，，满足. 综上所述，实数的取值范围为 【例27】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，分式不等式化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解． （2）由含绝对值不等式的解法，得，并且集合是的子集，由此建立不等式关系，即可得到的取值范围． 【解析】（1）当时，，即，化简得，即，所以， 所以不等式的解集为，由此可得． （2），可得, ，得，再解，即 ①当时，无解，，满足； ②当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是． ③当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是． 综上所述，a的取值范围是 【跟踪训练】 1．已知全集，非空集合， (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)当代入两个集合，分别求解集合，再求； （2）由条件可知，，分情况讨论集合，再利用子集关系，列不等式求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 或，． （2）由q是p的必要条件，即，可知， 由，得． ①当，即时，，再由， 解得． ②当，即时，，不符合题意； ③当，即时，，再由， 解得：． 综上，． 2．设集合. (1)若，试用区间表示集合，并求； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）解绝对值不等式、一元二次不等式并结合区间的概念、并集的概念即可得解. （2）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的跟的关系可先得，再解分式不等式即可得解. 【解析】（1）由，得， 因为，所以，故， 所以. （2）由题意得有两个根为1和5， 所以， 则的解集为. 一、填空题 1．（2024·上海市甘泉外国语中学高一期中）不等式＜的解集是（　　） A．(－7，+∞) B．(－∞，7) C．(－7，3)∪(3，+∞) D．(－∞，3)∪(3，7) 【答案】C 【分析】由题可得，解之即得. 【详解】原不等式可化为， 解得且. 故选：C. 2. （2024松江二中高一月考）不等式的解集是…………………………… （） A. B. C. D. 【答案】 D 3. （2024徐汇中学高一月考）若等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. ； B. ；C. ； D. . 【答案】 B 4．（2024-2025闵行区高一期中）已知，不等式的解集为，且，则的取值范围为(　　) A．(－3，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞) 【答案】D 【详解】∵，∴或－2＋a＝0， 解得或. 故选：D. 【点睛】解分式不等式时，一般是把分式不等式转化为整式不等式求解，如果不等号中含有“等号”，但在转化时特别要注意分母不为零，否则就是错误的结论．本题中－2不是题中不等式的解，则就有使分母为零的一种情形，不能遗漏． 5．（2024上海·同济大学第二附属中学高一期末）若不等式对一切恒成立，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由绝对值不等式解法，分类讨论去绝对值，再根据恒成立问题的解法即可求得a的取值范围． 【详解】根据绝对不等式，分类讨论去绝对值，得     所以 所以 所以选D 【点睛】本题考查了绝对值不等式化简方法，恒成立问题的基本应用，属于基础题． 6．（2024秋•浦东新区校级期末）“对于任意x∈R的实数，不等式|x+2|﹣|3﹣x|≥a恒成立”的一个充分必要条件是（　　） A．a∈（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） B．a∈[﹣2，3] C．a∈（﹣∞，5] D．a∈（﹣∞，﹣5] 【分析】原题等价于a≤[|x+2|﹣|3﹣x|]min，利用绝对 值的性质求出[|x+2|﹣|3﹣x|]min，能求出结果． 【解答】解：∵对于任意x∈R的实数，不等式|x+2|﹣|3﹣x|≥a恒成立， ∴a≤[|x+2|﹣|3﹣x|]min， 由x+2＝0，得x＝﹣2，由3﹣x＝0，得x＝3， 当x＜﹣2时，|x+2|﹣|3﹣x|＝﹣x﹣2﹣3+x＝﹣5； 当﹣2≤x≤3时，|x+2|﹣|3﹣x|＝x+2﹣3+x＝2x﹣1∈[﹣5，5]； 当x＞3时，|x+2|﹣|3﹣x|＝x+2﹣x+3＝5． 综上，|x+2|﹣|3﹣x|∈[﹣5，5]． ∴a≤[|x+2|﹣|3﹣x|]min＝﹣5， ∴“对于任意x∈R的实数，不等式|x+2|﹣|3﹣x|≥a恒成立”的一个充分必要条件是（﹣∞，﹣5]． 故选：D． 【点评】本题考查含绝对值不等式的运算，考查充要条件、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、选择题 7．（2024上海市大同中学高一阶段练习）不等式的解集用区间表示是______. 【答案】 【分析】求出不等式的解集，再写成区间形式即可. 【详解】由得：且，解得， 所以不等式的解集用区间表示是. 故答案为： 8．（2023上海·高一单元测试）不等式的解集是________. 【答案】 【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集． 【详解】不等式得 ， 故 ， 故答案为：. 9．（2024上海·华东师范大学第一附属中学高一阶段练习）不等式的解集是____________（用区间表示） 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法直接计算即可. 【详解】 故 故答案为： 10．（2024秋·上海徐汇·高一统考期末）不等式的解集为________． 【答案】 【分析】由于，故将化为，解一元二次不等式即得答案. 【详解】由于， 所以不等式即不等式， 即，解得或， 故不等式的解集为， 故答案为： 11．（2023上海·高一单元测试）已知不等式的解集为或，则________. 【答案】 【解析】先化简分式不等式，再等价于一元二次不等式，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，转化为对应方程的根，即可求出的值. 【详解】由，得， 等价于， 不等式的解集为或， 和为方程的两个实数根， ， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法以及一元二次不等式的解法，考查了转化思想，属于基础题. 12．（2024七宝中学高一月考）不等式|x﹣1|＜2的解集为　　． 【分析】由不等式|x﹣1|＜2，可得﹣2＜x﹣1＜2，解得﹣1＜x＜3． 【解答】解：由不等式|x﹣1|＜2可得﹣2＜x﹣1＜2， ∴﹣1＜x＜3， 故不等式|x﹣1|＜2的解集为 （﹣1，3）， 故答案为：（﹣1，3）． 【点评】本题考查查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解． 13．（2022·上海虹口·高一期末）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分，，讨论去绝对值解不等式即可. 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得 当时，，解得， 综合得不等式的解集为 故答案为：. 14．（2020·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______； 【答案】 【分析】由题意得出为关于的根，且，然后将分式不等式化为，解出该不等式即可. 【详解】由于关于的不等式的解集是，则为关于的根，且， ，得，不等式即为，即， 解该不等式得 故答案为： 【点睛】本题考查不等式与解集之间的关系，同时也考查了分式不等式的求解，解题的关键就是确定两参数的等量关系，并确定出参数的符号，考查运算求解能力，属于中等题. 15. （2024格致中学高一月考）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 16. （2024-25大同中学高一月考）已知集合，，若，则的取值范围为 . 【答案】 17. （2024-25延安中学高一月考）设满足不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 18．（2021·上海市延安中学高一期中）已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】不等式等价于的解集是，分和两种情况讨论求实数的取值范围. 【详解】恒成立， 不等式等价于的解集是， 当时，不成立，解集是， 当时， ，解得：， 综上：. 故答案为： 3、 解答题 19.（2024行知中学高一阶段练习）解下列分式不等式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1） （2）原不等式可化为，此不等式与同解， 由得或，所以原不等式的解集是． （3）原不等式可化为，即．由于的判别式，故的值恒大于，于是原不等式与的解集相同．解得或．所以，原不等式的解集为． （4）原不等式等价于∴原不等式的解为：． 20．（2021·上海浦东新·高一期中）解不等式组：. 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为， 所以， 由（1）解得或， 由（2）解得， 所以不等式组的解集是： 21．（2024上海·高一专题练习）解下列不等式： （1）；（2）； （3）；（4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）根据绝对值不等式的定义，去掉绝对值号，即可求解； （2）把不等式，转化为等价不等式组或，即可求解； （3）把不等式的两边平方得，得出，结合一元二次不等式的解法，即可求解；. （4）根据零点分类讨论法，即可求解. 【详解】（1）由题意，不等式，可得或，解得或， 所以原不等式的解集为. （2）由题意，不等式，可化为或， 解得，即或， 所以原不等式的解集为. （3）由不等式两边平方得，，整理得，即，解得，所以，原不等式的解集为. （4）当时，原不等式化为，即，此时，不等式的解集为； 当时，原不等式化为，即，始终不成立，舍去； 当时，原不等式化为，即，此时，不等式的解集为. 综上所述，原不等式的解集为. 22．（2024上海市南洋模范中学高一期中）（1）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若中有且只有三个元素，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）. 【解析】（1）根据题意，分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解； （2）化简不等式为，转化为且，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. （3）由（1）得，根据中有且只有三个元素，结合不等式的解集，分类讨论，得出不等式组，即可求解. 【详解】（1）当时，不等式可化为无解，满足题意； 当时，不等式化为，解得，不符合题意，舍去； 当时，要使得不等式的解集为， 则满足，解得， 综上可得，实数a的取值范围是. （2）由不等式，可得， 即且， 当时，不等式等价于，解得； 当时，由， 不等式且的解集为， 当时，且， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）由（1）得， 当中有且只有三个元素，显然不可能， 当时， 因为，不合题意，舍去， 当时，， 因为中有且只有三个元素，所以，，解得， 综上，实数m的取值范围是. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤： （1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式； （2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数； （3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 23．（2024秋·上海嘉定·高一校考期中）已知关于的不等式的解集为A. (1)当时，求集合A； (2)若，求实数a的取值范围. (3)若，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接解分式不等式即可； （2）由得，或，求出a的取值范围. （3）由，建立不等式组，求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，可化为，等价于且 ，解得：， 即不等式的解集为. （2）若，则有或 解得或， 所以实数a的取值范围. （3）若，则有，解得或 若，则有或，解得 所以实数a的取值范围. 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$