第08讲 等式与不等式的性质（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

第08讲 等式与不等式的性质 预习目标 知识回顾 1.理解等式的基本性质与不等式的基本性质，明确两类性质的联系与区别；能正确判断等式、不等式变形的正误，能够通过反例说明错误的变形（重点） 2.能借助性质完成等式与不等式的代数变形，掌握作差法比较实数与代数式大小的基本方法（重点、难点） 3. 在利用性质进行推理证明的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言表达，发展代数推理素养（难点） 1.了解反证法的思想以及反证法的表达方式(重点) 2.会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用反证法证明一些典型问题(重点) 新知导图 预习精讲 知识点1 等式的性质与方程的解集 1.等式的性质 用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 等式具有以下性质: （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 2.方程的解、方程的解集与一元一次方程的解 含有未知数的等式称为方程.使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 方程的解一般指能使一个含未知 数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合. 根本概念是不一样的. 3.二元一次方程组的解集 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 对二元一次方程组的理解 （1）方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量 （2）通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 知识点2 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.恒等式的概念 数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 2.一元二次方程的解集 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值, (2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论 （3）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 3.韦达定理 . 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形 变形一 变形二 变形三 变形四 若关于x的一元二次方程中m为实数，则（    ）． A．没有实根 B．有两相等实根 C．有两不相等实根 D．可能有实根 知识点3 不等式的性质 1. 实数(代数式)大小的比较 对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ．这就是说 这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 (1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。 2. 不等式的性质 （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 b c；如果 ，且 ，那么 ． 性质名称 性质内容 移项法则 同向可加性 同向可加性的推论 同向同正可乘性 ， 同向同正可乘性的推论 ， 正数乘方性 正数可开方性 3. 数(式)比较大小的方法 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论,③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 ，则 ；若 ，那么 ．其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 4.用比较法证明不等式 证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 5.常用不等式(定理) 定理 对任意的实数,总有，且等号当且仅当时成立. 当且仅当的逻辑关系是充分必要条件．当且仅当 时等式成立．指的是若不等式中的相等成立必有 ，反之当 时，才能有不等式中的相等成立． 已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 题型速练 题型一．等式与不等式的性质 已知，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【方法总结】 判断不等式正误可依据不等式基本性质推导，也可采用作差法、作商法比较大小。针对给定取值范围的选择题，可代入特殊值快速排除错误选项，结合函数单调性辅助验证. 已知，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 若，，则一定有（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 下列命题中的假命题是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 题型二．不等关系与不等式 如果，那么下列不等式错误的是（　　） A． B． C． D． 【方法总结】 判断不等式正误，可依据不等式基本性质（可加性、可乘性、倒数性质等）逐步推导。也可采用作差法、作商法比较两式大小。针对给定取值范围的选择题，可代入符合条件的特殊值快速排除错误选项。含 类平方参数时需考虑零值情形。 已知，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 下列命题是假命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 如果，，，，则下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 已知、、，且，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 如果，那么下列不等式中错误的是（　　） A． B． C． D． 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，请你提炼出一个不等式； （2）证明你提炼出的不等式． 题型三．不等式比较大小 若，，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【方法总结】 先由题设条件推导各参数的正负性与取值范围，再依据不等式可乘性等基本性质逐项判断。也可选取满足约束的特殊数值代入选项，通过验证快速筛选正确结论。含绝对值的式子需结合参数符号分析. 已知，则（　　） A． B． C． D． 已知，，，则　 （用、、填空）． 若，，则，的大小关系为　 　． 比较与的大小． 题型四．一元二次方程的根的分布与系数的关系 已知，则关于的方程（　　） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 【方法总结】 判断方程实根个数，核心依据判别式 。先由题设等式推导系数 a, b, c 的数量关系，代入判别式化简，根据 的正负判定根的情况。需先验证二次项系数是否为 0 ，区分一次方程与二次方程的不同情形． 若，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（　　） A． B．3 C．或3 D．1或 已知方程的两个根为，，则　 　． 已知方程的两根为，，则　　 　　． 已知方程的两根为、，则　 　 ． 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则　 　． 在区间，上恰有一个满足方程，则的取值范围为 　 　． 若关于的二次方程的两个实根分别为，，且满足，则的值为　 　 ． 基础过关 设，下列命题中为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 “关于x的方程有实数根”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 对于任意实数a、b、c，当时，下列不等式总是成立的是（   ） A． B． C． D． 已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是________． 给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是________． 已知a，，则下列选项中能使成立的是________，能使成立的是________（填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 设，若不等式的解集是，则等于________． 已知关于的一元二次方程. (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值. 能力提升 已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， (1)若，求实数的值； (2)将与表示为的代数式，并比较与的大小. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 等式与不等式的性质 预习目标 知识回顾 1.理解等式的基本性质与不等式的基本性质，明确两类性质的联系与区别；能正确判断等式、不等式变形的正误，能够通过反例说明错误的变形（重点） 2.能借助性质完成等式与不等式的代数变形，掌握作差法比较实数与代数式大小的基本方法（重点、难点） 3. 在利用性质进行推理证明的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言表达，发展代数推理素养（难点） 1.了解反证法的思想以及反证法的表达方式(重点) 2.会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用反证法证明一些典型问题(重点) 新知导图 预习精讲 知识点1 等式的性质与方程的解集 1.等式的性质 用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 等式具有以下性质: （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 2.方程的解、方程的解集与一元一次方程的解 含有未知数的等式称为方程.使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 方程的解一般指能使一个含未知 数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合. 根本概念是不一样的. 3.二元一次方程组的解集 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 对二元一次方程组的理解 （1）方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量 （2）通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【分析】分类讨论的值，再分别判断线性方程组解的情况即可. 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 知识点2 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.恒等式的概念 数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 2.一元二次方程的解集 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值, (2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论 （3）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 3.韦达定理 . 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形 变形一 变形二 变形三 变形四 若关于x的一元二次方程中m为实数，则（    ）． A．没有实根 B．有两相等实根 C．有两不相等实根 D．可能有实根 【答案】C 【分析】利用根的判别式进行判断即可． 【详解】 ， 故方程有两不相等实根 故选：C． 知识点3 不等式的性质 1. 实数(代数式)大小的比较 对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ．这就是说 这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 (1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。 2. 不等式的性质 （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 b c；如果 ，且 ，那么 ． 性质名称 性质内容 移项法则 同向可加性 同向可加性的推论 同向同正可乘性 ， 同向同正可乘性的推论 ， 正数乘方性 正数可开方性 3. 数(式)比较大小的方法 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论,③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 ，则 ；若 ，那么 ．其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 4.用比较法证明不等式 证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 5.常用不等式(定理) 定理 对任意的实数,总有，且等号当且仅当时成立. 当且仅当的逻辑关系是充分必要条件．当且仅当 时等式成立．指的是若不等式中的相等成立必有 ，反之当 时，才能有不等式中的相等成立． 已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，令，满足，而，A错误； 对于B，令，满足，而，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，令，满足，而，D错误. 题型速练 题型一．等式与不等式的性质 已知，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合不等式的性质检验各选项即可求解． 【解答】解：对于，令，，而，错误； 对于，令，，满足，而，错误； 对于，由，得，正确； 对于，令，满足，而，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 【方法总结】 判断不等式正误可依据不等式基本性质推导，也可采用作差法、作商法比较大小。针对给定取值范围的选择题，可代入特殊值快速排除错误选项，结合函数单调性辅助验证. 已知，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】举例说明错误，由不等式的性质判定． 【解答】解：取，，满足，此时，故错误； 取，，此时，，，故错误； 当时，，故正确； 取，，此时，，，故错误． 故选：． 【点评】本题考查等式与不等式的性质，是基础题． 已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可． 【解答】解：因，由，可得，故错误； 因，则，利用不等式的性质，可得，即，故错误； 因，由，可得，故错误； 因，则，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 若，，则一定有（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】 【分析】根据所给条件取特殊值逐项分析即可． 【解答】解：取，，，，满足，，但，故错误； 取，，，，满足，，但，故错误； 选项，取，，，，满足，， ，故选项不正确． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 下列命题中的假命题是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：若，，，所以，为真命题； 若，，则，所以，为真命题； 若，因为，得，为真命题； 若，满足，当时，，为假命题． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 题型二．不等关系与不等式 如果，那么下列不等式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】．由，可得； ．由，可得； ．时，； ．由，可得． 【解答】解：．，，正确． ．，，正确； ．时，，因此不正确； ．，，正确． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 【方法总结】 判断不等式正误，可依据不等式基本性质（可加性、可乘性、倒数性质等）逐步推导。也可采用作差法、作商法比较两式大小。针对给定取值范围的选择题，可代入符合条件的特殊值快速排除错误选项。含 类平方参数时需考虑零值情形。 已知，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件，利用不等式的基本性质对各项逐一判断，即可得到本题的答案． 【解答】解：由得，所以，可得，故正确； 由，可知，故正确； 取，，则，，此时，故错误； 因为且，所以，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的基本性质、作差法比较两个数的大小等知识，属于基础题． 下列命题是假命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】 【分析】列举反例可判断选项，根据不等性质可判断选项． 【解答】解：选项：取，，，，选项显然错误； 选项：若，又，则，选项正确； 选项：若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，选项正确； 选项：若且，则，所以，选项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 如果，，，，则下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】 【分析】通过举反例加以说明，判断出、、三项的正误；根据不等式的基本性质，判断出项的正误． 【解答】解：对于，若，比如，则，故项不正确； 对于，若，当时，有，故项不正确； 对于，若，，根据不等式的性质，可知，故项正确； 对于，若，，比如，，，，此时，故项不正确． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的基本性质及其应用，考查计算能力，属于基础题． 已知、、，且，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知结合不等式的性质检验选项，举出反例检验选项，， 结合作差法，即可求解． 【解答】解：对于选项：当时，，错误． 对于选项：当，时，显然错误． 对于选项：由于，所以，正确． 对于选项：当，时，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 如果，那么下列不等式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于，不妨设，，由不等式的性质可得，，成立，当时，不成立，从而得到结论． 【解答】解：，不妨设，，由不等式的性质可得，，成立， 故、、 三个选项都正确． 当时，不成立，故不正确， 故选：． 【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法． 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，请你提炼出一个不等式； （2）证明你提炼出的不等式． 【答案】（1）； （2）证明：因为，，所以， 所以， 所以． 【分析】（1）根据题意即可得出加入克糖后，糖的浓度变大了，然后即可提炼出一个不等式； （2）作差比较法证明提炼的不等式即可． 【解答】解：（1）加入克糖后，糖占的比例更大了，所以提炼的不等式为：； （2）证明：因为，，所以， 所以， 所以． 【点评】本题考查了作差比较法证明不等式的方法，是基础题． 题型三．不等式比较大小 若，，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，，可得，而与0的关系不确定．即可判断出结论． 【解答】解：，，． ． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【方法总结】 先由题设条件推导各参数的正负性与取值范围，再依据不等式可乘性等基本性质逐项判断。也可选取满足约束的特殊数值代入选项，通过验证快速筛选正确结论。含绝对值的式子需结合参数符号分析. 已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知可得，然后结合不等式的性质及函数单调性检验各选项即可判断． 【解答】解：由可得， 当，时，显然错误； 由可得，正确； 当，时，显然错误； 当，时，显然不成立，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的性质及函数的单调性的应用，属于基础题． 已知，，，则　 （用、、填空）． 【答案】． 【分析】利用作差法比较大小即可． 【解答】解：，， ， 故， 故答案为：． 【点评】本题主要考查不等式的大小，属于基础题． 若，，则，的大小关系为　 　． 【答案】． 【分析】利用作差法以及完全平方数的性质即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 故答案为：． 【点评】本题考查了不等式的比较大小，属于基础题． 比较与的大小． 【分析】利用“作差法”和配方法即可得出． 【解答】解：， ，当且仅当，时取等号． 【点评】熟练掌握“作差法”和配方法是解题的关键． 题型四．一元二次方程的根的分布与系数的关系 已知，则关于的方程（　　） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】根据已知条件及判别式，即可求解． 【解答】解：由，可得，即，且， 所以△， 所以关于的方程有实数根，但不能确定是否一定相等． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的根的判断，属于基础题． 【方法总结】 判断方程实根个数，核心依据判别式 。先由题设等式推导系数 a, b, c 的数量关系，代入判别式化简，根据 的正负判定根的情况。需先验证二次项系数是否为 0 ，区分一次方程与二次方程的不同情形． 若，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（　　） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】 【分析】因为一元二次方程有两个实数根，，所以△，可利用韦达定理转化得到的等式，求解即可． 【解答】解：因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以，或， 因为， 则或（舍． 故的值为． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的解的相关知识，属于基础题． 已知方程的两个根为，，则　 　． 【答案】3． 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解． 【解答】解：因为方程的两个根为，， 所以， 则 ． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题． 已知方程的两根为，，则　　 　　． 【答案】． 【分析】由题意，利用韦达定理，变形求得结果． 【解答】解：方程的两根为，， ，， 则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题． 已知方程的两根为、，则　 　 ． 【答案】6． 【分析】结合方程根与系数关系即可求解． 【解答】解：由题意可得，，， 则． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了方程根与系数关系的应用，属于基础题． 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则　 　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程根的分布与关系相关知识可解． 【解答】解：因为一元二次方程的两个实数根分别为，， 则，， 又． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程根的分布与关系相关知识，属于基础题． 在区间，上恰有一个满足方程，则的取值范围为 　 　． 【答案】． 【分析】分和两种情况讨论，先验证符合题意，再验证，△时符合题意，最后根据题意计算，且△时，满足（2），解出不等式，即可求解． 【解答】解：当时，方程可化为， 解得，，，符合题意， 当时，若△，则有， 解得， 此时方程为， 解得，，，符合题意， 当，且△时，即且时， 令 若在区间，上恰有一个满足方程， 则（2），且，（2）不能同时为零， 又，（2）， 所以， 解得或， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的分布问题，考查了二次函数的性质，属于中档题． 若关于的二次方程的两个实根分别为，，且满足，则的值为　 　 ． 【答案】． 【分析】由一元二次方程根与系数的关系列式求解即可． 【解答】解：因为关于的二次方程的两个实根分别为，， 所以，， 所以， 即，解得或． 又△，解得或． 故的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． 基础过关 设，下列命题中为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的性质即可判断ABD，举例即可判断C. 【详解】解：对于A，若，两边平分可得，故A为真命题； 对于B，， 所以，故B为真命题； 对于C，当时，无意义，故C为假命题； 对于D，若，由等式的性质可得，故D为真命题. 故选：C. “关于x的方程有实数根”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，结合根与系数关系判断条件间的关系即可. 【详解】若方程有实数根，则，即，但不一定有，充分性不成立； 若，则，即方程有实数根，必要性成立； 所以“关于x的方程有实数根”是“”的必要非充分条件. 故选：B 对于任意实数a、b、c，当时，下列不等式总是成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值判断ABC，利用作差法判断D即可. 【详解】当时，不成立，故A错误； 当时，不成立，故B错误； 当时，不成立，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，利用作差法可判断C的正误，根据反例可判断D的正误. 【详解】对于A，因此，故，故，故，故A正确； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，， 而，故，故， 故，故C正确； 对于D，取，则， 此时不成立，故D错误. 故选：D. 若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质或赋值逐项判断即可. 【详解】对于A选项：当时，，，则，故A选项不正确； 对于B选项：当时，，故B选项不正确； 对于C选项：当时，，，又，， 故C选项正确； 对于D选项：， ，，，，故D选项不正确； 故选：C 设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 【答案】且 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 已知一元二次方程的两实根分别为，，则以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是________． 【答案】; 【分析】根据题意，利用韦达定理求解. 【详解】因为一元二次方程的两实根分别为，， 所以， 则， 所以以二次项系数为1，且以，为根的一元二次方程是， 故答案为：; 给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是________． 【答案】①③ 【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①若，则，所以①正确. ②若，如， 则，所以②错误. ③正数若，则， ，所以，所以③正确. 故答案为：①③ 已知a，，则下列选项中能使成立的是________，能使成立的是________（填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 【答案】 ①④ ②④ 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 设，若不等式的解集是，则等于________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集分别得出与以及与的关系即可求解. 【详解】由， 得， 因为， 所以 因为不等式的解集为， 所以，即， 解得， 所以． 故答案为：. 已知关于的一元二次方程. (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程的判别式和根与系数的关系，结合已知条件，即可求解. 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴，∴. （2）∵方程有两实根，， ∴，∴， 且，， ∴， ，， ∴，或， ∵，∴. 能力提升 已知一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， (1)若，求实数的值； (2)将与表示为的代数式，并比较与的大小. 【答案】(1)； (2),,. 【分析】（1）利用求出的范围，韦达定理可得：，结合即可求解； （2）根据韦达定理得，由作差法即可比较大小. 【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实根分别为、， 则，解得：或， 由韦达定理可得：， 所以，解得：或（舍去）； 所以实数的值为 （2）由（1）得或，且， 所以，， 所以， 当时，则， 故， 当时， 则， 故， 综上，，，且. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $