第11讲 幂、指数与对数（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

第11讲 幂、指数与对数 预习目标 知识回顾 1. 掌握根式与分数指数幂的互化方法，熟记实数指数幂的运算性质，能进行基础的指数幂化简与求值。 2. 了解幂的基本不等式，知晓底数与指数的范围调整技巧。 3. 理解对数的概念与基本性质，熟练完成指数式与对数式的互化。 4. 掌握对数的运算性质，理解换底公式及其推论，能完成简单的对数化简与计算。 1. 掌握分式不等式的定义与同解变形规则，能将简单分式不等式转化为整式不等式（组）求解。 2. 理解绝对值的代数与几何意义，会求解基础类型的绝对值不等式，了解绝对值三角不等式的基本形式。 3. 理解算术平均值、几何平均值的概念，掌握基本不等式（均值不等式）的定理内容与常用变形，明确等号成立条件。 4. 知晓基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”原则，能尝试解决简单的代数式最值与实际应用问题。 新知导图 预习精讲 指数幂 1． 的 次幂 如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称 为的次幂. 正整数指数幂的运算性质： 对任意给定的实数, b及正整数s , t，有 （1） ； （2） ； （3） ． 2．整数指数冥 当 时，可以定义 这样,可以证明对任意给定的非零实数及整数，上述幂的运算性质(1)到(3)仍然成立 3.根式 （1）一般地，如果 为大于 1 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根．式子 叫做 的 次根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. 4.有理数指数幂 幂的概念 、 、 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 有理数指幂的运算性质 幂的运算性质 性质 对任意给定的正数及实数有 实数指数幂运算的注意事项 (1)实数指数幂的运算性质是由有理数指数幂、整数指数幂的运算性质推广而来的，有理数指数幂、整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用. (2)在运算性质中,特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则等式有可能不成立. 幂的基本不等式 定理 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过倒数 进行调整；无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过相反数 进行调整．将条件调整到底数大于 1 ，指数大于 0 ，进而应用幂的基本不等式． 对数 1.对数的定义 在 ，且 的条件下，唯一满足 的数 ，称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数 ＂log＂的含义 对于初学对数的同学们来说， ＂log＂这个符号似乎很难理解，但是如果将＂log＂类比成＂＂或者＂＂的运算来看，其实就不难理解．对数运算不过是将运算的符号写在数字的前面，是已知一个底数和它的幂求指数的运算． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…) 为底的对数 3.对数与指数的关系 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ，如 不可转化为对数式． （2）两个式子是同一数量关系的满种不同表现形式，它们互为逆运算． 对数的运算性质 1．两个常用结论 （1）对数恒等式： 且 ． （2） 且 ． 2．对数的运算性质 性质1：当 时， ． 性质2：当 时， ． 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ． 对数的换底 1.对数换底公式 当 时， ． （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算及证明. （3）换底公式在实际应用中应当根据已知的条件选择适当的“底”,一般换成以10或e为底的对数. 2.常用推论 推论 ，即 ． 推论 ． 相当于＂约分＂ 推论 3： 可看作运算性质 3 的推广 题型速练 题型一、指数幂的运算 设，用有理数指数幂的形式表示：________． 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式，及有理数指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为： [方法总结] 依据实数指数幂运算性质，同底幂乘除对应指数加减，幂的乘方对应指数相乘.易错点：忽视底数为正的适用前提，负指数与零指数运算规则混淆. 已知，化简：______. 【答案】 【分析】由指数幂的运算化简即可； 【详解】原式. 故答案为：. 若，用有理数指数幂的形式表示______． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则，即可得答案. 【详解】由题意. 故答案为： 若，则______． 【答案】/0.75 【分析】由指数幂的运算性质结合题意计算即可. 【详解】，故， 所以. 故答案为：. 题型二、指数幂的化简、求值 化简__________． 【答案】 【分析】根据指数幂化简计算即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 若实数，且，，则_________． 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则即可得到答案. 【详解】，即，即， 则. 故答案为：. [方法总结] 优先将底数化为同底幂结构，常用整体代换与乘法公式降次处理.易错点：条件与目标的次数匹配判断失误，偶次开方符号处理疏漏. 若，则___________． 【答案】 【分析】由指数幂运算求解． 【详解】， 而，得． 故答案为： 化简__________. 【答案】 【分析】利用指数运算求解即得. 【详解】. 故答案为： 化简：___________ 【答案】 【分析】根据题意结合指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得，原式 . 故答案为：. 题型三、分数指数幂与根式的互化 已知，化简__________． 【答案】 【分析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】. 故答案为：. 用分数指数幂表示：_____. 【答案】 【分析】根据分数指数幂运算法则求解即可． 【详解】原式． 故答案为：． [方法总结] 按转换，多层根式由内向外逐层化指数幂.易错点：根指数与分数指数对应错位，偶次根式被开方数非负条件遗漏. 将化成有理数指数幂的形式为___________． 【答案】 【分析】由根式与指数幂换算求解． 【详解】． 故答案为： 将写成分数指数幂的形式为___________． 【答案】 【分析】根据分数与根式的化简，以及分数指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由分数指数幂的运算公式，可得. 故答案为：. 化简：____________（用分数指数幂表示，其中） 【答案】 【分析】利用分数指数幂与根式的相互转化及同底的指数幂的运算性质计算即可得解. 【详解】. 故答案为： 题型四、对数的概念判断与求值 对数的性质 当，且时： ①零和负数没有对数； ②________；③________ ④________；⑤________ 【答案】 0 1 【分析】略 【详解】略 [方法总结] 紧扣对数定义，满足底数且、真数双重约束.易错点：遗漏真数大于零的隐含条件，对数基本性质应用出错. 在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 关于的方程的解集为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 若对数有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型五、指数式与对数式的互化 把指数式“”写成对数式__________. 【答案】 【分析】由对数的定义即可求解. 【详解】由得：， 故答案为： 若，则____________． 【答案】/ 【分析】先进行指对互化，再根据指数幂的运算性质求解. 【详解】由题可知，. 故答案为：. [方法总结] 依托双向转换，底数保持位置不变.易错点：底数、指数、真数三者对应关系错位，未验证底数取值范围. 指数式化成对数式为______． 【答案】 【分析】根据指数式与对数式互化关系即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 设实数满足，则________ ． 【答案】 【分析】根据题意，利用指数式和对数式的互化公式，即可求解. 【详解】因为实数满足，根据指数式与对数式的互化公式，可得. 故答案为：. 已知，则实数__________. 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的互化得解. 【详解】因为， 所以，解得或（由底数为正数，舍去）， 故答案为： 方程的解______ 【答案】 【分析】由对数式转化为指数式，解方程，可得答案. 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 题型六、对数的运算 已知，则可用表示为___________． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】由， 因为，所以， 故答案为： 已知且，则____________. 【答案】6 【分析】利用对数指数互化以及指数运算求解. 【详解】因为， 所以 则 故答案为：6 [方法总结] 运用积、商、幂的对数运算性质，正向拆分与逆向合并灵活转换.易错点：误将对数运算等价于真数四则运算，对数恒等式适用条件判断失误. 若，则______． 【答案】/ 【分析】根据题意，得到，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由，可得，所以. 故答案为：. 若实数，满足，，则_______. 【答案】 【分析】通过对数的定义将、转化为对数形式，利用换底公式将分式转化为对数运算，再结合对数的运算法则求解. 【详解】由，得，故. 由，得，故. 因此，. 故答案为： （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助指数与对数的转化及对数运算法则计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）由，则，， 则. 题型七、对数的运算性质的应用 已知，，用、表示为__________ 【答案】 【分析】利用对数的运算性质可将用、表示. 【详解】因为，，故， 所以. 故答案为：. 已知，，用，表示代数式________． 【答案】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为： [方法总结] 拆凑构造已知对数形式，结合方程思想求解参数或最值.易错点：运算全程忽略真数大于零限制，结合不等式时未验证等号成立条件. 设，若，则_____ 【答案】 【分析】根据对数运算性质可得，即可得结果. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 若，则的最小值为___________． 【答案】12 【分析】先根据对数运算法则进行化简求得，然后利用基本不等式的性质求出结果即可. 【详解】因为，所以， 所以. 因为，所以根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当即时等号成立， 此时取最小值为12. 故答案为：12. 求下列方程的解集 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据对数的定义及运算求解，注意对数的真数大于0. （2）对的取值讨论，去掉绝对值，转化为指数方程求解. 【详解】（1）因为， 所以有，即，解得或（舍去）. 故方程的解集为. （2）当时，可化为，即，解得. 当时，可化为，整理得， 解得或. 因为，所以不满足，故舍去. 所以. 综上，方程的解集为. 题型八、运用换底公式化简计算 若，则用表示______ 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算性质及换底公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. [方法总结] 利用统一底数，常转化为常用对数或自然对数.易错点：换底后分子分母对应颠倒，底数与真数取值范围核查不全. 已知，用的代数式表示__________． 【答案】 【分析】由对数的运算性质和换底公式计算可得. 【详解】. 故答案为：. 已知，用和表示__________. 【答案】 【分析】根据指数式化为对数式及换底公式，对数的运算性质可得. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 已知，则可用表示为_________． 【答案】 【分析】利用换底公式表示出结果即可. 【详解】因为， 故答案为：. （1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 【答案】（1），，均为不等于1的正数，令，则， 所以． （2）， 【分析】（1）设，然后对数式化指数式代入原式右边化简即可； （2）根据对数运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，所以，又， 所以， . 题型九、运用换底公式证明恒等式 设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. [方法总结] 连等式常设公共参数，经指对互化后代入待证式，结合换底公式约分推导.易错点：多底数连等参数设定不当，换底推论记忆混淆致推导出错. 已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 已知，求证：. 【答案】证明见解析； 【分析】先令，根据指数式与对数式的互化，以及换底公式，即可证明结论成立. 【详解】令， 则，，， 所以. 【点睛】本题主要考查换底公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型. 设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 基础过关 下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：无法直接分解为，故B错误； 选项C，D：，故C错误，D正确； 故选：D 下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和指数幂的运算性质逐项判断. 【详解】对A：因为，故错误； 对B：因为无意义，故错误； 对C：因为，故错误； 对D：因为，故正确； 故选：D. 已知，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数和对数的互化以及对数运算法则即可得出结果. 【详解】由，则，又， . 故选：A. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用对数运算律结合已知计算求解. 【详解】因为，则， 则， 则. 故选：D. 已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的关系结合指数幂运算法则化简即可得答案. 【详解】. 故选：C. 已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【答案】 【详解】. 若，则________．（用的代数式表示） 【答案】/ 【分析】由换底公式即可求解. 【详解】由换底公式可得， 所以， 故答案为： 方程的解集为__________. 【答案】 【分析】将方程两边化为同底数幂的形式，通过指数相等建立方程求解即可求得结果. 【详解】， ∴，即. 故答案为： 已知，，用a，b表示______． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意. 故答案为： 已知实数满足，则________． 【答案】 【分析】由可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 计算，并写出必要的步骤： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，准确化简、计算，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算法则，可得． （2）由对数的运算性质，可得. 已知是方程的两根. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2)32. 【分析】（1）根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解. （2）根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解. 【详解】（1）由是方程的两根，得， 所以. （2）由（1）知，， 所以 . 能力提升 估计的位数为（    ）位. A．609 B．610 C．611 D．612 【答案】B 【分析】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果. 【详解】因为，则， 即，所以的位数为. 故选：B. 若密码的长度设定为512比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．6.4秒 【答案】B 【分析】根据题意得，然后两边取对数，利用对数运算，结合对数式和指数式的关系求解可得. 【详解】由题意可知，在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为秒， 令，两边取对数得， 所以， 故选：B 香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据新定义结合对数运算求解即可 【详解】由题意可知， 故选：C. 、为正实数，若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由条件得到，再令，得到，，结合基本不等式求得即可求解. 【详解】由，得， 所以， 令，则， 所以， 且，且， 解得：，即，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最小值为2， 故答案为：2 挑战一刻 （1）已知且，且，证明：当时，； （2）设，，用a，b表示. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）设且，化为指数式，两边取对数可得，化简代入即可得出结果； （2）先利用换底公式求出，再求的值. 【详解】（1）根据题意，设，则， 两边同时取以a为底对数，得， 由对数运算性质，得， 因为，所以，所以，于是； （2）根据换底公式，，所以， 则. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 幂、指数与对数 预习目标 知识回顾 1. 掌握根式与分数指数幂的互化方法，熟记实数指数幂的运算性质，能进行基础的指数幂化简与求值。 2. 了解幂的基本不等式，知晓底数与指数的范围调整技巧。 3. 理解对数的概念与基本性质，熟练完成指数式与对数式的互化。 4. 掌握对数的运算性质，理解换底公式及其推论，能完成简单的对数化简与计算。 1. 掌握分式不等式的定义与同解变形规则，能将简单分式不等式转化为整式不等式（组）求解。 2. 理解绝对值的代数与几何意义，会求解基础类型的绝对值不等式，了解绝对值三角不等式的基本形式。 3. 理解算术平均值、几何平均值的概念，掌握基本不等式（均值不等式）的定理内容与常用变形，明确等号成立条件。 4. 知晓基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”原则，能尝试解决简单的代数式最值与实际应用问题。 新知导图 预习精讲 指数幂 1． 的 次幂 如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称 为的次幂. 正整数指数幂的运算性质： 对任意给定的实数, b及正整数s , t，有 （1） ； （2） ； （3） ． 2．整数指数冥 当 时，可以定义 这样,可以证明对任意给定的非零实数及整数，上述幂的运算性质(1)到(3)仍然成立 3.根式 （1）一般地，如果 为大于 1 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根．式子 叫做 的 次根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. 4.有理数指数幂 幂的概念 、 、 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 有理数指幂的运算性质 幂的运算性质 性质 对任意给定的正数及实数有 实数指数幂运算的注意事项 (1)实数指数幂的运算性质是由有理数指数幂、整数指数幂的运算性质推广而来的，有理数指数幂、整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用. (2)在运算性质中,特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则等式有可能不成立. 幂的基本不等式 定理 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过倒数 进行调整；无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过相反数 进行调整．将条件调整到底数大于 1 ，指数大于 0 ，进而应用幂的基本不等式． 对数 1.对数的定义 在 ，且 的条件下，唯一满足 的数 ，称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数 ＂log＂的含义 对于初学对数的同学们来说， ＂log＂这个符号似乎很难理解，但是如果将＂log＂类比成＂＂或者＂＂的运算来看，其实就不难理解．对数运算不过是将运算的符号写在数字的前面，是已知一个底数和它的幂求指数的运算． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…) 为底的对数 3.对数与指数的关系 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ，如 不可转化为对数式． （2）两个式子是同一数量关系的满种不同表现形式，它们互为逆运算． 对数的运算性质 1．两个常用结论 （1）对数恒等式： 且 ． （2） 且 ． 2．对数的运算性质 性质1：当 时， ． 性质2：当 时， ． 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ． 对数的换底 1.对数换底公式 当 时， ． （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算及证明. （3）换底公式在实际应用中应当根据已知的条件选择适当的“底”,一般换成以10或e为底的对数. 2.常用推论 推论 ，即 ． 推论 ． 相当于＂约分＂ 推论 3： 可看作运算性质 3 的推广 题型速练 题型一、指数幂的运算 设，用有理数指数幂的形式表示：________． [方法总结] 依据实数指数幂运算性质，同底幂乘除对应指数加减，幂的乘方对应指数相乘.易错点：忽视底数为正的适用前提，负指数与零指数运算规则混淆. 已知，化简：______. 若，用有理数指数幂的形式表示______． 若，则______． 题型二、指数幂的化简、求值 化简__________． 若实数，且，，则_________． [方法总结] 优先将底数化为同底幂结构，常用整体代换与乘法公式降次处理.易错点：条件与目标的次数匹配判断失误，偶次开方符号处理疏漏. 若，则___________． 化简__________. 化简：___________ 题型三、分数指数幂与根式的互化 已知，化简__________． 用分数指数幂表示：_____. [方法总结] 按转换，多层根式由内向外逐层化指数幂.易错点：根指数与分数指数对应错位，偶次根式被开方数非负条件遗漏. 将化成有理数指数幂的形式为___________． 将写成分数指数幂的形式为___________． 化简：____________（用分数指数幂表示，其中） 题型四、对数的概念判断与求值 对数的性质 当，且时： ①零和负数没有对数； ②________；③________ ④________；⑤________ [方法总结] 紧扣对数定义，满足底数且、真数双重约束.易错点：遗漏真数大于零的隐含条件，对数基本性质应用出错. 在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 若有意义，则实数的取值范围是__________. 关于的方程的解集为______． 若对数有意义，则的取值范围是________． 题型五、指数式与对数式的互化 把指数式“”写成对数式__________. 若，则____________． [方法总结] 依托双向转换，底数保持位置不变.易错点：底数、指数、真数三者对应关系错位，未验证底数取值范围. 指数式化成对数式为______． 设实数满足，则________ ． 已知，则实数__________. 方程的解______ 题型六、对数的运算 已知，则可用表示为___________． 已知且，则____________. [方法总结] 运用积、商、幂的对数运算性质，正向拆分与逆向合并灵活转换.易错点：误将对数运算等价于真数四则运算，对数恒等式适用条件判断失误. 若，则______． 若实数，满足，，则_______. （1）计算：； （2）已知，求的值． 题型七、对数的运算性质的应用 已知，，用、表示为__________ 已知，，用，表示代数式________． [方法总结] 拆凑构造已知对数形式，结合方程思想求解参数或最值.易错点：运算全程忽略真数大于零限制，结合不等式时未验证等号成立条件. 设，若，则_____ 若，则的最小值为___________． 求下列方程的解集 (1) (2) 题型八、运用换底公式化简计算 若，则用表示______ [方法总结] 利用统一底数，常转化为常用对数或自然对数.易错点：换底后分子分母对应颠倒，底数与真数取值范围核查不全. 已知，用的代数式表示__________． 已知，用和表示__________. 已知，则可用表示为_________． （1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 题型九、运用换底公式证明恒等式 设均为正数，且均不为1.求证：. [方法总结] 连等式常设公共参数，经指对互化后代入待证式，结合换底公式约分推导.易错点：多底数连等参数设定不当，换底推论记忆混淆致推导出错. 已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 已知，求证：. 设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 基础过关 下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 已知，，则（   ）. A． B． C． D． 已知，则（    ） A． B． C． D． 已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 若，则________．（用的代数式表示） 方程的解集为__________. 已知，，用a，b表示______． 已知实数满足，则________． 计算，并写出必要的步骤： (1)． (2)． 已知是方程的两根. (1)求的值； (2)求的值. 能力提升 估计的位数为（    ）位. A．609 B．610 C．611 D．612 若密码的长度设定为512比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．6.4秒 香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 、为正实数，若，，则的最小值为________． 挑战一刻 （1）已知且，且，证明：当时，； （2）设，，用a，b表示. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $