第05讲 命题（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

第05讲 命题 预习目标 知识回顾 1.知道命题的概念，会在简单情境下判断命题的 真假。 (重点) 2.通过将真命题“若,则”与推出关系互相转化，体会数学符号语言的简洁性、准确性，理解推出关系的传递性。(重点) 3.能用正确的方法说明命题为真或为假的理由，提升逻辑推理的素养（重点） 1. 全集的定义 2. 并集（定义、图形表示、性质） 3. 交集（定义、图形表示、性质） 4. 补集（定义、图形表示、性质） 新知导图 预习精讲 知识点1 命题 用自然语言、符号或式子表达,且可以判断其真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题 （1）命题由条件与结论两部分组成,条件是已知的,结论是推导的;有些命题的条件和结论不止一个，要分清哪个是条件哪个是结论 （2）判断命题的真假:数学中要判定一个命题为真命题,需要给出严格的数学证明;要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可。 （3）数学中的定义、公理、定理、公式、推论等都是真命题 中至少有一个是非负实数的等价命题是（    ） A．中全不是负数 B．中只有一个是负数 C．中至少有一个是正数 D．不全是负数 知识点2 推出关系 如果命题＂若 ，则 ＂是真命题，那么就称 推出 ，记作 （或 ）．因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若 且 ，则 ．它是逻辑推理的基础． 注意： ＂若 ，则 ＂与＂＂一样吗？不能将＂若 ，则 ＂与＂＂混为一谈，＂若 ，则 ＂是一个命题，可能是真命题，也可能是假命题，只有＂若 ，则 ＂为真命趣时，才有＂＂，即＂＂等价于＂若 ，则 ＂为真命题． 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 题型速练 题型一．四种命题 将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若，则” 形式 　 　． 【方法点拨】 理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相结合． 下列语句是命题的有 　 　 ． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，，则；⑤；⑥求证是无理数． 下列句子中是命题的是　 　 ． ．三边对应相等的两个三角形全等 ．如果，则 ．对于任意数，不能被3整除 ．八月的桂花真香啊 命题“若，都是实数，则”的否命题是 　 　　 　　 　　 　 题型二．四种命题间的逆否关系 命题“已知，，如果，那么且”的逆否命题是（　　） A．已知，，如果，那么且 B．已知，，如果，那么或 C．已知，，如果或，那么 D．已知，，如果且，那么 【解题方法】 由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用． 命题“若，则、中至少有一个不小于1”的一个等价命题是　 　　 　　 　 命题“若，且，则，全为0”的否命题是　 　　 　　 　　 　 命题“若，则”的逆否命题是　“若或，则”　． 题型三．四种命题的真假关系 命题“设，，若，则或”是　 　命题．（填“真”或“假” 命题“若且，则”的否命题是　 　命题 “真”或“假” ． “若且，则”的否命题，逆命题，逆否命题中正确的命题个数 　 　． 已知原命题的逆命题是：“若，则 “，试判断原命题的否命题的真假　 　（填“真”或“假” 【方法点拨】 “正难则反”是数学解题中一种转化的方式，将判断一个命题的真假的问题转化为判断它的逆否命题的真假就是这种技巧的一个方面的运用，对于有些命题，转化为与其真假性相同的逆否命题来证可大大简化判断过程降低判断难度，如：“若x≠2或y≠3，则x+y≠5”这个命题的判断，正面不易判断，而其逆否命题为“若x+y＝5，则x＝2且y＝3”，容易判断此命题是一个假命题． 题型四．复合命题及其真假 已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭”函数．已知两个命题：：函数是“，封闭”函数．：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数且．则下列正确的判断为（　　） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 常见关键词及其否定形式： 关键词 大于 小于 都是 没有 至多有 一个 至少有 一个 至少有 n个 至多 有n个 任意的 任两个 否定词 不大于 不小于 不都是 至少有 一个 至少有 两个 一个都 没有 至多有 n﹣1个 至少 有n+1个 某个 某两个 已知常数，，函数，命题：对任意的，都有成立的充要条件为；命题：若方程无实数解，则方程也一定没有实数解．则以下说法正确的是（　　） A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为假命题，命题为真命题 C．命题为真命题，命题为假命题 D．命题为假命题，命题为假命题 已知命题，，命题：方程有两个不相等的正根． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 已知命题：不等式对任意恒成立．命题：集合，，满足． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 已知命题：“，，，，且”；命题：“关于的方程有实数根”． （1）写出为真命题时，的取值范围； （2）如果命题和命题中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 题型五．命题的真假判断与应用 对三个正实数、、，下列说法正确的是（　　） A．存在，，的一组值，使得、、均小于2 B．存在，，的一组值，使得、、中恰有两个小于2 C．对，，的任意值，、、都不小于2 D．对，，的任意值，、、中至多有两个不小于2 【方法点拨】 1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假． 2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可． 3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断． 已知非空集合，满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解．下面判断正确的是（　　） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，．现有关于“取整函数”的两个命题：①集合，是单元素集：②对于任意成立，则以下说法正确的是（　　） A．①②都是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是真命题 基础过关 判断下列命题的真假： （1）集合是集合的真子集；( ) （2）是集合的元素；( ) （3）2是集合的子集；( ) （4）满足的集合A的个数是个．( ) 用符号“，，”表示下列事件的推出关系： （1）：实数满足，：，______； （2）：，：，______； （3）：，：，______． 把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“若则”的形式是_________． 判断下列命题的真假： （1）若，则；        ( ) （2）若，则；        ( ) （3）若，则．        ( ) 下列语句： （1）是无限循环小数；（2）；（3）当时，；（4）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（5）一个数不是合数就是素数；（6）作△ABC≌△A′B′C′；（7）二次函数的图象太美了！（8）4是集合{1，2，3}中的元素. 其中是命题的是________.(填序号) 下列命题是真命题的是． A．空集是任何集合的真子集 B．等腰三角形是锐角三角形 C．函数是二次函数 D．若，则 下列事件描述正确的是． A．：： B．：： C．：： D．：： 下列命题是假命题的是． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 判断下列各命题的真假，并简要说明理由： (1)方程有唯一的解； (2)若方程的两实数根同号，则； (3)如果，那么或； (4)合数一定是偶数． 能力提升 下列命题中，真命题是______．（填序号） ①若集合，，则； ②若集合，，则； ③任何集合都有真子集； ④若，则至少有一个为空集． 已知：，：，若，求的取值范围． 已知：集合，，：．若，求实数的取值范围． 设命题：方程有两个不相等的正根；命题：方程无实根．若与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 挑战一刻 定义：若对非空数集中任意两个元素、，实施“加减乘除”运算（如、、、），其结果仍然是P中的元素，则称数集是一个“数域”.下列四个命题：①有理数集是数域；②若有理数集，则数集是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是_________. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，关于的方程无实数根. （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若为真为假，求实数的取值范围. 已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 命题 预习目标 知识回顾 1.知道命题的概念，会在简单情境下判断命题的 真假。 (重点) 2.通过将真命题“若,则”与推出关系互相转化，体会数学符号语言的简洁性、准确性，理解推出关系的传递性。(重点) 3.能用正确的方法说明命题为真或为假的理由，提升逻辑推理的素养（重点） 1. 全集的定义 2. 并集（定义、图形表示、性质） 3. 交集（定义、图形表示、性质） 4. 补集（定义、图形表示、性质） 新知导图 预习精讲 知识点1 命题 用自然语言、符号或式子表达,且可以判断其真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题 （1）命题由条件与结论两部分组成,条件是已知的,结论是推导的;有些命题的条件和结论不止一个，要分清哪个是条件哪个是结论 （2）判断命题的真假:数学中要判定一个命题为真命题,需要给出严格的数学证明;要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可。 （3）数学中的定义、公理、定理、公式、推论等都是真命题 中至少有一个是非负实数的等价命题是（    ） A．中全不是负数 B．中只有一个是负数 C．中至少有一个是正数 D．不全是负数 【答案】D 【分析】根据等价命题的判定直接得到结果. 【详解】中至少有一个是非负实数，则中非负实数的个数大于等于个， 其等价命题为：中不全是负数. 故选：D. 知识点2 推出关系 如果命题＂若 ，则 ＂是真命题，那么就称 推出 ，记作 （或 ）．因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若 且 ，则 ．它是逻辑推理的基础． 注意： ＂若 ，则 ＂与＂＂一样吗？不能将＂若 ，则 ＂与＂＂混为一谈，＂若 ，则 ＂是一个命题，可能是真命题，也可能是假命题，只有＂若 ，则 ＂为真命趣时，才有＂＂，即＂＂等价于＂若 ，则 ＂为真命题． 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题． (1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）把各个命题写成“若p，则q”的形式，再利用逆命题的定义写出逆命题. 【详解】（1）若，则； 逆命题：若，则. （2）若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除； 逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除． （3）若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上． 题型速练 题型一．四种命题 将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若，则” 形式 　 　． 【分析】根据命题的题设与结论，改写即可． 【解析】解：命题“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若，则”形式为： 若一个三角形是等腰三角形，则它的两底角必是锐角． 故答案为：若一个三角形是等腰三角形，则它的两底角必是锐角. 【方法点拨】 理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相结合． 下列语句是命题的有 　 　 ． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，，则；⑤；⑥求证是无理数． 【分析】根据命题的定义逐一进行判断，即可得到本题的答案． 【解析】解：语句“地球是太阳的一个行星”，可以判断它的真假，故①是命题； 语句“今天下雨吗？”是疑问句，故②不是命题； 语句“、都是无理数，则是无理数”，可以判断它的真假，故③是命题； 语句“若，，则”，可以判断它的真假，故④是命题； 语句“”中，由于的值不确定，无法判断真假，所以⑤不是命题； 语句“求证是无理数”是祈使句，无法判断真假，所以⑥不是命题． 综上所述，只有①③④中的语句是命题． 故答案为：①③④. 下列句子中是命题的是　 　 ． ．三边对应相等的两个三角形全等 ．如果，则 ．对于任意数，不能被3整除 ．八月的桂花真香啊 【分析】根据命题是可以判断真假的陈述句，判断即可． 【解析】解：对于，三边对应相等的两个三角形全等，是命题； 对于，如果，则，是命题； 对于，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是命题； 对于，八月的桂花真香啊，不能判断真假，不是命题； 对于，，不能判断真假，不是命题 故答案为：. 命题“若，都是实数，则”的否命题是 　 　　 　　 　　 　 【分析】”若，则”的否命题为“若，则”，所以否命题为”若，不都是实数，则”． 【解析】解：“，都是实数”的否定为“，不都是实数”，“ ”的否定为“”． 故答案为：若，不都是实数，则. 题型二．四种命题间的逆否关系 命题“已知，，如果，那么且”的逆否命题是（　　） A．已知，，如果，那么且 B．已知，，如果，那么或 C．已知，，如果或，那么 D．已知，，如果且，那么 【分析】根据已知中原命题，写出逆否命题，可得答案． 【解析】解：命题“已知，，如果，那么且”的逆否命题是 “已知，，如果或，那么” 故选：. 【解题方法】 由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用． 命题“若，则、中至少有一个不小于1”的一个等价命题是　 　　 　　 　 【分析】根据逆否命题的等价性进行求解即可． 【解析】解：互为逆否命题的两个命题为等价命题， 命题的等价命题为：若，都小于1，则， 故答案为：若，都小于1，则. 命题“若，且，则，全为0”的否命题是　 　　 　　 　　 　 【分析】利用否命题的定义写出结果即可． 【解析】解：命题“若，且，则，全为0”的否命题是：若，则，不全为0． 故答案为：若，则，不全为0. 命题“若，则”的逆否命题是　“若或，则”　． 【分析】先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题． 【解析】解： “”的否定为“”．“ ”的否定是“或”． 命题“若，则”的逆否命题是：“若或，则”． 故答案为：若或，则. 题型三．四种命题的真假关系 命题“设，，若，则或”是　 　命题．（填“真”或“假” 【分析】根据不等式的性质即可直接判断． 【解析】解：设，，若，则，至少有一个小于等于2，故若，则或是真命题， 故答案为：真. 命题“若且，则”的否命题是　 　命题 “真”或“假” ． 【分析】先写出命题：若且，则”的逆命题，然后进行判断逆命题的真假，根据互为逆否命题的真假相同即可判断 【解析】解：若且，则”的逆命题为：若，则且， 此命题为假命题，原因：若，，此时，但是且不成立 而命题的逆命题与否命题的真假相同可知原命题的否命题为假命题 故答案为：假. “若且，则”的否命题，逆命题，逆否命题中正确的命题个数 　 　． 【分析】判断原命题的真假，得到逆否命题的真假，写出逆命题，举出反例，得到逆命题为假命题，从而得到否命题也是假命题，从而可得答案． 【解析】解：若且，则为真命题，故逆否命题为真命题， 逆命题为若，则且，逆命题为假命题，理由如下： 若，，满足，但不满足且， 故逆命题为假命题，则否命题也是假命题， 综上，“若且，则”的否命题，逆命题，逆否命题中正确的命题个数为1． 故答案为：1. 已知原命题的逆命题是：“若，则 “，试判断原命题的否命题的真假　 　（填“真”或“假” 【分析】原命题的逆命题是：“若，则 “与原命题的否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，所以只需要判断原命题逆命题的真假性就可得出结论． 【解析】解：原命题的逆命题是：“若，则 “与原命题的否命题互为逆否命题，它们的真假性相同， 所以只需要判断原命题的逆命题的真假即可， 若，则可能，，此时， 所以原命题的逆命题是假命题， 所以原命题的否命题是假命题． 故答案为：假. 【方法点拨】 “正难则反”是数学解题中一种转化的方式，将判断一个命题的真假的问题转化为判断它的逆否命题的真假就是这种技巧的一个方面的运用，对于有些命题，转化为与其真假性相同的逆否命题来证可大大简化判断过程降低判断难度，如：“若x≠2或y≠3，则x+y≠5”这个命题的判断，正面不易判断，而其逆否命题为“若x+y＝5，则x＝2且y＝3”，容易判断此命题是一个假命题． 题型四．复合命题及其真假 已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭”函数．已知两个命题：：函数是“，封闭”函数．：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数且．则下列正确的判断为（　　） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 【分析】根据题目中“封闭”函数的定义，分别判断命题和命题是否成立． 【解析】解：当，时，，， 而，，故为假命题； 对于集合，，使，则， 而是“封闭”函数，则，即，都有， 对于区间，，使，则， 而， ，，， 即，故，一定是封闭”函数，故为真命题． 故选：. 常见关键词及其否定形式： 关键词 大于 小于 都是 没有 至多有 一个 至少有 一个 至少有 n个 至多 有n个 任意的 任两个 否定词 不大于 不小于 不都是 至少有 一个 至少有 两个 一个都 没有 至多有 n﹣1个 至少 有n+1个 某个 某两个 已知常数，，函数，命题：对任意的，都有成立的充要条件为；命题：若方程无实数解，则方程也一定没有实数解．则以下说法正确的是（　　） A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为假命题，命题为真命题 C．命题为真命题，命题为假命题 D．命题为假命题，命题为假命题 【分析】分离可得，结合基本不等式，即可求解的真假性，根据二次函数与一元二次方程的关系可得恒成立，进而可得求解的真假性． 【解析】解：当时，由， 则恒成立， 于是，即不是充要条件； 方程无实数解， 因为，即， 则恒成立， 于是，故方程没有实数解， 故为假命题，为真命题． 故选：. 已知命题，，命题：方程有两个不相等的正根． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据二次函数值域列出判别式计算求解； （2）分真假及假真分别列式计算求解． 【解析】解：（1）已知命题，，若为真命题，有△，解得或， 则的取值范围为，，； （2）若为真命题，则或， 若为真，则，解得， 若，中有且仅有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，则，解得或， 若假真，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 已知命题：不等式对任意恒成立．命题：集合，，满足． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）直接由三角不等式可得； （2）由两集合的交集为空集，对一元二次方程的根的情况进行分类讨论，进而可得所求结果． 【解析】解：（1）不等式对任意恒成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 故实数的取值范围为，； （2）命题：集合，，满足． 若命题为真命题，对于方程，其判别式△， ①当△，即，，符合； ②当△，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当△，即或，设方程的两根为，． 当时，，，所以，，，，此时，不符合； 当时，，，所以，，，，此时，符合． 综上可得，命题为真命题时，． 所以命题、中至少有一个为真命题，实数的取值范围为． 所以实数的取值范围为. 已知命题：“，，，，且”；命题：“关于的方程有实数根”． （1）写出为真命题时，的取值范围； （2）如果命题和命题中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）根据题意可得，进而即得； （2）由题可得为真命题时，结合条件可得不等式组，进而可得． 【解析】解：（1）命题：“，，，，且”为真命题， 由，可得， 所以， 解得， 所以的取值范围为，； （2）若命题为真命题，则，即， 因为命题和命题中有且仅有一个为真命题， 所以或， 解得或， 即实数的取值范围为或. 题型五．命题的真假判断与应用 对三个正实数、、，下列说法正确的是（　　） A．存在，，的一组值，使得、、均小于2 B．存在，，的一组值，使得、、中恰有两个小于2 C．对，，的任意值，、、都不小于2 D．对，，的任意值，、、中至多有两个不小于2 【答案】 【分析】可尝试代入特殊值排除一些选项，或者证明选项是对的． 【解析】解：取， 则， 即存在，，，使得中恰有两个小于2． 故选：. 【方法点拨】 1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假． 2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可． 3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断． 已知非空集合，满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解．下面判断正确的是（　　） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 【答案】 【分析】分析命题①．因为，，则，要么，从反面寻找满足条件的集合对可判断①； 解方程，检验可判断②． 【解析】解：命题①．因为，， 所以要么，要么 所以不存在非空集合对，使为偶函数，则命题①错误． 假设存在某个非空集合对满足且为偶函数， 将元素0从集合中取出，放入集合，其它元素不变，得到一个新的非空集合对，， 则新的非空集合对，，使函数仍然是偶函数． 假设某个非空集合对满足且为偶函数， 将元素0从集合中取出，放入集合，其它元素不变，得到一个新的非空集合对，， 则新的非空集合对，，使函数仍然是偶函数． 当存在非空集合对，使为偶函数时，非空集合对不唯一， 综上所述，命题①错误； 命题②，解方程，得， 解方程，得， 当非空集合对满足，，时，方程无解， 而满足这个条件的非空集合对有无穷多个，故命题②正确； 故选：. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，．现有关于“取整函数”的两个命题：①集合，是单元素集：②对于任意成立，则以下说法正确的是（　　） A．①②都是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是真命题 【答案】 【分析】分段解方程求出集合中元素判断①；利用不等式性质结合取整数的意义推理判断②． 【解析】解：对于①，因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”， 所以当时，， 所以方程可化为，所以； 因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”， 所以当时，，方程化为，所以； 因为因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”， 所以当时，，方程化为，该方程无解， 所以，①是假命题； 对于②，因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”， 令，则，， 所以当时，，， 则，； 当时，，， 则，， 因此对任意，，②是真命题． 故选：. 基础过关 判断下列命题的真假： （1）集合是集合的真子集；( ) （2）是集合的元素；( ) （3）2是集合的子集；( ) （4）满足的集合A的个数是个．( ) 【答案】 假 假 假 真 【分析】（1）利用真子集的定义即可判断． （2）由集合与集合的关系即可判断真假． （3）由元素与集合的关系即可判断真假． （4）由真子集的定义即可找到满足条件集合A的个数． 【详解】（1）因为的真子集有，所以不是真子集，命题为假命题． （2）是集合，因此不是的元素，命题为假命题． （3）因为是元素，因此不是的子集，命题为假命题． （4）若，所以集合A中至少含有两个元素且其中一个必须为，又因为，所以集合A可以从中再选取一个元素、或者两个元素，所以满足条件的集合A把和去掉，所以满足条件集合A的个数为个，命题为真命题． 故答案为：假；假；假；真 用符号“，，”表示下列事件的推出关系： （1）：实数满足，：，______； （2）：，：，______； （3）：，：，______． 【答案】 【分析】（1）由方程的根即可求得． （2）由实数之间的关系即可判断． （3）由集合之间的运算、集合之间的关系即可求解． 【详解】（1）因为解得，所以由推不出，但，可以得到， 所以填“” （2）由实数之间的关系，则，但反之不成立，即填“” （3）因为，所以集合B中的元素集合A中都有，所以；反之也成立，所以填“” 【点睛】本题考查事件之间的关系，比较基础． 把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“若则”的形式是_________． 【答案】若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等 【分析】找出命题中的条件“”和“”结论即可改为“若则”． 【详解】：两个三角形的三边对应相等， ：这两个三角形全等， 所以可写成“若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等” 【点睛】本题考查命题格式的改写，关键要找到命题中的条件和结论． 判断下列命题的真假： （1）若，则；        ( ) （2）若，则；        ( ) （3）若，则．        ( ) 【答案】 假 真 假 【分析】（1）（2）（3）均可由集合之间的运算、集合之间的关系即可判断． 【详解】（1）若，则，所以命题为假命题． （2）若，所以集合中的元素集合均有，所以则，即命题为真． （3）若，则集合与集合没有公共元素，所以命题为假． 【点睛】本题考查集合中真假命题的判断，比较基础． 下列语句： （1）是无限循环小数；（2）；（3）当时，；（4）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（5）一个数不是合数就是素数；（6）作△ABC≌△A′B′C′；（7）二次函数的图象太美了！（8）4是集合{1，2，3}中的元素. 其中是命题的是________.(填序号) 【答案】（1）（3）（5）（8） 【分析】解析本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假. 【详解】（1）是命题，能判断真假； （2）不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假（3）是命题； （4）不是命题，不是陈述句； （5）是命题； （6）不是命题； （7）不是命题； （8）是命题. 故答案为：（1）（3）（5）（8）. 【点睛】（1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题. （2）语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题. （3）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题. 下列命题是真命题的是． A．空集是任何集合的真子集 B．等腰三角形是锐角三角形 C．函数是二次函数 D．若，则 【答案】D 【分析】由真子集的定义、等腰三角形的特征，二次函数的定义以及集合的运算即可得出选项． 【详解】空集是任何非空集合的真子集，故选项错误； 等腰三角形顶角可以为钝角，故选项错误； 函数，当时是一次函数，故选项错误； 若，则是集合，的公共元素，所以．所以答案为D 【点睛】本题考查命题真假的判断． 下列事件描述正确的是． A．：： B．：： C．：： D．：： 【答案】C 【分析】根据方程求解、集合的基本运算即可得出选项． 【详解】由，则，故选项错误；由，则或，故选项错误 由，则，故选项正确；由，当时，则，故选项错误． 故答案为 【点睛】本题考查充分条件的判断，需掌握充分条件的定义，比较基础． 下列命题是假命题的是． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由集合的基本运算和元素与集合之间的关系即可得出选项． 【详解】若,则中的元素中都有，即，故正确； 因为含有中元素，由，所以正确；因为， 所以是的公共元素，所以，所以C正确； 由可知是中或者是元素，并不一定是的公共元素． 所以答案选D 【点睛】本题考查集合基本运算中真假命题的判断，比较基础． 判断下列各命题的真假，并简要说明理由： (1)方程有唯一的解； (2)若方程的两实数根同号，则； (3)如果，那么或； (4)合数一定是偶数． 【答案】(1)假，举反例：时方程无解 (2)真 (3)真 (4)假，举反例：9是合数也为奇数 【分析】（1）举反例即可得出答案. （2）利用韦达定理即可得出答案. （3）由集合的包含关系可得答案. （4）举反例即可得出答案. 【详解】（1）当时方程无解，故命题为假命题. （2）若一元二次方程两实数根同号，则，故命题为真命题. （3）若，那么或，故命题为真命题. （4）9是合数也为奇数，故命题为假命题. 能力提升 下列命题中，真命题是______．（填序号） ①若集合，，则； ②若集合，，则； ③任何集合都有真子集； ④若，则至少有一个为空集． 【答案】① 【分析】利用函数的定义域与值域，判断包含关系判断①；求出集合的交集判断②， 真子集的定义判断③；交集的含义判断④. 【详解】，，则，所以①正确； 若集合， ，由解得或， 则，所以②不正确； 空集没有真子集，所以③不正确； 若，两个集合可以不是空集， 两个集合没有相同的元素，就满足题意，所以④不正确. 故答案为:① 已知：，：，若，求的取值范围． 【答案】 【分析】由得出与中元素的关系即可求解． 【详解】设，， 因为，所以即，所以      【点睛】本题考查从集合的角度理解充分条件，属于基础题． 已知：集合，，：．若，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据给定条件对a的取值进行分类讨论，结合集合的包含关系即可计算作答. 【详解】依题意，，即，解得， 当时，则有，解得，有成立，于是有， 当，即时，由得：，解得， 综上得：， 所以实数的取值范围是. 设命题：方程有两个不相等的正根；命题：方程无实根．若与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别求得命题p，q为真时m的范围，根据题意可得命题p，q一真一假，分p真q假和p假q真两种情况，分别求解，综合即可得答案． 【详解】当命题p为真时，有，解得． 当命题q为真时，有，即，解得． 由题意，p与q中有且只有一个是真命题，分两种情况： 若p真q假，则，解得； 若p假q真，则，解得． 所以，实数m的取值范围是． 挑战一刻 定义：若对非空数集中任意两个元素、，实施“加减乘除”运算（如、、、），其结果仍然是P中的元素，则称数集是一个“数域”.下列四个命题：①有理数集是数域；②若有理数集，则数集是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是_________. 【答案】② 【分析】根据数域的定义，对各个命题一一进行分析，根据有理数的含义即可判断命题①；若,则,即可判断命题②；设数域，(假设)，可得出，则，即可判断命题③；为无理数这样的数集都是数域，即可判断命题④. 【详解】解：根据题意，由数域的定义可知， 对于①，从有理数集中任取两个有理数、， 则、、、都是有理数，故有理数是数域，故命题①正确； 对于②，已知有理数集，若,则, 此时数集不是数域，故命题②错误； 对于③，设数域，(假设)，则，则， 同理，故数域必为无限集，所以命题③正确； 对于④，形如为无理数这样的数集都是数域， 故存在无穷多个数域，所以命题④正确， 所以上述命题错误的序号是：②. 故答案为：②. 【点睛】本题考查利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解题的关键，考查学生构造性思维. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，关于的方程无实数根. （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若为真为假，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据命题为真，得到对应方程无实根，由判别式小于零即可求出结果； （2）根据为真，先求出的范围，再由为真为假，即可求出结果. 【详解】（1）当为真时，即方程无实数根，所以有， 整理得，解得； 所以的取值范围是； （2）当为真时，即方程有两个不相等的实数根， 所以有，解得或； 因为为真为假， 所以，解得或； 所以实数的取值范围是. 已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）分，两种情况讨论即可求解； （2）方程两个不相等的实数根，可利用判别式建立不等式求解． （3）求命题①、②全都是真命题时的范围为，则的补集即为所求． 【详解】（1）时，，符合题意； 当时，由求得，故的取值范围为． （2）方程两个不相等的实数根， 即或，故取值范围为． （3）设，，若命题①、②全都是真命题， 则的范围为 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $