第06讲 充分条件和必要条件（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

第06讲 充分条件和必要条件 预习目标 知识回顾 1.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出正确的判断;能够通过反例说明既非充分又非必要条件(重点) 2.能借助推出关系判断充分条件、必要条件(重、难点) 3.在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养，(难点) 1.知道命题的概念，会在简单情境下判断命题的 真假。 (重点) 2.通过将真命题“若,则”与推出关系互相转化，体会数学符号语言的简洁性、准确性，理解推出关系的传递性。(重点) 3.能用正确的方法说明命题为真或为假的理由，提升逻辑推理的素养（重点） 新知导图 预习精讲 知识点1 充分条件与必要条件 （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 ． （2）根据定义，如果 推不出 ，那么就称 不是 的充分条件，亦称 不是 的必要条件． （3）对于命题＂若 ，则 ＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． α： β：．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据集合的包含关系推理即可. 【详解】因为是的子集，所以. 故答案为：. 知识点2 充要条件 对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作＂ 与 等价＂或＂ 成立当且仅当 成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句 与 ，如果既没有 ，又没有 ，那么 既不是 的充分条件也不是 的必要条件，我们称 是 的既非充分又非必要条件． 判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 题型速练 题型一．充分条件的判断 子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】根据充分条件，必要条件的概念分析即可． 【解析】解：由题意“工欲善其事，必先利其器．”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良， 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具， 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿， 综上，“利其器”是“善其事”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查了充分条件，必要条件的概念，属于基础题． 【方法总结】 要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件． 设全集为，给出下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中是的充要条件的有　 　 ．（填序号） 【答案】③． 【分析】结合集合基本运算及充分必要条件的定义即可求解． 【解析】解：①， ②， ③， ④． 故答案为：③． 设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解． 【解析】解：设，． 因为是的充分条件，所以， 所以， 故的范围为． 故答案为：． 设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】根据充分条件与集合间的关系可解． 【解析】解：，，若是的充分条件， 则， 则实数的取值范围是，． 故答案为：，． 题型二．必要条件的判断 设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是_________. 【答案】． 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可． 【解析】解：若是的必要条件， 则， 可得，即的范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的应用，属于基础题． 【方法总结】 要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断． 设，证明：“”不是“”的必要条件． 【分析】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可． 【解析】解：假设是的必要条件， 那么集合是集合的子集， 列不等式组得，此不等式组无解，这与假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件． 设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2），． 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可． （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可． 【解析】解：（1）由可得，或，故集合，． 因为，所以，则，解得或， 当时，，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或． （2）因为“”是“”的必要条件，所以． 对于集合，△． 当△，即时，，此时； 当△，即时，，此时； 当△，即时，则，， 此时，该方程组无解． 综上，实数的取值范围是，． 题型三．充分不必要条件的判断 “”是“”成立的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】 【分析】根据集合的包含关系判断即可求解． 【解析】解：因为， 所以“”是“”成立的充分非必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合包含关系与充分必要条件的转化关系的应用，属于基础题． 【方法总结】 要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件． 已知，则“”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】 【分析】结合不等式的性质检验充分必要性即可求解． 【解析】解：或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于基础题． “且”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【解析】解：当，时，，故“且”推不出“”，充分性不成立， 当，时，，但，，故“”推不出“且”，必要性不成立， 综上，“且”是“”的既非充分又非必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 已知，，则“”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】 【分析】易知，根据定义即可判断得出结论． 【解析】解：若，则，可知充分性成立， 若，推不出，因此必要性不成立． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 题型四．必要不充分条件的判断 命题“”是命题“”的条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】 【分析】解不等式，根据充分非必要条件的定义即可求解． 【解析】解：不等式可化为， 解得或， 因为，，，， 所以“”是命题“”的充分非必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 【方法总结】 要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件． 命题“”是命题“”的条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】 【分析】解的根，再根据充分性和必要性的定义即可求解． 【解析】解：由，解得或， 充分性：或，不能唯一推出，故“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则或满足，故“”是“”的必要条件， 综上，命题“”是命题“”的必要非充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 已知，是正实数，那么“”是“”的 　 　条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分” ． 【答案】充要． 【分析】由已知结合不等式性质检验充分必要性即可判断． 【解析】解：因为，是正实数， 当时，成立，即充分性成立； ，即必要性成立． 所以“”是“”的充要条件． 故答案为：充要． 【点评】本题主要考查了充要条件的判断，属于基础题． 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合基本运算即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解． 【解析】解：（1）由题意可知， 当时，，或， ； （2）命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查了集合基本运算及集合包含关系的应用，属于基础题． 题型五．充要条件的判断 已知，，则“”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】 【分析】结合绝对值的意义检验充分必要性即可求解． 【解析】解：， 故“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 【方法总结】 要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性． 已知，为非零实数，则“”是“”的条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】 【分析】通过举反例可分别分析出充分性和必要性都不满足，从而得解． 【解析】解：当，，满足，但不满足，充分性不成立； 当，满足，但不满足，必要性不成立． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分条件，必要条件的判断，属于基础题． 若、为实数，则成立的一个充要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解析】解：， ， ， ， ． 所以成立的一个充要条件是，． 故选：． 【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题． 设，则“”是“”的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】 【分析】解，结合各自的范围即可求解结论． 【解析】解：， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的求解以及充分必要条件的判断，属于基础题． 题型六．既不充分也不必要条件的判断 设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】将分式不等式化简，然后由充分条件，必要条件的定义即可判断． 【解析】解：原不等式可化为，解得或， 所以“”是“或”的既不充分也不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 【方法总结】 要判断两个条件是否既不充分也不必要，可以分别验证P⇏Q和Q⇏P．找到P成立但Q不成立，以及Q成立但P不成立的反例． 通过举反例，可以证明两个条件之间的独立性．逻辑推理和具体实例是验证这种条件的有效方法． 设为全集，，是的子集，则“存在集合使得，”是“”的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果． 【解析】解： 若“存在集合使得，”，如图所示，推不出“”，故充分性不满足； 反之，若“”，如图所示，推不出“存在集合使得，”，故必要性不满足； 所以“存在集合使得，”是“”的既非充分又非必要条件． 故选：． 【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了集合基本运算，属于基础题． 设，则“”是“”的 　 　条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要” 【答案】必要不充分． 【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可． 【解析】解：，，， 故“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分． 【点评】本题考查了充分必要条件的定义，考查集合的包含关系，是基础题． “”是“”的 　 　条件．（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空） 【答案】必要不充分条件． 【分析】根据必要不充分条件的定义，结合不等式性质，可得答案． 【解析】解：由，当时，则；当时，则． 因为，所以，所以． 故“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分条件． 【点评】本题考查必要不充分条件的定义以及不等式性质，属于基础题． 题型七．充分条件的应用与判定定理 已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】由已知结合充分条件与集合包含关系即可求解． 【解析】解：因为，， 若是的充分条件，则，，， 所以，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了充分条件与集合包含关系的转化，属于基础题． 【方法总结】 应用充分条件时，可以先寻找问题中的充分条件，然后利用这些条件简化解题过程．充分条件的判定定理可以直接套用，省去复杂的推理过程．例如，在三角形全等问题中，直接应用SAS判定定理，可以迅速得到结论．对于复杂问题，可以将其分解为多个充分条件，逐一验证． 已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】根据充分条件的定义求解． 【解析】解：因为是的充分条件， 所以， 所以． 故答案为：，． 【点评】本题考查充分条件的应用，属于基础题． 设，，是的充分条件，则实数的取值范围是　 　． 【答案】，． 【分析】根据充分条件的定义，可得实数的取值范围． 【解析】解：，， 若是的充分条件，则． 实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是　 　． 【答案】，． 【分析】利用充分条件的应用建立不等式，进而可以求解． 【解析】解：因为命题，，且是的充分条件， 则，，，则，即实数的范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了充分，必要条件的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题． 题型八．必要条件的应用与性质定理 已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【分析】由题意得，再根据是的必要条件，即可得结果． 【解析】解：由集合点不在第一、三象限， 所以， 又因为是的必要条件， 所以， 又， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查集合的运算和充要条件，属于基础题． 【方法总结】 应用必要条件时，可以先寻找问题中的必要条件，然后利用这些条件判断问题的必然性．性质定理可以直接套用，简化解题过程． 已知，，且是的必要条件，则实数的取值范围是　 　． 【答案】，． 【分析】首先整理两个集合，解一元二次不等式，得到最简形式，根据是的必要条件，得到两个集合之间的关系，从而得到不等式两个端点之间的关系，得到结果． 【解析】解：， ， 是的必要条件． ， ，， ， 实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查的知识点：集合的运算，不等式的解法，集合间的关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是　 　． 【答案】，． 【分析】根据命题的必要性可判断集合间关系，分别讨论集合和，列出不等式，解不等式即可． 【解析】解：由是的必要条件， 得， 由题意，， 由，得，解得， 综上所述，． 故答案为：，． 已知集合，，． （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 【分析】（1）将，9，10分别代入关系式，若满足关系式，则属于，若不满足关系式，则不属于，即可得答案， （2）根据已知中集合的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数可得答案． （3）成立，当，同奇或同偶时，，均为偶数；当，一奇，一偶时，，均为奇数．由此能求出所有满足集合的偶数． 【解析】解：（1），，，， 假设，，，则，且， ， 或， 显然均无整数解， ， ，，， （2）集合，，则恒有， ， 即一切奇数都属于， 又， ”的充分非必要条件是“”， （3）集合，、，成立， ①当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， ②当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数， 综上所有满足集合的偶数为，． 【点评】本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题． 题型九．充分不必要条件的应用 下列选项中“”的充分非必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合充分必要条件的定义检验各选项即可判断． 【解析】解：，时，满足，但不成立，错误； 当，时，满足，但不成立，错误； ，错误； 由，可得到．即充分性成立， 当，时，显然没有意义，即必要性不成立，正确． 故选：． 【方法总结】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围． 【解析】解：因为，，且是的充分不必要条件， 所以，所以实数的取值范围是：． 故选：． 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】将原不等式转化为，利用二次函数的性质求得不等式右边的最小值，可得，然后根据充分不必要条件的性质进行求解，可得正确答案． 【解析】解：若存在，使得，则至少有一个正数，使不等式成立， 设， 结合二次函数的性质，可知时，即时，取得最小值，所以， 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件， 其对应的集合是集合的真子集，对照各选项，可知选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质、不等式恒成立问题、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围是　 　． 【答案】． 【分析】根据题意可得是的真子集，即可求解． 【解析】解：由题意，是的充分不必要条件， 可得是的真子集，所以，即． 故答案为：． 【点评】本题考查充分不必要条件的运用，考查集合包含关系的运用，正确转化是关键，属于基础题． 题型十．必要不充分条件的应用 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（　　） A．， B． C．， D． 【答案】 【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解． 【解析】解：根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以． 故选：． 已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 　　 　． 【答案】． 【分析】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解． 【解析】解：设集合或，或， 因为是的必要非充分条件，所以， 当时，即时，要使， 则还需满足，解得，此时的取值为； 当，得时，，则恒成立． 所以． 故答案为：． 已知集合，非空集合，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是　 　． 【答案】，． 【分析】由题意得到是的非空真子集，再根据包含关系列出不等式组即可求解． 【解析】解：因为集合，非空集合， 是的必要非充分条件，所以，， 则，解得， 所以的范围是，． 故答案为：，． 已知集合和集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）根据这一条件，分和两种情况讨论，从而确定实数的取值范围； （2）结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解． 【解析】解：（1）当时，，解得，此时满足； 当时，，即， 因为，所以或，得， 故实数的取值范围是，； （2）因为是的充分不必要条件，所以． 则，解得， 所以实数的取值范围是，． 题型十一．充要条件的应用 若“”是“”的充要条件，则的值为 ． 【答案】． 【分析】结合充分必要条件的定义即可求解． 【解析】解：若“”是“”的充要条件， 则，即． 故答案为：． 已知命题，，若是的充要条件，则 ． 【答案】． 【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可． 【解析】解：由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：． 已知，． （1）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在的值，使得是的充要条件，理由见解答；（2）． 【分析】（1）依题意，和1为的两根，根据方程组无解，即可得出结论； （2）设，命题中不等式的解集为，则集合真包含于集合，由此可得建立关于的不等式组，解出后再验证即可． 【解析】解：（1），解得， 若是的充要条件，则和1为的两根， 所以，此时无解， 所以不存在的值，使得是的充要条件； （2）设，命题中不等式的解集为， 若是的充分不必要条件，则集合真包含于集合， 则，解得， 当时，即为，解得，即，，满足集合真包含于集合； 当时，即为，解得，即，满足集合真包含于集合； 综上，实数的取值范围为． 已知，：关于的不等式． （1）若是的充要条件，求的值； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）首先求出，然后由是的充要条件，则，即关于的不等式的解集为，利用根与系数的关系即可求出的值； （2）若是的充分不必要条件，转化为对任意的，不等式恒成立，再利用一元二次方程根的分布进行求解即可． 【解析】解：（1）由题意可知，解得：， 故． 因为是的充要条件，所以， 所以的解集为， 则，解得． （2）由（1）知，， 又是的充分不必要条件，所以对任意的，不等式恒成立． 当时，设， 则，解得， 由（1）可知当时，是的充要条件，所以不符合题意，则； 当时，，满足是的充分不必要条件，则符合题意； 当时，设， 则或， 解得：， 综上，的取值范围是． 题型十二．既不充分也不必要条件的应用 设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】结合充分必要条件的定义即可求解． 【解析】解：记，， 记” ，， 因为，，，所以成立，而不成立， “”是“”的必要不充分条件． 故选：． 已知，．若是的既不充分也不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A．，， B．，， C．， D． 【答案】 【分析】根据充分必要条件与集合间的关系可解． 【解析】解：由可得， 由可得， 当是的充分条件时， 则，无解， 当是的必要条件时，，解得， 是的既不充分也不必要条件， 则实数的取值范围是，，． 故选：． 已知，． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若是的既不充分也不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2），，． 【分析】先解两个不等式，得到、对应的的取值范围，再根据充要条件的定义加以解答，即可得到本题的答案． 【解析】解：由，可得，则， 又由，整理，解得，则． （1）若是的充分不必要条件，可得，，， 所以，等号不同时取得，解之得，即实数的取值范围是，； （2）若是的既不充分也不必要条件，则，与，之间没有包含关系， 可得或，所以或，实数的取值范围是，，． 【点评】本题主要考查不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题． 若实数，，满足，则称比接近， （1）比0接近1，求的取值范围； （2）判断：“比接近0”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明． 【答案】（1）； （2）必要不充分条件． 【分析】（1）根据题中所给定义得出关于的不等式，解之即可得到的取值范围； （2）求出条件“比接近”和“”的等价条件，结合充分性与必要性、特殊值法证明，可得结论． 【解析】解：（1）根据比0接近1，可知，即， 即，解得或，所以的取值范围是； （2）若比接近0，则，由得，即，可得， 若，则，即，此时；若，则，则，则，此时，． 所以由“比接近0“可以推出“”， 另一方面，若，取，，则，所以由“比接近0”不能推出“”． 综上所述，“比接近0”是“”的必要不充分条件． 基础过关 设：，：，则是的______条件． 【答案】充分非必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：：，：，所以 ，则是的充分非必要条件，故答案为充分非必要． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础． 设：，都是偶数，：是偶数，则是的______条件． 【答案】充分非必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由是偶数得，都是偶数或，都是奇数，则是的充分非必要条件，故答案为充分非必要． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础． 设：，：，则是的______条件． 【答案】必要非充分 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：因为 ，则是的必要非充分条件，故答案为必要非充分． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础． 设：，：，且是的充分非必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：设，因为是的充分非必要条件，所以AB，故，故答案为． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础． ：，：，若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为是的必要非充分条件， 所以. 故答案为： ．设：，：，则是的． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：设，所以，所以是必要非充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础． “，”的一个必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件结合必要条件的定义探求出由“，”推出的结论即可. 【详解】对于A，因，，则，即是“，”的必要条件，A正确； 对于B，当，时，不可能成立，B不正确； 对于C，当，时，不一定成立，如满足条件，而，C不正确； 对于D，当，时，必有成立，即不能推出，D不正确. 故选：A 若，设：，：，则是的． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：设，所以，所以是充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础． 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【答案】见解析． 【详解】试题分析：充分性：若，则，且，方程方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，则，，即可得结论. 试题解析： (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0. (2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 试用子集与推出关系来说明命题是的什么条件． （1）：，，：且； （2）：平行四边形，：四边形的一组对边平行． 【答案】（1）充要条件 （2）充分非必要条件 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． （2）一组对边平行的四边形，可能是梯形或者平行四边形． 【详解】解：（1）因为 ，则是的充要条件． （2）一组对边平行的四边形，可能是梯形或者平行四边形，所以 ，则是的充分非必要条件． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础． 设：，：，且是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义以及集合的包含关系即可求出的范围. 【详解】∵：，：，且是的充分条件， ∴， ∴ ，解得 故的范围为. 能力提升 已知命题，集合或，命题，集合且． （1）若时，求集合，集合及； （2）若且，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3） 【分析】（1）化简集合,再结合集合的运算规律,即可． (2)先化简集合，再通过集合交运算的性质，即可得到答案． （3）是的补集，再通过是的真子集，即可得出答案． 【详解】解：（1）因为，所以且，又因为，所以． （2）由题意得：，又因为，所以，得． （3）因为是的充分不必要条件，即是的真子集，所以 解得： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 充分条件和必要条件 预习目标 知识回顾 1.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出正确的判断;能够通过反例说明既非充分又非必要条件(重点) 2.能借助推出关系判断充分条件、必要条件(重、难点) 3.在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养，(难点) 1.知道命题的概念，会在简单情境下判断命题的 真假。 (重点) 2.通过将真命题“若,则”与推出关系互相转化，体会数学符号语言的简洁性、准确性，理解推出关系的传递性。(重点) 3.能用正确的方法说明命题为真或为假的理由，提升逻辑推理的素养（重点） 新知导图 预习精讲 知识点1 充分条件与必要条件 （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 ． （2）根据定义，如果 推不出 ，那么就称 不是 的充分条件，亦称 不是 的必要条件． （3）对于命题＂若 ，则 ＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． α： β：．（填“”或“”） 知识点2 充要条件 对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作＂ 与 等价＂或＂ 成立当且仅当 成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句 与 ，如果既没有 ，又没有 ，那么 既不是 的充分条件也不是 的必要条件，我们称 是 的既非充分又非必要条件． 判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 题型速练 题型一．充分条件的判断 子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法总结】 要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件． 设全集为，给出下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中是的充要条件的有　 　 ．（填序号） 设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是　 　 ． 设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 　 　． 题型二．必要条件的判断 设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是_________. 【方法总结】 要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断． 设，证明：“”不是“”的必要条件． 设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 题型三．充分不必要条件的判断 “”是“”成立的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【方法总结】 要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件． 已知，则“”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 “且”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 已知，，则“”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型四．必要不充分条件的判断 命题“”是命题“”的条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【方法总结】 要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件． 命题“”是命题“”的条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 已知，是正实数，那么“”是“”的 　 　条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分” ． 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 题型五．充要条件的判断 已知，，则“”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【方法总结】 要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性． 已知，为非零实数，则“”是“”的条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 若、为实数，则成立的一个充要条件是（　　） A． B． C． D． 设，则“”是“”的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 题型六．既不充分也不必要条件的判断 设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法总结】 要判断两个条件是否既不充分也不必要，可以分别验证P⇏Q和Q⇏P．找到P成立但Q不成立，以及Q成立但P不成立的反例． 通过举反例，可以证明两个条件之间的独立性．逻辑推理和具体实例是验证这种条件的有效方法． 设为全集，，是的子集，则“存在集合使得，”是“”的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 设，则“”是“”的 　 　条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要” “”是“”的 　 　条件．（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空） 题型七．充分条件的应用与判定定理 已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 　 　． 【方法总结】 应用充分条件时，可以先寻找问题中的充分条件，然后利用这些条件简化解题过程．充分条件的判定定理可以直接套用，省去复杂的推理过程．例如，在三角形全等问题中，直接应用SAS判定定理，可以迅速得到结论．对于复杂问题，可以将其分解为多个充分条件，逐一验证． 已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 　 　． 设，，是的充分条件，则实数的取值范围是　 　． 若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是　 　． 题型八．必要条件的应用与性质定理 已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【方法总结】 应用必要条件时，可以先寻找问题中的必要条件，然后利用这些条件判断问题的必然性．性质定理可以直接套用，简化解题过程． 已知，，且是的必要条件，则实数的取值范围是　 　． 已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是　 　． 已知集合，，． （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 题型九．充分不必要条件的应用 下列选项中“”的充分非必要条件是（　　） A． B． C． D． 【方法总结】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围是　 　． 题型十．必要不充分条件的应用 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（　　） A．， B． C．， D． 已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 　　 　． 已知集合，非空集合，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是　 　． 已知集合和集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 题型十一．充要条件的应用 若“”是“”的充要条件，则的值为 ． 已知命题，，若是的充要条件，则 ． 已知，． （1）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 已知，：关于的不等式． （1）若是的充要条件，求的值； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 题型十二．既不充分也不必要条件的应用 设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 已知，．若是的既不充分也不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A．，， B．，， C．， D． 已知，． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若是的既不充分也不必要条件，求实数的取值范围． 若实数，，满足，则称比接近， （1）比0接近1，求的取值范围； （2）判断：“比接近0”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明． 基础过关 设：，：，则是的______条件． 设：，都是偶数，：是偶数，则是的______条件． 设：，：，则是的______条件． 设：，：，且是的充分非必要条件，则实数的取值范围是______． ：，：，若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是______． ．设：，：，则是的． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也不必要条件 “，”的一个必要条件为（    ） A． B． C． D． 若，设：，：，则是的． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也不必要条件 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 试用子集与推出关系来说明命题是的什么条件． （1）：，，：且； （2）：平行四边形，：四边形的一组对边平行． 设：，：，且是的充分条件，求实数的取值范围． 能力提升 已知命题，集合或，命题，集合且． （1）若时，求集合，集合及； （2）若且，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $