第10讲 分式不等式与基本不等式（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

第10讲 分式不等式与基本不等式 预习目标 知识回顾 1. 掌握分式不等式的定义与同解变形规则，能将简单分式不等式转化为整式不等式（组）求解。 2. 理解绝对值的代数与几何意义，会求解基础类型的绝对值不等式，了解绝对值三角不等式的基本形式。 3. 理解算术平均值、几何平均值的概念，掌握基本不等式（均值不等式）的定理内容与常用变形，明确等号成立条件。 4. 知晓基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”原则，能尝试解决简单的代数式最值与实际应用问题。 1.理解一元一次不等式、不等式组定义，会规范求解并在数轴表示解集。 2.掌握含参一次不等式（组）解法，能根据解集求参数范围。 3.理解一元二次不等式定义，会按Δ三种情况求解一元二次不等式。 新知导图 预习精讲 分式不等式与基本不等式 形如 或 （其中 、 为整式且 不为 0) 的不等式称为分式不等式． 解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为 、 是关于 的表达式且 0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式(组) 与 同解; 与同解 与 同解; 与同解 与 同解 与 同解 利用分式不等式求解实际问题 将实际问题转化为数学模型,在转化的过程中注意实际问题的限制条件. 绝对值不等式 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 例如， 都是绝对值不等式． 代数意义：|x|= 几何意义：|x|表示数轴上表示数 的点到原点的距离． 含绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式 与 的解集 一般地，当 时，有 ，因此，不等式 的解集是 ； 或 ，因此，不等式 的解集是 ． 2． 和 型不等式的解法 （1）若 ，则 等价于 等价于 或 ，然后根据 、 的值求解即可． （2）若 ，则 的解集为 的解集为 ． 类型 数轴表示 解集 或 或 3． 和 型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想 平均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值，并称 是 、的几何平均值． 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立 1.平均值不等式的常见变形： . 2.平均值不等式的常用结论： （1） 同号），当且仅当 时取等号； 异号)，当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号； （2） ，当且仅当 时取等号； ，当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号． 利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值 1.最值定理 已知 ，则 （1）若 （常数），则当且仅当 时， 有最小值 ．简记：积定和最小． （2）若 （常数），则当且仅当 时，a b有最大值 ．简记:和定积最大. 利用平均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件-一正、二定、三相等 (1)“一正”就是各项必须为正数。(2)“二定”就是要求和的最小值;必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值，(3)“三相等”是利用平均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出错的地方 2.重要不等式链 （1）若 ，则 ． （2）若 ，则 ，其中 叫做a、b的调和平均值， 叫做 a 、 b的平方平均值．此不等式链常以 的形式出现． 平均值不等式的其他应用形式 （1） ，当且仅当 时取等号． （2） ，当且仅当 时取等号． （3） ，当且仅当 时取等号． （4） ，当且仅当 时取等号． 三角不等式 知识回顾 当 、 两数至少有一个为 0 时，可得 ．当 、 两数所表示的点在原点的同侧时，可得 ． 当 、 两数所表示的点在原点的两侧时，可得 ． 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立. 推论 2：如果 、、 是实数，那么 ，当且仅当 时，等号成立． 题型速练 题型一、分式不等式 不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式不等式的解法求解. 【详解】，即为，即， 解得， 故解集为. 故选：C. [方法总结] 移项通分化为（或）形式，等价转化为整式不等式（组）求解.易错点：含等号时分母不为0易遗漏. 不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由可得， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再由一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为等价于，由得， 即的解集为， 所以不等式的解集为. 关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将分式不等式转化为二次不等式，再结合分母不为零，即可得出正确解集. 【详解】, 所以且，解得或， 所以的不等式的解集为 故答案为： 题型二、分类讨论解绝对值不等式 设，方程的解集是__________. 【答案】 【分析】分别讨论、、和四种情况，去掉绝对值，可得x的范围，综合即可得答案. 【详解】当时，方程化为， 此方程恒成立，所以解为； 当时，方程化为， 解得，满足，所以解为； 当时，方程化为， 解得，满足，所以解为； 当时，方程化为， 此方程恒成立，所以解为， 综上，方程的解集为. [方法总结] 按绝对值内表达式零点分段去绝对值，转化为整式不等式求解，最后取并集.易错点：分段边界取值易重复或遗漏. 关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】去绝对值分类讨论即可解出不等式. 【详解】当时，原不等式化简为，解得，又因为，则无实数解； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以. 综上原不等式解集为. 故答案为：. 不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】讨论的符号去绝对值，进而运算求解即可. 【详解】因为， 等价于或，解得或无解， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 不等式的解集为________ 【答案】 【分析】根据绝对值内式子的正负性，分情况去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式求解即可. 【详解】令，解得， 则当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得. 故不等式的解集为. 故答案为： 使不等式中等号成立的x的取值范围是________. 【答案】 【分析】绝对值不等式可以通过讨论绝对值内代数式值的正负来去掉绝对值符号，从而化简为一次不等式，求出对应解集即可. 【详解】当时，原不等式化简为,不合题意； 当时，原不等式化简为，符合题意； 当时，原不等式化简为，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 题型三、基本不等式的内容及辨析 已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D [方法总结] 牢记及等号条件，注意“一正”前提.易错点：忽略正数条件直接套用公式致错. 若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 不等式中等号成立的条件是________． 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故答案为： 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 题型四、由基本不等式比较大小 下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A [方法总结] 借助均值不等式链及作差法判断，可通过特殊值验证排除错项.易错点：未验证等号条件直接下结论. 已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 若，，则、、、中最大的一个是________． 【答案】 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 题型五、由基本不等式证明不等关系 已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用基本不等式求证即可； （2）对原不等式平方，变形结合（1）中结论即可求证． 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． [方法总结] 通过拆项、配凑构造均值不等式结构，多式相加推导结论.易错点：多次取等时条件不一致导致错误. 已知a、b是正数，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】根据题意利用基本不等式分析证明. 【详解】因为a、b是正数， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以. 已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【答案】证明见解析 【分析】利用基本不等式证明. 【详解】因为, 所以,即≥,当且仅当时取得等号, 则有， 同理得≥，≥， 相加可得++≥++，当且仅当时等号成立. 已知，，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将展开，利用完全平方公式及基本不等式进行计算证明． 【详解】证明：，故 ， 即不等式成立. 选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 题型六、基本不等式求积的最大值 若正数、满足，则的最大值为_____________. 【答案】/0.25 【详解】由题意，， 则，即，当且仅当时等号成立， 则的最大值为. [方法总结] 依据“和定积最大”，凑和为定值后用均值不等式求最值.易错点：忽略等号成立的可行性. 已知正实数、满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】正实数、满足，则，即， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 已知，则的最大值是___________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是1. 故答案为：1 已知，，且，则xy的最大值为______. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，，且，得， 当且仅当取等号，所以xy的最大值为1. 故答案为：1 设、．已知，则的最大值为_____． 【答案】4 【分析】由题设条件结合重要不等式即可求解. 【详解】因为、，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为4. 故答案为：4 题型七、基本不等式求和的最小值 若实数、满足，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】利用重要不等式计算可得. 【详解】因为实数、满足， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是 故答案为： [方法总结] 依据“积定和最小”，凑积为定值后用均值不等式求最值.易错点：未验证“三相等”致最值取不到. 已知，则______时，的值最小． 【答案】0 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 即当时，的值最小为1. 故答案为： 若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用的代换化简，再利用基本不等式求解即可. 【详解】； 当且仅当，即时等号成立，的最小值为. 故答案为： 若，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】根据基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 已知，且，则的最小值是______． 【答案】 【分析】由已知可得，再对变形展开，利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 【答案】 【分析】由题意建立方程，利用基本不等式，可得答案. 【详解】由一年共购买吨，每次购买吨，则一年共购买次， 由运费为万元/次，则一年运费共万元， 所以一年的总费用， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 题型八、二次与二次（或一次）的商式的最值 （1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）二次除一次后，可直接用基本不等式求最值； （2）配凑法形成积定后即可用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为且, 所以， 当且仅当，即时，y取到最小值. （2），，， ， 当且仅当时，即时取得等号， ，即最大值为. [方法总结] 通过分离常数、配凑法拆为“对勾型”结构，再用均值不等式求解.易错点：变量正负未确认直接套用. 设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 若，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 已知，则的最小值是____． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 已知，求的最小值 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 题型九、基本不等式“1”的妙用求最值 已知，且，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】因，，两边同时乘以，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： [方法总结] 将已知和为定值的式子乘“1”，展开后构造积定结构求最值.易错点：乘1后展开运算出错致结构变形失败. 已知，且满足，则的最小值为_______． 【答案】8 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】由可得， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：8. 正实数，满足时，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】利用基本不等式“”的代换直接求解即可. 【详解】由题知，， 所以， 则 ， 当且仅当，且满足时，即时，等号成立， 则的最小值为. 故答案为： 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 若正数满足，则的最小值为__________. 【答案】25 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为正数满足， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为25， 故答案为：25 已知，，且，求的最小值． 【答案】16 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可. 【详解】∵，，， ∴， 当且仅当，又，即，时，上式取等号． 故当，时，． 题型十、条件等式求最值 已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知等式，应用基本不等式求乘积的最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，则，当且仅当，即时取等号. 故选：D [方法总结] 通过代入消元、整体配凑，转化为可直接用均值不等式的形式.易错点：消元后变量范围被忽略. 已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 已知两实数、满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据重要不等式计算即可. 【详解】因为两实数、满足，则， 当且仅当或时取等号. 故的最小值为. 若正数满足，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据均值不等式求解. 【详解】因为是正数，所以， 又，所以，即， 所以，当且仅当，即时，取得最小值； 故答案为： 已知实数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】将目标式配凑为，再根据基本不等式由，求得的最大值，再求目标式的最小值即可. 【详解】由可得，当且仅当时取得等号； ，当且仅当时取得等号； 故的最小值为. 故答案为：. 题型十一、基本不等式的恒成立问题 若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【分析】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题. 【详解】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为： [方法总结] 分离参数转化为（或），用均值不等式求函数最值.易错点：参数符号与不等号方向转换出错. 若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解． 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，即可求解. 【详解】因为，x＞0，y＞0， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立， 所以，即k的取值范围为. 故答案为：. 已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________． 【答案】 【分析】根据基本不等式求得的最小值，由此可得关于a的不等式，即可求得答案. 【详解】因为，故，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即有，所以，即a的最小值为， 故答案为： 设，且恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【分析】恒成立问题转化为求最值问题，通过等价变形与配凑，可以使用基本不等式求最值即可求解 【详解】由知，，，． 要使不等式恒成立， 只需的最小值不小于即可． ∵ ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴，即． 题型十二、对勾函数求最值 下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可判断. 【详解】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误. 故选：C. [方法总结] 形如的函数，正数区间用均值不等式，非正区间结合单调性求解.易错点：定义域不满足正数条件仍强行用均值不等式. 已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 求函数的最小值． 【答案】 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可． 【详解】， 当且仅当，即时，． 已知，若，的最小值为__________. 【答案】6 【分析】对函数进行变形，使其满足基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：6. 题型十三、基本不等式的实际应用 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. [方法总结] 设变量建立目标函数，构造均值不等式适用条件求最值，回归实际意义验证.易错点：忽略实际问题中变量的取值限制. 某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【答案】(1) (2)216000元. 【分析】（1）利用矩形面积公式即可求出总造价函数解析式； （2）利用基本不等式求解最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深3m．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，求建造该蓄水池的最低总造价． 【答案】21420元 【分析】设该蓄水池池底的一边长为，总造价为元，则，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为，当且仅当即时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是21420元． 题型十四、绝对值三角不等式 若，则不等式的等号成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过平方，结合绝对值的性质和充要条件的概念即可求解. 【详解】由 即， ， ， 故不等式的等号成立的充要条件为. [方法总结] 利用、求最值或证明，注意等号成立条件.易错点：等号成立的充要条件判断失误. 若的最小值是___________． 【答案】4 【分析】利用绝对值三角不等式可直接求得结果． 【详解】，当且仅当成立， 即，故的最小值为4． 故答案为：4. 函数的最小值是______. 【答案】 【分析】根据三角不等式求函数的最小值. 【详解】因为（当即时取等号）. 故答案为：2 若不等式对于任意的实数恒成立，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，当且仅当，即时取等号， 又不等式对于任意的实数恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 设，方程的解集为________ 【答案】 【分析】由绝对值三角不等式取等的条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为， 当且仅当，解得或， 故方程的解集为. 故答案为：. 题型十五、绝对值的三角不等式应用 已知恒成立，实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由含绝对值三角不等式，再根据题意转化为求解不等式，即可求解. 【详解】由不等式， 如不等式恒成立，则， 或，解得：或. 故答案为： [方法总结] 恒成立问题转化为求绝对值表达式的最值，利用三角不等式放缩求解.易错点：放缩方向与最值要求不匹配. 对所有实数恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用三角不等式求得的最小值，根据不等式恒成立的意义即可求得答案. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立，即， 故不等式对所有实数恒成，则， 故答案为： 若x1，x2都满足方程 且 ，则 的取值范围是 _____． 【答案】（0，2]． 【分析】根据绝对值三角不等关系等号成立的条件即可的范围，进而可求解． 【详解】∵方程，即, 由于，故等号成立的条件为 故， 从而可得， 故的取值范围为（0，2]． 故答案为：（0，2]． 设a、b、，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用绝对值三角不等式结合已知条件可证得结论 【详解】因为，， 所以 基础过关 设a，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质判断ABC，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 已知且，则下列不等式中一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例可得ABC错误；由不等式的性质可得D正确； 【详解】令，则，故A错误； 令，则，故B错误； 令，则，故C错误； 因为，，所以，故D正确； 故选：D. 设，则方程的解集为________. 【答案】 【分析】分四种情况讨论，去绝对值符号解方程即可. 【详解】当时，， 所以原方程可化为： ， 即恒成立， 所以是方程的解； 当时，， 所以原方程可化为： ， 即，满足， 所以方程的解为：； 当时，， 所以原方程可化为： ， 即，不满足， 所以方程此时无解； 当时，， 所以原方程可化为： ， 即恒成立， 所以方程的解为； 综上所述方程的解集为：， 故答案为：. 已知，则的最大值为___________． 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，，得， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 已知均为正数，，则的最小值是_____． 【答案】4 【分析】通过对已知条件变形得到，再利用“1的代换”结合基本不等式求出的最小值. 【详解】由，展开得，即， 两边同时除以（为正数，），得. 则，当且仅当时取等号. 即当时，的最小值是. 故答案为： 对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】转化为，再利用基本不等式求的最小值可得答案. 【详解】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 解关于的不等式. 【答案】 【分析】分类讨论开绝对值即可求解. 【详解】当时，， 此时不等式无解； 当时，， 此时； 当时，， 此时. 综上：原不等式的解集为. 已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】先根据基本不等式求得，进而分和两种情况求解不等式即可. 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 当时，，符合题意； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围为或． 能力提升 [穿针引线法]关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合有且仅有8个子集，可知集合中有且仅有个元素，即不等式有且仅有3个整数解，由此分类讨论可得的取值范围. 【详解】由题可知集合中有且仅有个元素. 所以A不能为空集，则，且有且仅有3个整数解. 当时，； 当时，； 当时，集合中至少有五个元素，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用绝对值不等式得到，即，再结合题意建立不等式求解即可. 【详解】由; 结合绝对值三角不等式得到； 因为对任意的，不等式恒成立； 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为“恒成立”，然后根据的正负分类讨论，结合基本不等式求得最值，进而求得的取值范围. 【详解】因为恒成立，所以恒成立， 当时，只需， 因为， 当且仅当，即时取得最小值为， 所以，所以； 当时，只需， 因为 ， 当且仅当，即时取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，， 故选：A. 设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，即可求解； （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合，列出关系式，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，可得，所以. （2）解：由（1）知：集合，且， 当时，不等式的解集为空集，满足，符合题意； 当时，不等式，可得，即， 因为，则满足，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出集合，再根据集合的运算求解即可； （2）由，则，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：， 时，解得， 由，得 ， 即，解得， 所以， （2），， ，， ，解得， 所以实数的取值范围为． 已知，关于的不等式． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）分段讨论求解不等式； （2）分段讨论求出函数的值域，由求解的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，无解； 当 时，不等式可化为，解得； 综上，不等式的解集为，或. （2）令， 则当时，；当时，；当时，， 所以. 因为不等式的解集为，则，解得， 所以的取值范围为. 挑战一刻 若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】/0.25 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】分析分式不等式中分子与分母的符号，可得在上恒成立，且的根仅可在区间上取得，再分与讨论即可得. 【详解】当时，， 则需对任意恒成立； 当时，， 则需对任意恒成立； 当时，， 此时，故不在不等式解集中，符合要求； 综上，可得在上恒成立， 且的根仅可在区间上取得； 当时，有，符合题意； 当时，若，即， 令，则，符合要求； 若，则有，解得； 综上可得：实数的取值范围是. 故答案为：. 如图，有一块边长为1（单位：百米）的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为（其中点分别在边上），设，． (1)用表示出的长度，并探求的周长是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为多少? 【答案】(1)，为定值2 (2)平方百米 【分析】（1）根据，，求出，进而得到，根据勾股定理即可求出，计算即可求出定值； （2）根据，结合基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由，得，可得， ， ，， ， 的周长为定值． （2） ， 当且仅当，即时等号成立． 所以探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为平方百米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 分式不等式与基本不等式 预习目标 知识回顾 1. 掌握分式不等式的定义与同解变形规则，能将简单分式不等式转化为整式不等式（组）求解。 2. 理解绝对值的代数与几何意义，会求解基础类型的绝对值不等式，了解绝对值三角不等式的基本形式。 3. 理解算术平均值、几何平均值的概念，掌握基本不等式（均值不等式）的定理内容与常用变形，明确等号成立条件。 4. 知晓基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”原则，能尝试解决简单的代数式最值与实际应用问题。 1.理解一元一次不等式、不等式组定义，会规范求解并在数轴表示解集。 2.掌握含参一次不等式（组）解法，能根据解集求参数范围。 3.理解一元二次不等式定义，会按Δ三种情况求解一元二次不等式。 新知导图 预习精讲 分式不等式与基本不等式 形如 或 （其中 、 为整式且 不为 0) 的不等式称为分式不等式． 解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为 、 是关于 的表达式且 0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式(组) 与 同解; 与同解 与 同解; 与同解 与 同解 与 同解 利用分式不等式求解实际问题 将实际问题转化为数学模型,在转化的过程中注意实际问题的限制条件. 绝对值不等式 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 例如， 都是绝对值不等式． 代数意义：|x|= 几何意义：|x|表示数轴上表示数 的点到原点的距离． 含绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式 与 的解集 一般地，当 时，有 ，因此，不等式 的解集是 ； 或 ，因此，不等式 的解集是 ． 2． 和 型不等式的解法 （1）若 ，则 等价于 等价于 或 ，然后根据 、 的值求解即可． （2）若 ，则 的解集为 的解集为 ． 类型 数轴表示 解集 或 或 3． 和 型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想 平均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值，并称 是 、的几何平均值． 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立 1.平均值不等式的常见变形： . 2.平均值不等式的常用结论： （1） 同号），当且仅当 时取等号； 异号)，当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号； （2） ，当且仅当 时取等号； ，当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号． 利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值 1.最值定理 已知 ，则 （1）若 （常数），则当且仅当 时， 有最小值 ．简记：积定和最小． （2）若 （常数），则当且仅当 时，a b有最大值 ．简记:和定积最大. 利用平均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件-一正、二定、三相等 (1)“一正”就是各项必须为正数。(2)“二定”就是要求和的最小值;必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值，(3)“三相等”是利用平均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出错的地方 2.重要不等式链 （1）若 ，则 ． （2）若 ，则 ，其中 叫做a、b的调和平均值， 叫做 a 、 b的平方平均值．此不等式链常以 的形式出现． 平均值不等式的其他应用形式 （1） ，当且仅当 时取等号． （2） ，当且仅当 时取等号． （3） ，当且仅当 时取等号． （4） ，当且仅当 时取等号． 三角不等式 知识回顾 当 、 两数至少有一个为 0 时，可得 ．当 、 两数所表示的点在原点的同侧时，可得 ． 当 、 两数所表示的点在原点的两侧时，可得 ． 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立. 推论 2：如果 、、 是实数，那么 ，当且仅当 时，等号成立． 题型速练 题型一、分式不等式 不等式的解集是（    ） A． B． C． D． [方法总结] 移项通分化为（或）形式，等价转化为整式不等式（组）求解.易错点：含等号时分母不为0易遗漏. 不等式的解集为______． 关于的不等式的解集为______. 关于的不等式的解集为______. 题型二、分类讨论解绝对值不等式 设，方程的解集是__________. [方法总结] 按绝对值内表达式零点分段去绝对值，转化为整式不等式求解，最后取并集.易错点：分段边界取值易重复或遗漏. 关于的不等式的解集为__________. 不等式的解集为_____. 不等式的解集为________ 使不等式中等号成立的x的取值范围是________. 题型三、基本不等式的内容及辨析 已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． [方法总结] 牢记及等号条件，注意“一正”前提.易错点：忽略正数条件直接套用公式致错. 若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 不等式中等号成立的条件是________． 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 题型四、由基本不等式比较大小 下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． [方法总结] 借助均值不等式链及作差法判断，可通过特殊值验证排除错项.易错点：未验证等号条件直接下结论. 已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 若，，则、、、中最大的一个是________． 题型五、由基本不等式证明不等关系 已知，且，求证： (1)； (2)． [方法总结] 通过拆项、配凑构造均值不等式结构，多式相加推导结论.易错点：多次取等时条件不一致导致错误. 已知a、b是正数，求证：． 已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 已知，，且，求证：． 选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 题型六、基本不等式求积的最大值 若正数、满足，则的最大值为_____________. [方法总结] 依据“和定积最大”，凑和为定值后用均值不等式求最值.易错点：忽略等号成立的可行性. 已知正实数、满足，则的最大值为______. 已知，则的最大值是___________． 已知，，且，则xy的最大值为______. 设、．已知，则的最大值为_____． 题型七、基本不等式求和的最小值 若实数、满足，则的最小值是__________. [方法总结] 依据“积定和最小”，凑积为定值后用均值不等式求最值.易错点：未验证“三相等”致最值取不到. 已知，则______时，的值最小． 若均为正数，且，则的最小值为___________． 若，则的最小值是__________. 已知，且，则的最小值是______． 某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 题型八、二次与二次（或一次）的商式的最值 （1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. [方法总结] 通过分离常数、配凑法拆为“对勾型”结构，再用均值不等式求解.易错点：变量正负未确认直接套用. 设，则的最小值为_____________． 若，则的最小值为______. 已知，则的最小值是____． 已知，求的最小值 题型九、基本不等式“1”的妙用求最值 已知，且，则的最小值为___________． [方法总结] 将已知和为定值的式子乘“1”，展开后构造积定结构求最值.易错点：乘1后展开运算出错致结构变形失败. 已知，且满足，则的最小值为_______． 正实数，满足时，则的最小值为_____. 设，则的最小值为_________． 若正数满足，则的最小值为__________. 已知，，且，求的最小值． 题型十、条件等式求最值 已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． [方法总结] 通过代入消元、整体配凑，转化为可直接用均值不等式的形式.易错点：消元后变量范围被忽略. 已知，则的最大值为__________． 已知两实数、满足，则的最小值为______． 若正数满足，则的最小值为_______． 已知实数满足，则的最小值为__________． 题型十一、基本不等式的恒成立问题 若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为______. [方法总结] 分离参数转化为（或），用均值不等式求函数最值.易错点：参数符号与不等号方向转换出错. 若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为________． 当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是______． 已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________． 设，且恒成立，求的取值范围． 题型十二、对勾函数求最值 下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 [方法总结] 形如的函数，正数区间用均值不等式，非正区间结合单调性求解.易错点：定义域不满足正数条件仍强行用均值不等式. 已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 求函数的最小值． 已知，若，的最小值为__________. 题型十三、基本不等式的实际应用 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． [方法总结] 设变量建立目标函数，构造均值不等式适用条件求最值，回归实际意义验证.易错点：忽略实际问题中变量的取值限制. 某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深3m．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，求建造该蓄水池的最低总造价． 题型十四、绝对值三角不等式 若，则不等式的等号成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． [方法总结] 利用、求最值或证明，注意等号成立条件.易错点：等号成立的充要条件判断失误. 若的最小值是___________． 函数的最小值是______. 若不等式对于任意的实数恒成立，则实数的取值范围为___________ 设，方程的解集为________ 题型十五、绝对值的三角不等式应用 已知恒成立，实数的取值范围是________． [方法总结] 恒成立问题转化为求绝对值表达式的最值，利用三角不等式放缩求解.易错点：放缩方向与最值要求不匹配. 对所有实数恒成立，则的取值范围是______. 若x1，x2都满足方程 且 ，则 的取值范围是 _____． 设a、b、，且，，．求证：． 基础过关 设a，，且，则（   ） A． B． C． D． 已知且，则下列不等式中一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 设，则方程的解集为________. 已知，则的最大值为___________． 已知均为正数，，则的最小值是_____． 对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 解关于的不等式. 已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 能力提升 [穿针引线法]关于实数x的不等式的解集是________． 已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是________． 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 已知，关于的不等式． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 挑战一刻 若正实数a，b满足，则的最小值是________． 已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________． 如图，有一块边长为1（单位：百米）的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为（其中点分别在边上），设，． (1)用表示出的长度，并探求的周长是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为多少? 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $