湖南邵阳市两校2025-2026学年高二下学期六月质检数学试题

2026年上学期高二六月质检 数学试题 时间120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.若复数z满足z1+i)=h+V,则2 A司 B. C.1-i D.1+i 2.已知集合A=1,2,3},B=(X×x2+4x+m=0y,若4nB=1),则B= A.{1,3) B.(1,-3y C.1,5) D.(1,-5y 3.已知等差数列{an}中，a2=3,a=5,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气 中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单 位：分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+e(1,5∈R,s>0)描述，又测定，当t=5时， 教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准， 所需要时间t（单位：分钟)的最小整数值为（参考数据1og23≈1.59,1og25≈2.32） A.7 B.8 C.9 D.10 5.已知0<a<1,0<b<1,且4b-4a-46+3=0,则1+3的最小值是 a b A.16+4V3 B.3 C.25 D.8 3 6.函数f()=2sn(2x+似水号在x=处取得最值，则下列命题正确的是 4,将f(x)的图象向右平移”个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B.点行为0图象的-个对称中心 c.= D.f(x)在区间 163 上单调递减 数学第1页共4页 7.已知抛物线c:x2=4y,焦点为F,准线为I,过F的直线交C于A,B两点，过B作I 的垂线交/于点D,若△BDF的面积为45，则A IBFI A.3 C.2 D. 8.定义在设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),若f'(x)在(a,b)上也存在导函数， 则称函数y=f(x)在(a,b)上存在二阶导函数，简记为y=f"(x)若在区间(a,b)上f"(x)>0, 则称函数y=f(×在区间(a,b)上为凹函数”，已知fx=me+x+少1+2Inm-2In(x+1+x 在区间(-1，o)上为“凹函数”，则实数m的取值范围为 A.(1,+0o) B.(e,+oo) C.(e,+o) D.(ve.e) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知互不相等的一组数据x,为2，，x,的平均数为x,，记x为xn1,则X,x2,…,xn,×+1这组 新数据与原数据相比，一定不变的量有 A.极差 B.中位数 C.平均数 D.标准差 10.已知a=(1,2,-1),b=(0,1,1),下列结论正确的是 A.若a为直线1的方向向量，c=(2,4,-2)为平面Q的法向量，则11a B.若a为直线1的方向向量，b为平面Q的法向量，则111a c.a在6上的投影向量为°22) (。11 D.若AG=a,且6为直线AB的方向向量，则点c到直线AB的距离为5 1 11.已知数列{an}满足日，=1，a1=a,-a(neN),则 3 A.数列{an}单调递减 B.an<2at C.3a>4a 0.号<100am<3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在平行四边形ABCD中，AD=2,∠BAD=60°，点E为CD的中点，若AC·BE=3, 则AB= 13.平面上一系列点A(x,y,),A2(x2,y2),An(xn,yn),…,其中A(1,2),yn>yn+1>0,已知 An在曲线y2=4x上，圆A,:(x-xn)+(y-yn)=2与y轴相切，且圆A,与圆An1外切，则 数学第2页共4页 A的坐标为 一；记bn=ynyn+1,则数列(b,}的前6项和为 14.一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1,2,3,4,5,6，这六张卡片除标记的 数字外完全相同随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a, b,c,则满足a-b+b-d+c-a=6的情况有种 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知在△ABC中，D为BC上一点，AD=CD,BA=7,BC=8. (1)若B=60°，求△ABC外接圆的半径R; (2)设∠CAB-∠AcB=日(8为锐角)，若n0=33,求AABC的面积 14 16.(15分) 如图，在正三棱柱ABC-AB,C,中，AB=2,AA=3,点Q为BC的中点，点P为CC1上 一点. B (1)若平面BAC,∩平面QAC,=直线1，求证：AB∥1； (2)当平面APQ⊥平面APB,时，求CP的长度. 17.(15分)某商场办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小、材质都相同的 小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号”O”或"“×”，不同颜色和符号的小球个 数如下表所示.从袋中随机摸出一个球，记事件A为”摸出红球”，事件B为"“摸出画O的球”. 红球 蓝球 画O 6 10 画× 2 6 数学第3页共4页 (1)求P(A)和P(AB). (2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出 球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖； 仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖 ()以"结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理； ()若按()中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励4a元，二等奖奖 励2a元，三等奖奖励日元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过340元，则a的最大值为多少？ 18.(17分) 设椭国「兰+ =1(a>b>0) (1)若点(3,0)和(0,1)均为椭圆「的顶点，求椭圆「的方程及焦点坐标； (2)若椭圆Γ的方程为士+y=1,A(2,0)和B(0,1)均为椭圆「的顶点，点M,N在椭圆「 上，MN/1AB若直线MN在y轴的截距为m,求四边形ABMN面积s关于m的函数并直 接写出面积s的最大值； (3)若椭园Γ的方程为兰+y=1,4,日是椭圆的左、右顶点，点c是椭园「内（包括边 4 界)的一个动点.若动点P满足PBPC=0,求OP的最大值， 19.(17分) 已知函数f(x)=lnx-mx2+(1-2m)x+1,m∈R. (1)若f'(1)=0,求m的值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若对任意x>0,有f(x)≤0恒成立，求整数m的取值范围. 数学第4页共4页 2026年上学期高二年级六月质检 数学答案 一选择题 题号1234567891011 答案DD B CAD B A AC ACABD 二填空题 12.2 13. 14.54 三解答题 15 (1)由余弦定理得4c2-BA2+BC2-2BA.BC·c0sB-57,解得AC-√57；(3分) n日2R,解得R=；△A8C外接圆的半径R为5分) 又4 (2)由AD=CD,所以∠DCA=∠DAC,所以B=∠CAB-∠ACB=∠BAD; 由s1n日=sn∠BAD=33,得cos9=cos∠BAD=4;7分) 14 设8D=X,则DC=8-X,DA=8-X, 在aA8D中，BA=7,BD=X,DA=8-X,c0S∠BAD=1日 14 由余弦定理得×=7产+(8-x)’-2×7×8-x×13。 ×话，解得x=3;(10分别 所以BD=3,DA=5: 由正弦定理n4.,即。，解得 3 5 14 14 所以△ABC的面积为10√3.(13分)】 16 (1)连接A,C交AC,于点0，连接OQ. 因为0，Q分别为AC,BC中点，则AB10Q, 且AB立面0AC,,00C面QAC,,可得AB∥平面QAC,,(3分)】 又因为ABC平面B4C,,平面BAC,O平面QAC,=直线1， 所以AB11.(5分) 数学第5页共4页 (2)取B,C中点Q,以Q为原点，QC,QA,QQ,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系，(6分) ZA B 则0(0,0,0)，4(0，√3,0)，B,(-1,0,3),设cP=h,则P(1,0,h), 可得0A=(0,√3.0)，QP=(1,0,h),B,P=(2,0,h-3),B7-(L,5,-3(7分) m:QA=√3y=0 设平面APQ的法向量为m=(×,y,Z),则 QP=名+h3=0 令2=-1，则x=h,y=0,可得m=(h,0,-1);(10分) 万·B,P=2x+(h-3)z2=0 设平面4P8,的法向量为万=(x2,y2,32),则 8,A=名+5y2-32=0 令63-，则%=行5=2，可得厅-+ √3 V31 2,(13分) 因为平面APQ⊥平面APB,,则m⊥万，(14分) 可得mn=0,解之得h=1或2 所以CP的长度为1或2.(15分) 17. )自题题得=，P9号-名4别 243 (2)()在一次摸球的结果中 2412 所以两次摸球的结果中 颜色和符号均相同的版率为A=)（)日)-0，®分别 数学第6页 共4页 仅颜色相同或仅符号相同的概率为月-（侵行+名音×+品》2- (x5+1x1+5x1+1x1× 颜色和符号均不相同的率为网-？+？品00分 B<R<B,不符合“结果发生的可能性越小，奖项等级越高“的标准，故该奖项设置不合理 (i)设一次抽奖的奖金为X元，由题意知x=4a,2a,a. 按照题意，奖金越高，概率越小，结合()，可知X的分布列为 4a 2a 11 36 2 所以E(X)= 649+6×20+×2 36 2 令二。≤340，得a≤180，即a的最大值为180.(15分) 9 18 (1)由3.，0)和(0,1)可得=3,6=1，所以椭圆方程为父+y=1,其焦点坐 标为(-2V2.0,(2V5,0)(3分) 2)由A120和80，)可得a=2,。=1,所以椭圆方程为子+y=1。 因直线49的斜率为二？日，可得其方程为y=子+1，(4分剂 1-01 又因MN11AB,故可设直线MN的方程为y=2X+m,(5分) 1 将其与号+y=1联立消去y,可得-2m+2m-2=0, 由△=4m2-4(2m2-2)>0解得-√2<m<5, 由韦达定理得×+×，=2m,x×=2m2-2, 由MN/1AB可知四边形ABMN为梯形，而直线MN的方程即x+2y-2m=0 则佛形A8MN的高也即点：到直线MN的距离为1-D+2-2m_2-」 1+22√5 故梯形ABMN的面积为 数学第7页共4页 sw-号后6666.0o纷 由图知面积最大值不在m>1时（此时MN在AB上方）取得，故只需考虑 s=1-m)1+V2-m). 令m=5o0,则-5<m<1,则a行，则 S=(1-v2cosa)(1+v2sina)=1+2(sin a-cosa)-2sin gcosa, 再令1=ng-cos0=5an(。-,则teo], 2sin acosa =1-t 故15it6-f 故当：=互时，s取得最大值为(W)2+反×反=4.(12分) (3)记BC中点为M,过点C作x轴的垂线，记垂足为C,, 因为点P在以线段Bc为直径的圆上，则loP≤loM小+MP-;Ac+Bc 又4cPAC,P+1cc,P,Bcf8C,+1cc,,即当点c位于椭圆r上时，4c+BC取 得最大值.(14分) 令4dbd2,则点e在圈子+士1上， 易知兰+s三+疗=1，等号成立时当且仅当气=0，=1，(16分) 4 于是椭圆Γ上的点(k,),除点0，)外均在椭圆兰+y广=1的内部. 5 综上所述，oP的最大值为√5.(17分) 19 (1)已知f0=1nx-m2+1-2mx+1(x>0),则f=-2mx+1-2m)(x>0 因为)=0，则}-2mx1+(1-2m=0,解得m=2,4分) 1 (2)由(1)知，(0=-2mx+0-2m=-2mx+2m-）x1e2m-1(x+1x>0) 当m≤0时，f'(x)>0在(0o∞)上恒成立，此时f(x)在0，+oo)上单调递增：(6分) 当m≥0时，令=0，即-2m-山-0，解得或x=1(舍去)7分) 数学第8页共4页 当0<时，>0，则在0 1） 上单调递增；(8分) 当心六时代<0，则在品+小上单调减：9分 综上，当m≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增 当m>0时，1在0，上单调遥增，f在仁+上单调递减10分) 2m 2m (3)因为对任意x>0,f(x)≤0恒成立，所以1nx+x+1≤m(x+2x)在(0，+0)上恒成立 即m≥1nx+x+1在(0，o)上恒成立.(11分) r+2x 设F-n中，则Fx (但+1x+2x)-nx+x+02x+2) -(x+1)(x+21nx x2+2x (x2+2 (x+2x) 设g=-(x+21nx,g=-+ <0,则g(x)在〔0，∞)上单调递减，(13分) 因为g1)=-1<0, 1 2n2- >0, 2 所以6传.使得9飞-0，即%+2n长=0，则n%子 当x∈(0，x)时，g(x)>0；当x∈(×，+o0)时，g(x)<0；(14分) 所以F(x)在(0，×)上单调递增，在(×，+∞)上单调递减 所以F(x对.=F(%)=之+x+1 =1,(16分) X%+2×gX(×+2)26 故整数m的最小值为1.(17分) 数学第9页共4页