精品解析：湖南邵东市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次监测数学试卷

2026年上学期高二第一次监测数学试卷 时间：120分钟；分数：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 3. 的展开式中的系数是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 4. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，，记，为数列的前n项和，则（ ） A. 63 B. 127 C. 255 D. 256 6. “”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. e 二、多选题（共18分） 9. 若复数，则下列结论正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 是的一条对称轴 D. 向右平移个单位得到的函数是奇函数 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列选项正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 存在点，使得 C. 平面截正方体所得的截面图形是五边形 D. 点到平面的距离是 三、填空题（共15分） 12. 现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 13. 已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 14. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（其中点位于第一象限），，是线段的中点，且点纵坐标为2，则________. 四、解答题（共77分） 15. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求展开式中含项的系数； （2）求展开式的第六项． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列. （1）若，，求的面积. （2）求证:. 17. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小． （3）在线段上是否存在一点E，使得DE与平面BCD所成角的正弦值为，若存在求出该点的位置，若不存在请说明理由？ 18. 已知函数． （1）证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，． （i）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ii）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二第一次监测数学试卷 时间：120分钟；分数：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 3. 的展开式中的系数是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项为， 所以的展开式中的系数为. 4. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 5. 已知数列满足，，，记，为数列的前n项和，则（ ） A. 63 B. 127 C. 255 D. 256 【答案】A 【解析】 【分析】通过对数变换将递推式转化为线性递推，发现是公比为2的等比数列，进而可求其前6项和. 【详解】由题意得，两边同时取对数得 ， 设，且有， ， ，，则， 满足，所以是以2为公比，1为首项的等比数列， 即，. 6. “”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，圆与圆相切，求出的值即可判断结论. 【详解】圆，圆心为，半径， 到坐标原点的距离为2的点的轨迹是圆，圆心，半径， 圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，则圆与圆相切， 有，或， 当时，化简得，解得或； 当时，化简得，方程无解， 则圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，有或， 所以“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的充分不必要条件. 7. 设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆过点知，设，根据椭圆定义得，；在直角三角形中应用勾股定理可解得与的关系，再在直角三角形中利用勾股定理建立与的方程，从而求出离心率. 【详解】如图，连接， 线段是圆O的直径，所以， 设，所以， 在直角三角形中，，整理得， 在直角三角形中，， ，得，即． 故选：A. 8. 已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】求导并利用赋值法求出函数，再等价变形给定不等式并构造函数，按分类，利用导数求出最小值，进而求得，然后构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 则，解得，于是， 又，则，， 不等式， 令，依题意，恒成立， 当时，，函数在R上单调递增， 而时，，不恒成立； 当时，恒成立，则，； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此的最大值是，此时， 而，故的最大值是. 二、多选题（共18分） 9. 若复数，则下列结论正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的概念及运算即可判断. 【详解】对于A，z的虚部为，故A错误； 对于B，z的共轭复数为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 是的一条对称轴 D. 向右平移个单位得到的函数是奇函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据图象可得函数的最大值最小值，结合解析式可求，由此判断A；观察图象可得函数的周期，由此判断B；根据最小正周期求出，将点代入函数解析式可求，根据正弦函数性质求函数的对称轴判断C；求出平移之后的函数解析式，结合函数奇偶性的定义判断D. 【详解】观察图象可得函数的最小值为，最大值为，所以，故选项A正确； 观察图象可得函数的最小正周期，故选项B正确； 由，得，又，所以， 将点代入中，得， 所以，，又，所以， 故函数， 令，，可得，， 所以不是函数的一条对称轴，故选项C错误； 函数的图象向右平移个单位， 所得函数解析式为， 由函数定义域为，定义域关于原点对称，又 所以函数不是奇函数，故选项D错误. 故选：AB. 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列选项正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 存在点，使得 C. 平面截正方体所得的截面图形是五边形 D. 点到平面的距离是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：可知与为异面直线，进而分析判断；对于B：建系并标点，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解；对于C：作辅助线，进而分析截面；对于D：利用等体积法求点到面的距离. 【详解】对于选项A：因为与为异面直线，所以，，，四点不共面，故A错误； 对于选项B：建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设，，可得， 又因为，，，，则， 可得，， 假设存在点使得，则， 整理得，解得（舍去），或， 所以存在点，使得，故B正确； 对于选项C：如图，直线与，的延长线分别交于，， 连接，分别交，于，，连接，， 则五边形即为所求的截面图形，故C正确． 对于选项D：设点到平面的距离为， 由正方体的棱长为2可得，， 且， 可得，， 由，即，可得， 所以点到平面的距离是，故错误． 三、填空题（共15分） 12. 现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 【答案】 【解析】 【详解】若甲安排在星期五，则不同的安排方法有种， 若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有种， 故不同的安排方法有种. 13. 已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可求解在上的值域为，进而根据在上的值域需要包含，结合指数函数的性质求解. 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 14. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（其中点位于第一象限），，是线段的中点，且点纵坐标为2，则________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：过作，过作，利用抛物线的定义和相似三角形的性质，结合点差法进行求解即可； 方法二：利用抛物线上的点到焦点的距离公式，结合点差法进行求解即可. 【详解】方法一：由题知，设，则，， 延长交准线于点，过作，过作， 则，，显然相似于， 所以，即，所以，所以， 所以，所以， 所以直线的斜率为， 设，，则， 得，所以， 所以， 又因为，所以. 方法二：由题知， 设直线的倾斜角为，则有， 所以直线的斜率为，由方法一， 得. 四、解答题（共77分） 15. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求展开式中含项的系数； （2）求展开式的第六项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由二项式性质得二项式系数之和是，根据题目可得二项式系数之和是128， 可得，解得，则变为， 由二项式定理得的通项公式为， 令，解得，代入可得含项的系数为. 【小问2详解】 令，解得，代入通项公式可得. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列. （1）若，，求的面积. （2）求证:. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系及三角形面积公式计算即可求解； （2）由余弦定理及可得，根据正弦定理及两角和差的正弦公式化简即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，将，代入可得， 则， 因为，所以， 所以的面积为； 【小问2详解】 由余弦定理及可得， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 则， 所以， 即， 化简可得. 17. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小． （3）在线段上是否存在一点E，使得DE与平面BCD所成角的正弦值为，若存在求出该点的位置，若不存在请说明理由？ 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，的中点 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解；通过法向量的夹角来求二面角的大小； （3）设出点的坐标（用参数表示），再求出平面的法向量，根据线面角的向量公式列出方程，求解参数判断是否存在及位置. 【小问1详解】 直三棱柱中，侧棱面，面，. 假设，， ，，， ，故. 又，，平面， 平面，平面，. 【小问2详解】 如图所示：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为：, 则， 设平面的一个法向量为， 则：，令，得，故. 设平面的一个法向量为， 则：，取，得，故. 所以， 由图易知二面角为锐二面角，故， 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 设在线段上，令，，得， 则. 设线面角为，由（1）知平面的法向量为. ， 所以， 解得，符合要求， 所以存在满足条件的点，为线段的中点. 18. 已知函数． （1）证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数的定义域为. . 令，则. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 当时，，所以. 又，所以当时，. 当时，. 其简图如下： 所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于， 即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等. （2） 【解析】 【分析】（1）分析的单调性及取值情况，可得有唯一解，从而证得在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； （2）分离参数，构造新函数，通过分析新函数的最小值，得到实数的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，不等式恒成立，即. 令，则 . 令，则. 因为，所以， 又，所以. 所以是增函数，所以. 因为，所以恒成立，所以是增函数， 所以，即的最小值为. 所以实数的取值范围是． 19. 已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，． （i）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ii）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）是，1 【解析】 【分析】（1）根据题意建立方程求得，代入即可求解； （2）（i）设出切线方程，切线与双曲线联立方程组，根据结合根与系数的关系计算可解； （ii）分斜率为0或者斜率不存在、，都存在时两种情况分类讨论即可求解，当，都存在时由点差法可得，由几何关系可得，进而求解. 【小问1详解】 双曲线的右焦点，渐近线方程为， 由题意可得， 又因为，所以，， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设，由题意知切线的斜率一定存在， 设过点与双曲线相切的切线方程为，代入双曲线中消去得： ， 则由得：， 化简得：， 则，为上述方程的两个根，故， 而，所以. （ii）为定值1. 证明：当斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知， 此时，即； 当，都存在时，设，，的中点为， 由，即， 设过点的切线方程为，代入双曲线方程， 由（i）得，又， 得，解得，代回化简得过点的切线方程为， 同理，过点的切线方程为， 所以得，， 所以切点弦所在的直线方程为，所以， 因此，即，，三点共线， 又由（i）可知与均为直角三角形，故，， 则，，而， 所以，故，， 所以，即. 综上，为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $