湖南邵阳市第二中学2025-2026学年下学期期末考试高二数学

邵阳市二中2026年上学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题 A.{1B.（} C.{--1以D.{- 2.己知平面向量a与b不共线，且5a-2b=xa+6b,则() A.x=5,y=3 B.x=-5,y=3 C.x=5,y=-3 D.x=-5,y=-3 3.已知a=(cosa,sina),i=(cosB,sinB),且a+=V5,则cos(a-B)=() A月 R月 c.5 2 D./ 2 4.若函数f(x)=nr+x>0)在点x=1处的切线与直线y=3x+1平行，则该切线方程为 () A.y=3x-1 B.y=3x C.y=3x+1 D.y=3x+2 5.已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则圆锥表面积为 () A.35π B.36π C.39元 D.43元 6。已知网C:术1了-+10与双曲线号芳1(a>0,b>0)的南近线相切.则双 曲线的离心率e=() A.23 B.2 D.√5 3 7.已知数列{a},bn}中满足2a1+a.=3(n≥1)，4=10，bn=4.-1,若b}前n项之和 为S,则清足不等式9-0的最小整数n是〈) A.8 B.9 C.11 D.10 8.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球现从两个盒子 中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行n(∈N)次操作后，甲盒子中恰 试卷第1页，共4页 有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件A,B,Cn,则以下错误的是() Aa)-=号 B.) 1 C.P(4+B)= D.n(a.) 二、多选题 9.已知复数乙= 13 i(i为虚数单位)，则下列结论中正确的是() 22 A.的虚部为-5； B.在复平面内对应的点位于第四象限 c.l=1 D.z2=-1 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,C1D中，M,N,P分别是AA,CC,CD的 中点，Q是线段DA上的动点，则() D Q B D B A.存在点O,使PQ/I平面MBN B.不存在点Q,使B,N,P,Q四点共面 C.三棱鞋Q-BCV的体积是定值，为号 D.经过C,M,B,N四点的球的表面积12π 11.已知f(x+2)是定义在R上的奇函数，g(x)=(x-2+1)f(x-1),g(2)=1,若g(x+2) 为偶函数，则() A.f(3)=1 B.8(24)=-23 C.∑6f()=1 D.∑026g()=1013 试卷第2页，共4页 三、填空题 12.椭圆25x2+9y2=225的离心率为 展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，设f(x)是展开式的第3项，若 f(x)≥mlnx在x∈[2,3]上恒成立，则实数m的取值范围是 14.关于函数f(x)=sim4x-sin3x ①f(x)的一个周期为2π ②f(x)的图像关于（π，0）中心对称 ③f(x)的最大值为2 ④f(x)在(0，π)上的所有零点之和为π 以上说法正确的有一· 四、解答题 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(c-2Dcos4++b-c-0 2b (1)求角A: (2)若a=6,b+c=9,求△ABC的面积. 16.在长方体ABCD-AB,CD中，底面ABCD边长为2的正方形，侧棱|AA=3,点E,F 分别在棱A4和棱DD上，且AE=1,DF=2· D A F B B (I)求证：BD⊥CE. (2)平面C1EF与平面BCF夹角的余弦值. (3)直线AC与平面C,EF夹角的正弦值. 试卷第3页，共4页 17.已知等差数列 的前项和为，且S4=4S,4m=2a+1,（n∈N). (1)求数列 的通项公式： (2)若f)=4x+么x2+x++x,求f3)的值. 2 3 1收卫精圈E兰 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为耳(-2,0)、耳(2,0)，离心率为-， 过F的直线I交椭圆E于M、N.两点，且M在x轴上方. (1)求E的方程： (②若=g,求直线I的方程： (3)设点G与点N关于坐标原点对称，直线四与直线G相交于点P,求△PE面积的最大 值. 19.已知函数f(x)=nx-ax+1,aeR. (1)讨论∫(x)的单调性： (2)当a<0时，对，5∈[l,+o)恒有 f)-(<4, 求实数a的取值范围. (3)若x>0,e-2+yf(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 试卷第4页，共4页■■■■ 邵阳市第二中学 数学试题·答题卡 姓名： 班级： 考生条形码粘贴处 准考证号： 一、 单选题（共40分） 1[A]B][C]D] 5[A][B][C][D] 2[A1B][C]D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][c][D] 7[A][B][C][D] 4[A]B][CD] 8 [A][B][c][D] 二、多选题（共18分） 9 [A][B][c]ID] 10[A]B][C]D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.15分) D --- C B D C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）邵阳市二中2026年上学期期末考试答案 4 所以4U8={县-号 2.C由平面向量基本定理，ā，b不共线时，等式两边对应系数相等， x=5 x=5 所以5ā+(-2)b=xa+6b,得方程组 2y=6'解得 y=-31 3.A由题可得a+b=(cosa+cosp,sina+sinB),因为a+b=3,所以a+bP-3 cos a+2cosacos B+cos2B+sin'a+2sin asin B+sin2B=3, (cos2a+sin2a)+(cos2B+sin2B)+2(cosacosB+sinasin B)=3, 即1+1+2coa)=3,得到oaP)=号 4.A由f(s)=nx+,得f"(x)=1+a.切线与直线y=3x+1平行，所以切线斜率为3.于 是f'(1)=1+a=3,解得a=2.又f(1)=nl+2=2.切线方程为y-2=3(x-1), 即y=3x-1. 5。B圆心角是120，对应为牙，设扇形的半径为1，也即扇形相成的圆雏母线长为， 由2π×32亚1，解得：1=9，所以圆锥的表面积为卫2+1=几32+元3×9=36。 3 b 6.A由双曲线C-=1(a>0.b>0),可得其一条渐近线的方程为v=x,br=w=0, a 由圆C:x2+y2-4y+1=0,得x2+(y-2)2=3,则圆心为C(0,2),半径r=√5， 则圆心到直线的距离为= 0四8， Vb2+(-a) 7D解：由思意可知：24m+a=3,即a=-4+号即a-1:a-, 13 1 又“4=10，.4-1=9，即数列{a-}是以首项为9，公比为-二的等比数列， 2 答案第1页，共8页 .Sn=b+b+…+bn=9x =6-6 ，清足不等式S-<0的最小整数m-1=9, 即n=10.故选：D. 8.B初始时，甲盒有1黑2红，乙盒有1黑2红选项A:一次操作后，甲盒恰有1黑球（事 件，)的情况：从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑甲取红的概率为号，乙取红 的钱率为子甲取黑的联率为：乙政黑的概率为故()子号} 33339,A正确： 选项B:P(A|B2)表示“第二次操作后甲盒有1黑球的前提下， 第一次操作后甲盒有0黑球”的概率第一次操作后甲盒有0黑球(A1):甲取黑、乙取红， 概率P(4)×?第次操作后甲盒有1黑球(B2)的情祝：若A1发生，甲盒0黑3红 乙盒2黑1红，此时从甲取红、乙取黑的概率为1号放28,4)-号若B,发生，甲盒1 黑2红，乙盒1黑2红，此时P(8,B)=。(同P(B).若C,发生，甲盒2黑1红，乙盒0 0 黑3红，此时PAC)-子（甲取黑、乙取红的概率为号x1),由全概率公式： 3 P(B,)=P4)PB,4)+P(B)PBB)+P(C)PB,1C)=2x2+x+2x2=49、 93999381, 22 由条件概率公式：P4B)=P)6,-949=是≠，B错误：选项C:P(4+B)■ P(B2) 81 表示“第一次操作后甲盒有0黑球，或第二次操作后甲盒有1黑球”的概率，由概率的加法公 式P4+A)P4)Pa)P4）,英中AR)=PA)PA0-号号寺 代入得：P42)号智-8：智-c正：选项心：送关系： PB)-号PB+-PR.月=号PR- 答案第2页，共8页 监惺为：P凤)一号片n一引初雀P国)=了故P(8)一子；名因 9.BCD对于A,复数乙，=}的虚部为-5，故A错误：对于B,复数)5在 22 2 22 复平面内对应的点为 13 2’ 2 位于第四象限，改B正确：对于C,因为乙心 所以 小故C正瑞：对于D因为名-号所以 44 4 10.AC【详解】对于选项A,若点2是DA的中点，则PQ∥AC1,又因为AC∥MN,所 以PO‖MN.因为MNc面BMN,PQE面BMN所以PQ/I面BMN.故选项A正确. 对于选项B,当点O与A1重合，此时，PN/DC,又因为DC/IOB,所以PNI‖OB 故B,,P,O四点共面，所以选项B不正确对于选项C,因为O到面BCN的距离即为正方体 的枝长，且Ser行X2x1-1所以aa}1x2=子故选项C正确 对于选项D,设G,H分别为BB,和DD的中点，则经过C,M,B,N四点的球即为 长方体ABCD-MGNH的外接球因为该长方体的长宽高分别为2,2,1.所以 (2R=2+2+1P=9→R-}所以S=4标R-9元故选项D不正碗 11.BCD因为8(x+2)为偶函数，所以8(2-x)=8(x+2),所以 (+1)f1-x)=(+1)f(+1),所以f(x+1)=f(1-x),所以f(x)=f(2-x). 又f(x+2)为奇函数，所以f(x+2)=-f(2-x),所以f(x)=-f(x+2),将x替换为x+2, 得f(x+2)=-f(x+4),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4，且 f(四)+f(2)+f(3)+f(4)=[f1)+f(3)]H[f(2)+f(4)]=0.对于A:在 f(x+2)=-(2-x)中，令x=0,得f(2)=0.又8(2)=f(1)=1,所以f(3)=-f(0)=-1, A错误对于B:g判=23/(23)=23fB=-23,B正确：对于c:觉f0=f0+9=1, 答案第3页，共8页 C正确：对于D:当neN时，8(4+1)=(4n-1+1)f(4)=(（4-1+1)f(0)=0, 8(4n+2)=(4n+1)f(4n+1)=(4n+1)f(1)=4+1, 8(4n+3)=(4n+2)f(4n+2)=(4n+2)f(2)=0, 8(4n+4)=(4n+3)f(4n+3)=(4n+3)f(3)=-4n-3, 所以8(4n+1)+8(4n+2)+8(4n+3)+8(4n+4)=-2, 2026 所以∑g)=(-2)×506+g(2025)+g(2026)=-1012+0+2025=1013,D正确 12. 号08稀题标准方程为号+公1，表示焦点在y轴的桶圆，且a=5,五=3，所以 925 c=匠-B=尽-3=4，所以椭圆的离心率为e=C-4 a 5 的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大， 则 的式共6期=5屁开试的第3现国=心八， fw)≥mlnx在x∈[2,3]上恒成立，所以x≥mlnx,在x∈[2,3]，r>0,即m≤ 5x Inx 令gt0=司，m≤e2g0阅-时 2(nx)2 ,当x∈[2，e),g(x)<0, 当x∈(e,3],g'(x)>0,所以函数g(x)在[2，e)上单调递减，在[e,3]上单调递增，所以 g)=8(e)-,所以实数m的取值范国是， 5e 14.①②【详解】f(x+2π)=sin(4x+8π)-sin(3.x+6π)=sin4x-sin3x=f(x),所以①正 确：f(2π-x)=sin(8π-4x)-sin(6π-3x)=-sin4x+sin3.x=-f(x),所以②正确： 若反大值为2，则血4打=1，血31，当4=2h号k=Z,此时=经令kZ sin3x≠-1，故③不正确： =-如n=m行+m子-=2am时 7 1 令f(x)=0得cos)xsin,x=0,所以si血)x=0或cos2x=0, 7 77π 又xe(Q网，sm0.co子=00< 2,所以2= x< 答案第4页，共8页 解得x号或=征或x-,即f)在(Q,上所有要点之和为，故国不正确 15.学a15y5 4 【详解】1)己知c-2b)co1+。+-C-0,由余弦定理c0C-口+6c,则 2b 2ab a2+b2-c2 =acosC,代入可得：(c-2b)c0sA+ac0sC=0.由正弦定理 sinsim3inC2R(R为△ABC外接圆半径)，可得a=2Ri4,b=2 RsinB,C=2 RsinC, a b 代入上式得：(sinC-2sinB)cosA+sinAcosC=0,整理得：sinCcos4+sinAcosC-2 sinBcos4=0, 根据两角和的正弦公式sin(A+C)=sinB,即sinB-2 sinBcos4=0,因为sinB≠0，所以得 1-2c0s4=0,解得co4= 2,又因为4∈(0，d,所以4 3 C2)已知a=6:b+c=9,A=于，由余弦定理a=公+c-2co4,代入得 1 36=b+c)2-2bc-2bc×5=81-3bc,所以bc=15, 2 则面积为：S=bcsin4=×15x5_153 2 24 16.I)以D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如下图： D A 可得D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,0,1),C(0,2,3),所以 D B BD=(-2,-2,0),CE=(2,-2,-2),所以BD.C1E=-(2)×2+(-2)×(-2)+0×(-2)=0,因此 BD⊥CE,即BDLC1E oYo 3 (2)易知EF=(-2,0,1),设=(3，，3)为平面CEF的一个法向量， 2·EF=-2x1+31=0 则 4CE=2429-2z=0’令=1.得3=2y=1,即g=0.-1,2. 答案第5页，共8页 又易知C(0,2,0),F(0,0,2),则BC=(-2,0,0),BF=(-2,-2,2), 设平面BCF的法向量乃=(x2,2,22), n·BC=-2x2=0 可得 西8F=-2x-2%+2,=0’令4=1，得=0名=1，即%=(01,1， 设平面CBr和平面BCF的夹角为0，p∈0， 2 h 1x0+(-1)×1+2×1 1 可得c0sp= V12+(-1)2+22×V0+12+1P 6xV56, 因此平面CB7与平面BCP夹角的余弦值为V5 (3)易知A(2,00),则AC=(-2,2,0),AC=2√2，设直线AC和平面CBF的夹角6E 32 AC. sine 1×(-2)+(1)×2+0-5 AC-网 2W2×√6 ,即直线AC与平面CEF夹角的正弦值为 3 17.(1)4.=2n-1(2)(n-1)3”+1 【详解】(1)由数列{an}为等差数列，设首项为4，公差为d,又4m=2g,+1对neN恒成 8,即*以-24 4=20+1 a=1 立，所以有a=2a+1,联立 44+6d=4(2g+ad)' 解得 d=21 所以a,=1+2(n-1)=2n-1,故数列{an}的通项公式为a=2n-1. (2)由f)=4x+2x2+9x2++x”,则f0)=a+ax+a,x2++ax1, 2 3 所以f'(3)=4+3a2+324+…+3ma,=3°×1+3×3+32×5+…+3(2n-1), 3f"(3)=3x1+32×3+3×5+…+3”(21-1),两式相减得： -26=1+208+3++33（2m-1=142x30-3）2n-少-20a-13-2 1-3 所以f'(3)=(n-1)3”+1. 18.)+-1②x-y-2=0或x+y-2=063 1612 【详解11)由超意可得G=2。该圈的滨心率为：日子}可得a=4,所以 答案第6页，共8页 b=V匠-c2=√4P-2=25,故椭圆E的标准方程为+上 16121. (2)若直线MN与x轴重合时，则x轴经过M,MW=2a=8,不符合题意；设直线MN的方 x=y+2 程为x=w+2,设点M(,)、N(,),联立 x2y2,可得(3m2+4)y2+12my-36=0, 二1 1612 △=144m2+144(3m2+4)=576(m2+1>0,由韦达定理可得片+y2=- 12 3m2+4’ 36 4y,=-302+4' 3 所以MM=V1+m2.Vy+马)-4yy2=V1+m 127 36 3m2+4 -4x 3m2+4 24(m+_48,解得m=士1，放直线1的方程为x=y+2或x=-y+2, 3m2+4-7 即x-y-2=0或x+y-2=0. y (3)由题意可知G(-5,-乃)，设点P(,), 所以直线G识的方程为=+2，直线价的方程为各2， y2, x=5+2 y+2 联立 可得 +2_3+2 =4,即 %+4%2+4 y=4, x=当+2y-2 y3 解用由2》用 -y=-V(y+为)}-4y2= 12m24×(-36)_24Wm2+1 3m2+4 32+4 3m2+4 36 所以6=以3+4= 3 3 =≤ 为-24Nm十2Wm+1≤2，当且仅当m=0时，等号成立，即0<6≤ 32+4 故△P所风的面积为85y-×4,-2%≤3，即aP以民面积的辰大值为3. 2 答案第7页，共8页 19.(1)当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，在0上单调速相，在到合+树上单调莲减.@300-a a 【详解】(1)函数f(x)定义域为(0，+o),求导得f"(x)=】-a,当a≤0时，f'(x)>0恒成 立，故f)在(0，o)上单调递增，当a>0时，令f'()=0得x=,当0<x<二时，()>0： a 当时，了)0：放在®日)上单词递增，在[公树上单调诺减家上，当a≤0 时心)在(@上单时递增：当a>0时.)在上单河适者，在口上年 调递减 (2)已知a<0,由(1)知，f(x)在[1，+0)上单调递增，不妨设，≥x3,则 等价于f(x)-f(x3<4s-x2l,整理得f()-4x<()-4x, 则g(x)=f(x)-4=hx-(a+4)x+1在[1，+∞)单调递减，即g(x)≤0在[1，+o)上恒成立： 求导得g()a+4到≤0，即a+4对任意x=[L+o)恒成立，y在L+o)上单调 递减，最大值为1，.a+4≥1，解得a≥-3，综上，ae[-3,0). (3)不等式e-2+yf(x)≥0整理得e-2+xnx-ar2+x≥0(x>0),分离参数a得： a≤e+nx+xx>0,令)-e-+r+r,则a≤>0， x2 令h(t)=e-1-t,求导得(t)=e-1,令h(t)≥0，解得t≥0，当且仅当t=0时等号成立， 故0)在>0上单调递增，则e2≥I+(K-2-hr),即e二≥r-1-nr,则 e-2≥x2-x-xhx,移项得e-2+x+xnx≥x2, :y-e+血r+s1,当且仅当x-2=nx时等号成立，令p问=x-r-2,求导得 r2 )-,当0<x1时，0，国致竿调运减：当>1时，心)>0，图数单调 递增：x=1是极小值，也是最小值，最小值为p(1)=1-hl-2=1,当x→0*时，-lnx→+0， 故p(x)→+o,结合p(x)在(0,1)上单调递减，p(1)=-1,由零点存在定理，(0,1)内有一 个零点，故t(x)n=1,综上可知，a≤1，故实数a的取值范围为(-o,1小. 答案第8页，共8页