湖南省长沙市开福区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 以AI降噪模型、食堂满意度调查等真实情境为载体，分层考查复数、导数、概率统计、立体几何等知识，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、集合运算、导数几何意义、概率计算、双曲线离心率、三棱锥外接球|第5题条件概率结合生活决策，第7题双曲线与正三角形综合考查几何直观| |填空题|3题15分|平面向量、随机移动路径计数、集合性质探究|第13题质点移动问题渗透数学建模，第14题集合性质考查创新思维| |解答题|5题77分|函数奇偶性与解析式、独立性检验、立体几何证明与线面角、线性回归、函数极值与零点|第18题以AI降噪实验为情境考查回归分析，第19题函数综合题深化逻辑推理与批判性思维|

湖南省长沙市开福区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B C B B A ACD BCD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】． 2．C 【详解】由，得，解得，所以. ，又，所以，所以. 3．D 【分析】利用不等式的性质结合特殊值即可判断. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，因为，所以，则，故D正确． 4．B 【详解】由，求导得， 所以质点在时的瞬时速度为． 5．C 【详解】设事件为“实际下雨”，事件为“预报下雨”， 则事件为“实际下雨且预报下雨”， ， ，所以． 6．B 【详解】由题意说明只有两次摸到白球，五次摸到红球， 由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是， 故共摸球七次只有两次摸到白球的概率是． 7．B 【分析】由条件结合对称性可得，，解直角三角形可得，，结合双曲线的定义求结论. 【详解】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 8．A 【分析】根据已知体积求出三棱锥各棱长，利用三棱锥三条棱两两垂直的特点将其补为长方体，通过长方体体对角线求出外接球半径，进而计算外接球表面积. 【详解】已知，，设，则， 由题意，又平面， 所以，已知， 解得，即，得， 因此， 将三棱锥补成一个长方体，如图，则为三棱锥外接球的直径， 在中，，外接球半径， 则，外接球表面积. 9．ACD 【分析】A选项，作出辅助线，得到线线平行，证明线面平行；B选项，由锥体体积公式进行求解；C选项，两平面展开，当三点共线时，取到最小值，得到答案；D选项，等体积法求解点到平面的距离 【详解】A选项，在正方体中，连接相交于点，显然互相平分， 故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面，A正确； B选项，正方体的棱长为4，显然四边形为正方形，设边长为， 显然，解得，边长为， 又⊥平面，显然， 故四棱锥的体积为， 由对称性可知，四棱锥的体积也为 八面体的体积为，B错误； C选项，因为为棱上的一点，将和展开成一个平面， 由题意知，，同理可得， 和为等边三角形，且边长为，展开图中， 连接，由三角形两边之和大于第三边，故当三点共线时，最小， 即线段即为最小值， 由余弦定理得，C正确； D选项，， 设点A到平面的距离为，且， ， 其中为等边三角形，边长为， 故，解得， 点A到平面的距离为，D正确. 10．BCD 【分析】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由可判断A选项；求出点的坐标，利用斜率的关系证明出，可判断C选项；证明出为的中点，结合中垂线的性质可判断B选项；求出点的坐标，可得出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，直线的斜率存在且不为零，设其斜率为， 则直线的方程为，即， 联立可得， 由，整理可得，解得， 故直线的斜率为，故A错误； 对于C选项，由A选项可知直线的方程为，则点， 易知点，直线的斜率为，则，即， 又因为，所以，故C正确； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得，即点， 又因为点，则为线段的中点， 又因为，故，故B正确； 对于D选项，，所以直线的方程为，即， 直线的方程为，联立可得，即点， 所以，故为等腰三角形，故D正确. 11．ACD 【分析】建立空间直角坐标系，检验是否为0即可判断选项；检验与是否存在数量关系即可判断选项；先求出与平面的法向量夹角余弦的绝对值，再利用同角三角函数关系即可判断选项；先取靠近点的四等分点，找到平面即为截面，即可判断选项. 【详解】选项A，以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，，， 所以，，则，所以，故A正确； 选项B，因为，，所以，所以不平行，故B错误； 选项C，因为正方体，所以平面， 因为平面，所以，因为，， ，平面，所以平面，即是平面的一个法向量， 又，，设直线与平面所成角为， 则． 所以，所以，所以C正确； 选项D，取靠近点的四等分点，易证,，，，四点共面， 所以平面即为平面截正方体的截面， 所以截面周长为， 因此选项D正确. 12． 【详解】已知，则 设，则 因为，所以（*）， 因为，所以， 将其代入（*），可得，解得 13．132 【分析】先确定4次移动后满足落在圆内的所有整数坐标点，再分别计算每个点对应的移动路径数，求和得到总方法. 【详解】因为质点每次移动一个单位，4次移动后横纵坐标均为整数，可得到横纵坐标同奇偶，原点， 满足，另外四个点分别为，，，，均满足， 情况1：到原点的路径数，分三类情况， ①仅上下移动：向上两步，向下两步，排列数为， ②仅左右移动：向左两步，向右两步，排列数， ③上下左右各1步：四个不同方向各走一步，全排列数为， 总路径数：， 情况2：到点的路径数，即向右比向左多一步，向上比向下多一步，总步数为4，分两类情况， ①抵消步为上下方向，向右一步，向上两步，向下一步，排列数为， ②抵消步为左右方向，向右两步，向左一步，向上一步，排列数为， 所以到的总路径数为，同理到，，三个点的路径数也均为24， 所以四个点总路径数为，所以所有符合条件的移动方法总数为：. 14．3 【分析】由题设条件可知，对任意两元素之差的绝对值，都能表示为某个元素与 的差的绝对值. 结合已知元素逐一讨论即可. 【详解】当 时，取 ，则，命题成立； 当 或 时，命题也显然成立； 由题意，对 ，应有 故或或， 解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 15．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 16．(1)列联表如下： 满意 不满意 合计 大一或大二 20 20 40 大三或大四 40 20 60 合计 60 40 100 (2)该校学生对食堂的满意度与年级有关联. 【分析】（1）根据表格直接将表格补齐； （2）根据独立性检验，代入与目标数值比较可得结论. 【详解】（1）略 （2）零假设：该校学生对食堂的满意度与年级无关. 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即该校学生对食堂的满意度与年级有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1. 17．(1)证明：取的中点为，连接. 因为分别是的中点，所以. 在正方体中，，又为的中点， 所以，四边形是平行四边形，. 又平面平面，所以平面． (2) 【分析】（1）取棱的中点，使目标直线与平面 内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证； （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线 的方向向量和平面 的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果． 【详解】（1）略． （2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为分别为的中点， 所以 所以， 设是平面的法向量，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18．(1)，迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系； (2)经验回归方程为;该AI模型至少需要迭代7轮才可以完成降噪 【分析】（1）利用相关系数的公式求解即可； （2）求出，利用的公式代值计算即可得到经验回归方程，令，解不等式即可求解. 【详解】（1）由题可得：， 样本相关系数 ，非常接近，说明迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系； （2）噪声残留量的取值为 因此：， 根据题意可得， 所以关于的经验回归方程为， 要使图象中的噪声残留量不高于25个/像素，则，即， 所以该AI模型至少需要迭代轮才可以完成降噪. 19．(1) (2)①当时，， ， 显然：在上单调递增，， ， 由零点存在定理和单调性可知，存在唯一的，满足， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增； 综上：函数在上有唯一的极小值点. ②由以上分析，在上单调递减，在单调递增， 则，， 故存在唯一，满足， 即在有唯一的零点. (3)，证明如下： 由（2）可知，，， ， 令，，则， 则， 即在上单调递减，所以，即， 则， 由于在上单调递增， 又，， 所以. 【分析】（1）分情况讨论函数的正负情况，即可得解； （2）求导根据导数判断导函数的单调性，结合零点存在定理可判断极值点，进而判断函数单调性与零点； （3）由，构造函数，求导判断函数单调性，进而确定正负，结合函数单调性，即可得证. 【详解】（1）当时，， 当时，恒成立； 当时，恒成立；综上：. （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市开福区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数，则（     ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．某质点按照运动规律运动，其中表示位移，表示时间，则时该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 5．某地天气预报：下雨时预报下雨的概率为0.8，不下雨时预报下雨的概率为0.1．该地某季节下雨的概率为0.2．小明按“预报下雨则带伞”行事．若某天小明带伞，则实际下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 6．袋中装有2个红球和1个白球，除颜色外完全相同，从袋中有放回地依次取出7个球，定义数列为，记为数列的前项和，则的概率为（   ） A． B． C． D． 7．已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（     ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点A到平面的距离为 10．抛物线的焦点为过点作的切线，与轴、轴分别交于点、；过坐标原点作的垂线，与直线交于点，则（ ） A．的斜率为 B． C． D．是等腰三角形 11．如图，已知棱长为2的正方体，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．直线与平面所成角的正切值为3 D．平面截正方体的截面周长为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______． 13．在平面直角坐标系中，一个质点从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，4次移动后质点落在圆内，不同的移动方法共有______种. 14．给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 16．某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查，调查结果如表所示： 满意 不满意 合计 大一或大二 20 大三或大四 20 60 合计 100 (1)补全列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联. 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17．如图，正方体的棱长为分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，图象中的噪声残留量（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量（个/像素） 70 60 52 45 38 并计算得：． (1)计算变量（迭代轮数）和变量（噪声残留量）的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度； (2)若图象中的噪声残留量不高于个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式： 样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，． 19．已知函数. (1)当时，若恒成立，求实数的值； (2)当，时，求证：函数在上有唯一的极值点和零点； (3)在（2）的条件下，试比较与的大小，并证明你的结论. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $