3.1　3.1.2　第2课时　分段函数-----2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦分段函数的定义、解析式、图象及应用，通过“某市空调公共汽车票价收费问题”的现实情境导入，引导学生从实际问题中发现不同区间对应不同关系，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接课前自主学习与课堂探究。 其亮点是以核心素养为导向，通过“数学抽象”（从票价问题抽象分段函数定义）、“数学运算”（典例1分段求值与解不等式）、“直观想象”（典例2图象绘制）培养学生能力。采用“实例引入-概念构建-方法总结-应用巩固”教学链条，类题通法提炼规律，课堂练习强化，助力学生提升逻辑思维与应用能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第2课时　分段函数 素养目标 思维导图 1.通过具体实例,了解简单的分段函数(数学抽象). 2.会求分段函数解析式,掌握分段函数图象的简单应用(数学运算). 课前自主学习 问题:某市空调公共汽车的票价按下列规则收费: (1)5千米以内,票价2元; (2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米的按5千米计算). 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起点站和终点站)有11个站点. ①从起点站出发,公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗? 提示:有函数关系. ②函数的解析式是什么? 提示:y= ③x与y之间有何特点? 提示:x在不同区间内取值时,与y对应的关系不同. 【核心概念】 在函数的定义域内,对于自变量x的______________,有着________________,这样 的函数通常叫做分段函数. 不同取值区间 不同的对应关系 课堂合作探究 探究点一　分段函数求值 【典例1】已知函数f(x)= (1)求f(f(10))的值; (2)若实数a满足a2-15a+36<0且f(a)=0,求a的值. 【思维导引】(1)代入分段函数解析式计算,即可得到结果; (2)由不等式可得3<a<12,然后代入计算,即可求得a. 【解析】(1)因为f(10)=-102+20×10-64=36, 则f(f(10))=f(36)=-36-+76=31. (2)由a2-15a+36<0可得(a-3)(a-12)<0,解得3<a<12,且f(a)=0,则-a2+20a-64=0,解得a=4或a=16(舍去). 【类题通法】 1.求分段函数值的方法 先确定要求值的自变量属于哪一段,然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.特别地,当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值. 2.已知函数值求字母的值的四个步骤 (1)讨论:对字母的取值范围分类讨论. (2)代入:由不同取值范围,代入对应的解析式中. (3)求解:通过解方程求出字母的值. (4)检验:检验所求的值是否在所讨论的区间内. 探究点二　分段函数的图象 【典例2】已知函数f(x)=1+(-2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数. (2)画出该函数的图象. 【思维导引】以x是否大于等于0为标准分段,画函数图象,注意端点的虚实. 【解析】(1)f(x)= (2)图象如图. 【类题通法】 1.作分段函数的图象时,定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点(关键点)处的断开或连接. 2.断开时要分清断开点处孰虚孰实.如本例中在x=0处两段图象是连接在一起的. 【定向训练】 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示,则y与x之间的函数解析式为　　　　　　　　　　　　　　　　　.  【解析】由题图知,当0≤x≤100时,设函数解析式为y=kx,则40=100k,得k=, 所以y=x, 当x>100时,设函数解析式为y=mx+n,则,解得, 所以y=x+20,综上y与x之间的函数解析式为y=. 答案:y= 探究点三　分段函数的简单应用 【典例3】(一题多问) 已知函数f(x)的解析式为f(x)=回答下列问题. (1)画出这个函数的图象; (2)求f(1),f(f(-2))的值; (3)解不等式f(x)<2; (4)函数f(x)的定义域、值域分别是多少? 【问题解读】(1)根据解析式分段画图象; (2)根据自变量的取值,代入分段函数解析式即可; (3)对x的范围进行讨论,解出之后求并集即可; (4)值域可利用图象求解. 【解析】(1)如图所示. (2)由已知得,f(1)=12=1,f(-2)=-2+2=0,则f(f(-2))=f(0)=0. (3)当x≤-1时,由f(x)<2可得,x+2<2,解得x<0,所以x≤-1; 当-1<x≤2时,由f(x)<2可得,x2<2,解得-<x<,所以-1<x<; 当x>2时,由f(x)<2可得,-x+6<2,解得x>4,所以x>4. 综上所述,x<或x>4, 不等式f(x)<2的解集为x<或. (4)定义域是各段的并集,所以定义域为R,由(1)图象可得,在x=2时,y最大取4,所以值域为(-∞,4]. 【类题通法】 1.分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求解. 2.若所给变量的范围不明确,计算时应分类讨论. 【定向训练】 设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是　　　　　　　　　　.  【解析】因为函数f(x)=,所以f(1)=1-4+6=3, 当x≥0时,由f(x)>f(1),可得x2-4x+6>3, 即x2-4x+3>0,解得x>3或x<1,因为x≥0,所以x>3或0≤x<1, 当x<0时,由f(x)>f(1),可得x+6>3,解得x>-3,所以-3<x<0, 综上,不等式f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞). 答案:(-3,1)∪(3,+∞) 课堂练习 1.函数f(x)=,则f(2)=(　　) A. B. C.或2 D.2 【解析】选D.由已知f(2)=2×2-2=2. 2.已知f(x)=则f()+f(-)的值等于(　　) A.-2 B.4 C.2 D.-4 【解题指南】解答本题先求出f(),再求出f(-),最后求两值之和. 【解析】选B.当x=时,f()=2×=, 当x=-时,f(-)=f(-)=f()=2×=, 所以f()+f(-)=4. √ √ 3.函数f(x)=|x-1|的图象是 (　　) 【解析】选B.方法一:函数的解析式可化为y=画出此分段函数的图象,B选项符合.方法二:由f(-1)=2,知图象过点(-1,2),B选项符合. √ 4.函数y=的定义域为　　　　,值域为　　　　.  【解析】作出函数的图象, 由图可知,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为{-2}∪(0,+∞). 答案:(-∞,0)∪(0,+∞)　{-2}∪(0,+∞) 5.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f()的值等于　　　　.  【解析】由题图可知f(3)=1,从而f()=f(1).又f(1)=2,故应填2. 答案:2 谢 谢 $