3.1.1 第2课时 函数的概念（二）-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数的概念及其表示，通过“合作探究·思维进阶”环节导入，引导学生从现实问题中抽象数量关系，结合前后知识构建概念体系，以“探究-评价-分层练”为学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于PPT支持任意编辑，教师可灵活调整内容。通过合作探究培养学生用数学眼光发现问题、用数学思维分析关系，课后分层练设计不同层次题目，让学生用数学语言表达函数关系。采用探究式教学，学生能提升数学探究能力和分层学习效果，教师可高效整合教学资源，优化课堂设计。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第三章 函数的概念及其表示 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．1.1　函数的概念 第2课时　函数的概念(二) 学习目标　1.会判断两个函数是否为同一个函数，提升数学抽象素养．(重点)　2.能正确使用区间表示数集，提升数学运算素养．(重点) 3.会求一些简单函数的值域．提升数学运算素养．(重点、难点) 　区间的概念 设计运行时速达350 km的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200 km/h与350 km/h之间． 问题1　如何用不等式表示列车的运行速度的范围？ 提示：200≤v≤350. 问题2　如何用集合表示列车的运行速度的范围？ 提示：{v|200≤v≤350}． (a，b] 1．一般区间的表示 设a，b是两个实数，且a<b，规定如下： 集合 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 {x|a<x<b} 开区间 {x|a≤x<b} 半开半闭区间 {x|a<x≤b} 半开半闭区间 [a，b] (a，b) [a，b) (－∞，b) 2．特殊区间的表示 集合 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] 例1　(链接教材：人教A版P64)把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－2}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1，或2≤x≤4}． 解：(1){x|x≥－2}＝[－2，＋∞). (2){x|x<0}＝(－∞，0). (3){x|－1<x<1}＝(－1，1). (4){x|0<x<1，或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4]. 类题通法 　 用区间表示数集时的注意点 区间左端点值小于右端点值； 区间两端点之间用“，”隔开； 含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； 以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 【迁移运用】 1.若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________． 解：因为[a，3a－1]为一确定区间，所以a<3a－1，解得a> eq \f(1,2)，所以a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 　同一个函数　 问题3　构成函数的要素有哪些？ 问题4　结合函数的定义，如何才能确定同一个函数？ 问题5　函数y＝x与g(x)＝|x|的对应关系与值域是否分别相同？ 提示：定义域、对应关系和值域． 提示：两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致． 提示：都不相同． 前提条件 如果两个函数的 相同，并且 完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 定义域 对应关系 例2　(链接教材：人教A版P66例3)(多选)给出下列各组函数： ①f(x)＝ eq \f(x2－x,x)，g(x)＝x－1； ②f(x)＝ eq \r(x＋1)· eq \r(1－x)，g(x)＝ eq \r(1－x2)； ③f(x)＝ eq \r((x＋3)2)，g(x)＝x＋3； ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5). 其中表示同一函数的是________(填序号). 解析：①定义域不同，不是同一函数． ②f(x)与g(x)的定义域都是[－1，1]，且对应关系相同，是同一函数． ③f(x)＝ eq \r((x＋3)2)＝|x＋3|与g(x)＝x＋3对应关系不同，不是同一函数． ④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数． ⑤f(t)与g(x)的定义域和对应关系分别对应相同，是同一函数． 答案：②⑤ 类题通法 判断两个函数是否为同一个函数的步骤 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝ eq \f(x2,x) B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 C．f(x)＝ eq \f((\r(x))2,x)，g(x)＝ eq \f(x,(\r(x))2) D．f(t)＝ eq \f(t2－16,t－4)，g(t)＝t＋4(t≠4) 解析：选CD．对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于C，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； 对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数． 　求抽象函数的定义域　 例3　已知函数f(x)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域． 解：因为f(x)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2， 所以函数y＝f(2x＋1)满足1≤2x＋1≤2，所以0≤x≤ eq \f(1,2)， 所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为[0， eq \f(1,2)]. 变式探究　(1)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域． 解：因为y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2， 所以3≤2x＋1≤5，所以函数f(x)的定义域满足3≤x≤5， 即函数f(x)的定义域为[3，5]. (2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域． 解：因为y＝f(2x＋1)的定义域[1，2]，即1≤x≤2， 所以3≤2x＋1≤5，所以函数y＝f(2x－1)满足3≤2x－1≤5，即2≤x≤3， 所以函数f(2x－1)的定义域为[2，3]. 类题通法 已知f(x)的定义域求解f(g（x）)的定义域，或已知f(g（x）)的定义域求f(x)定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同. 　求一些简单函数的值域 例4　求下列函数的值域： (1)y＝ eq \r(x)－1； (2)y＝ eq \f(x,x＋1)； (3)y＝ eq \f(x2＋8,x－1)(x>1)； (4)y＝2x－ eq \r(x－1). 解：(1)(直接法)因为 eq \r(x)≥0，所以 eq \r(x)－1≥－1， 所以y＝ eq \r(x)－1的值域为{y|y≥－1}． (2)(分离常数法)因为y＝ eq \f(x,x＋1)＝1－ eq \f(1,x＋1)，且定义域为{x|x≠－1}，所以 eq \f(1,x＋1)≠0，即y≠1. 所以函数y＝ eq \f(x,x＋1)的值域为{y|y∈R，且y≠1}． (3)(基本不等式法)由x>1，知x－1>0. 则y＝ eq \f(x2＋8,x－1)＝ eq \f((x－1)2＋2(x－1)＋9,x－1)＝(x－1)＋ eq \f(9,x－1)＋2≥2 eq \r((x－1)·\f(9,x－1))＋2＝8. 当且仅当x－1＝ eq \f(9,x－1)，即x＝4时，取“＝”． 所以y＝ eq \f(x2＋8,x－1)(x>1)的最小值为8. 故函数y＝ eq \f(x2＋8,x－1)的值域为{y|y≥8}． (4)(换元法)设t＝ eq \r(x－1)，则t≥0，且x＝t2＋1， 所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－ eq \f(1,4))2＋ eq \f(15,8)， 由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为{y|y≥ eq \f(15,8)}． 类题通法 求函数值域的常用方法 对一些简单的函数，用观察法直接求解． 对于二次函数，常用配方法求值域． 对于分式类型的函数，采用分离常数法，转化为“反比例函数”的形式，便于求值域． (4)对于带根号的函数，常用换元法转化为有理函数，间接地求原函数的值域． 　　 【迁移运用】 3.求下列函数的值域： (1)y＝ eq \f(8,x2)，x∈[1，2)；(2)y＝x＋ eq \f(4,x)(x>0)； (3)y＝ eq \r(－2x2＋x＋3). 解：(1)因为1≤x<2，所以1≤x2<4， 所以 eq \f(1,4)< eq \f(1,x2)≤1，所以2< eq \f(8,x2)≤8，所以函数的值域是(2，8]. (2)因为x>0，所以x＋ eq \f(4,x)≥＝4(当且仅当x＝2时取等号)，可知y＝x＋ eq \f(4,x)(x>0)的值域为[4，＋∞). (3)因为y＝ eq \r(－2x2＋x＋3)＝，所以0≤y≤ eq \f(5\r(2),4)， 所以原函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5\r(2),4))). 1．下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A．y＝x＋1与y＝ eq \f(x2－1,x－1) B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 解析：选B．A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D中不是同一个函数；B选项中两函数的定义域和对应关系均相同，是同一个函数． 2．已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　) A．{x|－1≤x≤9} B．{x|－3≤x≤7} C．{x|－2≤x≤1} D．{x|－2≤x≤ eq \f(1,2)} 解析：选D．∵函数y＝f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}， ∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤2}． ∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤ eq \f(1,2). 即函数f(2x＋1)的定义域为{x|－2≤x≤ eq \f(1,2)}． 3．已知f(x)＝x－6，若f(a)＝1，则f(a2)＝________． 解析：若f(a)＝a－6＝1，则a＝7， ∴f(a2)＝f(49)＝49－6＝43. 答案：43 4．求下列函数的定义域，并用区间表示． (1)y＝ eq \f((x＋1)0,\r(x＋2))； (2)y＝ eq \f(\r(5－x),|x|－3). 解：(1)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2， 所以函数y＝ eq \f((x＋1)0,\r(x＋2))的定义域为(－2，－1)∪(－1，＋∞). (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3， 所以函数y＝ eq \f(\r(5－x),|x|－3)的定义域为(－∞，－3)∪(－3，3)∪(3，5]. “双曲”函数 (链接教材：人教A版P73习题3.1T5) 感悟升华 形如y＝ eq \f(ax＋b,cx＋d)(c≠0，a≠0)的函数，通过分离常数可转化y＝m＋ eq \f(t,x＋n)(t≠0)的形式，故它的图象可由反比例函数y＝ eq \f(t,x)(t≠0)的图象通过平移得到，其形状与反比例函数y＝ eq \f(t,x)(t≠0)的图象的形状一样，都是双曲线，故常称其为“双曲”函数．其对称中心是点(－n，m)，定义域为{x|x≠－n}，值域为{y|y≠m}． 【基础巩固】 1．已知集合A＝{x|y＝ eq \r(x＋1)}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩(∁RB)＝(　　 ) A．[0，1) B．(－∞，1) C．[－1，1) D．[－1，1] 解析：选C．因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}＝[－1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以∁RB＝(－∞，1)，所以A∩(∁RB)＝[－1，1). 2．已知函数f(x－3)＝x2－x＋1，则f(－1)＝(　　 ) A．－5 B．－1 C．2 D．3 解析：选D．取x＝2，有f(－1)＝22－2＋1＝3. 3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)＋f(y)＝x＋y，则f(2)＝(　　 ) A．0 B． eq \f(1,2) C．1 D．2 解析：选D．令x＝y＝2，则f(2)＋f(2)＝4，所以f(2)＝2. 4．已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为(　　 ) A．[－ eq \r(2)， eq \r(2)] B．(－∞， eq \r(2)] C．[1， eq \r(2)] D．[－ eq \r(2)，1] 解析：选D．由题可知f(x)＝的定义域为(－∞，2]，则为使g(x)＝f(2x)＋f(x2)有意义必须且只需 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x≤2，,x2≤2，))解得－ eq \r(2)≤x≤1，所以g(x)的定义域为[－ eq \r(2)，1]. 5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　) A．4 m B．3 m C．2 m D．1 m 解析：选A．y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，故水喷出的最大高度是4 m. 6．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝|x|，y＝ eq \r(x2) B．y＝x，y＝ eq \f(x2,x) C．y＝1，y＝x0 D．y＝|x|，y＝( eq \r(x))2 解析：选A．选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数． 7．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2 023]，则函数g(x)＝ eq \f(f(x＋1),x－2)的定义域是(　　 ) A．[－1，2 022] B．[－1，2)∪(2，2 022] C．[1，2)∪(2，2 024] D．(1，2 024] 解析：选B．由题意得0≤x＋1≤2 023且x－2≠0，解得－1≤x≤2 022且x≠2，故g(x)＝ eq \f(f(x＋1),x－2)的定义域为[－1，2)∪(2，2 022]. 8．(多选)下列函数，值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝x＋1(x>－1) B．y＝x2 C．y＝ eq \f(1,x)(x>0) D．y＝ eq \f(1,x＋1) 解析：选AC．A选项，函数y＝x＋1(x>－1)的值域为(0，＋∞)，正确； B选项，函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，错误； C选项，函数y＝ eq \f(1,x)(x>0)的值域为(0，＋∞)，正确； D选项，函数y＝ eq \f(1,x＋1)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，错误． 9．记函数f(x)＝ eq \r(3＋x)－ eq \r(－x－1)的定义域为集合M，函数g(x)＝x2－4x＋3的值域为集合N，求： (1)M，N； (2)M∩N，M∪N. 解：(1)由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3＋x≥0，,－x－1≥0，))解得－3≤x≤－1， 即M＝[－3，－1]. 由题意得，g(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即N＝[－1，＋∞). (2)由(1)可知，M＝[－3，－1]，N＝[－1，＋∞)， 所以M∩N＝{－1}，M∪N＝[－3，＋∞). 【综合运用】 10．(多选)下列命题正确的是(　　) A．命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0” B．f(x)＝x－1与g(x)＝ eq \f(x2－1,x＋1)是同一个函数 C．函数y＝x＋ eq \r(x－1)的值域为[0，＋∞) D．若函数f(x＋1)的定义域为[1，4]，则函数f(x)的定义域为[2，5] 解析：选AD．对于A，命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，故A正确； 对于B，函数f(x)＝x－1的定义域为x∈R，函数g(x)＝ eq \f(x2－1,x＋1)的定义域为{x|x≠－1}， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数y＝x＋ eq \r(x－1)的定义域为[1，＋∞)， 函数y＝x＋ eq \r(x－1)＝( eq \r(x－1))2＋ eq \r(x－1)＋1，令t＝ eq \r(x－1)，则t≥0， 所以y＝t2＋t＋1＝(t＋ eq \f(1,2))2＋ eq \f(3,4)≥1，所以函数y＝x＋ eq \r(x－1)的值域为[1，＋∞)，故C错误； 对于D，若函数f(x＋1)的定义域为[1，4]，可得2≤x＋1≤5，则函数f(x)的定义域为[2，5]，故D正确． 11．函数f(x)＝x＋ eq \r(1－4x)的值域是(　　) A．[ eq \f(1,4)，＋∞) B．[ eq \f(5,4)，＋∞) C．(－∞， eq \f(1,4)] D．(－∞， eq \f(5,4)] 解析：选D．由1－4x≥0得x≤ eq \f(1,4)，设t＝ eq \r(1－4x)，则t≥0，且t2＝1-4x， 即x＝ eq \f(1－t2,4)， 则f(x)等价为y＝ eq \f(1－t2,4)＋t＝－ eq \f(1,4)(t－2)2＋ eq \f(5,4)，抛物线开口向下，对称轴为t＝2， ∵t≥0，∴当t＝2时函数取得最大值 eq \f(5,4)， 即f(x)≤ eq \f(5,4)，即函数的值域为(－∞， eq \f(5,4)]. 12．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥2； ②若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－2.则f(0)＝(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C．令x1＝x2＝0，由①对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥2， ∴f(0)≥2， 又由②得f(0)≥2f(0)－2，即f(0)≤2； ∴f(0)＝2. 13．如图所示，用长为1的铁丝做一个下面为矩形、上面为半圆的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数，并写出定义域． 解：由题意知，AB＝2x，的长为πx， 于是AD＝ eq \f(1－2x－πx,2)， ∴y＝2x· eq \f(1－2x－πx,2)＋ eq \f(πx2,2)， 即y＝－ eq \f(π＋4,2)x2＋x. 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x>0，,\f(1－2x－πx,2)>0，))解得0<x< eq \f(1,π＋2)， ∴所求函数的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,π＋2))). 故所求的函数为y＝－ eq \f(π＋4,2)x2＋x，定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,π＋2))). 即y＝－ eq \f(π＋4,2)x2＋x. 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x>0，,\f(1－2x－πx,2)>0，))解得0<x< eq \f(1,π＋2)， ∴所求函数的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,π＋2))). 故所求的函数为y＝－ eq \f(π＋4,2)x2＋x，定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,π＋2))). 14．设函数f(x)＝. (1)当m＝－1时，求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围． 解：(1)依题意，满足函数f(x)有意义，则mx2＋mx＋2≥0， 当m＝－1时，则－x2－x＋2≥0， 解得－2≤x≤1， 故函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，1)). (2)若函数f(x)＝ eq \r(mx2＋mx＋2)的定义域为R， 则对任意的x∈R，mx2＋mx＋2≥0恒成立， 当m＝0时，2≥0显然成立． 当m≠0时，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝m2－8m≤0，))解得0<m≤8. 综上，实数m的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，8)). 【创新探索】 15．我们规定：与函数f(x)的解析式相同，值域相同但定义域不同的函数叫f(x)的“孪生函数”，那么解析式为y＝2x2－1，值域为{1，－1}，定义域为{－1，0}的函数f(x)的“孪生函数”有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B．根据题意，令2x2－1＝1，解得x＝±1，令2x2－1＝－1，解得x＝0， 故解析式为y＝2x2－1，值域为{1，－1}，定义域为{－1，0}的函数f(x)的“孪生函数”定义域为{0，1}或{－1，0，1}，因此只有2个． $