专题1.2 集合间的基本关系（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系，以韦恩图为直观工具，系统讲解子集、真子集、集合相等、空集的定义与关系，明确⊆、⫋等符号规范，构建从概念理解到性质应用再到含参问题求解的递进式学习支架。 通过数形结合培养几何直观（数学眼光），实例类比与逻辑推理提升推理能力（数学思维），规范符号使用强化数学语言表达。题型分层设计，课中助教师高效授课，课后即学即练与变式训练帮助学生查漏补缺，如空集性质应用避免漏解，培养严谨思维。

专题1.2 集合间的基本关系 教学目标 1.理解子集、真子集、相等集合、空集的定义，能准确判断两个集合间的包含、相等关系，会正确使用⊆、⫋、= 等符号。 2.通过实例类比、Venn 图数形结合分析集合关系，提升观察归纳、逻辑推理与符号语言表达能力。 3.感受集合语言的严谨性，体会数形结合思想，养成规范使用数学符号的习惯。 4.能根据集合间关系求解参数取值范围，会列举一个集合的全部子集与真子集。 教学重难点 1.重点 子集、真子集、集合相等、空集的概念理解。 集合关系专用符号（⊆、⫋、∈、⊈）的区分与规范书写使用。 用 Venn 图直观表示集合间的包含关系。 2.难点 区分元素与集合的从属关系∈、集合与集合的包含关系⊆两类不同符号。 理解空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集这一特殊性质。 已知集合包含关系求解含参问题，避免漏解空集情况。 准确列举一个集合所有子集、真子集，不重不漏。 知识点01 图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 【即学即练】 1．已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案. 【详解】，集合没有包含关系 故选：A 2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是______（填序号）. 【答案】② 【分析】先化简集合N，得N＝{﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案． 【详解】解：．由N＝{x|x2+x＝0}， 得N＝{﹣1，0}． ∵M＝{﹣1，0，1}， ∴N⊊M， 故答案为②． 【点睛】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 3．已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N={ x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案． 解：由N={x|x2+x=0}， 得N={﹣1，0}． ∵M={﹣1，0，1}， ∴N⊂M， 故选B． 知识点02 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练】 1．已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得真包含真包含，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【分析】（1）化简，再结合真包含真包含逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【详解】（1）当时， ， ． 又因为真包含真包含，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 2．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 3．满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，写出符合题意的集合即可. 【详解】根据题意，是集合的子集， 集合是的子集， 符合题意的集合为： ，，，， ，，，，共8个. 故选：A 知识点03 集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练】 1．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 2．下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案 【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 3．（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同. 【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确； B选项，均为点集，但包含的元素不同，则两集合不同，故B正确； C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确； D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误. 故选：ABC 知识点04 真子集的含义 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 记作：AB（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 【即学即练】 1．若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 2．集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 3．已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 知识点05 空集的含义 不含有任何元素的集合称为空集，记作：. 规定：空集是任何集合的子集。 结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。 【即学即练】 1．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 2．设集合. (1)当时，求的取值范围； (2)设，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，可得，化简即可求解， （2）根据B是集合A的真子集，讨论 和 两种情况即可求解. 【详解】（1）， 解得：，故的取值范围为. （2）是的必要不充分条件，； 当时，， 解得：，此时满足； 当时，,解得：， 与不同时成立， 当时，满足； 所述：的取值范围为. 3．若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型01 判断两个集合的包含关系 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）. 【典例1】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 【变式1】已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 【变式2】设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 题型02 判断子集（真子集）的个数 （分类讨论是写出所有子集的方法） 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏. 2.若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用. 【典例1】（1）若是的真子集，则实数的取值范围是______. （2）设，且是的真子集，则______，______. 【答案】 【分析】（1）原条件等价于有实数解，由此即可求得的范围； （2）由题意可得关于的二元一次方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）因为是任何非空集合的真子集，所以不是空集， 即有实数解，故，即实数的取值范围是. （2）因为是的真子集，所以，解得. 故答案为：（1）；（2）；. 【变式1】设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为______. 【答案】15 【分析】根据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】是自然数集，，需要舍去， 所以满足“， 若，则”的集合是集合的非空子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， 所以将集合看作有4个元素，其非空子集个数为. 故答案为：15. 【变式2】已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 题型03 求集合中子集（真子集） 【典例1】设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 【变式1】已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【变式2】（多选）已知集合，集合，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集定义直接判断即可. 【详解】，，，，， 可以是、和. 故选：ABC. 题型04 空集的概念集判断 【典例1】（多选）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 【变式1】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【变式2】（多选）下列选项中正确的是（    ） A．质数奇数 B．集合与集合没有相同的子集 C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 【答案】CD 【分析】根据质数奇数的定义即可求解A，根据空集即可求解B，根据集合的性质即可求解CD. 【详解】对于A.2是质数，但是它不是奇数，所以质数奇数错误，所以A错误； 对于B.集合与集合有相同的子集，所以B错误； 对于C.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以C正确； 对于D.若，则，所以D正确. 故选：CD. 题型05 空集的性质及应用 【典例1】（多选）下列命题中，是真命题的有（   ） A．有理数集可以表示为 B．若（其中），则 C． D． 【答案】BC 【分析】举反例判断A；根据集合相等求解判断B；根据空集是任何集合的子集判断C；根据数集关系判断D. 【详解】对于A，是有理数，而，A为假命题； 对于B，由，得，则，B为真命题； 对于C，方程的解为，集合是非空集合， 则，C为真命题； 对于D，，则，D为假命题. 故选：BC 【变式1】下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 【变式2】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 题型06 判断两个集合是否相等 【典例1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合相同概念逐个判断即可. 【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 【变式1】若集合，，，则的关系是（    ） A．  B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示含义即可得到答案. 【详解】已知，，， 显然可表示整数，而只能表示偶数；所以． 故选：A． 【变式2】（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】为点集，为数集，所以，故A错误； ，，所以，故B错误； ，，所以，故C正确； ，，所以，故D正确； 故选：CD 题型07 根据两个集合相等求参数 【典例1】已知集合，若①；②；③中有且只有一个正确，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论求解. 【详解】假设③对，则①②错，又，所以， 此时； 假设②对，则①③错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设①对，则②③错，所以， ，而，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立. 综上所述，. 故选：B 【变式1】若由组成的集合与由组成的集合相等，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意，得到和且，求得，的值，将其代入，进行计算求值，即可得到答案. 【详解】由题意知，集合，可得，所以， 此时，则且，所以， 所以． 故答案为：. 【变式2】设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用集合相等列式求值并验证得解. 【详解】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A 题型08根据集合的包含关系求参数 （根据集合之间关系，求参数的值或范围） 1.求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示. 2.涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视. 【典例1】已知，若，则的取值范围为______. 【答案】或 【分析】分为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得解. 【详解】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集. 因为， 所以，若为空集，则，解得； 若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； 若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得 综上所述，的取值范围为或. 故答案为：或. 【变式1】已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先求出集合中绝对值不等式的解集，然后根据子集的定义求出结果. 【详解】集合，由，得 解得且， 所以实数的取值范围是且. 故选：D. 【变式2】设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，分情况建立方程，利用集合元素的互异性验根，可得答案. 【详解】由题意知可知； 令，可得，则，不符合题意； 令，分解因式可得，解得或， 当时，，符合题意. 故选：D. 题型09 新定义题 【典例1】设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A； (2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）写出即可； （2）根据性质可知，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可． 【详解】（1），由， 恰含有两个元素且具有性质的集合满足要求； （2）非空实数集A具有性质，不妨设， 由非空数集A具有性质，有．故中必有1， ①若，易知此时集合A具有性质． ②若实数集A只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合具有性质． ③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设，， 则，，，，， 依次类推，可得， 若，，，同理可得， 且， 故对于任意的，都有，集合A具有性质； 综上可知集合A具有性质. 【变式1】是集合的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则的最大值是______（这里表示的元素个数）. 【答案】1350 【分析】因为1～9的平方除以9的余数只能是0，1，4，7，且任意两个数的平方和是9的倍数只能要求这两个数的平方本身是9的倍数，即可求得结果. 【详解】因为， 1～9的平方是9的倍数的数有3个：的平方除以9的余数分别是1，4，0，7，7，0，4，1，0， 所以任意一个整数的平方被9除的余数只能是0，1，4，7， ，， 则余数为的任意两个数的和（除0和0外）均不是9的倍数， 任意两个数的平方和是9的倍数只能要求这两个数的平方本身是9的倍数， 余1， 的平方是9的倍数的数有674个， 的最大值为. 故答案为：. 【变式2】（多选）用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分析可知，或，对集合的元素个数进行分类讨论，利用根与系数的关系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可. 【详解】对，有， 故，则或， 当时，由， 故，则有，即， 此时，符合要求； 当时，则，故， 对于，若，解得， ① 当时，，解得， 此时，符合要求； ② 当时，，解得， 此时，符合要求. 若，则有一根属于，另一根不属于， 当时，有，故不是的根， 当时，有，故不是的根， 故时，不合题意； 综上所述，实数的值可能为或． 故选：ABD. 1．已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 2．集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 3．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 4．已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，因为， 此时，都有， 所以. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又，， 则，解得. 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 6．已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 7．已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 8．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 9．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 10．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【详解】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 1．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 2．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 3．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由可知中元素必属于，故或；分别求解后，结合集合元素的互异性排除，最终得或． 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 4．已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 5．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 6．已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【分析】分，两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合， ， 所以. 8．设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 9．设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 10．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，代入得，再求解即可； （2）分集合为或有且仅有一个元素两种情况进行求解，其中当集合有且仅有一个元素时，注意对方程的二次项系数分和两种情况进行分别求解即可． 【详解】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系 教学目标 1.理解子集、真子集、相等集合、空集的定义，能准确判断两个集合间的包含、相等关系，会正确使用⊆、⫋、= 等符号。 2.通过实例类比、Venn 图数形结合分析集合关系，提升观察归纳、逻辑推理与符号语言表达能力。 3.感受集合语言的严谨性，体会数形结合思想，养成规范使用数学符号的习惯。 4.能根据集合间关系求解参数取值范围，会列举一个集合的全部子集与真子集。 教学重难点 1.重点 子集、真子集、集合相等、空集的概念理解。 集合关系专用符号（⊆、⫋、∈、⊈）的区分与规范书写使用。 用 Venn 图直观表示集合间的包含关系。 2.难点 区分元素与集合的从属关系∈、集合与集合的包含关系⊆两类不同符号。 理解空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集这一特殊性质。 已知集合包含关系求解含参问题，避免漏解空集情况。 准确列举一个集合所有子集、真子集，不重不漏。 知识点01 图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够________表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 【即学即练】 1．已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是______（填序号）. 3．已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N={ x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是（ ） A． B． C． D． 知识点02 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有________关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的________关系. 【即学即练】 1．已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得真包含真包含，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 3．满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 知识点03 集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序________ 【即学即练】 1．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 3．（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点04 真子集的含义 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的________。 记作：AB（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 【即学即练】 1．若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 2．集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 知识点05 空集的含义 不含有任何元素的集合称为空集，记作：. 规定：空集是任何集合的子集。 结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。 【即学即练】 1．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．设集合. (1)当时，求的取值范围； (2)设，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 3．若集合，则实数的取值范围是_____. 题型01 判断两个集合的包含关系 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）. 【典例1】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 题型02 判断子集（真子集）的个数 （分类讨论是写出所有子集的方法） 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏. 2.若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用. 【典例1】（1）若是的真子集，则实数的取值范围是______. （2）设，且是的真子集，则______，______. 【变式1】设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为______. 【变式2】已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 题型03 求集合中子集（真子集） 【典例1】设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【变式2】（多选）已知集合，集合，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 题型04 空集的概念集判断 【典例1】（多选）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【变式2】（多选）下列选项中正确的是（    ） A．质数奇数 B．集合与集合没有相同的子集 C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 题型05 空集的性质及应用 【典例1】（多选）下列命题中，是真命题的有（   ） A．有理数集可以表示为 B．若（其中），则 C． D． 【变式1】下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【变式2】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 题型06 判断两个集合是否相等 【典例1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】若集合，，，则的关系是（    ） A．  B． C． D． 【变式2】（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 题型07 根据两个集合相等求参数 【典例1】已知集合，若①；②；③中有且只有一个正确，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【变式1】若由组成的集合与由组成的集合相等，则的值为________． 【变式2】设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 题型08根据集合的包含关系求参数 （根据集合之间关系，求参数的值或范围） 1.求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示. 2.涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视. 【典例1】已知，若，则的取值范围为______. 【变式1】已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 题型09 新定义题 【典例1】设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A； (2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质. 【变式1】是集合的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则的最大值是______（这里表示的元素个数）. 【变式2】（多选）用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 1．已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 2．集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 3．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 4．已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 6．已知且，集合，．若，则______． 7．已知，若，求的值 8．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 9．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 2．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 3．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 6．已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．设集合，若，则__________. 9．设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 10．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $