2027届高考数学一轮复习----8.第2课时　直线与双曲线的位置关系

**基本信息** 以代数法与几何法双轨解题为核心，系统覆盖直线与双曲线位置关系的判定、计算及综合应用，强化逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|13题|联立方程判别式法、定义法求离心率、中点弦斜率公式、弦长公式|从位置关系判定（选择1-4）到几何性质应用（选择5-8），再到计算与证明（填空9-11、解答12-13），形成"概念-性质-应用"递进链条| |素养提升|2题|切线方程参数法、对称点坐标变换|结合高考热点（切线存在性、面积比值问题），深化方程思想与转化能力，体现直观想象与数学建模素养|

微练(六十八)　直线与双曲线的位置关系 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.若过原点的直线l与双曲线x2-y2=1没有公共点,则直线l倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2.过双曲线-y2=1的右焦点作与x轴垂直的直线,交双曲线于A,B两点,则|AB|=(　　) A.2 B. C.3 D.6 3.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F1作直线与它的两条渐近线分别交于A,B两点,且=0,=,O是坐标原点,则该双曲线的离心率是(　　) A.2 B. C. D.3 4.已知直线y=kx+1与双曲线x2-=1交于A,B两点,且|AB|=8,则实数k的值为(　　) A.± B.±或± C.± D.± 5.(2026·济南模拟)如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1(-,0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为(　　) A.-=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.-=1 6.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A,B两点,D为线段AB的中点,若kAB·kOD=,则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 二、多项选择题 7.已知F是双曲线C:-=1的上焦点,A,B是C上的两点,则下列结论正确的是(　　) A.若F是AB的中点,则|AB|=4 B.|AF|的最小值为4 C.点F到C的两条渐近线的距离的乘积为12 D.若AB的中点坐标为(2,8),则直线AB的斜率为 8.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在第一象限并且在双曲线的渐近线上,且满足=7c2,过P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为平行四边形,则下列选项中正确的是(　　) A.C的离心率为 B.四边形F1F2PQ的面积为8a2 C.|PF1|2-|PF2|2=7c2 D.点Q到双曲线的两条渐近线的距离之积为4b2 三、填空题 9.过点(0,2)与双曲线-=1有且仅有一个公共点的直线l的斜率的取值集合是　　　　.  10.(2026·西安模拟)设P为双曲线x2-=1上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、四象限.若=,则△AOB的面积为　　　　.  11.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A,B两点,P是AB的中点,O为坐标原点,若直线OP的斜率为,则b的值是　　　　　.  四、解答题 12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1的渐近线相同,且经过点(2,3). (1)求双曲线C的方程; (2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过F2,倾斜角为π,l与双曲线C交于A,B两点,求△F1AB的面积. 13.(2026·石家庄模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),左、右焦点分别为F1,F2,两条渐近线为y=±x,且经过点(,). (1)求双曲线C的方程; (2)设过原点的直线l与C交于M,N两点且点M在第一象限, (ⅰ)若以MN为直径的圆恰好过右焦点F2,求点M的坐标. (ⅱ)连接NF2与双曲线C交于点E,若△EMN面积为6,求直线NF2的方程. 素养提升 14.已知双曲线x2-=1(b>0),若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线,则该双曲线的离心率e的取值范围为　　　　.  15.已知F1,F2为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P(2,)在双曲线上,过F2的直线l交C的右支于A,B两点,且|AF1|-|AF2|=4. (1)求C的方程; (2)点A关于x轴的对称点为D(异于点B),直线BD交x轴于点E,记△DF1E,△DF2E的面积分别为S1,S2,求的值. 微练(六十八)　直线与双曲线的位置关系 1.D　解析　因为直线l的方程为y=kx,所以⇒x2-k2x2=1,所以(1-k2)x2-1=0.当k2-1≠0,即k≠±1时,Δ=0+4(1-k2)<0,所以1-k2<0,所以k2>1,所以k>1或k<-1,如图,当k=±1时,直线l与双曲线x2-y2=1无交点.综上,k≥1或k≤-1,设倾斜角为α.因为k=tan α.所以tan α≥1或tan α≤-1,所以α∈.故选D. 2.B　解析　在双曲线-y2=1中,a=,b=1,则c==2,所以,双曲线-y2=1的右焦点坐标为(2,0),由题意可知,直线AB的方程为x=2,联立可取A,B,故|AB|=.故选B. 3.A　解析　由双曲线方程可得渐近线方程为y=±x,又因为=0,=,可知A为线段F1B的中点,且OA⊥F1B,因此OB=OF1=c,可知△BOF1为等腰三角形,即∠AOF1=∠BOA,连接F2B,如图所示.由双曲线性质可得∠AOF1=∠F2OB,所以∠AOF1=∠BOA=∠F2OB=60°,可得=tan 60°=,即b2=3a2,所以e===2.故选A. 4.B　解析　由直线与双曲线交于A,B两点,得k≠±2.将y=kx+1代入x2-=1,得(4-k2)x2-2kx-5=0,由Δ=4k2+4×(4-k2)×5>0,得k2<5.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|==8,解得k=±或k=±.故选B. 5.C　解析　根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a　①,|BF1|-|BF2|=2a　②,由于△ABF2为等边三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,又∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,所以双曲线的方程为x2-=1.故选C. 6.D　解析　解法一:不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线为y=k(x-c),k≠0,令A(x1,y1),B(x2,y2)由整理得(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-(a2k2c2+a2b2)=0,Δ>0,则x1+x2=,x1x2=,D,则kOD==,由kAB·kOD=,可得·k=,则有a2=2b2,即3a2=2c2,则双曲线C的离心率e==.故选D. 解法二:因为kAB·kOD==,所以e===.故选D. 7.ACD　解析　对于A,由双曲线C:-=1,可得焦点在y轴上,a=6,b=2,c=4,若F是AB的中点,则直线AB⊥y轴,|AB|==4,A正确;对于B,若点A在x轴上方,|AF|的最小值为c-a=4-6,若点A在x轴下方,|AF|的最小值为c+a=4+6,B错误;对于C,由题意得F(0,4),=,所以双曲线的渐近线方程为x-y=0或x+y=0,所以点F到C的两条渐近线的距离乘积为×=12,C正确;对于D,设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=0.因为AB的中点坐标为(2,8),所以-=0,即=,所以直线AB的斜率为,此时直线AB的方程为3x-4y+26=0,由联立,检验可知Δ>0,D正确.故选ACD. 8.ABD　解析　由四边形F1F2PQ为平行四边形,所以P,Q的横坐标分别为2c,0,且P点在y=x上,所以P,Q,又因为=7c2,所以3c2+=7c2,即3+=,解得=1,又c2=a2+b2,故c==a;对于A,离心率e==,A正确;对于B,S平行四边形=|F1F2|·|yp|=2c·=8a2,B正确;对于C,|PF1|==c,同理|PF2|=c,所以|PF1|2-|PF2|2=8c2,C错误;对于D,点Q,渐近线为y=-x,y=x,根据点到直线的距离公式,得d1·d2=×=2c2=4b2,D正确.故选ABD. 9.　解析　设直线l的方程为:y=kx+2,联立双曲线-=1得:(16-9k2)x2-36kx-180=0,当16-9k2=0时,方程有唯一解,此时k=±.当16-9k2≠0时,令Δ=0,则Δ=(36k)2-4(16-9k2)·(-180)=0,解得k=±. 10.2　解析　双曲线的渐近线为y=±2x,由题设可设A(m,2m),B(n,-2n)(m>0,n>0),而=,故P为AB的中点,故P,而P在双曲线上,故-=1,即mn=1,又P到渐近线y=2x的距离为d1==,P到渐近线y=-2x的距离为d2==,故△AOB的面积为×|OA|×d1+×|OB|×d2=×m×+×n×=2mn=2. 11.　解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,因为P是AB的中点,所以2xP=x1+x2,2yP=y1+y2,所以=,又kAB=2,=,所以=,解得b2=2,所以b=. 12.解　(1)设所求双曲线C的方程为-=λ,代入点(2,3)得-=λ,即λ=-,所以双曲线C的方程为-=-,即x2-=1. (2)由(1)知,F1(-2,0),F2(2,0),由题意得直线AB的方程为y=-(x-2),即x+y-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得2x2+4x-7=0,满足Δ>0且x1+x2=-2,x1x2=-,由弦长公式得|AB|=·|x1-x2|=×=×3=6,点F1(-2,0)到直线AB:x+y-2=0的距离d==2.所以=|AB|·d=×6×2=6. 13.解　(1)由双曲线C的两条渐近线方程为y=±x,得=,即b=a,又因为双曲线C经过点(,),得-=1,解得a=1,b=,所以双曲线C的方程为x2-=1. (2)(ⅰ)由题意知,点M在以原点为圆心,以2为半径的圆上,设点M(x0,y0),则+=4,又因为点M在双曲线C上,联立又因为点M在第一象限,所以M; (ⅱ)设直线NE的方程为x=my+2,设点E(x1,y1),N(x2,y2),联立可得(3m2-1)y2+12my+9=0,由题意可得 由双曲线的对称性可知MF1∥NF2,S△MEN==|F1F2|·|y1-y2|=2=2==6,解得m2=1或m2=-(舍去),因为y1y2=>0,所以3m2-1>0,满足题意,由图可知m>0,所以,直线NF2的方程为x-y-2=0. 14.(1,)∪　解析　设切线方程为y-2=k(x-2),代入x2-=1得(b2-k2)x2+4k(k-1)x-4(k-1)2-b2=0,易得k≠±b,由Δ=0得3k2-8k+4+b2=0,由题意知此方程有两个不相等的实根,故Δ1=64-12(4+b2)>0,解得b2<,则c2=1+b2<,所以e=<,即1<e<,将k=±b代入3k2-8k+4+b2=0得,b=±1,又b>0,故b=1,此时e=,故离心率e的取值范围为(1,)∪(,). 15.解　(1)因为|AF1|-|AF2|=4,根据双曲线的定义可得a=2.又双曲线过点P(2,),所以-=1⇒b2=5.所以双曲线C的方程为:-=1. (2)如图,因为c==3,所以F1(-3,0),F2(3,0).因为A,D关于x轴对称,且D与B不同,所以直线AB必存在斜率,可设直线AB:y=k(x-3),代入-=1得:-=1,整理得:(5-4k2)x2+24k2x-(36k2+20)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1,-y1),因为A,B均在双曲线右支,由根与系数的关系可得x1+x2=>0,x1x2=>0,所以4k2-5>0.直线BD的方程为:=,令y=0得 x=+x1== ====.所以E为定点,坐标为.所以===. 学科网（北京）股份有限公司 $