第八章 课时作业2 两条直线的位置关系-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦两条直线位置关系判定及应用，以题载法构建“判定-计算-综合应用”逻辑体系，强化数学思维与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系判定|选择1-2、7-8、填空10|平行垂直条件应用、参数讨论|从斜率关系到一般式系数关系推导| |距离与交点问题|选择3、填空10-11|距离公式、直线系方程|交点坐标求解到距离计算的递进| |对称与最值|选择4-5、填空12|对称点法、轨迹思想|几何对称转化为代数方程求解| |综合应用|选择6、解答13-14|面积计算、参数最值|位置关系与函数、几何综合应用|

课时2 两条直线的位置关系 一、单选题 1. 已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　 　) A．3x＋2y＋7＝0 B．2x－3y＋8＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．3x＋2y－1＝0 2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A． B． C． D． 3．已知直线l过坐标原点，且过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是(　　) A．3x－4y＝0 B．4x－3y＝0 C．4x＋3y＝0 D．3x＋4y＝0 4、若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0，l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到坐标原点距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 5． 已知点A(1，3)，B(5，－2)，在x轴上有一点P，若AP－BP最大，则点P的坐标为(　　) A. (－13，0)　　 B. (3.4，0) C. (13，0) D. (5，0) 6．若□ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0，l4：2x＋y＋1＝0，则□ABCD的面积为(　 　) A．18 B．15 C．12 D．9 二、多选题 7. 已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：xsinα－y＋1＝0，则有(　 　) A．当m变化时，l1的倾斜角不变 B．当α变化时，l2过定点 C．l1与l2可能平行 D．l1与l2不可能垂直 8、(2026·陕西西安市期末)已知a＞0，b＞0，直线l1：x＋(a－2)y＋1＝0，l2：bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则下列结论正确的有(　 　) A．0＜ab≤1 B．＋≤2 C．a2＋b2≤2 D．＋≥3 9. 定义：点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.下列命题不正确的有( 　) A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直 C. 若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交 三、填空题 10、已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________． 11．已知直线l过点P(3,4)，且与点A(－2，2)，点B(4，－2)之间的距离相等，则直线l的方程为__ __． 12．在△ABC中，边BC上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，角A的平分线所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1，2)，则点A的坐标为________，点C的坐标为________． 四、解答题 13.设直线l1：2x－y＋3＝0和直线l2：x＋y＋3＝0的交点为P． (1) 若直线l经过点P，且与直线x＋2y＋5＝0垂直，求直线l的方程； (2) 若直线m与直线x＋2y＋5＝0关于点P对称，求直线m的方程． 14．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R). (1) 若l1∥l2，求b的取值范围； (2) 若l1⊥l2，求|ab|的最小值． 课时2 两条直线的位置关系参考答案 1. D【解析】 由题意可得直线l的斜率k＝－，所以l：y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0．故选D. 2．B【解析】因为l1∥l2，显然且，所以，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2之间的距离．故选B． 3．B【解析】经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线l的方程可设为2x－2y－1＋λ(6x－4y＋1)＝0.将原点O(0，0)代入，得－1＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0．故选B. 4、A【解析】由题意知，点M所在直线与l1，l2平行且到两直线的距离相等．设该直线的方程为x＋y＋c＝0(c≠－5且c≠－7)，则＝，解得c＝－6.所以点M在直线x＋y－6＝0上．点M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即d＝＝3.故选A. 5．A【解析】作出点A关于x轴的对称点A′(1，－3)，则A′B所在直线方程为x－4y－13＝0.令y＝0，得x＝13，所以点P的坐标为(13，0)．故选A. 6．D【解析】如图，由l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0联立得交点C(3,2)；由l1：x－4y＋5＝0，l4：2x＋y＋1＝0联立得交点B(－1,1)；由l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0联立得交点D(2，4)．由点D到l1：x－4y＋5＝0的距离d＝＝，BC＝＝，故S□ABCD＝|BC|×d＝×＝9．故选D. 7. AB【解析】对于选项A，当m变化时，直线l1：3x＋2y－m＝0的斜率为k＝－，所以l1的倾斜角不变，故A正确； 对于选项B，直线l2：xsinα－y＋1＝0恒过定点(0,1)，故B正确； 对于选项C，假设l1与l2平行，则－3＝2sinα，即sinα＝－，这与sinα∈[－1,1]相矛盾，所以l1与l2不可能平行，故C不正确； 对于选项D，假设l1与l2垂直，则3sinα－2＝0，即sinα＝，所以l1与l2可能垂直，故D不正确．故选AB. 8、 ABD【解析】 因为l1⊥l2，所以b＋a－2＝0，a＋b＝2．因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，所以0＜ab≤1，故A正确； (＋)2＝a＋b＋2≤2＋2＝4，所以＋≤2，故B正确； 因为a＋b＝2，取a＝，b＝，则a2＋b2＝＋＝＞2，故C错误； ＋＝＋＝＋－1＝(a＋b)－1＝－1≥－1＝3，故D正确．故选ABD. 9、BCD【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于选项A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，故A正确； 对于选项B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P2不一定与l垂直，故B错误； 对于选项C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，故C错误； 对于选项D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，故D错误．故选BCD. 10、－2；【解析】已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则2＋a＝0，解得a＝－2.若l1∥l2，则2a＝1，解得a＝，此时直线l2：2x＋y＋6＝0，显然两直线不重合，故此时l1与l2间的距离d＝＝. 11．2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0【解析】当直线l的斜率不存在时，l：x＝3，显然不合题意，则可设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0．由已知得＝，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0． 12．(－1，0)；(5，－6) 【解析】 由方程组得所以点A的坐标为(－1，0)．又直线AB的斜率kAB＝1，x轴是A的平分线，所以kAC＝－1，则边AC所在的直线方程为y＝－(x＋1) ①. 又已知边BC上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，故直线BC的斜率kBC＝－2，所以边BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1) ②. 解①②组成的方程组得即点C的坐标为(5，－6)． 13.【解】（1）由得交点P(－2，－1)．由直线l与直线x＋2y＋5＝0垂直，则可设直线l的方程为2x－y＋c＝0．又直线l过点P(－2，－1)，代入得2×(－2)－(－1)＋c＝0，解得c＝3，所以直线l的方程为2x－y＋3＝0． （2）方法一：由题意，可得直线m与直线x＋2y＋5＝0平行，则可设直线m的方程为x＋2y＋t＝0(t≠5).由直线m与直线x＋2y＋5＝0关于点P(－2，－1)对称，可得P(－2，－1)到两条直线的距离相等，即＝，解得t＝5(舍去)或t＝3，所以直线m的方程为x＋2y＋3＝0． 方法二：设直线m上任意一点M(x，y)，则点M关于点P(－2，－1)对称的点为N(－4－x，－2－y)，且点N(－4－x，－2－y)在直线x＋2y＋5＝0上，得(－4－x)＋2×(－2－y)＋5＝0，化简得直线m的方程为x＋2y＋3＝0． 14．【解】 (1) 因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝＋.因为a2≥0，所以b≤0.因为a2＋1≠3，所以b≠－6.故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]. (2) 因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2. . 学科网（北京）股份有限公司 $