第八章 课时作业4 直线和圆、圆与圆的位置关系-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以距离公式与几何性质为核心，系统覆盖直线与圆、圆与圆位置关系判定及应用，提炼分类讨论、参数分离等方法，体现数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆位置关系|6题|圆心距与半径比较法、切线方程分类讨论|从圆的标准方程到位置关系判定，通过距离公式建立代数与几何联系| |圆与圆位置关系|4题|公共弦方程求法、圆心距与半径和差关系|两圆方程相减得公共弦，结合垂径定理深化位置关系应用| |切线与弦长综合|6题|参数分离求定点、垂径定理求弦长|切线性质与弦长计算基于圆的几何性质，体现模型观念与应用意识|

课时4 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　 　) A．相切 B．相离 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 2．（2026·辽宁鞍山市统考）若直线x－2y＝0与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝(　 　) A． B．5 C． D．25 3．（2026·江苏南京市高三期初）若圆x2＋y2＋4x－4y＝0和圆x2＋y2＋2x－8＝0交于M，N两点，则线段MN的长度为(　　) A．4 B. C. D. 4、（2026·福建泉州市高三数学质量监测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5、若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点分别为、，则直线恒过定点，且点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江西鹰潭市三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二．多选题 7、已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则下列说法正确的有(　　) A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切 C.直线l与圆C恒相交 D.直线l与圆C相离 8．(2026·安徽合肥市二检)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则有(　 　) A．两圆的圆心距OC的最小值为1 B．若圆O与圆C相切，则a＝±2 C．若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2＜a＜2 D．若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2 9．(2026·广东深圳市检测)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r＞0)，P，Q分别是圆C1与圆C2上的动点，则有(　 　) A．若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4 B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x－8y－1＝0 C．当r＝2时，PQ长的取值范围为[2,8] D．当r＝3时，过点P作圆C2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于 三．填空题 10、（2026·江苏苏州市高三期初统考）直线被圆所截得的弦长为 . 11．(2026·湖南常德市3月模拟)过点P(4,3)作圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的切线，则切线的方程为__ __． 12．已知直线l：x－my＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值： __． 四．解答题 13．（2026·河南驻马店市模拟）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l恒过点P(4,1)． (1)若直线l与圆C相切，求l的方程； (2)求当直线l与圆C交于A，B两点，且AB＝2时，求l的方程． 14、已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x－4y＋4＝0与圆C相切． (1) 求圆C的方程； (2) 若过点(0，－3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，且·＝3，O为坐标原点，求直线l的方程． 课时4 直线与圆、圆与圆的位置关系参考答案 1．D【解析】 由题意，知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝＜，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．故选D. 2．C【解析】设圆心到直线的距离为d，则d＝＝．由直线与圆相切可得r＝．故选C. 3．C【解析】x2＋y2＋4x－4y＝0①， x2＋y2＋2x－8＝0②. 由①－②可得x－2y＋4＝0.所以两圆的公共弦所在直线的方程是x－2y＋4＝0.因为圆x2＋y2＋4x－4y＝0的圆心坐标为(－2,2)，半径为2，所以圆心到公共弦的距离d＝＝，所以公共弦长为2＝，即MN＝.故选C. 4、B【解析】圆C：的圆心，半径R，点C到直线的距离为圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则.故选B. 5、A【解析】由题意可知：圆的圆心在直线上，即有.设点 ，则，故以为直径的圆的方程为：，将和相减，即可得直线的方程，即，则直线恒过定点.故选A. 6．D【解析】易知直线恒过定点，直线恒过定点，且，易知直线与互相垂直，即可得，所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为.可得点轨迹方程为.又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值；此时满足，解得.故选D. 7、AC 【解析】将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0.由解得 则无论m为何值，直线l过定点(3，1).因为点(3，1)在圆C内，故直线l与圆C恒相交，故AC正确.故选AC. 8． AD【解析】圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(a,1)，半径R＝2．对于选项A，OC＝≥1，所以A正确． 对于选项B，当两圆内切时，OC＝R－r＝1，即＝1，解得a＝0；当两圆外切时，圆心距d＝OC＝R＋r＝3，即＝3，解得a＝±2．综上所述，若两圆相切，则a＝0或a＝±2，故B不正确． 对于选项C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，OC∈(R－r，R＋r)，即∈(1,3)，可得1＜＜3，解得－2＜a＜2且a≠0，故C不正确． 对于选项D，若圆O与圆C相交，则当圆O：x2＋y2＝1的圆心O在公共弦上时，公共弦长取最大值2，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D正确．故选AD. 9． BC【解析】易知圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1；圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2的圆心为C2(3，－4)，半径为r．对于选项A，若圆C1与圆C2无公共点，则C1C2＞r＋1或C1C2＜|r－1|，即可得5＞r＋1或5＜|r－1|，解得0＜r＜4或r＞6，故A错误； 对于选项B，当r＝5时，两圆相交，公共弦为x2＋y2－[(x－3)2＋(y＋4)2]＝1－25，整理可得6x－8y－1＝0，故B正确； 对于选项C，当r＝2时，易知两圆外离，PQ∈[C1C2－3，C1C2＋3]，即PQ∈[2,8]，故C正确； 对于选项D，若∠APB＝，则四边形AC2BP为正方形，如图，则PC2＝3，而PC2∈[C1C2－1，C1C2＋1]，即PC2∈[4,6]，而3∈[4,6]，所以存在点P满足∠APB＝，故D错误．故选BC. 10、【解析】化为标准方程得，则圆心为，半径，显然直线过圆心，则所截得弦为直径，其长为. 11．x＝4或3x－4y＝0【解析】当切线斜率不存在时，切线方程为x＝4，满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－4)，即kx－y－4k＋3＝0，由＝2，得k＝，所以切线方程为x－y＝0，即3x－4y＝0．综上所述，所求切线方程为x＝4或3x－4y＝0． 12．2【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝．又d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±2或m＝±． 13．【解】 (1)由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝2，①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x＝4，此时直线与圆相切，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以直线l的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，若直线l与圆相切，则d＝＝2，解得k＝－，所以l：－x－y＋4＝0，即l：3x＋4y－16＝0.综上，当直线l与圆C相切时，所求直线l的方程为x＝4或3x＋4y－16＝0. (2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0.设圆心到直线l的距离为d，则d＝.由垂径定理可得，d2＋＝4，即＋3＝4，整理得3k2－4k＝0，解得k＝0或k＝，则直线l的方程 为y＝1或4x－3y－13＝0. 14、【解】（1）设圆心C的坐标为(a,0)(a＞0)，则圆C的方程为(x－a)2＋y2＝4，因为直线3x－4y＋4＝0与圆C相切，所以点C(a,0)到直线3x－4y＋4＝0的距离d＝＝2．因为a＞0，所以a＝2，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4． （2）易知直线l的斜率存在且不为0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝kx－3，联立消去y得(k2＋1)x2－(4＋6k)x＋9＝0，Δ＝(4＋6k)2－36(k2＋1)＝48k－20＞0，解得k＞，所以x1x2＝，x1＋x2＝，y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝．因为·＝3，所以x1x2＋y1y2＝＋＝3，解得k＝1或k＝－5(舍去)，所以直线l的方程为y＝x－3． . 学科网（北京）股份有限公司 $