2027届高考数学一轮复习----3第三节　圆的方程

**基本信息** 高中数学一轮复习“圆的方程”专项训练，以题载法构建“概念-方法-应用”逻辑链，强化几何直观与代数运算融合，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|14题（含7单选、2多选、3填空、2解答）|待定系数法求方程、几何法（中垂线）定圆心、对称法解最值、切线长公式应用|从圆的方程（标准/一般式）到点/直线与圆位置关系，再到轨迹与最值综合应用| |素养提升|2题|坐标法转化向量模、滚动问题轨迹分析|深化圆的性质迁移，结合函数周期性与几何变换，体现数学眼光与应用意识|

微练(六十三)　圆的方程 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知曲线y=x2-x-2与x轴交于A,B两点,圆M经过A,B,C(2,4)三点,则圆M的方程为(　　) A.x2+y2-x-4y-2=0 B.x2+y2-3x+2=0 C.x2+y2+2x-4y-8=0 D.x2+y2+x-y-18=0 2.(2026·邯郸模拟)“a∈(-∞,-3)∪(2,+∞)”是“点(-1,-2)在圆x2+y2-ax-2y+a2-15=0外部”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如图,某个圆拱桥的水面跨度是20 m,拱顶离水面4 m;当水面下降1 m后,桥在水面的跨度为(　　) A.2 m B.20 m C.4 m D.12 m 4.(2026·北京模拟)在平面直角坐标系Oxy中,已知P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点.若A(-a,0),B(a,0),a≠0,则|+|的最大值为(　　) A.16 B.12 C.8 D.6 5.已知点A(1,0),B(-2,0),动点P满足=2,则下面结论不正确的为(　　) A.点P的轨迹方程为(x+3)2+y2=4 B.点P到原点O的距离的最大值为5 C.△PAB面积的最大值为4 D.的最大值为18 6.已知圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.6-2 B.-1 C.5-4 D. 7.已知圆C:(x+1)2+y2=2,点P在直线l:x-y-3=0上运动,直线PA,PB与圆C相切,切点为A,B,则下列说法正确的是(　　) A.|PA|的最小值为2 B.|PA|最小时,弦AB长为 C.|PA|最小时,弦AB所在直线的斜率为-1 D.四边形PACB面积的最小值为 二、多项选择题 8.已知实数x,y满足圆的方程(x-1)2+y2=,则(　　) A.圆心(-1,0),半径为 B.x的最大值为 C.的最大值为+ D.x-y2的最大值为 9.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是(　　) A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 三、填空题 10.曲线C与曲线x2+y2-3x+5y=1关于直线y=-x对称,则曲线C的方程为　　　　　　　　.  11.设平面点集M=,其中k>0,N={(x,y)|x2+y2<4},则M∩N所表示的平面图形的面积为　　　　.  12.若直线x-y-3=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,动点P在圆x2+(y-1)2=1上,则△ABP面积的取值范围是　　　　.  四、解答题 13.已知圆C经过点A(0,-1),B(2,1),且圆心在直线y=x+1上. (1)求圆C的标准方程; (2)设点T(4,0),P为圆C上的动点,点M满足=2.求点M的轨迹方程. 14.已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4),圆心在直线2x-y-1=0上. (1)求圆C1的方程; (2)若M,N分别是圆C1和圆C2:(x+3)2+(y+4)2=9上的点,点P是直线x+y=0上的点,求|PM|+|PN|的最小值,以及此时点P的坐标. 素养提升 15.若点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|+|的最大值为　　　　.  16.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动),点D恰好经过坐标原点,设顶点B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则f(19)=　　　　.  微练(六十三)　圆的方程 1.A　解析　解法一:由题不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,0),(2,0),设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C三点的坐标代入圆M的方程,可得即圆M的方程为x2+y2-x-4y-2=0.故选A. 解法二:由题不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,0),(2,0).圆心既在线段AB的中垂线x=上,又在线段BC的中垂线y=2上,因而圆心坐标为,半径为=,故所求圆的方程为+(y-2)2=,即x2+y2-x-4y-2=0.故选A. 2.B　解析　因点(-1,-2)在圆x2+y2-ax-2y+a2-15=0外部,则解得:a∈∪.注意到∪是(-∞,-3)∪(2,+∞)的真子集,则由“a∈(-∞,-3)∪(2,+∞)”不能得到“点(-1,-2)在圆x2+y2-ax-2y+a2-15=0外部”,由“点(-1,-2)在圆x2+y2-ax-2y+a2-15=0外部”可得到“a∈(-∞,-3)∪(2,+∞)”,即“a∈(-∞,-3)∪(2,+∞)”是“点(-1,-2)在圆x2+y2-ax-2y+a2-15=0外部”的必要不充分条件.故选B. 3.C　解析　建立如图所示平面直角坐标系,则B(10,0),C(0,4),设圆拱所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2,则解得b=-,r2=.所以圆的方程为x2+=.取y=-1,得x2=-=×5=120,所以x=±2.则当水面下降1 m后,桥在水面的跨度为4 m.故选C. 4.B　解析　因为|+|=2||,||max=|OC|+1=+1=6,所以|+|max=12. 5.C　解析　设动点P(x,y),则由=2,得=2,即(x-1)2+y2=4[(x+2)2+y2],化简得x2+y2+6x+5=0,即(x+3)2+y2=4,所以A正确;因为点P的轨迹是圆心为(-3,0),半径为2的圆,则点P到原点O的距离最大值为+2=5,所以B正确;又A,B和点P轨迹的圆心都在x轴上,且|AB|=3,所以当圆的半径垂直于x轴时,△PAB面积取得最大值×3×2=3,所以C错误;又=(1-x,-y)·(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+y2=x2+y2+x-2,因为y2=-x2-6x-5(-5≤x≤-1),所以=-5x-7(-5≤x≤-1),则≤-5×(-5)-7=18,所以D正确.故选C. 6.C　解析　圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1的圆心为(-2,1),半径为1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心为(3,4),半径为3.如图,圆C1关于x轴的对称圆为圆C1':(x+2)2+(y+1)2=1.连接C1'C2,交x轴于点P,则P为使|PM|+|PN|最小的点,此时M点为线段PC1与圆C1的交点,N为线段PC2与圆C2的交点,最小值为|C1'C2|-(3+1),而|C1'C2|= =5,所以|PM|+|PN|的最小值为5-4.故选C. 7.B　解析　由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径r=,如图,连接PC.|PA|==,当PC⊥l时,|PC|最小,此时|PA|最小.对于A,|PC|min==2,所以|PA|min==,故A错误;对于B,当|PA|最小时,S△PAC=|PA|·r=|PC|·|AB|,即××=×2×|AB|,解得|AB|=,故B正确;对于C,因为PC⊥l,PC⊥AB,所以AB∥l,所以kAB=kl=1,故C错误;对于D,四边形PACB的面积S=2S△PAC=|PA|·r,所以当|PA|最小时,四边形PACB的面积最小,最小值为×=2,故D错误.故选B. 8.BCD　解析　对于A:由圆的方程(x-1)2+y2=,所以圆心为(1,0),半径为,故A错误;对于B:由(x-1)2+y2=,有(x-1)2≤⇒-≤x-1≤⇒≤x≤,所以x的最大值为,故B正确;对于C:表示圆上点(x,y)到定点(0,1)的距离,圆心(1,0)到定点(0,1)的距离为d==,所以圆上点(x,y)到定点(0,1)的距离的最大值为d+r=+,故C正确;对于D:由(x-1)2+y2=得y2=-(x-1)2,所以x-y2=x-+(x-1)2=x2-x+,≤x≤,令f(x)=x2-x+,由f(x)在单调递增,所以f(x)max=,所以x-y2的最大值为,故D正确.故选BCD. 9.ABD　解析　圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,因为Δ=36-40=-4<0,所以2k2-6k+5=0无实数根,B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,因为Δ=16-8=8>0,有两个不相等实根,所以经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.故选ABD. 10.x2+y2-5x+3y-1=0　解析　在曲线C上任取一点P(x,y),则点P关于直线y=-x的对称点为Q(-y,-x),因为点Q在曲线x2+y2-3x+5y=1上,则有(-y)2+(-x)2-3·(-y)+5·(-x)=1,即为x2+y2-5x+3y=1.故曲线C的方程为x2+y2-5x+3y-1=0. 11.3π　解析　由N={(x,y)|x2+y2<4},可知集合N表示的图形是以(0,0)为圆心,2为半径的圆的内部,由(y-x)>0,得所以M∩N所表示的平面图形为如图所示的阴影部分,由圆和函数y=x,y=的对称性可知,两图阴影部分面积相等,则S=×4π=3π. 12.[,3]　解析　如图所示,因为直线x-y-3=0与坐标轴的交点A(,0),B(0,-3),则|AB|==2,圆x2+(y-1)2=1的圆心C(0,1),半径为r=1,则圆心C(0,1)到直线x-y-3=0的距离为d==2,所以圆x2+(y-1)2=1上的点P到直线x-y-3=0的距离的最小值为d-r=2-1=1,距离的最大值为d+r=2+1=3,所以△ABP面积的最小值为×2×1=,最大值为×2×3=3,即△ABP面积的取值范围为[,3]. 13.解　(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题可知所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=4; (2)设点P(x0,y0),M(x,y),因为=2,所以(x-x0,y-y0)=2(4-x,-y),即又因为点P在圆C上,所以(3x-8)2+(3y-1)2=4,化简得+=,即点M的轨迹方程为+=. 14.解　(1)连接AB,由题意知AB的中点坐标为,kAB==1,所以AB的垂直平分线的方程为y=5-x,联立即圆C1的圆心坐标为(2,3),半径r=1,其方程为(x-2)2+(y-3)2=1. (2)注意到点C1(2,3)和点C2(-3,-4)在直线x+y=0的两侧,且直线x+y=0与两圆均相离,连接PC1,PC2,C1C2,所以|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3≥|C1C2|-4=-4,当M,N,P在线段C1C2上时取等号,此时点P为直线C1C2与x+y=0的交点,直线C1C2的方程为7x-5y+1=0,联立所以点P的坐标为. 15.10　解析　由题意,知=(-x,2-y),=(-x,-2-y),所以+=(-2x,-2y),由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程(x-3)2+y2=4,故y2=-(x-3)2+4,所以|+|==2.由圆的方程(x-3)2+y2=4,易知1≤x≤5,所以当x=5时,|+|的值最大,最大值为2×=10. 16.　解析　由题意,当-4≤x<-2时,顶点B(x,y)的轨迹是以点A(-2,0)为圆心,以2为半径的圆;当-2≤x<2时,顶点B(x,y)的轨迹是以点D(0,0)为圆心,以2圆;当2≤x<4时,顶点B(x,y)的轨迹是以点C(2,0)为圆心,以2为半径的圆;当4≤x<6,顶点B(x,y)的轨迹是以点A(6,0)为圆心,以2为半径的圆,与-4≤x<-2的形状相同.因此函数y=f(x)的图象在[-4,4]恰好为一个周期的图象,如图所示,所以函数y=f(x)的周期是8;所以f(19)=f(3)=. 学科网（北京）股份有限公司 $