第43讲 数列的通项公式·分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦数列通项公式求解，以“考点-考法”架构系统整合观察法、Sn与an关系、累加法等6大方法体系，形成从基础归纳到综合构造的递进逻辑链，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |观察法|2考法（含数学文化题）|前n项归纳、模型观察|从具体到抽象的归纳思维| |Sn与an关系|3考法（含最值/不等式证明）|an=Sn-Sn-1转化|函数与数列的关联应用| |累加累乘法|2考法|递推式叠加/叠乘|化归为等差等比的转化思想| |构造法|6考法（待定系数/取倒数等）|构造新等差/等比数列|方程思想解决复杂递推| |特殊递推|6考法（奇偶分段/周期等）|分类讨论/周期分析|非常规递推的特殊处理| |综合应用|3考法（不等式/抽象递推等）|递推与求和综合|知识迁移与综合论证能力|

第43讲 数列的通项公式 · 分类练习 考点一：观察法求通项 1 考法1：观察前几项归纳通项公式 1 考法2：结合数学文化与模型观察求通项 1 考点二：由 与 关系求通项 1 考法3：利用 与 关系求通项 1 考法4：利用 与 关系求通项并求和或最值 2 考法5：利用 与 关系求通项并证明不等式 2 考点三：累加法与累乘法求通项 3 考法6：利用累加法求通项 3 考法7：利用累乘法求通项 3 考点四：构造法求通项 4 考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项 4 考法9：同除以指数构造数列求通项 5 考法10：取倒数法构造数列求通项 5 考法11：取对数法构造数列求通项 5 考法12：因式分解法构造数列求通项 5 考点五：特殊递推关系求通项 6 考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项 6 考法14：周期数列求通项与求和 6 考法15：前n项积型数列求通项 7 考法16：双数列递推求通项 7 考法17：其他非线性或高阶递推求通项 7 考法18：结合实际情境与模型的递推数列 7 考点六：递推数列的综合应用 7 考法19：递推数列与不等式证明 7 考法20：抽象递推关系求通项 8 考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和） 8 考点一：观察法求通项 考法1：观察前几项归纳通项公式 1.若数列 的前 4 项分别是 ，，，，则该数列的一个通项公式为（　　） A. B. C. D. 考法2：结合数学文化与模型观察求通项 2.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，……，则第十层有（　　）个球． A. 12 B. 20 C. 55 D. 110 考点二：由 与 关系求通项 考法3：利用 与 关系求通项 3.（2026·广东茂名·一模）已知数列 的前 项和记为 ，若 ，则 （　　） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 4.（2026·湖南常德·检测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 5.（2026·江西九江·二模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 6.（2026·广东佛山·检测）已知数列 的前 项和为 ，且 （ 为常数，且 ）. （1）求 的通项公式； （2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 . 考法4：利用 与 关系求通项并求和或最值 7.（2026·山东烟台·检测）已知正项数列 的前 项和为 ，，且 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 求数列 的前 项和 . 考法5：利用 与 关系求通项并证明不等式 8.已知 是各项都为正数的数列， 为其前 项和，且 ，， （1） 求数列 的通项 ； （2） 证明：. 考点三：累加法与累乘法求通项 考法6：利用累加法求通项 9.（2025·河北承德·一模）已知数列 满足 且 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 10.（2024·广东新南方·联考）数列 满足 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和. 考法7：利用累乘法求通项 11.（2026·河北名校·一模）已知数列 满足 ，，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则满足 的正整数 的最大值为（　　） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 12.（2026·湖南师大附中·模拟）设数列 的前 项和为 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 13.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列 的前 项和为 ，，且对 ，． （1） 求 ； （2） 证明：． 考点四：构造法求通项 考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项 14.（2026·河南湘豫联盟·检测）（多选）记数列 的前 项和为 ，且 ，，，设 ，则（　　） A. B. 数列 为等比数列 C. D. 的最大值为 53 15.（2026·江苏南京·一模）已知数列 满足 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 16.（2026·安徽淮北·检测）已知数列 满足 ，，． （1） 设 ，求证：数列 为等比数列； （2） 求 的通项公式． 17.（2025·河北保定·二模）已知数列 中，若 ，其中 均为常数， 是一元二次方程 的两个实根. （1）证明：． （2） 若数列 满足 ， 对应的一元二次方程为 ，该方程有两个实数根 ，则 ，其中 均为常数．已知数列 满足 ，且 ． ①求 的通项公式； ②若数列 满足 ，且 ，求 的前 项和 ． 考法9：同除以指数构造数列求通项 18.已知数列 满足 ，，求数列 的通项公式． 考法10：取倒数法构造数列求通项 19.（2026·山东济宁·模拟）已知数列 的首项 ，且满足 ，则 （　　） A. B. C. 10 D. 12 20.（2026·浙江县域联盟·模拟）已知数列 满足 ，． （1） 证明：数列 是等差数列； （2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 考法11：取对数法构造数列求通项 21.已知数列 满足 ，． （1） 证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （2） 若 ，数列 的前 项和 ，求证：． 考法12：因式分解法构造数列求通项 22.（2026·湖北新八校·二模）（多选）已知数列 满足 ，且 ，则 的值可能是（　　） A. 1 B. 2026 C. D. 23.（2025·河南南阳一中·三模）已知正项数列 中，，满足 ． （1） 求数列 的通项公式； （2） 已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 考点五：特殊递推关系求通项 考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项 24.（2026·福建福州·检测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 25.（2025·河北衡水·联考）已知数列 满足 ，记 的前 项和为 ，且 是以 为首项， 为公比的等比数列． （1） 求 的值； （2） 求 的通项公式； （3） 求 的通项公式，并证明：． 考法14：周期数列求通项与求和 26.（2026·山东师大附中·检测）记 为数列 的前 项积，已知 ，则 （　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 27.（2026·山东淄博·二模）记 为数列 的前 项和，若 ，，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 考法15：前n项积型数列求通项 28.（2026·湖北孝感·一模）已知数列 为等比数列，，公比 ， 是数列 的前 项积．若 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考法16：双数列递推求通项 29.已知数列 和 满足 ． （1） 证明： 是等比数列， 是等差数列； （2） 求 的通项公式以及 的前 项和 ． 考法17：其他非线性或高阶递推求通项 30.已知 ，则 的通项公式为＿＿＿＿＿＿． 考法18：结合实际情境与模型的递推数列 31.（2025·河北保定·一模）现有 个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个 A 类信号时，会产生一个 A 类信号和一个 B 类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个 B 类信号时，会产生一个 A 类信号和两个 B 类信号，产生的 B 类信号全部发射至下一个处理器，但由接收 B 类信号直接产生的所有 A 类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个 A 类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第 个处理器发射的 B 类信号数量记作 ，即 ，则 ＿＿＿＿＿＿，数列 的通项公式 ＿＿＿＿＿＿． 考点六：递推数列的综合应用 考法19：递推数列与不等式证明 32.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列 中，，． （1） 求证：数列 为等比数列； （2） 记 ，数列 的前 项和为 ，求证：． 33.（2026·河南新未来·检测）已知数列 满足 ，且数列 是公差为 4 的等差数列． （1） 求数列 的通项公式； （2） 求证：． 考法20：抽象递推关系求通项 34.（2026·山东德州·一模）数列 中，，对 ，有 ，若 ，则 （　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和） 35.（2026·安徽蚌埠·检测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，．若 ，则（　　） A. B. 数列 是等差数列 C. D. 数列 中不存在能被 3 整除的项 36.（2026·山东德州·一模）已知函数 ． （1） 证明： 在 上单调递增； （2） 记 的最小值为 ，，数列 的前 项积为 ． （i）求 的通项公式； （ii）证明：对任意的 ， 成立． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第43讲 数列的通项公式 · 分类练习（解析卷） 考点一：观察法求通项 1 考法1：观察前几项归纳通项公式 1 考法2：结合数学文化与模型观察求通项 2 考点二：由 与 关系求通项 2 考法3：利用 与 关系求通项 2 考法4：利用 与 关系求通项并求和或最值 4 考法5：利用 与 关系求通项并证明不等式 4 考点三：累加法与累乘法求通项 5 考法6：利用累加法求通项 5 考法7：利用累乘法求通项 6 考点四：构造法求通项 7 考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项 7 考法9：同除以指数构造数列求通项 10 考法10：取倒数法构造数列求通项 10 考法11：取对数法构造数列求通项 11 考法12：因式分解法构造数列求通项 12 考点五：特殊递推关系求通项 13 考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项 13 考法14：周期数列求通项与求和 14 考法15：前n项积型数列求通项 15 考法16：双数列递推求通项 15 考法17：其他非线性或高阶递推求通项 16 考法18：结合实际情境与模型的递推数列 16 考点六：递推数列的综合应用 17 考法19：递推数列与不等式证明 17 考法20：抽象递推关系求通项 18 考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和） 18 答案速查表 1 2 3 4 5 D C C BCD 6 7 8 9 10 见解析 （1） （2） 见解析 （1） （2） 11 12 13 14 15 C C 见解析 ABD 16 17 18 19 20 （1）见解析 （2） 见解析 A 见解析 21 22 23 24 25 （1） （2）见解析 ACD （1） （2） C 见解析 26 27 28 29 30 D D 见解析 31 32 33 34 35 ； 见解析 （1） （2）见解析 A ACD 36 见解析 考点一：观察法求通项 考法1：观察前几项归纳通项公式 1.若数列 的前 4 项分别是 ，，，，则该数列的一个通项公式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为数列 的前 4 项分别是 ，，，，正负项交替出现，分子均为 1，分母依次增加 1.所以对照四个选项， 正确.故选D. 【点拨】观察数列的前几项，寻找符号、分子、分母与项数的关系. 考法2：结合数学文化与模型观察求通项 2.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，……，则第十层有（　　）个球． A. 12 B. 20 C. 55 D. 110 【答案】C 【解析】由题意知：，，，，.所以 .故选C. 【点拨】根据题意列出前几层的球数，寻找相邻两层球数之差的规律. 考点二：由 与 关系求通项 考法3：利用 与 关系求通项 3.（2026·广东茂名·一模）已知数列 的前 项和记为 ，若 ，则 （　　） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 【答案】C 【解析】当 时，，解得 .当 时，，整理得 .所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，故 .则 .故选C. 【点拨】利用 将关于 与 的递推关系转化为 的递推关系. 4.（2026·湖南常德·检测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】BCD 【解析】对于A，若 ，当 时，，当 时， 恒成立，无法推出 ，例如数列 ，其前 项和 为 ，满足 ，但 ，故A错误.对于B，若 ，当 时，，即 ，又 恒成立，所以 ，故B正确.对于C，若 ，当 时，，即 ，当 时，，即 ，因为 ，所以 ，故C正确.对于D，若 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，当 时，，所以 ，故D正确.故选BCD. 【点拨】利用 () 将条件转化为关于 的不等式进行分析. 5.（2026·江西九江·二模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】当 时，；当 时，，两式相减得 ，所以 是首项为 1，公比为 的等比数列，所以 . 【点拨】利用 转化为 的递推关系，再构造等比数列. 6.（2026·广东佛山·检测）已知数列 的前 项和为 ，且 （ 为常数，且 ）. （1）求 的通项公式； （2）若 ，令 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当 时，.当 时，.所以 .由于 ，故 ，不适合 .综上， 的通项公式为 . （2）若 ，由（1）即 ，得 .所以 ， 时，.即 .所以，当 时，.当 时，，即 .所以，当 时，.当 时，.所以 .当 时，.当 时， 也满足.综上，. 【点拨】第一问利用 求解，注意检验 的情况；第二问利用裂项相消法求和. 考法4：利用 与 关系求通项并求和或最值 7.（2026·山东烟台·检测）已知正项数列 的前 项和为 ，，且 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为 ，所以 ，.所以 ，即 .当 时，.两式相减，可得 ，整理得 .所以 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 . （2）.所以 .整理得 . 【点拨】第一问将条件转化为 ，结合 求解；第二问利用裂项相消法求和. 考法5：利用 与 关系求通项并证明不等式 8.已知 是各项都为正数的数列， 为其前 项和，且 ，， （1） 求数列 的通项 ； （2） 证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1） 法一：因为 ，所以当 时，.所以 ，.两式相减可得 ，又 .所以 是首项为 1，公差为 1 的等差数列.所以 ，即 .故当 时，.经验证，当 时， 满足上式.所以 .法二：因为 ，所以当 时，.故 ，等号两边平方得 .设 ，则 ，又 .所以 是首项为 2，公差为 4 的等差数列.故 ，即 ，则 .故 ，则 ，解得 或 .当 时，，则 ，而 .矛盾，舍去.当 时，经验证，满足题意，故 . （2） 由法一易知 .由法二易得 .故由 （1） 得，.所以 ，命题得证. 【点拨】第一问利用 转化为 的递推关系；第二问利用放缩法和裂项相消法证明不等式. 考点三：累加法与累乘法求通项 考法6：利用累加法求通项 9.（2025·河北承德·一模）已知数列 满足 且 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为 ，所以 ，，，.所以 .因为 ，所以 . 【点拨】利用累加法求出 的表达式，再进行代数变形. 10.（2024·广东新南方·联考）数列 满足 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和. 【答案】（1） （2） 【解析】（1），因此 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列.设 的前 项和为 ，则 .又由 ，得 .当 时，经检验也满足 ，. （2），因此 . 【点拨】第一问利用累加法求通项；第二问利用裂项相消法求和. 考法7：利用累乘法求通项 11.（2026·河北名校·一模）已知数列 满足 ，，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则满足 的正整数 的最大值为（　　） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】由 可得，，又 ，所以数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 . 当 时，，又 ，也符合 ，故 . 所以 . 当 为偶数时，. 当 为奇数且 时， 为偶数，则 . 又 符合上式，故当 为奇数时，. 当 为偶数时，，当 为奇数时，，故 . 由 可得 ，即 ，故满足条件的 的最大值为 23. 故选C. 【点拨】将递推式变形为 ，利用累加法或等差数列求出 ，再用累乘法求出 . 12.（2026·湖南师大附中·模拟）设数列 的前 项和为 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由 ，得 ，又 ，所以 ，则 为等差数列，得 .所以 ，又 ，当 时，，当 时，，所以当 时， 取到最小值 . 【点拨】将递推式变形为 ，判断数列 为常数列，求出 和 ，再利用基本不等式求最小值. 13.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列 的前 项和为 ，，且对 ，． （1） 求 ； （2） 证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1）由 可得 ，两边同除以 ，得 ，所以 .因为 ，且 ，解得 ，所以 ，所以 ，所以 . （2）证明：由（1）知数列 为等差数列，则 ，所以 ，故 ，因为 ，所以 得证. 【点拨】第一问将递推式变形，构造等差数列求通项；第二问利用裂项相消法证明不等式. 考点四：构造法求通项 考法8：待定系数法构造等差或等比数列求通项 14.（2026·河南湘豫联盟·检测）（多选）记数列 的前 项和为 ，且 ，，，设 ，则（　　） A. B. 数列 为等比数列 C. D. 的最大值为 53 【答案】ABD 【解析】.当 时，，解得 ，A正确.由 ，得 ，结合 ，得 ，即 ，又 ，所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列，B正确.由 B，可得 ，即 ，所以 .又 符合上式，所以 ，C错误.当 时，，即 单调递增；当 时，，即 单调递减.所以 ，所以 的最大值为 ，D正确.故选ABD. 【点拨】利用待定系数法将递推式转化为等比数列，求出 ，再用累加法求 . 15.（2026·江苏南京·一模）已知数列 满足 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设 ，则 . 由 ，解得 . . 又 ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. ，. 【点拨】利用待定系数法构造等比数列 求解. 16.（2026·安徽淮北·检测）已知数列 满足 ，，． （1） 设 ，求证：数列 为等比数列； （2） 求 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）由 得：， 即 ，故 为等比数列； （2），由（1）得 . 即 ， 于是 . 【点拨】第一问将递推式变形为 证明；第二问利用累加法求通项. 17.（2025·河北保定·二模）已知数列 中，若 ，其中 均为常数， 是一元二次方程 的两个实根. （1）证明：． （2） 若数列 满足 ， 对应的一元二次方程为 ，该方程有两个实数根 ，则 ，其中 均为常数．已知数列 满足 ，且 ． ①求 的通项公式； ②若数列 满足 ，且 ，求 的前 项和 ． 【答案】（1）证明见解析 （2）① ②答案见解析 【解析】（1）证明:因为 是方程 ，即 两个实根， 所以 ， 则 ， 得证； （2）①解:由题意知 的一元二次方程为 ， 解得 ， 根据题意，不妨取 ， 设 ， 因为 ， 所以 ， 解得 ， 故 ， ②解:由 ， 得 ， 因为 ， 所以由①知 ， 则 . 设 ， 则 ， 则 所以 . 当 为偶数时，； 当 为奇数时，. 【点拨】第一问直接代入验证；第二问利用第一问的结论求 ，再通过换元转化为求 的通项，最后分组求和. 考法9：同除以指数构造数列求通项 18.已知数列 满足 ，，求数列 的通项公式． 【答案】 【解析】将 两边除以 ， 得 ，则 ， 故数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， 则 ， ∴数列 的通项公式为 . 【点拨】在递推式两边同除以 ，构造等差数列求解. 考法10：取倒数法构造数列求通项 19.（2026·山东济宁·模拟）已知数列 的首项 ，且满足 ，则 （　　） A. B. C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】由题意可得：，令 ，则可得：，所以 等差数列，公差为 2.又因为 ，所以 ，所以 .故选A. 【点拨】对递推式两边取倒数，构造等差数列求解. 20.（2026·浙江县域联盟·模拟）已知数列 满足 ，． （1） 证明：数列 是等差数列； （2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】（1）证明：数列 满足 ，则 ，于是 ，即 ，而 ，所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列. （2）由（1）知，，即 ，则 ，所以 ，当 时，，当 时，，所以当 时，；当 时，.综上所述：. 【点拨】第一问将递推式减 1 后取倒数证明；第二问求出 后，分段去绝对值求和. 考法11：取对数法构造数列求通项 21.已知数列 满足 ，． （1） 证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （2） 若 ，数列 的前 项和 ，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1） 因为 ，所以 ， 则 ， 又 ， 所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列， 则 ， 所以 ； （2） 由 ，得 ， 则 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 【点拨】第一问将递推式变形为 ，两边取对数构造等比数列；第二问利用裂项相消法证明不等式. 考法12：因式分解法构造数列求通项 22.（2026·湖北新八校·二模）（多选）已知数列 满足 ，且 ，则 的值可能是（　　） A. 1 B. 2026 C. D. 【答案】ACD 【解析】原式因式分解可得 ，故 或 都可成立.数列每一项都满足 时，选A；每一项都满足 时，选D；，且 时，选C；B不能成立.故选ACD. 【点拨】将递推式因式分解，得到两种可能的递推关系，分类讨论. 23.（2025·河南南阳一中·三模）已知正项数列 中，，满足 ． （1） 求数列 的通项公式； （2） 已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意：，即 ，因为 ，所以 ，则 ，所以 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 . （2）方法一：由（1）知 ， 为奇数时，，，由于 无法求和，方法一错误. 方法二：由（1）知 ，设 ，则可得 ，所以 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，所以 的前 项和 ，设 ，所以 的前 项和 ，所以 . 【点拨】第一问将递推式因式分解，求出 的递推关系；第二问分奇偶项分别求和. 考点五：特殊递推关系求通项 考法13：奇偶分段与正负相间数列求通项 24.（2026·福建福州·检测）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】由 得， 当 时，，即 . 当 时，，即 ，. 当 时，，即 ，所以 ，. 当 时，，即 ，所以 ，. 当 时，，即 ，所以 . 故选C. 【点拨】通过对 赋值，依次求出 . 25.（2025·河北衡水·联考）已知数列 满足 ，记 的前 项和为 ，且 是以 为首项， 为公比的等比数列． （1） 求 的值； （2） 求 的通项公式； （3） 求 的通项公式，并证明：． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】（1），则 ， 当 时，，又 ，则 ， 当 时，，即 ，又 ，则 . （2）当 为偶数时，，同理，，以此类推，，累加有 ，化简得 ，则 .当 为奇数时，，同理，，以此类推 ，累加有 ，化简得 .综上，. （3）由（2）可得 ，，故 .当 为奇数时，易知 与 均增大而增大，当 时，，故 .此时，当 时，，而对于任意奇数 ，，故 .当 为偶数时，易知 与 均增大而减小，当 时，，故 .此时，当 时，，而对于任意偶数 ，，故 .综上：. 【点拨】利用 ，结合等比数列通项公式，分奇偶项求出 和 . 考法14：周期数列求通项与求和 26.（2026·山东师大附中·检测）记 为数列 的前 项积，已知 ，则 （　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】当 时，，，； 当 时，有 ，代入 得 ， 化简得：，则 ，. 【点拨】利用 将递推式转化为关于 的递推式. 27.（2026·山东淄博·二模）记 为数列 的前 项和，若 ，，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】. 当 为奇数时，，，. . ，所以 . 当 为偶数时，，，. ，所以 . . 【点拨】利用三角函数的周期性，对 分奇偶讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，再分组求和. 考法15：前n项积型数列求通项 28.（2026·湖北孝感·一模）已知数列 为等比数列，，公比 ， 是数列 的前 项积．若 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】26 【解析】由题意 ，所以 ，由 ，可得 ，则有 ，解得 或 ，又 为正整数，所以 的最小值是 26. 【点拨】利用等比数列通项公式求出 ，再利用指数运算法则求出 ，解指数不等式即可. 考法16：双数列递推求通项 29.已知数列 和 满足 ． （1） 证明： 是等比数列， 是等差数列； （2） 求 的通项公式以及 的前 项和 ． 【答案】（1）证明见解析 （2）, 【解析】（1） 证明：因为 ， 所以 ，即 ， ，所以 是公比为 的等比数列. 将 方程左右两边分别相减， 得 ，化简得 ， 所以 是公差为 2 的等差数列. （2） 由 （1） 知 ，， 上式两边相加并化简，得 ， 所以 . 【点拨】将两个递推式分别相加和相减，构造出两个基本数列，求出 和 ，再解方程组求 . 考法17：其他非线性或高阶递推求通项 30.已知 ，则 的通项公式为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】，① .② 由①÷②得 . 又因为 ，所以 是公比为 -2，首项为 -2 的等比数列，从而 ，即 . 【点拨】将递推式变形为 和 ，两式相除构造等比数列. 考法18：结合实际情境与模型的递推数列 31.（2025·河北保定·一模）现有 个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个 A 类信号时，会产生一个 A 类信号和一个 B 类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个 B 类信号时，会产生一个 A 类信号和两个 B 类信号，产生的 B 类信号全部发射至下一个处理器，但由接收 B 类信号直接产生的所有 A 类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个 A 类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第 个处理器发射的 B 类信号数量记作 ，即 ，则 ＿＿＿＿＿＿，数列 的通项公式 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】8； 【解析】设第 个处理器发射的 A 类信号数量记作 ，则 ， 由题意，当 时，第 个处理器发射的 A 类信号数量为 ，即当 时，， 当 时，，则 ， 故当 时，，可得 ， 又 ，所以数列 从第二项开始是以 3 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 ，所以 ， 当 时，上式不成立，所以 . 【点拨】根据题意列出 和 的递推关系，利用构造法求通项. 考点六：递推数列的综合应用 考法19：递推数列与不等式证明 32.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列 中，，． （1） 求证：数列 为等比数列； （2） 记 ，数列 的前 项和为 ，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1）证明：，， ，即 ， ， 数列 是以 2 为首项， 为公比的等比数列. （2）由（1）得，，， . 当 时，； 当 时，. 【点拨】第一问对递推式取倒数构造等比数列；第二问求出 ，利用放缩法和裂项相消法证明不等式. 33.（2026·河南新未来·检测）已知数列 满足 ，且数列 是公差为 4 的等差数列． （1） 求数列 的通项公式； （2） 求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1）， 所以 ， 当 时满足上通项公式， 综上所述： 的通项公式为 ； （2）， 当 时，， 当 时，， 综上所述：. 【点拨】第一问利用累加法求通项；第二问利用放缩法 () 证明不等式. 考法20：抽象递推关系求通项 34.（2026·山东德州·一模）数列 中，，对 ，有 ，若 ，则 （　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】令 ，可得 ，则 是首项 ，公差 的等差数列， 通项公式为 ， ， 解得 . 【点拨】利用抽象递推关系 推出数列为等差数列，再利用等差数列求和公式求解. 考法21：递推数列综合求和（错位相减、裂项相消、分组求和） 35.（2026·安徽蚌埠·检测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，．若 ，则（　　） A. B. 数列 是等差数列 C. D. 数列 中不存在能被 3 整除的项 【答案】ACD 【解析】对于 A 选项，，A 对； 对于 B 选项，， ①，可得 ②，②-①得 ，又因为 ，，易知 ，所以 ，故数列 不是等差数列，B 错； 对于 C 选项，由 B 选项可知，数列 是首项为 1，公差为 3 的等差数列，所以 ，数列 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，所以 ，则 ，C 对； 对于 D 选项，对任意的 ，、 均不能被 3 整除，故数列 中不存在能被 3 整除的项，D 对. 【点拨】将递推式 转化为 ，两式相减得到奇偶项的等差关系，再分类讨论. 36.（2026·山东德州·一模）已知函数 ． （1） 证明： 在 上单调递增； （2） 记 的最小值为 ，，数列 的前 项积为 ． （i）求 的通项公式； （ii）证明：对任意的 ， 成立． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i） （ii）证明见解析 【解析】（1）因为 ， 当 时，则 ，所以 ，可得 ， 且 ，则 ，即 ， 可得 ，所以函数 在 上单调递增. （2） （i）若 ，则 ，即 ； 若 ，由（1）可知： 在 上单调递增，且 ，可知 是一个周期为 的周期函数，又因为 ，可知 关于 对称，则 在 处取到最大值，在 处取到最小值，可得 ，综上所述：. （ii），， 方法一：数学归纳法证明不等式 成立， 当 时，左边 ，右边 ，因为 ，所以不等式成立， 假设当 时不等式成立，即 成立， 则当 时，左边 ， 所以当 时，不等式也成立，综上所述：可证得不等式恒成立； 方法二：构造新数列方法证明不等式.令 ，，所以 ，即 ，，综上所述：可证得不等式恒成立. 方法三：. 【点拨】第一问利用导数证明单调性；第二问求出最小值 ，进而求出 ，再利用放缩法或数学归纳法证明不等式. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $