2.3 解直角三角形课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”，核心知识点涵盖定义、三大关系（边角三角函数、三边勾股定理、两锐角互余）、解题原则及已知条件分类。课堂导入从锐角三角函数定义及特殊角值回顾切入，通过探究直角三角形的边与角关系搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层设计练习（基础巩固、能力提升、拓展应用），结构化总结解题步骤（表格分类已知条件与解法），并结合作高转化非直角三角形等实例，培养学生的推理能力与模型意识。课堂小结系统梳理知识，帮助学生形成有条理的思维，教师可借助资料高效开展教学。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师: . 班 级: 9年级( )班 . 时 间: . 2026年7月8日 2.3 解直角三角形 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 湘教版九年级数学2.3 解直角三角形练习题 ### 核心知识点回顾 1. 解直角三角形定义:在直角三角形中,利用已知边、角,求出所有未知边、未知角的过程,叫做解直角三角形。 2. 直角三角形三大关系(解题万能依据) (1)边角关系(三角函数):$$\sin A=\frac{对边}{斜边},\cos A=\frac{邻边}{斜边},\tan A=\frac{对边}{邻边}$$ (2)三边关系(勾股定理):$$a^2+b^2=c^2$$ (3)两锐角关系:$$\angle A+\angle B=90^\circ$$ 3. 解题原则 已知两边:先用勾股定理求第三边,再用三角函数求角度; 已知一边一角:先求另一锐角,再用三角函数求剩余边长。 4. 已知条件分类:①已知两条边;②已知一条边、一个锐角。(至少需要2个条件,且至少一条边) ### 一、基础巩固题(每题5分,共30分) 在Rt ABC中,∠C=90 ,解答下列各题: 1. 已知a=3,b=4,求c、∠A、∠B(角度精确到1 )。 2. 已知c=10,a=5,求b、∠A、∠B。 3. 已知∠A=30 ,c=12,求a、b、∠B。 4. 已知∠A=45 ,b=6,求a、c、∠B。 5. 已知b=8,∠B=60 ,求a、c。 6. 判断:解直角三角形只需知道两个角度即可。 ### 二、能力提升题(每题10分,共40分) 1. Rt ABC中,∠C=90 ,a=6,c=12,解这个直角三角形。 2. Rt ABC中,∠C=90 ,∠A=60 ,b=3,求三角形各边和∠B。 3. Rt ABC中,∠C=90 ,a=5,b=$$5\sqrt{3}$$,求∠A、∠B、斜边c。 4. Rt ABC中,∠C=90 ,$$\sin A=\frac{4}{5}$$,c=15,求a、b的长。 ### 三、拓展应用题(每题15分,共30分) 1. 在Rt ABC中,∠C=90 ,周长为24,a:b=3:4,解这个直角三角形。 2. 在Rt ABC中,∠C=90 ,斜边c=20,$$\tan A=\frac{3}{4}$$,求两直角边长和两个锐角度数。 ### 参考答案与详细解析 #### 基础巩固题解析 1. 解:$$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$$,$$\tan A=\frac{3}{4}$$,∠A≈37 ,∠B≈53 。 2. 解:$$b=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$$,$$\sin A=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$,∠A=30 ,∠B=60 。 3. 解:$$a=c\cdot\sin30^\circ=6$$,$$b=c\cdot\cos30^\circ=6\sqrt{3}$$,∠B=60 。 4. 解:∠B=45 ,$$a=b=6$$,$$c=6\sqrt{2}$$。 5. 解:$$c=\frac{b}{\sin60^\circ}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$$,$$a=\frac{b}{\tan60^\circ}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$。 6. 解:错误。已知两个角只能确定形状,无法确定边长,必须至少已知一条边。 #### 能力提升题解析 1. 解:$$\sin A=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$,∠A=30 ,∠B=60 ,$$b=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$$。 2. 解:∠B=30 ,$$a=b\cdot\tan60^\circ=3\sqrt{3}$$,$$c=2b=6$$。 3. 解:$$\tan A=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$,∠A=30 ,∠B=60 ,$$c=10$$。 4. 解:$$a=c\cdot\sin A=12$$,$$b=\sqrt{15^2-12^2}=9$$。 #### 拓展应用题解析 1. 解:设$$a=3k,b=4k$$,则$$c=5k$$。周长$$12k=24$$,$$k=2$$。得$$a=6,b=8,c=10$$,∠A≈37 ,∠B≈53 。 2. 解:$$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$$,设$$a=3k,b=4k$$,则$$c=5k=20$$,$$k=4$$。得$$a=12,b=16$$,∠A≈37 ,∠B≈53 。 新课导入 在图形的研究中,直角三角形是常见的三角形之一,因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 对于这类问题,我们一般利用锐角三角函数的有关知识来解决. 任意给定一个锐角 ,它的正弦sin (或余弦cos ,或正切tan )都有唯一确定的值与它对应,并且当锐角 变化时,相应的sin (cos ,tan )的值也随之变化,习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数. 什么是锐角三角函数? 下列特殊角的三角函数值分别是什么? 30 45 60 sin cos tan 1 说一说 探究新知 如图2.3-1,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A,∠B,∠C的对边分别记作a,b,c . 1.直角三角形的三边之间有什么关系? a2+b2=c2(勾股定理) 2.直角三角形的锐角之间有什么关系? ∠A+∠B=90 A B C a b c 图2.3-1 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A,∠B,∠C的对边分别记作a,b,c . 3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系? A B C a b c 图2.3-1 总结 (1) 三边之间的关系a2+b2=c2(勾股定理) (2) 两锐角之间的关系∠A+∠B=90 (3) 边角之间的关系 B A C a b c 例1:如图2.3-2,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,a=5. 求∠B、b、c. 解:∠B=90 -∠A=90 -30 =60 . 因为 所以 因为 所以 还可以用勾股定理求c. A B C a b c 30 图2.3-2 随堂诊断 1.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,a=12. 求∠B、b、c. A B C a b c 解:∠B=90 -∠A=90 -30 =60 . 因为 所以 因为 所以 在直角三角形中,除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角),只要知道其中的2个元素(至少有1个是边) ,就可以求出其余的 3 个未知元素. 像这样,由直角三角形中已知元素求其余未知元素的过程,叫作解直角三角形. 总结 A B C a b c 例2:如图2.3-3,在Rt ABC中,∠C=90 , cos A= ,BC=5,试求 AB 的长. A B C 解:因为∠C=90 ,cos A= , 所以 设AB=x,则AC= x. 又AB2=AC2+BC2, 所以 因此 所以AB的长为 . 于是 图2.3-3 随堂诊断 A B C a b c 2.如图,在Rt ABC中,∠A=90 ,b= ,c= 求∠B、 ∠C、 a. 解:在Rt ABC中,由勾股定理得 因为 所以 ∠C = 30 . 所以∠B=90 -∠C=90 -30 =60 . 3.如图,在 ABC中,∠B=45 , ∠C =30 ,AB= ,求AC、 BC的长. A B C 解:如图,过点A作AD⊥BC于点D. D 在Rt ABD中, ∠B=45 , 所以 AD=BD=AB sin B= sin45 =4. 在Rt ACD中, ∠C=30 , AC = 2AD = 8, 所以BC=BD+CD = 解直角三角形的基本类型和方法 已知条件 图示 解法步骤 两边 两直角边 斜边和一直角边 已知条件 图示 解法步骤 一边一角 一锐角和一直角边 两直角边 斜边和一直角边 已知条件 图示 解法步骤 一边一角 一锐角和一斜边 1.在Rt ABC中,∠C=90 ,∠B=45 ,b=3 cm,求a,c. 解:∠A=90 -∠B=90 -45 = 45 . 所以 a = b = 3 cm. 因为 所以 练习 C A B a c b 2. 在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A=30 , c=16cm,求a,b. 解:根据题意作Rt ABC , 因为 所以 a=c sin A=16 sin30 =8 cm. 又因为 所以 C A B a b c=16 知识点1 已知两边解直角三角形 1. 在中, ,, ,则 的度数为( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 18 2. 在中, ,,, 所对的边分别 为,,,且, ,求这个三角形的其他元素. 【解】因为在中, ,, , 所以 , 所以,所以 ,所以 . 中考考法 19 解直角三角形的原则:(1)有斜(斜边)用弦 (正弦、余弦),无斜(斜边)用切(正切);(2)宁乘 勿除:选取便于计算的关系式,若能用乘法计算就不用除法 计算;(3)取原避中:若能用原始数据计算,应避免使用 中间数据计算. . . . . . . . . . . . . 返回 中考考法 20 知识点2 已知一边及一锐角(含锐角的三角函数值)解 直角三角形 3. [长沙芙蓉区期末] 如图,在矩形 中, 点在上,连接,,且 平分 ,, , 的长 为_. 1 返回 中考考法 21 4. 如图,在平面直角坐标系中, 是 直角三角形, ,点在轴上, , . 中考考法 22 (1)求点 的坐标; 【解】过点作于点 , 因为在中, , 所以 . 所以.所以点 的坐标 为 . 中考考法 23 (2)求 的正切值; 由(1)易知 , 因为 ,所以 . 所以 . 中考考法 24 (3)延长,交轴于点,则点 的坐 标为_ _. 【点拨】因为,在 中, ,所以 .由(2)知 ,所以 ,所以 .所 以点的坐标为 . 返回 中考考法 25 知识点3 解非直角三角形 5. 在中,, , ,则 的长为( ) C A. B. 2 C. D. 3 中考考法 26 解题支架 返回 中考考法 27 6. 劳动教育是德智体美劳全面发展的主要内容 之一,现有一块如图的四边形劳动教育基地,则此基地的面 积为_ . 返回 中考考法 28 7. 如图,已知,点在射线 上,,点在射线 上. (1)给出条件:;; ,能 使 的长唯一确定的是_(填序号); ②③ 中考考法 29 (2)在第(1)题中选一个使 的长唯一确定的条件,求出 此时 的长度. 中考考法 30 【解】(选择其中一个即可)若选②,当 时,如图①,过点作 于点 .因为,所以 ,所以 , .因为 ,所以 ,易知此时点 在 中考考法 31 点 的右侧,所以 . 若选③,当 时,如图②,过点作于点 , 易知此时点在点 的右侧. 易知, . 因为 , 所以,所以 . 中考考法 中考考法 本题中出现了,由于 所在的三角 形并非直角三角形,因此应用余弦的定义,构造出一个与之 相关的直角三角形进行求解. 返回 中考考法 34 (第8题) 8. 如图,在中, , ,的垂直平分线交 于点,连接,若 ,则 的长是( ) D A. B. C. D. 中考考法 35 (第8题) 【点拨】因为的垂直平分线交 于点,所以.又因为 , 所以 .因为 ,所以 .所以 .所以 .所以 . 返回 中考考法 36 (第9题) 9. 如图,在平面直角坐标系中, ,, , ,则点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 中考考法 37 10. 在中, ,是 边上的高,如 果, ,那么 的长为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 38 11. 如图,在中, , , 于,平分,分别交,于,,为 的中 点,连接,则 的值是_. 中考考法 39 课堂小结 解直角三角形 由直角三角形中已知元素求出其余未知元素的过程,叫作解直角三角形. 两边:两直角边或斜边和一直角边 一边一角:一锐角个位斜边、一锐角个一直角边(邻边或对边) $