2.4 解直角三角形的应用 第3课时 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“与方位角有关的实际问题”，核心知识点为方位角定义及结合三角函数解决距离、安全等实际问题。新课导入通过小华一家游玩情境引出位置判断问题，衔接直角三角形三角函数知识，搭建从实际到数学模型的学习支架。 其亮点在于以航行、救援等真实情境设计问题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过作辅助线构建直角三角形并推理计算发展数学思维，课堂小结用表格系统梳理方位角定义与举例助力数学语言表达。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

湘教·九年级上册 与方位角有关的实际问题 新课导入 周末小华一家人去景区游玩，他们从渡口出发，一段时间后到达一处离渡口160m的湖心岛，他们在湖心岛稍作休息后，又划船到达一处小船停泊的渡口.思考：怎么判断此时小华一家所在的地方呢？ P 出发渡口 M 湖心岛 N 停泊渡口 探究新知 方位角：正北或正南方向线与目标方向线所形成的小于90°的角称为方位角. 如图，目标方向线OA，OB，OC 的方位角分别可以表示为北偏东45°、南偏东60°，其中南偏东45° 习惯上叫作东南方向，北偏东45°习惯上叫作东北方向，北偏西45°习惯上叫作西北方向，南偏西45°习惯上叫作西南方向. 例3 如图2.4-7，一艘船以20km/h的速度向正东方 向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东45°方向上，继续航行 0.5 h 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔 C 的 20km 内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？ A C B 45° 30° 北 东 分析：这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于20km． 图2.4-7 解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D . 设CD=x km. 在Rt△ACD中， 因为 所以 同理，在Rt△BCD中， 因为 AB=AD－BD， 所以 解得x = . 又 因此，这艘船继续向东航行是安全的． A C D B 45° 30° 北 东 随堂诊断 1.知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到 C 地开展社会实践活动，车辆到达 A 地后，发现 C 地恰好在 A 地的正北方向，且距离 A 地 13 km，导航显示车辆应沿北偏东60° 方向行驶至 B 地，再沿北偏西 37°行驶一段距 离才能到达 C 地，求B，C两地间的距离(参考数据： ). A B C 37° 60° 东 北 A B C 37° 60° 东 北 解：过点 B 作BD⊥AC，垂足为D ，设BD = x km. D 在Rt△ABD中， 在Rt△BCD中，∠BCD=90°－37°=53° 因为AC = CD + AD 在Rt△BCD中， A B C 37° 60° 东 北 D 答：B，C两地间的距离为 ． 2. 在一次海上救援中，两艘专业救助船 A、B 同时收到 某事故渔船 P 的求救讯息，已知此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西30°方向上，在救助船 B 的西南方向上，且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 n mile. （1）求收到求救讯息时事故渔船 P 与救 助船 B 之间的距离(结果保留根号)； （2）若救助船A、B分别以40 n mile/h、 30 n mile/h的速度同时出发，匀速直 线前往事故渔船 P 处搜救，试通过计 算判断哪艘船先到达. C 解：(1) 过点 P 作 PC⊥AB，垂足为C ，则∠PCA=∠PCB=90°. 由题意得，PA=120 n mile， ∠PAB=30°， ∠CPB=45°， 在Rt△ACP中， ∠CAP=30°， 答：收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离为 C (2) 因为PA=120 n mile，PB = 救助船A、 B分别以40 n mile/h、30 n mile/h的速度同时出发， 所以 救助船 A 所用的时间为 救助船 B 所用的时间为 因为 3 > 所以 救助船 B 先到达. 【选自教材P82 练习 第2题】 练习 1. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A 船说 B 船在它的正东方向，C 船在它的北偏东60°方向；B船说C船在它的北偏西45°方向；C船说它到 A 船的距离比它到 B 船的距离远 40km. 求A，B两船的距离( 结果精确到0.1km). 东 60° 45° 北 B C A 解：作CD⊥AB于点D. 所以 又 CA－CB=40， 东 60° 45° 北 B C A D 由图易知∠CAB=30°， ∠CBA=45°. 东 60° 45° 北 B C A D 又因为 答：A，B两船的距离为186.2 km． 2.如图所示，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在 北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/小时的速度航行30分钟到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是 ( ) A A. 7 海里 B. 14 海里 C. 7海里 D. 14海里 60° 15° 东 M A 北 B 分析：作BN⊥AM，垂足为N， 由题意知，在Rt△ABN中，∠BAN=30°，AB=14海里，所以BN=AB·sin30°=7(海里) ， 所以 在Rt△BMN中，∠MBN=45°，BN=7海里， 所以 故选A. 60° 15° 东 M A 北 B N 3.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海监船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图，上午9时，海监船位于A处，观测到某港口城市P位于海监船的北偏西67.5°方向，海监船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海监船到达B处，这时观察到城市P位于海监船的南偏西36.9°方向，求此时海监船所在B处与城市P的距离. (参考数据：sin36.9°≈ ，tan36.9°≈ ，sin67.5°≈ ，tan67.5°≈ ) 解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里. 在Rt△APC中，因为 所以 C 在Rt△PCB中，因为 所以 因为从上午9时到下午2时要经过五个小时， 所以 AC+BC=AB=21×5， 所以 解得x=60. 因为 答：此时海监船所在 B 处与城市 P 的距离为100海里. 所以 C 课堂小结 名称 定义 举例 方 位 角 正北或正南方向线与目标方向线所形成的小于90°的角称为方位角. 如图，目标方向线OA，OB， OC 的方位角分别可以表示 为北偏东45°、南偏东60°， 其中南偏东45° 习惯上叫作 东南方向，北偏东45°习惯上叫作东北方向，北偏西45°习惯上叫作西北方向，南偏西45°习惯上叫作西南方向. $