第05讲 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第05讲 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 目录 知识点1 二次函数顶点式通用形式 2 知识点2 y=ax²+k 的图象与性质 2 知识点3 y=a(x-h)² 的图象与性质 2 知识点4 y=a(x-h)²+k 的图象与性质（通用顶点式） 2 知识点5 二次函数图象平移核心规律 3 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 3 题型2 y=a（x-h）²的图象和性质 6 题型3 y=a（x-h）²+k的图象和性质 8 题型4 二次函数图象的平移 11 1. 知识目标：掌握、、三种顶点式二次函数的图象特征、顶点、对称轴、增减性与最值；熟记二次函数图象平移规律。 2. 能力目标：能精准辨析三种顶点式函数的性质，熟练判断开口、对称轴、顶点与最值；掌握二次函数上下、左右平移方法，能根据平移前后解析式互推、图象互推。 3. 素养目标：深化数形结合思想，理解函数图象平移的变换本质，建立由特殊到一般的归纳思维，熟练掌握分类讨论解题方法。 知识点1 二次函数顶点式通用形式 为二次函数顶点式最简通用形式，所有顶点式均可由此衍生，分别控制开口、左右平移、上下平移，是二次函数最核心的变形形式。 知识点2 y=ax²+k 的图象与性质 由基础抛物线上下平移得到，无左右平移。 1. 对称轴：直线（y轴）； 2. 顶点坐标：； 3. 开口规律：开口向上，开口向下，决定开口宽窄； 4. 最值：，时；，时； 5. 增减性：与完全一致，仅整体上下平移，增减区间不变。 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 知识点3 y=a(x-h)² 的图象与性质 由基础抛物线左右平移得到，无上下平移。 1. 对称轴：直线； 2. 顶点坐标：； 3. 开口、宽窄：仅由决定，与基础函数一致； 4. 最值：最小值为0，最大值为0； 5. 增减性：以直线为分界点，左右增减性相反。 知识点4 y=a(x-h)²+k 的图象与性质（通用顶点式） 结合左右、上下平移，是顶点式最终通用形态，适配所有平移后的抛物线。 1. 顶点坐标：（核心考点，直接读数）； 2. 对称轴：直线； 3. 开口与宽窄：仅由决定，与基础函数完全相同； 4. 最值：，时；，时； 5. 增减性：，递减、递增；，递增、递减。 知识点5 二次函数图象平移核心规律 平移口诀：左加右减，上加下减 1. 左右平移（针对x）：向左平移m个单位，x变为；向右平移m个单位，x变为； 2. 上下平移（针对整体y）：向上平移n个单位，整体加n；向下平移n个单位，整体减n； 3. 平移不变性：平移前后抛物线a值不变，开口方向、开口宽窄完全不变，仅顶点、对称轴位置改变。 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 解题技巧：1. 快速定位：对称轴固定为y轴，顶点直接读取；2. 性质判断：开口、宽窄、增减性完全跟随，仅最值由决定；3. 最值速判：a正最小为k，a负最大为k；4. 图象辨析：与基础抛物线形状完全一致，仅整体上下平移，无左右偏移。 高频易错：混淆最值数值、误改增减区间，忽略图象仅上下平移的特征。 【典例1】．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得 【变式1】．下列函数中，的值随值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，根据一次函数与二次函数的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】解：对于选项，是开口向上的二次函数，对称轴为，∵时随增大而减小，∴不符合要求． 对于选项，是开口向下的二次函数，对称轴为，∵时随增大而减小，∴不符合要求． 对于选项，是一次函数，，根据一次函数性质，可得的值随值的增大而增大，∴符合要求． 对于选项，是一次函数，，可得的值随值的增大而减小，∴不符合要求． 【变式2】．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 【变式3】．确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标； (2) 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (3) 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标； (4) 抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标； (5) 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (6) 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标． 【分析】将抛物线解析式化为顶点式即可解答． 【详解】（1）解：，且， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：，且， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （4）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； （5）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （6）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 题型2 y=a（x-h）²的图象和性质 解题技巧：1. 定点速找：顶点，对称轴直接写直线；2. 分界判断：所有增减性以为分界线，不再以y轴分界；3. 符号辨析：h为正数，对称轴在y轴右侧；h为负数，对称轴在y轴左侧；4. 数值比较：利用对称轴对称性，快速比较函数值大小。 必考陷阱：对应，易误判h为正数，导致对称轴求解错误。 【典例2】．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 【变式1】．抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 【变式2】．若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 【变式3】．已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【答案】(1)此抛物线的解析式为 (2)①向上；；；②；③，小， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 【详解】（1）解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为：； （2）①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 题型3 y=a（x-h）²+k的图象和性质 解题技巧（秒杀四步法）：1. 看a：定开口方向、开口宽窄、最值类型；2. 看h：定对称轴、顶点横坐标；3. 看k：定最值大小、顶点纵坐标；4. 判增减：以为界，分左右两段判断增减性；5. 综合应用：已知顶点可直接设顶点式解析式，快速求解函数表达式。 核心口诀：a定开口h定轴，k定最值顶点牢。 【典例3】．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 【变式1】．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 【变式2】．已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 【答案】 / 【分析】先根据抛物线的顶点式确定开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较两个函数值的大小即可． 【详解】∵抛物线解析式为， 又∵， ∴抛物线开口向上，由顶点式可知对称轴为直线， 根据二次函数的性质，开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵点，的横坐标都满足，，即两点都在对称轴右侧，且， ∴． 【变式3】．已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)①点的纵坐标为；② 【分析】（1）化为顶点式求解即可． （2）①利用抛物线平移的性质（左加右减变横坐标）求出平移后的抛物线解析式，将两个抛物线联立方程推出即点横坐标，代入任意一个抛物线即可求出点纵坐标．②根据题意，将分别代入各自的抛物线，表示出，将其转化成 关于的一次函数，利用一次函数的图像性质和取值范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①， ， 顶点坐标为． （2）解：①∵， ∴抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线的解析式为． 是和的交点， ， ， ， 将代入得． ②；，点、分别在抛物线，上，， ∴， ． 是关于的一次函数，且， 的值是随着的增加而减小， 当时，； 当时，， ． 题型4 二次函数图象的平移 解题技巧（口诀落地法）：严格遵循左加右减、上加下减，分步平移不混乱。1. 左右平移：只变括号内x，左加右减，切记针对单独x变换；2. 上下平移：变动式子整体，上加下减；3. 多步平移：先左右、后上下，分步操作，避免混淆；4. 逆向平移：已知平移后解析式求原解析式，反向操作，左变右、加变减；5. 恒定结论：平移前后a值不变，可快速排除错误选项。 超级易错点：左右平移时，对整体加减，不是对h加减，绝大多数平移错误源于此处。 【典例4】．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 【变式1】．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． 【变式2】．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 【变式3】．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点．点C与点E关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是对称轴上一动点，点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交于点H．当线段的长度最大时，求周长的最小值； (3)在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点M为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)解：∵ ，， ∴， ∴ 将抛物线沿射线方向平移个单位，即向左平移个单位，向下平移个单位， ∴ 新抛物线， 将代入得， ∴ ， ∴ ， ①当点在上方时，如图，设抛物线交轴的负半轴于点， 将代入得， 解得或， ∴ 抛物线与轴负半轴交于点， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 点满足条件，即， ②当点在下方时， 作点关于的对称点，连接， 由对称性得，， 由对称性知垂直平分，由对称可知， ∴， 故射线上(除G外)任意一点M均满足 ∴ ， ∴ ， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得：， ∴ 直线的表达式为， 联立， 解得或， ∴ ， 综上，符合条件的点的坐标为或． 点的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线顶点，利用顶点式直接写出解析式，再验证过点． （2）先由抛物线解析式求出对称点的坐标和直线的表达式，设的横坐标为参数，表示的长度并求最大值，确定的位置；再利用轴对称将军饮马模型求的最小值． （3）根据平移向量求出新抛物线表达式，确定点坐标；通过构造全等三角形和等腰直角三角形，将角度条件转化为；先利用对称性找出一个满足条件的点，再作对称点求出直线与抛物线的另一交点． 【详解】（1）解：∵ 抛物线顶点为， ∴ 设抛物线解析式为， 又∵ 抛物线过点， ∴ ， 解得：， ∴ ． （2）解：由得，对称轴为直线， ∵ 点与点关于对称轴对称， ∴ ， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得：， ∴ 直线的表达式为， 设，过作轴的垂线交于， 则的纵坐标为， 代入得， ∴ ， ∴ 当时，最大，此时， ∴ ， 作点关于直线的对称点， ∵ 在对称轴上， ∴ ， ∴ 的周长， ∵ ， ∴ 周长的最小值为． （3）略 1．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 2．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 3．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 4．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 5．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 6．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 7．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C．当时，随的增大而减小 D．当时，有最大值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，从解析式中准确提取信息是解题关键． 根据中、、的意义，结合抛物线的开口方向、平移规律、增减性及最值来逐一判断选项． 【详解】解：抛物线的解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， 对于选项：∵， ∴抛物线开口向上，选项正确； 对于选项：根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，向右平移个单位得，再向下平移个单位得，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，顶点为最低点， ∴当时，有最小值，而非最大值，选项错误． 故选：． 8．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减； 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线， 再向上平移1个单位长度，得到抛物线， ∴得到新的抛物线的解析式是， 故选：C． 9．当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的增减性，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的增减性是解题关键． 根据各函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴随的增大而减小，故A错误； ∵在中，， ∴当时，随的增大而减小，故B错误； ∵在中，， ∴随的增大而增大，故C正确； ∵在中，，图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 故选：C． 10．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象得函数的最值是解题的关键．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为：直线， 又∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， 时，y有最小值，， 故选：B． 11．抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，得到顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点式为，其顶点坐标为， 对比顶点式可得，， 故顶点坐标为． 12．已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 14．将二次函数的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”原则即可作答． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移1个单位长度， 所得的函数表达式为，即． 15．抛物线（m为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为______（用“”表示）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质，抛物线开口向上时，点距离对称轴越远，函数值越大． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，开口向上． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ∵， ∴． 故答案为：． 16．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (3)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (4)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】通过配方，将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质写出开口方向、对称轴和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （4）解：， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 17．已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 【答案】(1)1 (2) (3)A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，得出关于m的方程，据此进行求解即可； （2）根据题意，结合m的范围进行计算即可求n的取值范围； （3）对m的取值范围进行分类讨论，据此进行判断即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移4个单位后得到函数， 点平移后对应点的坐标为， 新图象对称轴是直线，顶点坐标是； ，， 故答案为：1； （2）当时， 时，， 将代入，， ， 时，， 将代入，， ， n的取值范围为； （3）解：因为函数的对称轴为直线且开口向上， 所以当时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标． 当时，； 当时，， 又因为， 所以当时，， 则随的增大而增大； 当时，， 所以随的增大而增大，所以A选项符合题意． 故答案为：A． 18．课本内容再探索（一） 课本中研究了二次函数的图像与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下： 函数图像 图像特征与函数性质 推理论证 ① 函数的最大（小）值 当时，y有最小值，最小值为2． ∵（当且仅当时，等号成立）， ∴． ∴当时，y有最小值，最小值为2． 函数的变化趋势 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大． 任取图像上两点，． 当时，③…… 当时，同理可得当时，y随x的增大而增大． 图像的对称性 图像关于②对称． ④ (1)在①处画出该函数的图像，并填写②处的空格； (2)③处的论证思路如下，将其补充完整； (3)写出④处的论证图像对称性的过程． 【答案】(1)图见解析，直线 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）列表、描点、连线，即可作出函数图像，根据函数图像知函数图像关于直线对称； （2）根据图示求解即可； （3）分别求得横坐标和时的值，得到点和关于直线对称，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由题意得， 列表 0 1 6 3 2 3 6 描点、连线，函数图像如图所示： 观察图像得：图像关于直线对称． ②处的空格为直线； （2）解：∵图像是任意两点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴当时，y随x的增大而减小； （3）证明：任取一个点的横坐标，对应点的坐标为， ∴， 而时，， ∴点和关于直线对称， ∴的图像关于直线对称． 19．抛物线：的对称轴是直线，且它的最低点在直线上，求： (1)抛物线的函数解析式； (2)将抛物线关于轴进行翻转，并将翻转后的图形沿直线向左下方平移个单位长度，求平移之后的抛物线的函数解析式； (3)点为抛物线图象上的一点，将抛物线()的图象记为，将抛物线()的图象沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上任意点和点（两点同在上或上）都满足时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，翻折的性质，二次函数的平移，二次函数的性质． （1）根据抛物线的对称轴是直线，得出或，根据图象有最低点，且它的最低点在直线上，得出抛物线的顶点坐标是，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据翻折的性质可得解析式为，再根据平移的性质即可求解； （3）根据题意画出图形，分，，根据，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线：的对称轴是直线， ， 解得或， 又图象有最低点，即开口向上， ，即， ， 即， 把代入直线，得， 即抛物线的顶点坐标是， 代入函数，得， 抛物线的函数解析式为． （2）抛物线沿轴翻转后为，即， 沿直线向左下方平移个单位长度后，（即先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度） 所以抛物线的函数解析式为． （3）如图所示，    由条件可知， 若，如图1，上所有点均满足， 在上即当时，， 当的图象上所有的点都满足时，则， 解得， 如图1，当时，函数的图象上所有的点都满足； 若，如图2，上所有点均满足， 在上即当时，设是函数图象上一点，则在的图象上， 对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为：， 的图象上所有的点都满足， ， ， ， ， ， 综上所述，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 目录 知识点1 二次函数顶点式通用形式 2 知识点2 y=ax²+k 的图象与性质 2 知识点3 y=a(x-h)² 的图象与性质 2 知识点4 y=a(x-h)²+k 的图象与性质（通用顶点式） 2 知识点5 二次函数图象平移核心规律 3 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 3 题型2 y=a（x-h）²的图象和性质 4 题型3 y=a（x-h）²+k的图象和性质 5 题型4 二次函数图象的平移 5 1. 知识目标：掌握、、三种顶点式二次函数的图象特征、顶点、对称轴、增减性与最值；熟记二次函数图象平移规律。 2. 能力目标：能精准辨析三种顶点式函数的性质，熟练判断开口、对称轴、顶点与最值；掌握二次函数上下、左右平移方法，能根据平移前后解析式互推、图象互推。 3. 素养目标：深化数形结合思想，理解函数图象平移的变换本质，建立由特殊到一般的归纳思维，熟练掌握分类讨论解题方法。 知识点1 二次函数顶点式通用形式 为二次函数顶点式最简通用形式，所有顶点式均可由此衍生，分别控制开口、左右平移、上下平移，是二次函数最核心的变形形式。 知识点2 y=ax²+k 的图象与性质 由基础抛物线上下平移得到，无左右平移。 1. 对称轴：直线（y轴）； 2. 顶点坐标：； 3. 开口规律：开口向上，开口向下，决定开口宽窄； 4. 最值：，时；，时； 5. 增减性：与完全一致，仅整体上下平移，增减区间不变。 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 知识点3 y=a(x-h)² 的图象与性质 由基础抛物线左右平移得到，无上下平移。 1. 对称轴：直线； 2. 顶点坐标：； 3. 开口、宽窄：仅由决定，与基础函数一致； 4. 最值：最小值为0，最大值为0； 5. 增减性：以直线为分界点，左右增减性相反。 知识点4 y=a(x-h)²+k 的图象与性质（通用顶点式） 结合左右、上下平移，是顶点式最终通用形态，适配所有平移后的抛物线。 1. 顶点坐标：（核心考点，直接读数）； 2. 对称轴：直线； 3. 开口与宽窄：仅由决定，与基础函数完全相同； 4. 最值：，时；，时； 5. 增减性：，递减、递增；，递增、递减。 知识点5 二次函数图象平移核心规律 平移口诀：左加右减，上加下减 1. 左右平移（针对x）：向左平移m个单位，x变为；向右平移m个单位，x变为； 2. 上下平移（针对整体y）：向上平移n个单位，整体加n；向下平移n个单位，整体减n； 3. 平移不变性：平移前后抛物线a值不变，开口方向、开口宽窄完全不变，仅顶点、对称轴位置改变。 题型1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 解题技巧：1. 快速定位：对称轴固定为y轴，顶点直接读取；2. 性质判断：开口、宽窄、增减性完全跟随，仅最值由决定；3. 最值速判：a正最小为k，a负最大为k；4. 图象辨析：与基础抛物线形状完全一致，仅整体上下平移，无左右偏移。 高频易错：混淆最值数值、误改增减区间，忽略图象仅上下平移的特征。 【典例1】．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列函数中，的值随值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【变式3】．确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型2 y=a（x-h）²的图象和性质 解题技巧：1. 定点速找：顶点，对称轴直接写直线；2. 分界判断：所有增减性以为分界线，不再以y轴分界；3. 符号辨析：h为正数，对称轴在y轴右侧；h为负数，对称轴在y轴左侧；4. 数值比较：利用对称轴对称性，快速比较函数值大小。 必考陷阱：对应，易误判h为正数，导致对称轴求解错误。 【典例2】．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】．若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【变式3】．已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 题型3 y=a（x-h）²+k的图象和性质 解题技巧（秒杀四步法）：1. 看a：定开口方向、开口宽窄、最值类型；2. 看h：定对称轴、顶点横坐标；3. 看k：定最值大小、顶点纵坐标；4. 判增减：以为界，分左右两段判断增减性；5. 综合应用：已知顶点可直接设顶点式解析式，快速求解函数表达式。 核心口诀：a定开口h定轴，k定最值顶点牢。 【典例3】．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【变式1】．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 【变式3】．已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 题型4 二次函数图象的平移 解题技巧（口诀落地法）：严格遵循左加右减、上加下减，分步平移不混乱。1. 左右平移：只变括号内x，左加右减，切记针对单独x变换；2. 上下平移：变动式子整体，上加下减；3. 多步平移：先左右、后上下，分步操作，避免混淆；4. 逆向平移：已知平移后解析式求原解析式，反向操作，左变右、加变减；5. 恒定结论：平移前后a值不变，可快速排除错误选项。 超级易错点：左右平移时，对整体加减，不是对h加减，绝大多数平移错误源于此处。 【典例4】．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【变式3】．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点．点C与点E关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是对称轴上一动点，点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交于点H．当线段的长度最大时，求周长的最小值； (3)在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点M为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标其中一种情况的过程． 1．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 4．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 5．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 6．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 7．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C．当时，随的增大而减小 D．当时，有最大值 8．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 9．当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（    ）． A． B． C． D． 10．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 11．抛物线的顶点坐标是__________． 12．已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 13．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 14．将二次函数的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________． 15．抛物线（m为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为______（用“”表示）． 16．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 18．课本内容再探索（一） 课本中研究了二次函数的图像与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下： 函数图像 图像特征与函数性质 推理论证 ① 函数的最大（小）值 当时，y有最小值，最小值为2． ∵（当且仅当时，等号成立）， ∴． ∴当时，y有最小值，最小值为2． 函数的变化趋势 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大． 任取图像上两点，． 当时，③…… 当时，同理可得当时，y随x的增大而增大． 图像的对称性 图像关于②对称． ④ (1)在①处画出该函数的图像，并填写②处的空格； (2)③处的论证思路如下，将其补充完整； (3)写出④处的论证图像对称性的过程． 19．抛物线：的对称轴是直线，且它的最低点在直线上，求： (1)抛物线的函数解析式； (2)将抛物线关于轴进行翻转，并将翻转后的图形沿直线向左下方平移个单位长度，求平移之后的抛物线的函数解析式； (3)点为抛物线图象上的一点，将抛物线()的图象记为，将抛物线()的图象沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上任意点和点（两点同在上或上）都满足时，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $