第10讲 二次函数y＝ax²+bx+c的图象和性质（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第10讲 二次函数y＝ax2＋bx+c的图象和性质（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 二次函数y＝ax2+bx+c图象和性质 （1）你能说出函数y＝－2(x－1)2＋2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ （2）函数y＝－2(x－1)2＋2的图象与函数y＝－2x2的图象有什么关系？ （3）函数y＝－2(x－1)2＋2具有哪些性质？ （4）不画出图象，你能直接说出函数y＝x2－6x＋21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ （5）你能画出函数y＝x2－6x＋21的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？ 【知识点1 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质】 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 3. 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 【题型1 画二次函数y＝ax2+bx+c的图象】 【例1】画出下列函数的图象： （1）y＝x2﹣x﹣2；（2）yx2﹣x+2 【变式1-1】在平面直角坐标系中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象． x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … 【变式1-2】利用描点法画二次函数y＝x2﹣2x﹣4的图象，列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 m ﹣5 ﹣4 n … （1）填空：表中m＝　 ，n＝　 　 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【变式1-3】在画二次函数y＝x2+bx+c的图象时，列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 m n ﹣3 0 … （1）直接写出b、c、m、n的值： b＝　 　 ；c＝　 　 ；m＝　 　 ；n＝　 　 ； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势． 【题型2 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质】 【例2】已知二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣6，则下列关于这个二次函数的叙述正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线x＝2 B．图象顶点坐标为（2，﹣18） C．当x＞﹣3时，y随x的增大而减小 D．图象只经过两个象限 【变式1-1】已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列说法正确的有（　　） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．其图象顶点坐标为（3，﹣1） D．当x＜3时，y随x的增大而减小 【变式1-2】老师在画二次函数y＝ax2+bx+6（a、b为常数，a≠0）的图象时列表如表： x … 0 1 2 3 … y … m 8 6 0 … 四位同学根据表格得到结论如下：甲：该函数图象的对称轴为直线x＝1；乙：当x＞0时，y随x的增大而减小； 丙：m＝6；丁：图象开口向下．针对四人的说法，其中不正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-3】二次函数y＝x2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（　　） x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4.9 0.06 ﹣2 ﹣2 0.006 4.9 … A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最大值是4.9 D．抛物线的对称轴是直线 【题型3 二次函数y＝ax2+bx+c的图象的平移规律】 【例3】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，若将其图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的解析式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2﹣1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2+1 【变式3-1】将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（　　） A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位 B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位 C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位 D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 【变式3-2】二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象可由y＝x2﹣1的图象通过（　　）得到的． A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【变式3-3】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a2﹣4（a＞0）向左平移2个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，5），则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型4 二次函数y＝ax2+bx+c的图象上点的坐标特征】 【例4】已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【变式4-1】已知点M（m﹣2，n），点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，若t＞4，则n的取值范围是（　　） A．n＞4或n＜﹣4 B．﹣4＜n＜4 C．n＞1或n＜﹣4 D．﹣4＜n＜1 【变式4-2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n），则下列判断正确的是（　　） A．若c＞m，则n＞m B．若c＞m，则n＜m C．若c＜m，则n＞m D．若c＜m，则c＜n 【变式4-3】在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣a，y1），B（m，y2）是抛物线y＝ax2﹣2a2x+c（a＞0）上的两个不同点．当na＜m＜（n+1）a时，存在y1＜y2，则n的取值范围为 　 ． 【题型5 判断二次函数的图象】 【例5】如图，这是一次函数的图象，则二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】若二次函数y＝ax2+bx+c的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数y＝cx2+bx+a的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【题型6 二次函数的图象与系数的关系判断】 【例6】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式ab，ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b，2a﹣b中其值为正的式子个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列由该二次函数的图象得出的结论： ①a+c＞1；②2a＞b；③a＝b；④a﹣2b+c＜0． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式6-2】从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面4条信息：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＝0；④c﹣4b＞0．你认为其中正确的信息有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b+2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型7 二次函数最值问题】 【例7】已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为　　 ． 【变式7-1】当﹣3≤x≤0时，函数y＝﹣2x2﹣4x﹣1的最大值与最小值之和是　 　 ． 【变式7-2】当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为　 　 ． 【变式7-3】二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为　 　 ． 模块三 用待定系数法求二次函数的解析式 （1）回顾1：用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：①设一次函数的解析式；②列方程组求待定系数；③将所求系数值代回原函数解析式． （2）回顾2：二次函数的解析式有如下几种形式： 一般式：__y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)__； 顶点式：__y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)__． 强调：当顶点是原点时，函数解析式为__y＝ax2(a为常数，a≠0)__． （3）已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，你能求出这个二次函数的解析式吗？ 【知识点2 待定系数法求二次函数解析式】 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 【题型8 一般式】 【例8】一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式． 【变式8-1】已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式8-2】二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式． 【变式8-3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式． 【题型9 顶点式】 【例9】设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式． 【变式9-1】已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式． 【变式9-2】已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　） A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G 【变式9-3】二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3 【题型10 交点式】 【例10】抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（　　） A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4 【变式10-1】如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式； 【变式10-3】已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式． 模块四 课后作业 1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，4） B．（1，2） C．（﹣1，1） D．（0，2） 2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 m … 下列说法正确是（　　） A．抛物线开口向下 B．对称轴为直线x＝﹣1 C．m的值为3 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＞0；⑤若m≠1，则m（am+b）＜a+b．其中正确的序号是（　　） A．①② B．①②⑤ C．②④ D．①③④ 5．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2c）和点（2，2c），则的值为　　 ． 6．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1，其中m为实数．当1≤x≤2时，该二次函数有最小值10，则m的值为　 ． 7．已知点（b﹣2，y1），（b+2，c），（2b+6，y2）都在二次函数的图象上，则y1　 　 y2（填＞，＜，＝）． 8．根据下列条件求抛物线的解析式： （1）图象经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）三点． （2）经过点（4，﹣3），并且当x＝3时有最大值4． （3）经过（﹣3，0）和（1，0），且顶点到x轴的距离为2． （4）对称轴为直线x＝1，且过点（3，0）和（0，3）． 9．已知二次函数的图象与一次函数y＝4x﹣8的图象有两个公共点P（2，m），Q（n，﹣8），如果抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，求此二次函数的表达式． 10．已知，二次函数y＝﹣x2+bx+b﹣1（b为常数）的图象经过A（﹣1，t），B（5，t）两点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点P（2，﹣3）先向下平移6个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝﹣x2+bx+b﹣1的图象上，求m的值； （3）当n≤x≤5时，y有最大值7，最小值﹣2．求n的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二次函数y＝ax2＋bx+c的图象和性质（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 二次函数y＝ax2+bx+c图象和性质 （1）你能说出函数y＝－2(x－1)2＋2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ （2）函数y＝－2(x－1)2＋2的图象与函数y＝－2x2的图象有什么关系？ （3）函数y＝－2(x－1)2＋2具有哪些性质？ （4）不画出图象，你能直接说出函数y＝x2－6x＋21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ （5）你能画出函数y＝x2－6x＋21的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？ 【知识点1 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质】 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 3. 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 【题型1 画二次函数y＝ax2+bx+c的图象】 【例1】画出下列函数的图象： （1）y＝x2﹣x﹣2；（2）yx2﹣x+2 【分析】根据“列表、描点、连线”三个步骤分别运用“五点法”作二次函数图象便可． 【解答】解：（1）列表： x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣2 ﹣2 ﹣2 0 … 描点、连线， （2）列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 2 2 2 … 描点、连线， 【变式1-1】在平面直角坐标系中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象． x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式y＝（x﹣2）2﹣1，确定顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2；求出函数与x轴交点（1，0）、（3，0）和与y轴交点（0，3）；根据对称性选取对称点列表，再描点连线画出图象． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2． 令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 则（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得x1＝1，x2＝3， 即与x轴交点为（1，0），（3，0）． 令x＝0，则y＝0﹣0+3＝3，即与y轴交点为（0，3）． 根据对称性选取x的值列表： x 0 1 2 3 4 y 3 0 ﹣1 0 3 在平面直角坐标系中，描出以上各点，并用平滑曲线连接即得二次函数y＝x2﹣4x+3的图象． 【变式1-2】利用描点法画二次函数y＝x2﹣2x﹣4的图象，列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 m ﹣5 ﹣4 n … （1）填空：表中m＝　 ，n＝　 　 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【分析】（1）根据y＝x2﹣2x﹣4解析式，分别令x＝0和x＝3求出对应的y值即为m，n的值； （2）根据题意通过表格中点坐标画在平面直角坐标系中，光滑曲线连接即可． 【解答】解：（1）∵二次函数为y＝x2﹣2x﹣4， ∴令x＝0，即y＝﹣4， ∴m＝﹣4， 令x＝3，即y＝32﹣2×3﹣4＝﹣1， ∴n＝﹣1， 故答案为：﹣4，﹣1； （2）点坐标分别为：（﹣1，﹣1），（0，﹣4），（1，﹣5），（2，﹣4），（3，﹣1）， 如图所示： 【变式1-3】在画二次函数y＝x2+bx+c的图象时，列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 m n ﹣3 0 … （1）直接写出b、c、m、n的值： b＝　 　 ；c＝　 　 ；m＝　 　 ；n＝　 　 ； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势． 【分析】（1）利用交点式写出解析式，变形后即可得到b、c，化成顶点式即可求得n，利用对称性可以求得m； （2）描点、连线得到二次函数的图象，根据图象得出结论． 【解答】解：（1）当x＝﹣3和x＝1时，y＝0， ∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3， ∴b＝2，c＝﹣3， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，﹣4）， ∴n＝﹣4， ∴当x＝﹣2和x＝0时的函数值相同，为﹣3， ∴m＝﹣3； 故答案为：2，﹣3，﹣3，﹣4； （2）描点、连线得到二次函数的图象如下： 观察图象可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 【题型2 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质】 【例2】已知二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣6，则下列关于这个二次函数的叙述正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线x＝2 B．图象顶点坐标为（2，﹣18） C．当x＞﹣3时，y随x的增大而减小 D．图象只经过两个象限 【分析】将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2， ∴图象的对称轴是直线x＝﹣2，故A错误，不符合题意； 图象的顶点坐标为（﹣2，﹣2），故B错误，不符合题意； ∵a＝﹣1＜0， ∴函数图象开口向下，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小； ∴C错误，不符合题意； ∵函数顶点坐标为（﹣2，﹣2），函数图象开口向下， ∴图象全部在x轴下方，只经过三、四象限，故D正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列说法正确的有（　　） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．其图象顶点坐标为（3，﹣1） D．当x＜3时，y随x的增大而减小 【分析】利用二次函数一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性即可． 【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣12x+19中，a＝2，b＝﹣12，c＝19 ∵a＝2＞0， ∴图象开口向上，故A错误，不符合题意； ∵对称轴公式为直线， ∴代入得，故B错误，不符合题意； 将x＝3代入函数解析式， ∴y＝2×32﹣12×3+19＝18﹣36+19＝1，即顶点坐标为（3，1），故C错误，不符合题意； ∵a＞0，开口向上，对称轴为直线x＝3， ∴当x＜3时，y随x的增大而减小，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】老师在画二次函数y＝ax2+bx+6（a、b为常数，a≠0）的图象时列表如表： x … 0 1 2 3 … y … m 8 6 0 … 四位同学根据表格得到结论如下：甲：该函数图象的对称轴为直线x＝1；乙：当x＞0时，y随x的增大而减小； 丙：m＝6；丁：图象开口向下．针对四人的说法，其中不正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】依据题意，由二次函数为y＝ax2+bx+6，结合表格数据，结合待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝ax2+bx+6， ∴当x＝0时，y＝m＝6，故丙的说法正确； 又∵图象过（2，6）， ∴抛物线的对称轴是直线x1，故甲的说法正确； ∴顶点为（1，8）． ∴． ∴． ∴二次函数为y＝﹣2x2+4x+6． ∴抛物线的图象开口向下，故丁的说法正确； ∴当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大，故乙的说法不正确； 故选：B． 【变式1-3】二次函数y＝x2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（　　） x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4.9 0.06 ﹣2 ﹣2 0.006 4.9 … A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最大值是4.9 D．抛物线的对称轴是直线 【分析】直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴，进而得出答案． 【解答】解：当x＝﹣3和x＝﹣2时，对应y的值相等， 故函数的对称轴为：直线x，且数据从x＝﹣5到x＝﹣3对应的y值不断减小， 故函数有最小值，没有最大值，则其开口向上，时，y随x的增大而增大． 故选项A，B，C都错误，只有选项D正确． 故选：D． 【题型3 二次函数y＝ax2+bx+c的图象的平移规律】 【例3】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，若将其图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的解析式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2﹣1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2+1 【分析】先将原一般式二次函数配方化为顶点式，然后根据二次函数的平移方法求解即可 【解答】解：将原一般式二次函数配方化为顶点式可得： y＝（x﹣1）2﹣4， 将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴平移后所得图象的解析式为 y＝（x﹣1+2）2﹣4+3＝（x+1）2﹣1， 故选：A． 【变式3-1】将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（　　） A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位 B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位 C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位 D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 【分析】利用配方法得到抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），然后通过顶点的平移的规律确定抛物线的平移规律． 【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1）， 把点（2，﹣1）先向左平移4个单位，再向上平移5个单位得到点（﹣2，4）， 所以将抛物线y＝x2﹣4x+3先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4）． 故选：C． 【变式3-2】二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象可由y＝x2﹣1的图象通过（　　）得到的． A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【分析】把二次函数化成顶点式，根据“左加右减，上加下减”的平移法则可得答案． 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴y＝x2﹣1的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到y＝（x﹣1）2﹣4的图象． 故选：D． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a2﹣4（a＞0）向左平移2个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，5），则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据平移的规律，得到平移后的解析式，然后把A（0，5）代入得到关于a的方程，解方程求得a的值即可确定顶点坐标． 【解答】解：将抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a2﹣4（a＞0）向左平移2个单位长度得到：y＝（x+2）2﹣（x+2）（a﹣1）+a2﹣4（a＞0）， ∵平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，5）， ∴5＝4﹣2（a﹣1）+a2﹣4，即a2﹣2a﹣3＝0， 解得：a＝3或a＝﹣1（舍去）， ∵平移后的抛物线y＝（x+2）2﹣（x+2）（a﹣1）+a2﹣4＝x2+2x+5，即y＝（x+1）2+4， ∴顶点坐标为（﹣1，4）， 故选：B． 【题型4 二次函数y＝ax2+bx+c的图象上点的坐标特征】 【例4】已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【分析】利用二次函数的增减性比较大小即可． 【解答】解：由题知：抛物线的对称轴为直线， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线x＝﹣1距离由远及近为A、C、B， ∴y1＜y3＜y2， 故选：B． 【变式4-1】已知点M（m﹣2，n），点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，若t＞4，则n的取值范围是（　　） A．n＞4或n＜﹣4 B．﹣4＜n＜4 C．n＞1或n＜﹣4 D．﹣4＜n＜1 【分析】求得抛物线的开口方向和对称轴，利用二次函数的对称性结合点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，且t＞4，即可求得0＜m＜2，进一步得到﹣2＜m﹣2＜0，根据二次函数的增减性即可求得n的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∵x＝0时，y＝4， ∵点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，且t＞4， ∴0＜m＜2， ∴﹣2＜m﹣2＜0， 当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+4＝﹣4， ∴n的取值范围是﹣4＜n＜4， 故选：B． 【变式4-2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n），则下列判断正确的是（　　） A．若c＞m，则n＞m B．若c＞m，则n＜m C．若c＜m，则n＞m D．若c＜m，则c＜n 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵当x＝0时，y＝c；二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（2，c）， ∴该函数图象的对称轴为直线x1， 当c＞m时，该函数图象开口向上，n＞m，故选项A正确，选项B错误； 当c＜m时，该函数图象开口向下，n＜m，故选项C错误； 当c＜m时，2﹣1＝1，3﹣1＝2，则c＞n，故选项D错误； 故选：A． 【变式4-3】在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣a，y1），B（m，y2）是抛物线y＝ax2﹣2a2x+c（a＞0）上的两个不同点．当na＜m＜（n+1）a时，存在y1＜y2，则n的取值范围为 　 ． 【分析】由a＞0可得抛物线的开口向上，利用对称轴公式可求出这抛物线的对称轴是x＝a，再通过二次函数的图象和性质，分x＜a、x≥a两种情况考虑，结合“当na＜m＜（n+1）a时，存在y1＜y2”可列出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣a，y1），B（m，y2）是抛物线y＝ax2﹣2a2x+c（a＞0）上的两个不同点 y＝ax2﹣2a2x+c（a＞0）的对称轴的直线为：． ∵a＞0， ∴﹣a＜0． ①当x＜a，y随着x的增大而减小， ∵当na＜m＜（n+1）a，存在y1＜y2， ∵a＞0，得 na＜﹣a， ∴n＜﹣1， ②当x≥a时，y随着x的增大而增大， ∴点A（﹣a，y1）关于直线对称轴直线x＝a的对称点的坐标是（3a，y1）， ∵当na＜m＜（n+1）a，存在y1＜y2， ∴（n+1）a＞3a， ∴n＞2， ∴n＜﹣1或n＞2． 【题型5 判断二次函数的图象】 【例5】如图，这是一次函数的图象，则二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由于一次函数的图象，由此可以确定0，c＜0，然后利用二次函数的性质得出二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象即可． 【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴0，c＜0， 若a＞0，则b＜0， ∴0， ∴二次函数二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象，开口向上，对称轴在y轴的左侧，交y轴的负半轴， 若a＜0，则b＞0， ∴0， ∴二次函数二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象，开口向下，对称轴在y轴的左侧，交y轴的负半轴， 综上，符合函数性质的图象是B． 故选：B． 【变式5-1】若二次函数y＝ax2+bx+c的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数y＝cx2+bx+a的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】原二次函数 y＝ax2+bx+c 的系数符号，抛物线开口向下，可得出 a＜0，对称轴 x0（在 y轴左侧），结合 a＜0 可得 b＜0，抛物线与 y轴交于负半轴，可得c＜0，与x轴的0个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＜0；据此判断y＝cx2+bx+a的图象性质即可． 【解答】解：根据以上推导，函数 y＝cx2+bx+a 的图象应满足：开口向下，对称轴在 y轴左侧，与 y轴交于负半轴，与 x轴有0交点，对照选项，选项 D 符合全部特征． 故选：D． 【变式5-2】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【解答】解：联立二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a， 消去y得，ax2+a＝0， ∴Δ＝﹣4a2＜0，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令ax2+bx＝0， 解得：x1＝0，， ∴二次函数y＝ax2+bx与x轴的交点坐标为（0，0）或，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过一、三、四象限，则b＞0，﹣a＜0，即a＞0，b＞0，矛盾，故不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过二、三、四象限，则b＜0，﹣a＜0，即a＞0，b＜0，故正确，符合题意． 故选：C． 【变式5-3】一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先观察每一个选项中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象得到字母系数a，b的正负，接下来判断一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象中的参数a，b的正负；结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的a，b取值一致时，即为正确答案． 【解答】解：根据一次函数图象与系数的关系，逐项分析二次函数图象与系数关系再判断如下： A：一次函数a＞0，b＞0，二次函数，可得b＜0，不符合题意； B：一次函数a＜0，b＜0；二次函数a＜0，，可得b＜0，符合题意； C：一次函数a＜0，二次函数a＞0，不符合题意； D：一次函数a＜0，二次函数a＞0，不符合题意． 故选：B． 【题型6 二次函数的图象与系数的关系判断】 【例6】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式ab，ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b，2a﹣b中其值为正的式子个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线的开口方向得a＜0，抛物线交y轴的负半轴，可知c＜0，可判断ac，当x＝1时，y＞0，可判断a+b+c，当x＝﹣1时，y＜0，可判断a﹣b+c，然后根据，可判断ab，2a+b，2a﹣b． 【解答】解：由条件可知a＜0，c＜0， ∴ac＞0； 当x＝1时，y＝1＞0， 即a+b+c＞0； 当x＝﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0； ∵， ∴b＝﹣2a＞0， ∴ab＜0，2a+b＝0，2a﹣b＜0， 所以其值为正的式子的个数为2个． 故选：B． 【变式6-1】如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列由该二次函数的图象得出的结论： ①a+c＞1；②2a＞b；③a＝b；④a﹣2b+c＜0． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【分析】由二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴而且在点（0，1）上方，可得a＞0，c＞1，进而可得a+c＞1，抛物线对称轴位置可得，从而判断②错误；进而可得③也错误，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即可判断④． 【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得： ∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴而且在点（0，1）上方， ∴a＞0，c＞1， ∴a+c＞1，故结论①正确； 根据抛物线对称轴位置可知：， ∴b＞2a，故结论②错误； ∵a＞0， ∴b＞2a＞a，故结论③错误； 由图象可得，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴a﹣b+c﹣b＜﹣b，即a﹣2b+c＜﹣b 又∵﹣b＜0， ∴故a﹣2b+c＜0，故结论④正确； 故选：D． 【变式6-2】从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面4条信息：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＝0；④c﹣4b＞0．你认为其中正确的信息有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】观察图象易得a＞0，c＜0，3b＝﹣2a，进而可判断①③，结合函数图象可判断②④． 【解答】解：从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中， ∵抛物线开口方向向上， ∴a＞0， ∵与y轴交点在x轴的下方， ∴c＜0， ∵， ∴3b＝﹣2a， ∴b＜0， ∴2a+3b＝0，abc＞0，故③正确，①错误； 结合函数图象，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故②正确； 结合函数图象，当x＝2时y＝4a+2b+c＝﹣6b+2b+c＝c﹣4b＞0，故④正确． 故选：C． 【变式6-3】小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b+2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案． 【解答】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x， ∴3b＝2a，则ab， ∴b＜0， ∵图象与x轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故选项①错误；选项④正确； 由图象可得出：当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，故选项②正确； 抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0， 故选项③错误． 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴b﹣b+c＞0， ∴b+2c＞0，故选项⑤正确； 故正确的有3个． 故选：B． 【题型7 二次函数最值问题】 【例7】已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为　　 ． 【分析】先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16讨论求解即可． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a， ∴该二次函数对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣a）， 当a＜0时，函数在x＝﹣2处有最大值， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16， ∴﹣a＝16， ∴a＝﹣16； 当a＞0时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16， ∴当x＝1时，y＝16， ∴a+4a+3a＝16， ∴a＝2； 综上所述，a＝﹣16或a＝2． 故答案为：﹣16或2． 【变式7-1】当﹣3≤x≤0时，函数y＝﹣2x2﹣4x﹣1的最大值与最小值之和是　 　 ． 【分析】根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，最小值可能在区间端点处，计算顶点坐标和端点函数值，比较后求和． 【解答】解：由y＝﹣2x2﹣4x﹣1，配方得y＝﹣2（x+1）2+1，故对称轴为直线x＝﹣1，顶点为 （﹣1，1），由于开口向下，且﹣3≤x≤0，顶点在区间内，故当x＝﹣1时，y取得最大值1； 当x＝﹣3 时，y＝﹣2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）﹣1＝﹣18+12﹣1＝﹣7； 当x＝0时，y＝﹣2×02﹣4×0﹣1＝﹣1； 比较函数值，最小值为﹣7， 当﹣3≤x≤0时，函数y＝﹣2x2﹣4x﹣1的最大值与最小值之和为1+（﹣7）＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【变式7-2】当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为　 　 ． 【分析】依据题意，由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，可得抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值，进而分当x＝n时，y取最大值，此时2，即n和当x＝n+1时，y取最大值，此时2，即n，分别进行计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值． ①当x＝n时，y取最大值，此时2，即n． 又∵此时y最大值为n2﹣4n+3＝2， ∴n＝2（不合题意，舍去）或n＝2． ②当x＝n+1时，y取最大值，此时2，即n． 又∵此时y最大值为（n+1）2﹣4（n+1）+3＝n2﹣2n＝2， ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）． 综上，n＝2或1． 故答案为：2或1． 【变式7-3】二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为　 　 ． 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝6时x的值，结合当a≤x≤a+2时函数有最小值6，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当y＝6时，有x2﹣2x+3＝6， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． ∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， 当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值6，分两种情况讨论： 若1＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是6， ∴a＝3， 若a≤x≤a+2＜2时，当x＝a+2时，y的最小值是6， ∴a+2＝﹣1， 解得a＝﹣3， 故a的值为3或﹣3， 故答案为：3或﹣3． 模块三 用待定系数法求二次函数的解析式 （1）回顾1：用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：①设一次函数的解析式；②列方程组求待定系数；③将所求系数值代回原函数解析式． （2）回顾2：二次函数的解析式有如下几种形式： 一般式：__y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)__； 顶点式：__y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)__． 强调：当顶点是原点时，函数解析式为__y＝ax2(a为常数，a≠0)__． （3）已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，你能求出这个二次函数的解析式吗？ 【知识点2 待定系数法求二次函数解析式】 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 【题型8 一般式】 【例8】一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式． 【解题思路】设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式． 【解答过程】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， 根据题意，得， 解得， ∴所求二次函数的解析式为y＝4x2+5x． 【变式8-1】已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解题思路】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标． 【解答过程】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得 ， 解得． 则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+5； 由y＝2x2﹣3x+5＝2（x）2可知，抛物线对称轴为直线x，顶点坐标为（，）． 【变式8-2】二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式． 【解题思路】根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．求出点C的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得． 【解答过程】解：∵A（﹣1，0），B（4，0） ∴AO＝1，OB＝4， AB＝AO+OB＝1+4＝5， ∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5）， 设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵二次函数图象过A，C，B三点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为yx2x+5． 【变式8-3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式． 【解题思路】根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． 【解答过程】解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5， ∴点C的坐标为（5，4）． ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A、C、D， ∴， 解得． 故抛物线的解析式为yx2x+4． 【题型9 顶点式】 【例9】设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式． 【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可． 【解答过程】解：设这个函数的关系式为y＝a（x+2）2+2， 把点（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1， 解得a， 所以这个函数的关系式为y（x+2）2+2． 【变式9-1】已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式． 【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可． 【解答过程】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6， 把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8， 解得a＝﹣2． 所以抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6． 【变式9-2】已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　） A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G 【解题思路】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝3，则可判断H（3，1）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y＝a（x﹣3）2+1，然后把E点或F点或G点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式． 【解答过程】解：∵F（2，2），G（4，2）， ∴F和G点为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3， ∴H（3，1）点为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1， 把E（0，10）代入得9a+1＝10，解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1． 故选：C． 【变式9-3】二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3 【解题思路】根据图象得出二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，再求出a即可． 【解答过程】解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0）， 设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4， 把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4， 解得：a＝1， 所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3， 故选：B． 【题型10 交点式】 【例10】抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（　　） A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4 【解题思路】由抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），再将（2，8）代入求得a的值即可． 【解答过程】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得 8＝a（2﹣1）（2+2）， 解得a＝2， ∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2）， 化简得，y＝2x2+2x﹣4． 故选：D． 【变式10-1】如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式． 【解题思路】设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把（0，﹣6）代入求出a即可． 【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1） 把（0，﹣6）代入得﹣3a＝﹣6，解得a＝2， 所以此函数的解析式为y＝2（x﹣3）（x+1）， 即y＝2x2﹣4x﹣6． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式； 【解题思路】由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可； 【解答过程】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA． ∴B（2，0），C（0，2）， 设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1）， 把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1， 所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2； 【变式10-3】已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式． 【解题思路】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC＝5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到两个解析式． 【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4）， ∵B（4，0）两点，交y轴于C，BC＝5， ∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3）， 当C点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a， 所以此时抛物线的解析式为y（x﹣1）（x﹣4）x2x+3； 当C点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝﹣3，解得a， 所以此时抛物线的解析式为y（x﹣1）（x﹣4）x2x﹣3， 所以该二次函数的解析式为yx2x+3或yx2x﹣3． 模块四 课后作业 1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，4） B．（1，2） C．（﹣1，1） D．（0，2） 【分析】先将原二次函数化为顶点式求出原顶点坐标，再根据点的平移规律计算平移后的顶点坐标即可． 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点坐标为（﹣1，4）， ∵将函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴平移后顶点的横坐标为﹣1+1＝0，纵坐标为4﹣2＝2， ∴平移后所得抛物线的顶点坐标为（0，2）． 故选：D． 2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 m … 下列说法正确是（　　） A．抛物线开口向下 B．对称轴为直线x＝﹣1 C．m的值为3 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【分析】由表格中数据x＝0时，y＝0，x＝2时，y＝0，可判断抛物线的对称轴是直线x＝1，根据函数值的变化，判断抛物线开口向上，再由抛物线的性质，逐一判断即可得答案． 【解答】解：A．由表格中数据可知，x＝0时，y＝0，x＝2时，y＝0， ∴抛物线的对称轴为x＝1； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴抛物线的开口向上，故A不正确，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线x＝1，故B错误，不符合题意； C．根据对称性可知，点（﹣1，3）的对称点为（3，m），所以m＝3，故C正确，符合题意； D．由以上分析可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，所以当x＞1时，y随x的增大而增大，故D错误，不符合题意． 故选：C． 3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴为直线x0，故选项错误； B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴为直线x0，故选项正确； C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＞0；⑤若m≠1，则m（am+b）＜a+b．其中正确的序号是（　　） A．①② B．①②⑤ C．②④ D．①③④ 【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在正半轴上得到c＞0，由对称轴为x＝1，可对①②进行分析判断；把x＝3代入解析式，根据函数图象可对③进行判断；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，再根据对称轴可对④进行判断；根据函数的性质可对⑤进行判断． 【解答】解：①∵抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故①正确； ②∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵b＝﹣2a， ∴b＜0， ∴abc＜0，故②正确； ③把x＝3代入解析式，y＝9a+3b+c，根据图象x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0，故③错误； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c， ∵b＝﹣2a， ∴y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，故④错误； ⑤当x＝1时，y＝a+b+c为最大值， ∵m≠1， ∴am2+bm+c＜a+b+c， 故m（am+b）＜a+b，故⑤正确． 故选：B． 5．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2c）和点（2，2c），则的值为　　 ． 【分析】根据对称轴可知a，b的关系式，进而即可求解． 【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线， 即， 解得b＝﹣3a， 将点（1，2c）代入二次函数得a+b+c＝a﹣3a+c＝2c， ∴． 故答案为：． 6．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1，其中m为实数．当1≤x≤2时，该二次函数有最小值10，则m的值为　 ． 【分析】运用配方法，将解析式化为顶点式，可知二次函数极值与参数m无关，要使最小值为10，则m＜1或m＞2，分情况讨论：在两种情况下，根据增减性，分别确定自变量取值范围内最小值情况，建立方程求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝m， ∴m取任意实数时，函数有最小值1． ∴当1≤m≤2时，最小值为1， 当m＜1，x＝1时，y＝1﹣2m+m2+1＝10为最小值，解得m＝4（舍去）或m＝﹣2． 当m＞2，x＝2时，y＝4﹣4m+m2+1＝10为最小值，解得m＝5或m＝﹣1（舍去）． 综上所述，m的值为﹣2或5． 故答案为：﹣2或5． 7．已知点（b﹣2，y1），（b+2，c），（2b+6，y2）都在二次函数的图象上，则y1　 　 y2（填＞，＜，＝）． 【分析】通过将点（b+2，c）代入二次函数解析式，得到b2＝4，b＝±2，然后计算y2与y1的差值，得到，代入b＝±2均大于0，故y2＞y1． 【解答】解：∵点（b+2，c）在二次函数图象上， 把点（b+2，c）代入二次函数， 得， 化简得b2+2＝0， 即b2＝4，b＝﹣2或b＝2， ∵ ∴ ， 当b＝2时，， 当b＝﹣2时，， ∴y2＞y1， 即y1＜y2， 故答案为：＜． 8．根据下列条件求抛物线的解析式： （1）图象经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）三点． （2）经过点（4，﹣3），并且当x＝3时有最大值4． （3）经过（﹣3，0）和（1，0），且顶点到x轴的距离为2． （4）对称轴为直线x＝1，且过点（3，0）和（0，3）． 【分析】（1）设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，把（﹣1，﹣6）、（1，﹣2）和（0，3）代入得到一个三元一次方程组，求出方程组的解即可； （2）根据抛物线的顶点坐标设抛物线的解析式是：y＝a（x+1）2﹣1，把（0，﹣3）代入得到一个关于a的方程，求出a的值即可． （3）设函数为顶点式，利用函数图象过点（1，0），可得函数解析式 （4）已知抛物线的对称轴，可以设出函数的解析式是y＝a（x﹣1）2+k，把（3，0），（0，3）代入函数解析式即可求得函数解析式． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c， 把A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）代入得：， 解得：， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣3）2+4， 把（4，﹣3）代入得：﹣3＝a（4﹣3）2+4， ∴a＝﹣7， ∴y＝﹣7（x﹣3）2+4； （3）∵二次函数的图象过点（﹣3，0），（1，0） ∴对称轴为直线x1， 又∵顶点到x轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2或﹣2， ∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+2，或y＝a（x+1）2﹣2， ∵函数图象过点（1，0）， ∴0＝a（1+1）2+2，或0＝a（1+1）2﹣2， 解得a或， ∴所求的二次函数为y（x+1）2+2或y（x+1）2﹣2； （4）设函数的解析式是y＝a（x﹣1）2+k，根据题意得：， 解得：， 则函数的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3． 9．已知二次函数的图象与一次函数y＝4x﹣8的图象有两个公共点P（2，m），Q（n，﹣8），如果抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，求此二次函数的表达式． 【分析】由二次函数与一次函数的交点为P和Q，将P和Q的坐标分别代入一次函数解析式中，求出m与n的值，确定出P与Q的坐标，由Q坐标为（0，﹣8），设抛物线解析式为y＝ax2+bx﹣8（a≠0），将P坐标代入得到关于a与b的方程，再由对称轴公式，根据对称轴为直线x＝﹣1列出关于a与b的方程，联立两方程求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式 【解答】解：（1）由二次函数与一次函数图象交于P（2，m），Q（n，﹣8）， 将x＝2，y＝m代入一次函数y＝4x﹣8中得：m＝8﹣8，解得：m＝0， 将x＝n，y＝﹣8代入一次函数y＝4x﹣8中得：﹣8＝4n﹣8，解得：n＝0， ∴P（2，0），Q（0，﹣8）， 设二次函数解析式为y＝ax2+bx﹣8（a≠0）， 由抛物线对称轴为直线x＝﹣1，得到1，即b＝2a①， 将P坐标代入抛物线解析式得：0＝4a+2b﹣8②， 联立①②解得：a＝1，b＝2， ∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣8． 10．已知，二次函数y＝﹣x2+bx+b﹣1（b为常数）的图象经过A（﹣1，t），B（5，t）两点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点P（2，﹣3）先向下平移6个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝﹣x2+bx+b﹣1的图象上，求m的值； （3）当n≤x≤5时，y有最大值7，最小值﹣2．求n的取值范围． 【分析】（1）先根据已知条件求得抛物线的对称轴，进而可求得b，可得表达式和顶点坐标；（2） （2）先求出点P平移后的点的坐标，然后把坐标代入（1）中表达式求解，即可解答； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知该函数的对称轴为直线，则， 解得b＝4， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+3， 当x＝2时，y＝﹣22+4×2+3＝﹣4+8+3＝7， ∴顶点坐标为（2，7）； （2）点P（2，﹣3）先向下平移6个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度后的坐标为（2+m，﹣9）， 由条件可得﹣9＝﹣（2+m）2+4（2+m）+3， 解得m＝4或m＝﹣4（舍去）， 故m的值为4； （3）由（1）知，该二次函数的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，7），开口向下， 又当n≤x≤5时，y有最大值7，最小值﹣2， ∴当x＝2时，y取最大值7， ∵当x＝5时，y＝﹣52+4×5+3＝﹣25+20+3＝﹣2， 又点（5，﹣2）关于对称轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）， ∴﹣1≤n≤2． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $