安徽省合肥市第六中学2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

合肥六中 2024-2025 学年下学期高一期末教学质量检测 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题 1.复数 z满足 izi  1 ，则 || z （ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 2)1(1||11 22  zi i iz . 2.用斜二测画法画一个边长为 4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. 6 B. 32 C. 62 D. 34 【答案】A 【解析】 344 4 3 2 原S ，根据 原直 SS 4 2  ，可得 634 4 2 直S . 3.一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，m .这组数据的第 60百分位数等于他们的平均数，则 为( ) A. 12 B. 15 C. 17 D. 19 【答案】D 【解析】解：因为该组数据共 7个，且 2.4%607  ，所以这组数据的 %60 分位数为从小到大第 5个数， 即 7，则 7 10764217 m ，解得 19m ． 4.已知平面向量 )2,0(),1,3(  ba ，则 ba  在b上的投影向量为（ ） A. )3,0( B. )6,3( C. )6,0( D. )3, 2 3( 【答案】A 【解析】 )3,3( ba ,则 ba  在b上的投影向量为 )3,0()2,0( 2 3 || )( || ,cos|| 2    b b bba b bbbaba 5.在 ABC 中，内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A.  75,40,5  BAa B. 6,5,4  cba C. 30,4,3  Aba D. 60,2,2  Cca 【答案】C 【解析】对于 A选项，已知两角及一边，三角形有唯一解； 对于 B选项，已知三角形三边且可以构成三角形，三角形有唯一解； 对于 C选项， baAb sin ，三角形有两解； 对于 D选项， Cac sin ，三角形无解. 6.从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上 两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（ ） A. 3 1, 4 1 B. 2 1, 4 1 C. 2 1, 2 1 D. 3 2, 2 1 【答案】D 【解析】将两名男生分别编号为 ba, ，两名女生分别编号为 2,1 ：记事件 A “抽到的两人是一男一女”，从 两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下： )}2,2(),1,2(),,2(),,2(),2,1(),1,1(),,1(),,1(),2,(),1,(),,(),,(),2,(),1,(),,(),,{(1 bababbbbabaabaaa ， 共有 16 个样本点，其中 )},2(),,2(),,1(),,1(),2,(),1,(),2,(),1,{( bababbaaA  ，共有 8 个样本点，所以 2 1 16 8)( AP ； 在无放回简单随机抽样方式下： )}1,2(),,2(),,2(),2,1(),,1(),,1(),2,(),1,(),,(),2,(),1,(),,{(2 bababbabaaba ，共有 12个样本点，其中 )},2(),,2(),,1(),,1(),2,(),1,(),2,(),1,{( bababbaaA  ，共有 8个样本点，所以 3 2 12 8)( AP . 7. GO, 分别为 ABC 的外心和重心， 30BAC ,若 3 AGAO ，则 ABC 的面积的最大值（ ） A. 2 B. 4 9 C. 2 5 D. 4 15 【答案】B 【解析】因为G是 ABC 的重心，可知 )( 3 1 ACABAG  因为O是的 ABC 外心，则 2 2 1 ABABAO  ,同理 2 2 1 ACACAO  , 则 3)( 6 1) 2 1 2 1( 3 1)( 3 1 2222  ACABACABACABAOAGAO 所以 9218 22  ACABACABACAB 4 9 2 19 2 1sin 2 1  BACACABS ABC 8.已知三棱锥 ABCP  的四个顶点在球O的球面上， PCPBPA  ， ABC 是边长为2的正三角形， FE, 分别是 ABPA , 的中点， 2  CEF ,则球O的体积为（ ） A. 6 B. 62 C. 64 D. 68 【答案】A 【解析】解：如图， 取 中点 ，连接 ， ，易证 平面 ， 平面 ，故 ， 又 ， 分别是 ， 的中点，故 EF ，由 ，得 ， 故 ，而 ，因此 平面 ， 所以 ， ，又因为 ， ， 是全等三角形， 所以三棱锥 中 ， ， 两两垂直， 将三棱锥 放到正方体中，如图，则正方体的棱长为 ， 则正方体的外接球即为三棱锥 的外接球， 易求得正方体的体对角线长为 ，故球 半径 ， 则球 的体积 . 二、多选题 9.下列说法正确的是（ ） A. 对于复数 21, zz ，若 |||| 21 zz  ，则 21 zz  B. 若 21, zz 互为共轭复数，则 21zz 为实数 C. 若 i1 是关于 x的二次方程 ),(022 Rbabxax  的根，则 1a D. 复数 满足 1||  iz ，则 |1| z 的最小值是 2 【答案】BC 【解析】对于 A选项，当 iz 11 ， iz 12 时，满足 |||| 21 zz  ，但 21 zz  ，错误； 对于选项 B，设 biaz 1 ，则 biaz 1 ，故 22 21 ))(( babiabiazz  为实数，正确； 对于选项 C， 0)2()2(02)1()1( 2  ibabibia ，所以有            2 1 02 02 b a ba b ，正确； 对于选项 D，由复数的几何意义，可知 z对应的点的轨迹为以 )1,0( 为圆心，1为半径的圆， |1| z 表示圆 周上的点到点 )0,1( 的距离，所以 |1| z 的最小值为 1211)1( 22  ，错误. 10..一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接 触的面上的数字，得到样本空间为 }8,7,6,5,4,3,2,1{ ，记事件 A “得到的点数不大于 4 ”，记事件 B “得到的点数为偶数”，记事件 C “得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 4 3)( BAP  B.事件 CB 与 AC互斥 C. CBA ,, 两两独立 D. )()()()( CPBPAPABCP  【答案】ABD 【解析】事件 A 的样本点为 }4,3,2,1{ ，事件B的样本点为 }8,6,4,2{ ，事件C的样本点为 }7,5,3,2{ 对于 A选项，事件 BA 的样本点为 }8,6,4,3,2,1{ ，所以 4 3 8 6)( BAP  ，正确； 对于 B选项，事件 CB 的样本点为 }1{ ，事件 AC的样本点为 }3,2{ ，互斥，正确； 对于 C选项，事件 BC的样本点为 }2{ ，所以 )()( 8 1)( CPBPBCP  ，所以 CB、 不独立，错误； 对于 D选项， 2 1 8 4)(, 2 1 8 4)(, 2 1 8 4)(  CPBPAP ； 事件 ABC的样本点为 }2{ ，所以 )()()( 8 1)( CPBPAPABCP  ，正确. 11.如图，在棱长为 2的正方体 1111 DCBAABCD  中，M 为 11CB 的中点，P为线段 11DB 上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在 P点使得 DBAMP 1//平面 B. 直线 BM 与平面 11BBDD 所成角正弦值为 10 10 C. MPAP  的最小值为 327  D. 若点Q在正方体 1111 DCBAABCD  表面上运动（包含边界），且 CAMQ 1 ，则点Q的轨迹长度为 26 【答案】BCD 【解析】对于 A选项，作平面MNT //平面 DBA1 ，其中 TN , 分别为 111 ,CCCD 的中点， 易知 MNTP 平面 ，所以不存在 P点使得 DBAMP 1//平面 ，错误； 对于 B 选项，连接 ，则 ，由 平面 ， 平面 ，得 ，又 平面 ，则 平面 ， 过 作 交 于 ，连接 ，于是 平面 ， 是直线 与平面 所成的角， ， ， ， 对于 C选项，把直角三角形 111 DCB 与等边三角形 11DAB 置于同一平面内，且在直线 11DB 两侧，连接 AM 交 11DB 于 P， 则 327105cos12221)22( 22  AMMPAP ，正确； 对于 D选项，取 1111 ,,,, BBABADDDDC 中点，构造平面KLGHOM ,易证 KLGHOMCA 平面1 且所得截面是一个正六边形，所以 KLGHOMQ 平面 ,即可 满足 CAMQ 1 ，又因为Q在正方体表面上，所以Q的轨迹长度即为正六边形周长， 为 26 ，正确. 三、填空题 12.已知圆台的上、下底面半径分别为1和 2，高为 3，则圆台的表面积为 ． 【答案】 11 【解析】因为圆台的上、下底面半径分别为 11 r 和 22 r ，高为 3h ， 可得母线长为 2)12()3( 22 l ，所以圆台侧面积为  6)( 21  lrr ，上下底面积分别为 和 4 ， 表面积  1146 S . 13.甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得 分的运动员为胜方，如果出现 10:10 平的情 况，先多得 分者为胜方．在 平后，双方实行轮换发球，每人每次只发 个球．若在某局比赛中， 甲发球时甲得分的概率为 4 3 ，乙发球时甲得分的概率为 3 1 ，各球的结果相互独立，在双方 10:10 平后，甲 先发球，则甲以 11:13 赢下此局的概率为______. 【答案】 48 7 【解析】在双方 平后，甲先发球，甲以 赢下此局分两种情况： 后 球胜方依次为甲、乙、甲、甲，其概率 8 1 3 1 4 3 3 2 4 3 1 P 后 球胜方依次为乙、甲、甲、甲，其概率 48 1 3 1 4 3 3 1 4 1 2 P 故所求概率 48 7 48 1 8 1 21  PPP . 14.在锐角 ABC 中，内角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，且 2,2)tan(tan3 222 2    a bca cBA ，则 cb 3 的取值范围是______________. 【答案】 )32,2( 【解析】 BA C BA BA B B A ABA coscos sin3 coscos )sin(3) cos sin cos sin(3)tan(tan3  , BA C Ba c Bac c bca c cossin sin coscos2 22 2 222 2   所以有 3 3tancossin3 cossin sin coscos sin3  AAA BA C BA C ，又因为 ),0( A ,所以 6  A 由正弦定理 4 sinsinsin  C c B b A a 可得 CcBb sin4,sin4  所以 ) 6 sin(4cos2sin32 )sin 2 3cos 2 1(4sin34) 6 5sin(4sin34sin4sin343     BBB BBBBBCBcb 又因为 ABC 是锐角三角形，所以 23 26 50 2 0             B B B 所以 ) 3 , 6 ( 6  B ，所以 )32,2() 6 sin(43  Bcb 四、解答题 15.（本小题 13分） 如图，在正三棱柱 111 CBAABC  中， 1AAAB  ，D为棱 BC的中点. （1）证明： //1BA 平面 1ADC ； （2）求异面直线 BA1 与 AD所成角的余弦值． 【答案】（1）连接 CA1 交 1AC 于E，连接 ED，易得 E为 CA1 中点. 在正三棱柱 111 CBAABC  中，因为 ED、 分别为 CABC 1、 中点， 所以 DEBA //1 ………………………………………………………………………………3分 又因为 111, ADCBAADCDE 平面平面  ,所以 11 // ADCBA 平面 …………………6分 （2）取 11CB 中点 F ,连接 DFBFFA ,,1 . 在正三棱柱 111 CBAABC  中，设 aAAAB 21  ，因为 FD、 分别为 11CBBC、 中点， 可得 11 //// AABBDF ,且 11 AABBDF  ，所以四边形 1ADFA 是平行四边形 所以 FAAD 1// , FBA1 即为异面直线 BA1 与 AD所成角的大小.………………9分 在 BFA1 中， aFAaBFaBA 3,5,22 11  ， 满足 2 1 22 1 FABFBA  ……………………………………………………………11分 可知 BFA1 是直角三角形， 4 6 22 3cos 1 1 1  BA FAFBA …………………13分 16.（本小题 15分） 记 ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，满足 0cos)2(cos  AbcBa ． （1）求角 A；（2）若 3a ，D为BC的中点，且 2 3 AD ，求 cb, . 【答案】（1）因为 0cos)2(cos  AbcBa ， 由正弦定理可知： 0cossin2)sin(0cos)sinsin2(cossin  ACBAABCBA ……………………………2分 因为 ),0( C ,所以 0sin)sin(  CBA ，所以 2 1cos0cos21  AA ……………………4分 因为 ),0( A ，所以 3 2 A .………………………………………………………………………………6分 （2）在 ABC 中，因为 )( 2 1 ACABAD  ，…………………………………………………………8分 所以 4 3)( 4 1)cos2( 4 1)2( 4 1 2222222  bcbcAbcbcACABACABAD ……………10分 所以 ①322  bccb ，……………………………………………………………………………………11分 又由余弦定理 2 1 2 cos 222    bc acbA ，所以 ②922  bccb .…………………………………13分 联立①②可得 3 cb ……………………………………………………………………………………15分 17.（本小题 15分） 新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义.合肥六中为了解 高一年级 1800 名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩 满分 分 按照 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求1800名学生中物理测试成绩在 )60,50[ 内的频数并补全频率分布直方图. （2）学校建议，本次物理测试成绩不低于 a分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰 有 %70 的学生选择物理为高考考试科目，试求 a的估计值．（结果精确到 0.1） （3）已知落在 )70,60[ 的学生成绩的平均数为 x，方差 421 s ，落在 )80,70[ 的学生成绩的平均数为 y， 方差 622 s ，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在 )80,60[ 的学生成绩的方差 2s 的最大值. 【答案】（1）由频率分布直方图可得物理测试成绩在 )60,50[ 的频率为 15.0)005.0025.003.0015.001.0(101 f ，…………2分 频数为 27015.01800  ，………………………………………………3分 所以1800名学生中物理测试成绩在 )60,50[ 内的频数为 270，补全频率分布直方 图如图所示.…………………………………………………………………4分 （2）易得前两段频率之和为 3.025.0  ，前三段频率之和 3.04.0  ，则有 )70,60[a ………………5分 满足 05.025.03.0015.0)60( a ……………………………7分 所以 （分）3.63a ………………………………………………………8分 （3）成绩在 )70,60[ 的频数为 270人，    270 1270 1 i ixx ，成绩在 )80,70[ 的频数为 540人，    540 1540 1 i iyy ， 所以 )80,60[ 的学生成绩的平均值为 3 2)( 810 1 540 1 270 1 yxyxz i i i i     ，……………………10分 由方差公式知，    540 1 22 2 270 1 22 1 )(540,)(270 i i i i yysxxs ，………………………………11分 所以该班成绩的方差为： 3 40)( 9 2 3 2 3 1 ))(540)(270540270( 810 1 )()(2)(540)()()(2)(270)( 810 1 )()( 810 1)()( 810 1 22 2 2 1 222 2 2 1 270 1 540 1 540 1 22 270 1 22 270 1 540 1 22 270 1 540 1 222                                   yxss zyzxss xyzyzyyyxxzxzxxx zyyyzxxxzyzxs i i i ii i ii i i ii i i ii …………………………………………………………………………………………………………14分 所以 2s 的最大值为 3 40 .………………………………………………………………………………15分 18.（本小题 17分） 如图，在四棱锥 ABCDP  中， ABCDPD 底面 ，E是PC的中点，点 F 在棱 BP 上，且 BPEF  ，四边形 ABCD为正方形， 2 CDPD ． （1）证明： DFBP  ； （2）求点F 到平面 BDE的距离； （3）求二面角 BDEF  的余弦值． 【答案】解： 证明：因为 底面 ， 底面 ，所以 ，……1分 因为四边形 为正方形，所以 ， 因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，……………………2分 因为 平面 ，所以 ， 在 中，因为 ， 是 的 中点，所以 ， 因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，………………………3分 因为 平面 ，所以 ， 因为 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，…………4分 因为 平面 ，所以 ．……………………………………………………………5分 连接 交 于点 ，如图所示： 则 ，又因为 底面 ， 平面 ，所以 ， 因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，则点 到平面 的距离为 ，因为 是 的中点，所以 ，………………………6分 易知 ， ， ， ， 所以 ，………………………………………………………………………7分 ，…………………………………………………………………………8分 所以 ．…………………………………………………………………………………………9分 在 BDE 中， 22,6,2  BDBEDE ，满足 222 BDBEDE  ，有 BEDE  ， 所以 3 2 1  BEDES BDE ,…………………………………………………………………………10分 设点 F 到平面BDE的距离为 h， 由 hSV BDEBDEF  3 1 可得 9 34 3 3 1 9 4 3 1     BDE BDEF S Vh ……………………………………………11分 由 可得 平面 ，因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， ，所以 为二面角 的平面角，………………………13分 ， ， 因为 ，所以 ，解得 ，………………………………………15分 因为 ，即 ，所以 ， 故二面角 的余弦值为 ．…………………………………………………………………17分 19.（本小题 17分） 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试．一种通常采用的测试方法如下：拿出 n瓶外观相同但品质不同 的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这 n瓶酒， 并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴 别能力进行评价．现设 3n ，分别以 321 ,, aaa 表示第一次排序时被排为 3,2,1 的三种酒在第二次排序时的 序号，并令 |3||2||1| 321  aaaX ，则 是对两次排序的偏离程度的一种描述．若两轮测试都 有 0X ，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有 2X ，且至少有一轮测试出现 0X ， 则该品酒师被授予“一级品酒师”称号． （1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的 321 ,, aaa 排序结果，并求出相应的 X 值； ， ， ， ， （2）甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件 D “甲被授予一级品酒师称号”，求 )(DP ； （3）甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件 E “在这两年中甲至少有一次被 授予特级品酒师称号”，求 )(EP 【答案】解： 第二次排序时所有可能的 ， ， 排序及相应的 值列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （共 6种情况，第一种情况不计分，其余 5种情况写对 1个给 1分，写对 3个给 3分，全对给 4分） 令 表示事件 ， 表示事件 ， 表示事件 ． 由 知道 ， ， ．……………………………………………………6 分 甲参加第一轮测试 值记为 ，参加第二轮测试 值记为 ， 记事件 ， ， ， ， ， ， 则 ， 因为两轮测试结果相互独立， 所以 ， ， ， ………………………………………………………………………………………………………………9 分 因为 ， ， 互斥， 所以 ．…………………11 分 记事件 “甲在第 年测试中被授予特级品酒师称号”， ， ， 则 ．…………………………………………………………………………………………13 分 因为 ， ， 相互独立，………………………………………………………15 分 所以 ………………………………………………………………………………………………………………17分 第 1 页 共 4 页 合肥六中 2024-2025 学年下学期高一期末教学质量检测 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数 z满足 izi  1 ，则 || z （ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 5 2.用斜二测画法画一个边长为 4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. 6 B. 32 C. 62 D. 34 3.一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，m .这组数据的第 60百分位数等于他们的平均数，则 为( ) A. 12 B. 15 C. 17 D. 19 4.已知平面向量 )2,0(),1,3(  ba ，则 ba  在b上的投影向量为（ ） A. )3,0( B. )6,3( C. )6,0( D. )3, 2 3( 5.在 ABC 中，内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A.  75,40,5  BAa B. 6,5,4  cba C. 30,4,3  Aba D. 60,2,2  Cca 6.从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上 两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（ ） A. 3 1, 4 1 B. 2 1, 4 1 C. 2 1, 2 1 D. 3 2, 2 1 7. GO, 分别为 ABC 的外心和重心， 30BAC ,若 3 AGAO ，则 ABC 的面积的最大值（ ） A. 2 B. 4 9 C. 2 5 D. 4 15 8.已知三棱锥 ABCP  的四个顶点在球O的球面上， PCPBPA  ， ABC 是边长为2的正三角形， FE, 分别是 ABPA , 的中点， 2  CEF ,则球O的体积为（ ） A. 6 B. 62 C. 64 D. 68 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是（ ） 第 2 页 共 4 页 A. 对于复数 21, zz ，若 |||| 21 zz  ，则 21 zz  B. 若 21, zz 互为共轭复数，则 21zz 为实数 C. 若 i1 是关于 x的二次方程 ),(022 Rbabxax  的根，则 1a D. 复数 满足 1||  iz ，则 |1| z 的最小值是 2 10.一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接 触的面上的数字，得到样本空间为 }8,7,6,5,4,3,2,1{ ，记事件 A “得到的点数不大于 4 ”，记事件 B “得到的点数为偶数”，记事件 C “得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 4 3)( BAP  B.事件 CB 与 AC互斥 C. CBA ,, 两两独立 D. )()()()( CPBPAPABCP  11.如图，在棱长为 2的正方体 1111 DCBAABCD  中，M 为 11CB 的中点，P为线段 11DB 上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在 P点使得 DBAMP 1//平面 B. 直线 BM 与平面 11BBDD 所成角正弦值为 10 10 C. MPAP  的最小值为 327  D. 若点Q在正方体 1111 DCBAABCD  表面上运动（包含边界），且 CAMQ 1 ，则点Q的轨迹长度为 26 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知圆台的上、下底面半径分别为1和 2，高为 3，则圆台的表面积为 ． 13.甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现 10:10 平的情 况，先多得 2分者为胜方．在 10:10 平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中， 甲发球时甲得分的概率为 4 3 ，乙发球时甲得分的概率为 3 1 ，各球的结果相互独立，在双方 10:10 平后，甲 先发球，则甲以 11:13 赢下此局的概率为 ． 14.在锐角 ABC 中，内角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，且 2,2)tan(tan3 222 2    a bca cBA ，则 cb 3 的取值范围是______________. 第 3 页 共 4 页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题 13分） 如图，在正三棱柱 111 CBAABC  中， 1AAAB  ，D为棱 BC的中点. （1）证明： //1BA 平面 1ADC ； （2）求异面直线 BA1 与 AD所成角的余弦值． 16.（本小题 15分） 记 ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，满足 0cos)2(cos  AbcBa ． （1）求角 A；（2）若 3a ，D为BC上一点且 2 3 AD ，求 cb, . 17.（本小题 15分） 新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义.合肥六中为了解 高一年级 1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩 满分 100分 按照[40,50),[50,60), [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求1800名学生中物理测试成绩在 )60,50[ 内的频数并补全频率分布直方图. （2）学校建议，本次物理测试成绩不低于 a分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰 有 %70 的学生选择物理为高考考试科目，试求 a的估计值（结果精确到 0.1）. （3）已知落在 )70,60[ 的学生成绩的平均数为 x，方差 421 s ，落在 )80,70[ 的学生成绩的平均数为 y， 方差 622 s ，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在 )80,60[ 的学生成绩的方差 2s 的最大值. 第 4 页 共 4 页 18.（本小题 17分） 如图，在四棱锥 ABCDP  中， ABCDPD 底面 ，E是 PC的中点，点 F 在棱 BP 上，且 BPEF  ，四边形 ABCD为正方形， 2 CDPD ． （1）证明： DFBP  ； （2）求点F 到平面 BDE的距离； （3）求二面角 BDEF  的余弦值． 19.（本小题 17分） 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试．一种通常采用的测试方法如下：拿出 n瓶外观相同但品质不同 的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这 n瓶酒， 并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴 别能力进行评价．现设 3n ，分别以 321 ,, aaa 表示第一次排序时被排为 3,2,1 的三种酒在第二次排序时的 序号，并令 |3||2||1| 321  aaaX ，则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．若两轮测试都 有 0X ，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有 2X ，且至少有一轮测试出现 0X ， 则该品酒师被授予“一级品酒师”称号． （1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的 321 ,, aaa 排序结果，并求出相应的 X 值； ， ， ， ， （2）甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件 D “甲被授予一级品酒师称号”，求 )(DP ； （3）甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件 E “在这两年中甲至少有一次被 授予特级品酒师称号”，求 )(EP