山东泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

试卷类型：A 高二年级考试 数学试题 2026.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合A=（-5,-3,0,1,5},B=(x0≤x≤2)，则A∩B= A.(0,1,2) B.(0,1) C.（-5,-3,5) D.(-5,-3,0,1,5 2.已知p:x2-1<0,9:x≤2，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知随机变量X~N(3,σ2)，若P(x≤4)=0.6，则P(2<x≤4)= A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 4.已知实数a,b,c∈R,则 A.若a<b,则a2<b2 B.若a>6>0.c<0,则8<8 a C.若ac2>bc2,则a>|b D若a>6,日>话则b<0 5.已知f(x)为奇函数且在R上单调递减，则 A.f(1)>f(-2) B.f(-1)<f(2) C.f(1)+f(←2)>0D.j(1)-f(2)<0 6.已知变量x,y线性相关，其一组样本数据为(xy),i=1,2,3…7,x=3,用最小二乘法 得到的经验回归方程为y=2x-4,去掉一对样本数据(-3,2)后，得到新的经验回归方 程为y=bx-4,则6= A.1.5 B.2 C.3 D.4 高二数学试题第1页（共4页) 7.已知函数f定义城为R./e+2)+f-到=7ga=7+202若fe倒与倒 的图象交点为(i=1,2,3…10,则八， A.20 B.35 C.40 D.70 8.4个不同小球放人5个不同的盒子，设有球的盒子个数为X,则E(X)= A贸 B兴 369 C.125 393 0.125 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列选项正确的是 A.变量x与y的样本相关系数r的绝对值越接近1，变量x和y之间线性相关程度越强 B.在比较回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 C.已知y关于x的经验回归方程为y=-0.85x+2.3,则样本点(1,1.2)的残差为0.25 D.用模型y=ce“拟合一组数据(xy),d=1,2,3…10,其中，+x2+…+x1o=20,设 z=lny,变换后的经验回归方程为2=x-1,则y1y2yo=e 10.下列选项正确的是 A若正实数y满足x+y=1,则y≤ B,若eR,则父+3++2 1 的最小值为3 C.若正实数x,y满足x+2=3,则(x+10+1)的最大值为号 D,若正数6y满足+y+15=士+号，且x+y≤1，则，y均为定值 1.函数了()=与g()=产被称为“函数中的双子座”，二者性质高度关联，下列选项 正确的是 A.e">T B.若∫(m)=g(n)且m,n>1,则必有m>n C.若f(m)=g(n)<0,则2m-n的最小值为1+ln2 D.若直线y=a与函数g(x)交于点A(x1y,),B(x2y2),与函数f(x)交于点B(x2y2), C(x3y),则x1x3=x2 高二数学试题第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数∫(x)= x,x≤1 {n,e>则rfe)1=一. 13.已知x=√5+1，则x6-6x3+15x4-20x3+15x2-6x=. 14.将一枚质地均匀的般子连续投掷3次，向上的点数依次记为x,y,z,则在满足C:<C<C: 的条件下，x-y+y-z+z-x=6的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 某学校随机抽取120名学生开展调研，统计其一周内使用AI技术辅助学习的情况， 将使用节次不少于4次记为喜欢使用AI技术，否则记为不喜欢AI技术，经统计得到如 下列联表. 是否喜欢使用AI技术 性别 合计 是 否 男生 46 14 60 女生 32 28 60 合计 78 42 120 (1)根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为该学校学生是否喜欢使用AI技术 与性别有关； (2)将频率视为概率，现从所抽取的120名学生中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI 技术的学生的条件下，求此学生为女生的概率 附： n(ad bc)? X=(a+bc+d(a+c)b+四 0.1 0.01 0.001 Xa 2.706 6.635 10.828 16.（15分) 2 已知在(x+ )“的展开式中，第3项的系数为112. 死 (1)求展开式中的常数项； (2)从展开式中的所有项中任取5项，取出5项中既有有理项也有无理项，共有多少 种不同的取法？ 高二数学试题第3页（共4页) 17.（15分) 已知函数f(x)=(x-m)e在x=1处有极小值. (1)求实数m的取值范围； (2)已知函数g(x)=2f(x)-a(x-1)2+5,0<a<e,讨论函数g(x)的零点个数， 18.（17分) 在量子通信实验中，利用单光子探测器接收加密光子信号.现有两套独立工作的探 测系统A,B,系统A单次探测成功的概率为P,(0<P,<1),系统B单次探测成功的概率为 P2(0<P2<1).现进行独立探测实验，每轮同时启动A,B两套系统进行探测. (1)每轮探测中，A,B各探测一次，A,B均探测失败判定为失效轮.已知P,=子，若连续 两轮探测中，恰好出现1个失效轮的概率为求p,的值； (2)探测规则升级：在每轮探测中，操作员甲操控系统A独立探测2次，操作员乙操控 系统B独立探测2次.若甲，乙累计探测成功次数不小于3次，则本轮判定为胜利 轮； (i)设一轮探测中甲，乙探测成功的总次数为X,若p1,P2与(1)中数值相同，求X的 分布列及数学期望E(X): (ii)若p1+p2= 影响，设每轮为胜利轮的概率 以及此时p1,P2的值 19.（17分) 已知函数f(x)=2(ax+1)lnx-龙+1 (1)当x∈[1，+∞)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围： lnx-x2 (2)若函数g(x)= - 一有两个极值点x1,x2,且x1<x2, 证明：g(x,)-g(x,)<(号-2)(x,-x): (3)当a=1时，函数f(x)与直线：y=k(x-1)的图象有三个交点，横坐标分别为x,1,x4, 且x,<1<x4,试判断f(x,)+f(x)与0的大小并说明理由. 高二数学试题第4页（共4页）高二年级考试 数学试题参考答案及评分标准 2026.07 一、单项选择题： 题号1 234 56 7 8 答案BAB D 二、多项选择题： 题号 9 10 11 答案 ABD ACD ACD 三、填空题： 12. 13.124 14.3 四、解答題： 15.(13分) 解：(1)零假设H。:该校学生是否喜欢使用AI技术与性别无关…1分 X=120Xg46X2832X14-20=7179>6635=m …5分 78×42×60×60 39 根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H不成立，即认为是否喜欢使 用AI技术与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01…7分 (2)设事件A=“抽中喜欢使用AI技术的学生”，“事件B=抽中女生”，根据题意得 P(A)=120=20 7813 9分 4 P(AB)E120= 11分 .P(B A)= P(AB)1516 13分 P(A) 13 39 20 16.(15分) 3n-4 解：(1)(x+ 2 )的展开式的通项T,1=2Cx3(r=01,2,…,n)小…1分 由题意得22C2=112 .几=8… …3分 24-4 .T,+1=2'Cx3 高二数学试题参考答案第1页（共6页）】 令24-4三0，得厂三65分 .常数项为2×C=1792 7分 (2)令24-4 3 ∈8，得r=0,3.6… 9分 ∴.展开式中有理项有3项，无理项有6项 …10分 从展开式9项中任取5项既有有理项也有无理项，包括三种情况 1项有理项和4项无理项有CC。种取法 2项有理项和3项无理项有CC。种取法 3项有理项和2项无理项有CC%种取法… 13分 根据分类加法计数原理，抽取5项中既有有理项也有无理项的取法共有C:C。+ CC%+C3C%=120种。…15分 17.(15分) 解：(1♪.f(x)=(x-m)e .f'(x)=(x-m+1)e :f(x)在x=1处有极小值 f'(I)=0… …2分 ∴.(2-m)e=0 ∴.m=2 4分 此时，f'(x)=(x-1)e 当x<1时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x>1时f'(x)>0,f(x)单调递增 f(x)在x=1处有极小值 .m=2…6分 (2)g(x)=2(x-2)e-a(x-1)2+5 g'(x)=2(x-1)(e-a) :0<a<e ∴.由g'(x)=0解得x=1或x=lna,lna<1 当x<lna和x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增 当lna<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减 8分 :g(1)=5-2e<0,g(2)=5-a>0 ∴.g(x)在(1,2)内存在一个零点… 10分 g(Ina)=2(Ina-2)aa(Ina-1)2+5 设h(x)=2x(nx-2)-x(lnx-1)2+5 h'(x)=2(lnx-2)+2-(nx-1)2-2(nx-1) =-(nx-1)2<0 高二数学试题参考答案第2页（共6页） .h(x)为诚函数…12分 .h(1)=0 .当0<a<1时，g(lna)>0 .x→-∞时，g(x）→-∞ ∴.g(x)在(o,lna),(na,l)上各有一个零点 此时g(x)的零点个数为3… 13分 当a=1时，g(na)=0,g(x)的零点个数为2… 14分 当1<a<e时，g(lna)<0,g(x)的零点个数为1…l5分 18.(17分) 解：(1)设单轮探测为失效轮的概率为q,则 9=1-30-)=31-)<3 由题意得c,1-9》= .9= 2分 6 1 1 31-P)=6 .p2=2 3分 (2)(i)X的可能取值为0,1,2,3,4… 4分 X0(x( PX=2=(产x分+C× 2 ×C×2Y ×2 Px=利=x= X的分布列如下 X 0 2 3 4 …10分 1 13 1 P 36 6 36 3 9 17 ∴.E(X)=0× 1 +3× 36 +1× +2× 36 3+4 9=3 …11分 (ii)由题意得 p=C2P (1 -p)Cp CpiC2p2 (1 -P2)+C2piC p =2p1p2(p1+p2）-3p12p22…12分 高二数学试题参考答案第3页（共6页）】 p1+P=2 .p=3p1P2-3(p1P2)月 13分 19 令1=pP,t∈(216则 3 p=-30+36=-307)2+ 当=6 时，Pnin= 189 256 …15分 p1+P=2 P1= 解得 4 9 P1P2=16 P2= 4 当p,= 4P2= 时，p的最小值为 89 ……… 56 17分 19.(17分) 解：1f)=hx+x+号- 1 .·f(1)=0且当x∈[1，+∞)时，f(x)≥0恒成立 .f'(1)≥0 0≥1…2分 当a≥1且x≥1时，令)=f'e)=2nx+公+号-1 1 作公：0…3分 ∴.f'(x)在[1，+∞)上单调递增 .f'(x)≥f'(1)≥0 ∴.f(x)在[1，+)上单调递增，f(x)≥f(1)=0 实数a的取值范围为[1，+∞)…4分 1 f(x)）-2lnx-x (2).g(x) 1 =4lnx-x+--1 六g-元-1-22 .2x2 由题意，-2x2+ax-2=0有两个根x1,x2,且0<x1<x2 由韦达定理： 1+x2=2… 5分 x1x2=1 .a>0,0<x1<1<x2 gg)三gn专飞+1m+士 =号，-hx)-e-x)- X1X2 5x2-nx)-2(x2x)…7分 高二数学试题参考答案第4页（共6页） .要证g(x,)-gx,)<(号-2)(x-x) 即证lnx2-lnx1<x2- 即证lnx2-x2-lnx,+x1<0 即证21n,-+1<0… ………9分 X2 设p(x)=2lnx-x+ (x>1) X pm)=2-1-↓=+2x-1<0 x2 ∴.p(x)在(1，+∞)上单调递减 ∴.p(x)<p(1)=0 21血，-布，+1<0成立 X2 原不等式成立… 10分 (3)当a=1时f=x+1n-x+1 即x+)h-+1=ke-)有三个不等实根，1 (1)知a=1且x≥1时，号(x+1hx-x+1≥0 .k(x-1)≥0 k≥0…11分 :f(x4)=k(x4-1),f(x3)=k(x3-1) ∴.f(x4)+f(x3)=k(x3+x4-2) 即比较f(x)+f(x4)与0大小等价于比较x+x4与2大小…12分 :x,与，为k+1=任+1)血的两个不等实根 2(x-1) 设pm=+)ln,则p,)=px)=k+1 2(x-1) x-1-21nx ·.p'(x)=2x-1) 13分 设(x)=x- 1-2nx =1±1-2=-2x+1=x-正≥0 x2 x2 ∴.t(x)在(0，+∞)单调递增 .(1)=0 .p(x)在(0,1)单调递减，在(1，+∞)单调递增…14分 高二数学试题参考答案第5页（共6页） 法一：设H(x)=p(2-x)-p(x),x∈(0,1) H)=3-l血(2-_+)nx=3-h(2-x)+(x+1)nx 1-x x-1 1-x F(x)=(3-x)In(2-x)+(x+1)Inx -)-x+1nx++1 F'(x)=-ln(2-)-2-元 =-ln(2-)+ x-2+Inx+ 1 …15分 设T(x)=-n(2-)+1 -2+lnx+ 11+1.1--4x-1≤0 T'()=2-xe-2+玉 x2(x-2)2 ∴.T(x)在(0,1)单调递减 T(x)>T(1)=0 ∴.F(x)在(0,1)单调递增 即F(x)<F(I)=0 1-x>0 ∴.H(x)=p(2-x3)-p(x4)<0 0<x3<1<x4 .2-x3>1 .p(x)在(1，+∞)上单调递增 故2-x;<x4 .x3+x4>2 即f(x3）+f(x4)>0…17分 +1 nx 法二px)=2(x-) 1 +1,1x+1 p()=In 2(-1)“x2(x- 1 -Inx=p(x) :0<x3<1 1 >1 ∴.p(x4)=p(x3)=p(一)… 15分 又：p(x)在(1，+∞)单调递增 1 .x4= X3 ∴.x3+x4=x3+ ->2 即x3+x4>2 故f(x3）+f(x4)>0…17分 高二数学试题参考答案第6页（共6页）