第08讲 一元二次方程的应用（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假八年级数学衔接讲义（沪教版五四制）

第08讲 一元二次方程的应用（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 传播问题 典型例题二 增长率问题 典型例题三 与图形有关的问题 典型例题四 数字问题 典型例题五 营销问题 典型例题六 动态几何问题 典型例题七 工程问题 典型例题八 行程问题 典型例题九 图表信息题 典型例题十 握手、循环赛问题 典型例题十一 一元二次方程的实际综合应用 知识点01 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）近年来全国房价不断上涨，我市年的房价平均每平方米为元，经过两年的上涨，年房价平均每平方米为元，假设这两年房价的平均增长率均为，则关于的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期末）某市百货商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，求每件童装应降价多少元设每件童装降价元，则依题意可列方程为__________． 知识点02 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段检测）有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段检测）网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则的值为__________． 知识点03 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【即时训练】 1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）在一次乒乓球比赛中，中国乒乓队揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用单循环制（每两队之间进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）某次聚会上，每两人握一次手，所有人握手28次，则本次聚会共有______人参加． 【典型例题一 传播问题】 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海嘉定·期末）化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程________．（不必解方程） 【例4】（24-25八年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 1．（24-25八年级上·上海·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段检测）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）甲型流感病毒的传染性强，有一个人患了流感，经过两轮传染后就会有若干人被传染上流感，假设每轮感染中平均一个人会传染x个人． (1)两轮传染后，感染流感的总人数为__________(用含x的代数式表示)； (2)在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问经过两轮传染后是否会有15人同时患病的情况发生，请说明理由． 【典型例题二 增长率问题】 【例1】（2026·黑龙江佳木斯·三模）某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·福建厦门·三模）随着“双碳”目标推进与“绿色出行”理念深入人心，我国新能源汽车迎来高速发展期，某品牌新能源汽车近三年的交付数据如表． 年份 年度交付量（万辆） 若年至年该品牌汽车年度交付量的年平均增长率为，则符合题意的方程为（     ）． A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·安徽·阶段检测）某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【例4】（25-26八年级下·广西贺州·期中）某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 1．（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率． 2．（24-25八年级下·山东东营·阶段检测）列方程解应用题 (1)某市为了打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治理与园林绿化工程．已知年投资万元，年投资万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同，求平均每年投资增长的百分率． (2)水果店老板以每千克元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克元的价格出售，每天可售出千克．通过调查发现，这种水果的销售价每降低元，每天可多售出千克，为保证每天至少售出千克，老板决定降价出售．若想每天盈利元，老板需将每千克的售价定为多少元？ 3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）根据以下素材，完成任务． 素材1 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔月份销售个，月份销售个． 素材2 此种头盔的进价为元个，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个． 问题解决： (1)任务1：求该品牌头盔销售量从月份到月份的月平均增长率 (2)任务2：为使月销售利润达到元，且尽可能让利给顾客，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【典型例题三 与图形有关的问题】 【例1】（25-26八年级上·北京门头沟·期末）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为，设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）某农场计划修一条断面为等腰梯形的水渠，其断面如图所示，断面面积为，上口比渠底宽，渠深比渠底少，则渠底宽________． 【例4】（25-26八年级上·天津武清·阶段检测）艺术街区进行绿化改造，如图用一段长的篱笆和长的墙，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边的长为；如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当花园面积为时，求x的值． 1．（2026·江苏泰州·二模）如图所示，在一块长是、宽的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，花圃总面积为矩形空地面积的一半，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料． (1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为； (2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？ 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图1，某劳动基地的形状为矩形，，． (1)如图1，活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ (2)学校准备扩建基地，如图2，扩建后的新劳动基地的形状为矩形．因场地受限，的最大长度为，的最大长度为．当时，新劳动基地的面积可以为吗？若可以，请求出和的长；若不可以，请说明理由． 【典型例题四 数字问题】 【例1】（24-25八年级上·山西长治·阶段检测）根据“一个数比它本身的平方小4”列方程时，若设这个数为，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海长宁·期中）若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 【例3】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个两位数的个位上的数字与十位上的数字之和是9，且个位上的数字与十位上的数字的积比这个两位数小25，这个两位数是_____． 【例4】（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）如图是某月的日历表，在这个日历表上用一个方框圈出4个数，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为209，求这个最小数．    1．（25-26八年级上·上海长宁·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 2．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 【典型例题五 营销问题】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（   ） A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元 【例2】（24-25八年级上·湖北·期中）“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货平台“东方甄选”主播董宇辉在推销大米时的台词. 所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋.为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施. 据市场调查反映销售单价每降2元，则每分钟可多销售10袋，设每袋大米降价x元（x为偶数），若要平均每分钟获利4180元，则x满足（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 【例4】（2025·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 1．（25-26八年级上·北京·期中）2026年农历马年伊始，一只产自浙江义乌、因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马哭哭马意外走红．某店铺以每件15元的价格购进哭哭马，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为尽快减少库存，商家决定降价促销．为使日销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【典型例题六 动态几何问题】 【例1】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（    ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对 【例2】（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 【例3】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为__________． 【例4】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，两点的距离是？    1．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，点从点开始以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动，过点作，分别交于点的面积能否为7？如果能，请求出点运动的时间；如果不能，请说明理由． 2．（25-26八年级上·四川凉山·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． (1)运动几秒时的面积为？ (2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 3．（2024八年级上·吉林·专题练习）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）． (1)如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？ (2)如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？ 【典型例题七 工程问题】 【例1】（24-25八年级下·上海普陀·期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？ 【例2】（24-25八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【例3】（24-25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【例4】（24-25八年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 1．（25-26八年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 3．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．       【典型例题八 行程问题】 【例1】（24-25八年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要多长时间？ 【例4】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 1．（25-26八年级上·吉林白城·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 2．（25-26八年级上·上海长宁·期中）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，c的值为 ； (2)动点 P，Q分别同时从点A，C 出发，点P以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A 移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x 的值． 【典型例题九 图表信息题】 【例1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【例2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【例3】（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【例4】（24-25八年级下·山东泰安·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 1．（24-25八年级上·广东中山·阶段检测）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    2．（25-26八年级上·上海长宁·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【典型例题十 握手、循环赛问题】 【例1】（2026·云南昆明·模拟预测）我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2026·广东东莞·二模）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【例4】（25-26八年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？       1．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次，若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数． 2．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛． （1）①共有 ______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他_____ 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛_____场，列方程：____________． 【小试牛刀】（2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了次，有多少人参加聚会？ 【综合运用】（3）将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由． 【典型例题十一 一元二次方程的实际综合应用】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）某校劳动小组种植的某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设主干长出个支干，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A． B． C． D．1 【例3】（25-26八年级上·上海长宁·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 【例4】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 1．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）某车间加工生产一种农用手推车厢和车轮，生产的农用手推车由1个车厢搭配2个车轮组成，现在车间有28名工人，每人每天生产车厢12个或车轮18个． (1)应分配多少人生产车厢，多少人生产车轮，才能使生产的车厢和车轮刚好配套(1个车厢要配2个车轮)； (2)在(1)问条件下，车间只引进了生产车轮的先进设备，使得每人生产车轮的个数提高，而每人生产车厢的个数不变，于是从生产车轮的工人中调走部分工人去生产车厢，并发现，只有现在每天每位工人生产车轮的个数在原来基础上增加了调走工人人数的倍，才能使生产的车厢和车轮刚好配套，则需要从原生产车轮的工人中调走多少人？ 2．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 3．（2026·重庆·一模）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． (1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； (2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行一次比赛），共进行了28场比赛，设参加这次比赛的队有个，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广西来宾·阶段检测）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 6．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 7．（24-25八年级上·广东阳江·阶段检测）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为________．（参考数据：） 8．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若要使一天的总利润为1120元，则该产品的质量档次为________． 9．（24-25八年级·上海长宁·假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 11．（24-25八年级上·广东东莞·期末）某小区为了改善绿化环境，计划购买A、B两种树苗共100棵，其中A树苗每棵40元，B树苗每棵35元．经测算购买两种树苗一共需要3800元． (1)计划购买A、B两种树苗各多少棵？ (2)在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降a元（），且每降低1元，小区就多购买A树苗2棵，B树苗3棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了300元，求该小区实际购买两种树苗的售价下降额a（元）的值． 12．（24-25八年级上·宁夏固原·阶段检测）如图，在边长为正方形中，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿和边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．经过多少秒钟后，的面积等于． 13．（24-25八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 14．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）根据以下素材，完成任务． 素材1 某山区特产直播带货平台助力乡村振兴，该平台上某农家特产店的销量持续增长．该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒． 素材2 该特产礼盒每盒成本价为40元，当售价定为60元时，每月可售出300盒；经市场调研发现，售价每降低1元，月销售量就会增加20盒． 问题解决 (1)任务1：求该特产店3月份到5月份礼盒销量的月平均增长率． (2)任务2：为了回馈顾客，该店计划开展“降价促销”活动，且要保证每月销售该礼盒的利润达到6080元，同时尽可能扩大销量，求每盒礼盒的实际售价应定为多少元？ 15．（24-25八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务． 求为正整数）方法欣赏在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．①   则．．．．．．② ①+②得   即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ．两边分别相加可得，． ． 任务： (1)计算：　　； (2)我们知道：；；；则 ； (3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 一元二次方程的应用（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 传播问题 典型例题二 增长率问题 典型例题三 与图形有关的问题 典型例题四 数字问题 典型例题五 营销问题 典型例题六 动态几何问题 典型例题七 工程问题 典型例题八 行程问题 典型例题九 图表信息题 典型例题十 握手、循环赛问题 典型例题十一 一元二次方程的实际综合应用 知识点01 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）近年来全国房价不断上涨，我市年的房价平均每平方米为元，经过两年的上涨，年房价平均每平方米为元，假设这两年房价的平均增长率均为，则关于的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程在平均增长率问题中的应用．设平均增长率为 ，经过两年增长，初始房价乘以等于最终房价． 【详解】解：依题意得 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期末）某市百货商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，求每件童装应降价多少元设每件童装降价元，则依题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键． 设每件童装降价x元，则每件盈利为元；由于每降价4元多售出8件，故降价元多售出件，总销售件数为件；根据每天盈利元列方程． 【详解】解：设每件童装降价x元，则每件盈利为元； 每降价4元多售出8件，因此降价x元多售出件，总销售件数为件； 根据盈利公式，得方程． 故答案为：． 知识点02 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段检测）有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】B 【分析】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，并可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，注意要舍去不合题意的解．根据题意设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 第一轮过后有个人感染，第二轮过后有个人感染， 那么由题意可知， 整理得，， 解得或， 不符合题意，舍去． 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段检测）网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则的值为__________． 【答案】9 【分析】一轮轮传播后，有参与；随后第二轮，新增人收到链接．据此即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得：（舍去） 故答案为：9 【点睛】本题考查传播问题与一元二次方程．明确每轮新增的人数是解题关键． 知识点03 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【即时训练】 1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）在一次乒乓球比赛中，中国乒乓队揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用单循环制（每两队之间进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解单循环制比赛的场数计算方法，根据总场数列出方程． 【详解】解：∵设参赛队伍有支， ∴每支队伍需与支队伍比赛，单循环制中每两队之间只赛一场，需去除重复计算的场次， ∴总比赛场数为， 又∵比赛总场数为380场， ∴可列方程为． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）某次聚会上，每两人握一次手，所有人握手28次，则本次聚会共有______人参加． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据握手总次数的等量关系列出一元二次方程． 设本次聚会共有x人参加，利用握手总次数公式列出方程，求解并舍去不符合题意的解． 【详解】解：设本次聚会共有x人参加， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 本次聚会共有8人参加． 故答案为： 【典型例题一 传播问题】 【例1】（24-25八年级上·上海普陀·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键． 每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,即经过第一轮有人感染,则经过第二轮有 人被感染,根据两次一共有100被感染即可列出方程． 【详解】解：由题可知． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·上海嘉定·期末）化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和名组员，总和为43，由此列出方程． 【详解】解：根据题意可知做实验的学生人数为名， 而全班有43名学生，则， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程________．（不必解方程） 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由每个支干长出个小分支，可得出该种植物共有个支干，个小分支，结合主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支， 该种植物共有个支干，个小分支， 根据题意得：． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 1．（24-25八年级上·上海·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1) (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． （2）解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段检测）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 【答案】(1)每头发病生猪平均每天传染13头生猪 (2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，根据第一天及第三天生猪发病的头数，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据3天后生猪发病头数（每头发病生猪平均每天传染的头数），即可求出结论． 【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪． （2）解：3天后生猪发病头数为：（头）， ， 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）甲型流感病毒的传染性强，有一个人患了流感，经过两轮传染后就会有若干人被传染上流感，假设每轮感染中平均一个人会传染x个人． (1)两轮传染后，感染流感的总人数为__________(用含x的代数式表示)； (2)在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问经过两轮传染后是否会有15人同时患病的情况发生，请说明理由． 【答案】(1) (2)会，理由见解析 【分析】（1）根据每轮的传染中平均一个人传染了x个人，可得答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，进而即可判断是否会有15人患病的情况． 【详解】（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是， 所以两轮传染后，感染流感的总人数为：(人) 故答案为：； （2）解：经过两轮传染后会有15人患病的情况发生，理由如下： 依题意得：， 整理得：， 解得：，(不合题意，舍去)， ∴当每轮感染中平均一个人会传染4个人时，第二轮传染后会有15人患病的情况发生． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一元二次方程是关键． 【典型例题二 增长率问题】 【例1】（2026·黑龙江佳木斯·三模）某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每次降价的百分率为，根据商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 即每次降价的百分率为． 【例2】（2026·福建厦门·三模）随着“双碳”目标推进与“绿色出行”理念深入人心，我国新能源汽车迎来高速发展期，某品牌新能源汽车近三年的交付数据如表． 年份 年度交付量（万辆） 若年至年该品牌汽车年度交付量的年平均增长率为，则符合题意的方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设年平均增长率为， ∵2023年交付量为万辆，从2023年到2025年共经过次增长，2025年交付量为万辆， ∴2024年交付量为，2025年交付量为， 因此可得符合题意的方程为． 【例3】（25-26八年级上·安徽·阶段检测）某市政府2024年投入3亿元资金用于基础设施建设，并规划投入资金逐年增加，2026年将投入8亿元资金．设2024年至2026年的投入资金的年平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据2024年投入的资金2026年投入的资金，列出方程即可． 【详解】由题意可列方程为． 【例4】（25-26八年级下·广西贺州·期中）某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 【答案】 【分析】设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，根据第1个月和第3个月的净利润建立方程求解即可． 【详解】解：设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该公司这两个月净利润的月平均增长率为． 1．（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率． 【答案】 【分析】由平均增长率问题列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值，舍去）， ∴该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为， 答：该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为． 2．（24-25八年级下·山东东营·阶段检测）列方程解应用题 (1)某市为了打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治理与园林绿化工程．已知年投资万元，年投资万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同，求平均每年投资增长的百分率． (2)水果店老板以每千克元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克元的价格出售，每天可售出千克．通过调查发现，这种水果的销售价每降低元，每天可多售出千克，为保证每天至少售出千克，老板决定降价出售．若想每天盈利元，老板需将每千克的售价定为多少元？ 【答案】(1)平均每年投资增长的百分率为 (2)老板需将每千克的售价定为元 【分析】（1）设平均每年投资增长的百分率为，根据“已知年投资万元，年投资万元”列出方程，求解即可； （2）设老板需将每千克的售价定为元，根据“每天盈利元”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设平均每年投资增长的百分率为， 由题意得， 解得（负值舍去）， 答：平均每年投资增长的百分率为； （2）解：设老板需将每千克的售价定为元， 由题意得， 解得， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 答：老板需将每千克的售价定为元． 3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）根据以下素材，完成任务． 素材1 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔月份销售个，月份销售个． 素材2 此种头盔的进价为元个，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个． 问题解决： (1)任务1：求该品牌头盔销售量从月份到月份的月平均增长率 (2)任务2：为使月销售利润达到元，且尽可能让利给顾客，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1) (2)元个 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，由题意，得： ， 解得：，， ∵尽可能让利给顾客，∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【典型例题三 与图形有关的问题】 【例1】（25-26八年级上·北京门头沟·期末）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据矩形面积公式和长宽关系，宽为x步，则长为步，利用面积公式列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选B． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为，设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选C． 【例3】（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）某农场计划修一条断面为等腰梯形的水渠，其断面如图所示，断面面积为，上口比渠底宽，渠深比渠底少，则渠底宽________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清楚题意，得到题中的等量关系． 可先设渠底宽为m，则上口宽为m，渠深为m ，根据梯形的面积公式来列方程求解即可． 【详解】解：设渠底宽为m， 依题意得：， 解得：（舍去）． 故答案为：m． 【例4】（25-26八年级上·天津武清·阶段检测）艺术街区进行绿化改造，如图用一段长的篱笆和长的墙，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边的长为；如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当花园面积为时，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平行于墙的一边的长为，则垂直于墙的边，根据“花园面积为”列出一元二次方程，解方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设平行于墙的一边的长为，则垂直于墙的边， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，， ∵， ∴． 1．（2026·江苏泰州·二模）如图所示，在一块长是、宽的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，花圃总面积为矩形空地面积的一半，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 【答案】 【分析】设两个花圃之间的草坪的宽度为，则两个花圃可合成长为，宽为的矩形，根据花圃总面积为矩形空地面积的一半，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两个花圃之间的草坪的宽度为， 由题意得：， 解得，． 当时，，应舍去． ∴． 答：两个花圃之间的草坪的宽度为． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料． (1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为； (2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？ 【答案】(1)米； (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设矩形与墙平行的边的长度为米，根据总砌墙长度表示出垂直于墙的边的长度，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后结合墙的最长利用长度筛选出符合条件的解； （2）同样根据面积公式列出方程，求解后判断所得的长度是否符合墙的限制条件，若超出则不能围成． 【详解】（1）解：设的长度为米()，则垂直于墙的边的长度为米， 根据题意，得， 整理为：， 因式分解得：， 解得：，(舍去)， 答：当矩形的长为米时，矩形花园的面积为． （2）解：假设能围成面积为的矩形花园，设的长度为米()，同理可得垂直于墙的边的长度为米， 根据面积列方程：， 整理为：， 解得：，， ∵墙最长可利用，，，均不符合题意， ∴不能围成面积为的矩形花园． 答：不能围成面积为的矩形花园． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图1，某劳动基地的形状为矩形，，． (1)如图1，活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ (2)学校准备扩建基地，如图2，扩建后的新劳动基地的形状为矩形．因场地受限，的最大长度为，的最大长度为．当时，新劳动基地的面积可以为吗？若可以，请求出和的长；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，新劳动基地的面积不可以为，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设小路宽度应为，依题意列出方程，解得（不符合题意，舍去），即可解答． （2）根据新劳动基地的面积为，列出关于y的一元二次方程，解之得出y的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设小路宽度应为，依题意，得 ， 即， 解得（不符合题意，舍去）． 答：小路宽度应为； （2）解：当时，新劳动基地的面积不可以为，理由如下： 假设新劳动基地的面积可以为， 设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，新劳动基地的面积不可以为． 【典型例题四 数字问题】 【例1】（24-25八年级上·山西长治·阶段检测）根据“一个数比它本身的平方小4”列方程时，若设这个数为，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设这个数为，则这数的平方为，然后根据“一个数比它本身的平方小4”列出方程即可． 【详解】解：设这个数为，若这个数比它本身的平方小4， 则有． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海长宁·期中）若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴，， ∴这个两位数是27． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个两位数的个位上的数字与十位上的数字之和是9，且个位上的数字与十位上的数字的积比这个两位数小25，这个两位数是_____． 【答案】45 【分析】设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为．根据等量关系：个位上的数字与十位上的数字的积比这个两位数小25．列方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为．则 解得，， ∵原来的两位数个位数字为x， ∴不合题意，舍去， ∴，即原来的两位数个位数字为5，十位数字为． ∴这个两位数是45， 故答案为：45 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用．解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程． 【例4】（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）如图是某月的日历表，在这个日历表上用一个方框圈出4个数，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为209，求这个最小数．    【答案】11 【分析】设这个最小数为x，则最大数为，根据最小数与最大数的乘积为209，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为， 依题意得：． 整理得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为11． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 1．（25-26八年级上·上海长宁·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设个位数字为x，则十位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可得出这个两位数是或． 【详解】解：设这个两位数个位数字为，则十位数字为， 依题意得方程：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故这个两位数为或． 2．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）较小的数是3， 较大的数是4， 它们的平方和是． 答：它们的平方和是25； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：这两个正整数分别是8和9． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 【答案】(1)120 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解． （1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和． （2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际． 【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为． 根据题意，， 解得或（日期不能为负，舍去）． 所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23． 它们的和为． （2）设最小的数为，则这个数的和为 化简得． 若和为192，则 解得． 此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际， 所以这个数字的和不能是192． 【典型例题五 营销问题】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（   ） A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据所列方程，找出未知数x的含义是解题的关键．利用总利润=每顶帐篷的销售利润×日销售量，可找出及的意义，进而可找出x的意义，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：∵每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶，单价每降价10元，每天可多售出4顶， ∴所列方程中表示每顶帐篷的利润，表示平均每天售出帐篷的数量， ∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·湖北·期中）“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货平台“东方甄选”主播董宇辉在推销大米时的台词. 所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋.为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施. 据市场调查反映销售单价每降2元，则每分钟可多销售10袋，设每袋大米降价x元（x为偶数），若要平均每分钟获利4180元，则x满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了一元二次方程的应用，根据等量关系：每分钟的获利=每分钟售出的件数×每件的盈利，列方程即可． 【详解】设每袋大米降价x元（x为偶数），则每分钟可售出件，每件盈利元， 由题意得， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了-元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每箱应降价x元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润等于每箱的利润乘以平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每箱应降价元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱， 依题意得：， 故答案为：。 【例4】（2025·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为 (2)这种玩具应降价2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 1．（25-26八年级上·北京·期中）2026年农历马年伊始，一只产自浙江义乌、因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马哭哭马意外走红．某店铺以每件15元的价格购进哭哭马，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为尽快减少库存，商家决定降价促销．为使日销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价5元 【分析】设每件应降价元，用含的代数式表示出每件利润和日销量，再根据总利润=每件利润×日销量列一元二次方程求解，结合尽快减少库存的条件选择合适的解． 【详解】解：设每件应降价元．则 ， 解得：，． ∵要尽快减少库存， ∴． 答：每件应降价元． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 【答案】(1)月平均增长率为； (2)售价应降低4元． 【分析】（1）设出未知数，利用“初始销量×(1+月平均增长率)²=最终销量”列一元二次方程，舍去不符合题意的负根，即可得到结果． （2）设出降价金额，分别表示出每件商品的利润和降价后的销量，利用“总利润=每件利润×销量”列一元二次方程，结合“尽量减少库存”的要求，选择符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得：，（舍去） 答：月均增长率为． （2）解：设售价应降低x元，则每件盈利为元，即元，销量为：件， 由题意得，， 解得，， 尽量减少库存， ，即售价应降低4元． 答：若使每天销售后获利240元，售价应降低4元． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 【详解】（1）解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 【典型例题六 动态几何问题】 【例1】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（    ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：， ， ∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动， ∴， ∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动， ∴AQ=2，，， 的面积是面积的， ， 整理得， 解得， 当s时，的面积是面积的． 故选择B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意，，运动时间， ， ， ， 解得（舍去）或5， ∴运动时间为5秒时，的面积等于． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为__________． 【答案】或 【分析】在中，利用勾股定理可求出的长，设顶端上移x米，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：在中，， ∴． 设顶端上移米， 如图， ∴ 依题意得： 故答案为：或． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【例4】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，两点的距离是？    【答案】秒或秒 【分析】点的速度，点的速度，设经过秒，由此可用含的式子表示，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：点的速度，点的速度，，， ∴点到点的时间为，点到点的时间为， ∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ∴设经过秒后，两点的距离是，且， 根据题意，，，在中，， ∴，整理得， 解得，， 当时，，符合题意， ∴秒或秒，两点的距离是． 【点睛】本题主要考查动点，勾股定理，解一元二次方程，理解动点的运动与线段的关系，掌握直角三角形的勾股定理，解一元二次方程是解题的关键． 1．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，点从点开始以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动，过点作，分别交于点的面积能否为7？如果能，请求出点运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】点运动的时间为或时，的面积为7 【分析】设动点从点出发移动个单位时，的面积等于，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式列方程求解即可. 【详解】解：的面积能为7． 设点从点出发运动个单位长度时，的面积为7． 依题意，得， 解得． 故点运动的时间为或时，的面积为7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用三角形和平行四边形的面积得出等量关系是解决问题的关键. 2．（25-26八年级上·四川凉山·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． (1)运动几秒时的面积为？ (2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 【答案】(1)P、Q同时出发，或后可使的面积为； (2)不存在使得的面积等于面积的一半的时刻，理由见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，解本题的关键是审题后，列出相关的一元二次方程，应掌握一元二次方程根的判别式及求解． （1）设后，可使的面积为，分别表示出线段和线段的长，再利用三角形的面积公式列出方程求解； （2）先求，根据题意建立方程，由根的判别式可得结果． 【详解】（1）解：设后，可使的面积为． 由题意得，，，， ∴， 整理得：， 解得：，， 所以P、Q同时出发，或后可使的面积为． （2）解：由题意得：， ∴， 整理可得：， ，该方程无实数解， 所以，不存在使得的面积等于面积的一半的时刻． 3．（2024八年级上·吉林·专题练习）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）． (1)如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？ (2)如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，能够表示出线段和的长是解答本题的关键． （1）设经过秒钟，的面积等于的三分之一，分别表示出线段和线段的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可； （2）设秒时，、相距6厘米，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于的三分之一，根据题意得： ， 解得：或4． 答：2秒或4秒后，的面积等于的三分之一． （2）解：设秒时，、相距6厘米，根据题意得： ， 解得：（舍去）或． 答：秒时，、相距6厘米． 【典型例题七 工程问题】 【例1】（24-25八年级下·上海普陀·期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？ 【答案】甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天． 【分析】设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天，由甲、乙两队合作，6天可以完成，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天， 根据题意得：， 解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝15， 经检验：x＝15是原方程的解，且符合题意， 则x−5＝10， 答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 【例3】（24-25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【例4】（24-25八年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 1．（25-26八年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 3．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 【典型例题八 行程问题】 【例1】（24-25八年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 【例2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 【例3】（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要多长时间？ 【答案】 【分析】根据路程和时间之间的关系，将s=200代入求出t即可． 【详解】∵行驶的路程和时间之间的关系为：， ∴将s=200代入得：， 解得：t1=-10（舍去），t2=． 答：行驶需要． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把s的值代入求解． 【例4】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 1．（25-26八年级上·吉林白城·阶段检测）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 2．（25-26八年级上·上海长宁·期中）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键. 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，c的值为 ； (2)动点 P，Q分别同时从点A，C 出发，点P以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A 移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x 的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，得出，根据相反数的定义得出，即可求出a的值；根据绝对值的非负性，即可求出c的值； （2）解：①先得出点B表示的数为6，求出点P 从点A 运动到点B 所用时间为（秒），再求出．即可求解；②设运动时间为t秒，t秒后点P 表示的数为，点Q 表示的数为，根据两点之间距离的求法得出，求出或2；即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B， ∴， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴，则， 解得：， ∵， ∴，解得：， 故答案为：，10； （2）解：①∵，点A，B表示的数互为相反数， ∴，即点B表示的数为6， ∵点P 的速度是每秒3个单位长度，点P，Q在点B处相遇，， ∴点P 从点A 运动到点B 所用时间为（秒）， ∵， ∴； ②设运动时间为t秒，t秒后点P 表示的数为，点Q 表示的数为， ， 则或， 解得：或2； ∴或， 综上：x的值为或0． 【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，以及相反数．关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，能根据题意列出算式或方程． 【典型例题九 图表信息题】 【例1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 【例2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【答案】(1)20000 (2)45人 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，列方程并检验解的合理性． （1）判断25人在“不超过30人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用； （2）先判断人数超过30人，根据“人数×（原人均收费降低的费用）总费用”列方程，求解后检验人均收费是否符合“不低于550元”的条件，确定最终人数． 【详解】（1）解：由题意得（元） 应该支付20000元． 故答案为：20000 （2）设参加这次旅游的人数是人， （元），， ． 根据题意得：． 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． 【例3】（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 【例4】（24-25八年级下·山东泰安·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 1．（24-25八年级上·广东中山·阶段检测）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 2．（25-26八年级上·上海长宁·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 【典型例题十 握手、循环赛问题】 【例1】（2026·云南昆明·模拟预测）我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的特点，推导总比赛场数的表达式，结合已知总场数列出方程，判断正确选项． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， ∵总比赛场数为21， ∴列方程得． 【例2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键是理解互赠的含义． 计算总赠出书签的数量，从而列出方程． 【详解】解：∵八（1）班共有名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学各赠送1张书签， ∴每名同学送出张书签，名同学送出书签的总张数为， 又已知共赠主题书签2450张， ∴可列方程． 【例3】（2026·广东东莞·二模）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 【例4】（25-26八年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【答案】13个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设共有x个球队参加比赛，则可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设共有x个球队参加比赛． ．    整理得：． 解得： （不合题意，舍去）     答：共有13个球队参加比赛． 1．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次，若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数． 【答案】参加聚会的人数是8人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设有x个人参加聚会， 根据题意可得：， 所以， 解得，（不合题意舍去）， 所以参加聚会的人数是8人． 2．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 【答案】这条线路共有8个站点． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票， 根据题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：这条线路共有8个站点． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛． （1）①共有 ______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他_____ 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛_____场，列方程：____________． 【小试牛刀】（2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了次，有多少人参加聚会？ 【综合运用】（3）将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）①28；②，，；（2）5人；（3）能为整数，见解析 【分析】（1）①利用乘法运算即可求解； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有x（x-1）场比赛，可以列出一元二次方程； （2）同（1）的方法列出一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可求解； （3）同（1）的方法得到，，进一步求解即可． 【详解】解：（1）①共有场比赛； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有x（x-1）场比赛， 根据题意，列出相应方程：x（x-1）=28， 故答案为：28；②（x-1），，； （2）设有人参加聚会， 根据题意，得：， 解得，（舍去） 答：一共有人参加聚会； （3）依题意得，， ， ∵n为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴当或时，为整数． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 【典型例题十一 一元二次方程的实际综合应用】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）某校劳动小组种植的某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设主干长出个支干，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握从实际问题中抽象出数学等量关系的方法是解题的关键。先根据主干、支干、小分支的数量关系，分别表示出支干和小分支的数量，再根据三者总数为91的等量关系列出方程。 【详解】解：∵主干数量为1个，主干长出个支干，每个支干长出个小分支， ∴小分支数量为个， ∵主干、支干和小分支的总数是91， ∴可列方程为， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个数为，根据题意得， ， 整理得， 解得， ∴这个数为， 故选：A． 【例3】（25-26八年级上·上海长宁·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据物体落回地面时高度为0，建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵物体落回地面时高度为0， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴物体经过秒落回地面． 【例4】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 【答案】黑键36个，白键52个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键；设黑键个，则白键个，根据等量关系：黑键数和白键数的乘积是1872，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设黑键个，则白键个， 由题意得：， 整理得：， 解得或52； 由于黑键比白键少，故x取36． 所以黑键36个，白键52个． 1．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）某车间加工生产一种农用手推车厢和车轮，生产的农用手推车由1个车厢搭配2个车轮组成，现在车间有28名工人，每人每天生产车厢12个或车轮18个． (1)应分配多少人生产车厢，多少人生产车轮，才能使生产的车厢和车轮刚好配套(1个车厢要配2个车轮)； (2)在(1)问条件下，车间只引进了生产车轮的先进设备，使得每人生产车轮的个数提高，而每人生产车厢的个数不变，于是从生产车轮的工人中调走部分工人去生产车厢，并发现，只有现在每天每位工人生产车轮的个数在原来基础上增加了调走工人人数的倍，才能使生产的车厢和车轮刚好配套，则需要从原生产车轮的工人中调走多少人？ 【答案】(1)生产车厢有12人，生产车轮有16人． (2)4人 【分析】（1）设分配人生产车厢，则有人生产车轮根据生产的车厢和车轮刚好配套(1个车厢要配2个车轮)，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设从原生产车轮的工人中调走人，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设分配人生产车厢，则有人生产车轮 由题意得：． 解得：． （2）解：设从原生产车轮的工人中调走人， 由题意得： 化简得： 解得：或(舍) 答：需要从原生产车轮的工人中调走4人． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)3米 (2)上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 3．（2026·重庆·一模）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． (1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； (2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】(1)第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个 (2)甲款头盔的单价上涨了5元 【分析】（1）设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.，根据费用和为元建立一元一次方程求解； （2）设甲款头盔的单价上涨了元，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.， 由题意得， 解得， 则甲款头盔的数量为， 答：第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个； （2）解：设甲款头盔的单价上涨了元， 由题意得，， 整理得，， 解得或， 由题意得，， ∴舍去， 答：甲款头盔的单价上涨了5元． 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 本题可通过设中间的奇数为未知数，利用连续奇数的差为2表示出另外两个奇数，再根据平方和为371列一元二次方程求解． 【详解】解：设三个连续奇数中间的数为，则最小的奇数为，最大的奇数为，根据题意得， 解得， 当时，最小的奇数为； 当时，最小的奇数为； ∴这三个奇数中最小的是或9， 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行一次比赛），共进行了28场比赛，设参加这次比赛的队有个，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数x（x−1），由此可得出方程． 【详解】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 3．（2025九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．先求出的长，再根据面积公式列方程即可． 【详解】解：∵试验田垂直于墙的一边的长为， ∴， 则边使用篱笆， ∵边开有一扇宽的门， ∴， ∵面积为， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级上·广西来宾·阶段检测）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 6．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解． 【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得 ， ， ， ∴或 解得或（舍去） 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广东阳江·阶段检测）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为________．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题通过设每天“遗忘”的百分比为，依据“两天不练丢一半”这一条件建立一元二次方程，求解方程并结合实际意义确定的值．本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得 ． 解得，（，不符合题意，舍去 ）． ∵ ， ∴ 每天“遗忘”的百分比约为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若要使一天的总利润为1120元，则该产品的质量档次为________． 【答案】6 【分析】设该产品的质量档次为x，每件利润为：，一天的产量为：，根据一天的总利润为1120元，即可求解． 【详解】解：设该产品的质量档次为x， 则每件利润为：，一天的产量为：， 由题意得： 解得：（舍）， 答：该产品的质量档次为6， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的运用，准确根据题意列出方程并解答是解决本题的关键． 9．（24-25八年级·上海长宁·假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s． 【答案】2． 【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16， 整理，得：x2﹣12x+20＝0， 解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设的长为，根据线段的和差关系表示出的长，再根据已知比例式列出关于的一元二次方程，解方程并根据线段长度为正数取舍，即可作答． 【详解】设， ，点在线段上， ， ∵． ， ， 整理得， ∴， ∴， ∴（舍去）， 的长为． 11．（24-25八年级上·广东东莞·期末）某小区为了改善绿化环境，计划购买A、B两种树苗共100棵，其中A树苗每棵40元，B树苗每棵35元．经测算购买两种树苗一共需要3800元． (1)计划购买A、B两种树苗各多少棵？ (2)在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降a元（），且每降低1元，小区就多购买A树苗2棵，B树苗3棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了300元，求该小区实际购买两种树苗的售价下降额a（元）的值． 【答案】(1)A树苗60棵，B树苗40棵 (2)5 【分析】本题考查二元一次方程组、一元二次方程的实际应用： （1）设购买A树苗x棵，B树苗y棵，列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列关于a的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购买A树苗x棵，B树苗y棵， 依题意得， 解得：． 答：购买A树苗60棵，B树苗40棵． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵， ∴， 答：该小区实际购买两种树苗的售价下降额a（元）的值为5． 12．（24-25八年级上·宁夏固原·阶段检测）如图，在边长为正方形中，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿和边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．经过多少秒钟后，的面积等于． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值． 【详解】解：设经过x秒，的面积等于， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ，， ∴， 解得或4， 又知， 故符合题意， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ， 解得． 综上所述：经过2或秒钟后，的面积等于． 13．（24-25八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 14．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）根据以下素材，完成任务． 素材1 某山区特产直播带货平台助力乡村振兴，该平台上某农家特产店的销量持续增长．该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒． 素材2 该特产礼盒每盒成本价为40元，当售价定为60元时，每月可售出300盒；经市场调研发现，售价每降低1元，月销售量就会增加20盒． 问题解决 (1)任务1：求该特产店3月份到5月份礼盒销量的月平均增长率． (2)任务2：为了回馈顾客，该店计划开展“降价促销”活动，且要保证每月销售该礼盒的利润达到6080元，同时尽可能扩大销量，求每盒礼盒的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)每盒礼盒的实际售价应定为56元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据“该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒”，列出方程求解即可． （2）设礼盒售价下降y元，则每盒礼盒的利润为元，月销售量为盒，根据“每月销售该礼盒的利润达到6080元”，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 答：月平均增长率为． （2）解：设每盒礼盒售价下降y元，则每盒礼盒的利润为元，月销售量为盒， 根据题意，得， 解得：，． ∵要尽可能扩大销量， ∴礼盒售价为（元）． 答：每盒礼盒的实际售价应定为56元． 15．（24-25八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务． 求为正整数）方法欣赏在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．①   则．．．．．．② ①+②得   即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ．两边分别相加可得，． ． 任务： (1)计算：　　； (2)我们知道：；；；则 ； (3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” 【答案】(1)20706 (2) (3)这群人共有11人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化规律 （1）根据方法1：“头尾相加法”，即可解答； （2）根据方法2：“递归法”计算即可； （3）设这群人共有人，根据等差数列求和公式和平均数公式得到关于梨子个数的方程，解方程求解即可解答． 【详解】（1）， 故答案为：20706； （2）令 ..... ①， ....................② ②①：有， 故答案为：； （3）设这群人共有人， 由题意，得， 即， 解方程，得（舍去），， 答：这群人共有11人． 学科网（北京）股份有限公司 $