第09讲 一元二次方程的解法（因式分解法与直接开平方法）（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第09讲 一元二次方程的解法(因式分解法与直接开平方法) 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 解形如x2＝p的方程 题型2 解形如(mx+n)2＝p的方程 题型3 直接开平方法的应用 题型4 因式分解法解一元二次方程 题型5 因式分解法纠错问题 题型6 因式分解法解一元二次方程的应用 题型7 新定义与框图问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直接开平方法、因式分解法、零乘积性质、平方非负性、提公因式法、公式法因式分解、十字相乘法、实数根判定、分类讨论、漏根警示 1. 理解直接开平方法与因式分解法的解题原理，明确两种解法的适用范围与题型特征. 2. 掌握直接开平方法的操作流程，能熟练求解型、型方程，并依据平方非负性判断实根存在情况. 3. 掌握因式分解法的核心步骤，能灵活运用提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法对多项式拆分并求解方程. 4. 能识别两种解法的典型易错点，规避漏根、违规约分等问题，能解决含参数方程及与几何知识结合的综合应用问题. 学习重点：1. 直接开平方法的解题步骤与实根判定规则. 2. 因式分解法的核心原理（零乘积性质）与标准解题流程. 3. 提公因式、公式法、十字相乘法在解方程中的灵活运用. 4. 两种解法的易错点辨析与解题规范落实. 学习难点：1. 含字母参数的一元二次方程的分类讨论（平方非负性的应用）. 2. 根据方程特征灵活选择最优解法，提升解题效率. 3. 规避“方程两边同除含未知数整式”导致的漏根问题. 4. 一元二次方程解法与三角形三边关系等几何知识的综合应用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 因式分解法 1．因式分解法的概念 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，像这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2．因式分解法的理论依据 若两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0.将一元二次方程化成的形式，则或. 3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0; (2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积； (3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程； (4)一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 4.几种常见的用因式分解法求解的方程 （1）形如的一元二次方程 将左边运用提公因式法因式分解为，则或 ，即. （2）形如的一元二次方程 将左边用平方差公式因式分解为，则或，即. （3）形如的一元二次方程 将左边用完全平方公式因式分解为， 则①，即；②，即. （4）形如的一元二次方程 将左边因式分解，则方程化为，所以或，即. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 解 （1）将方程的左边因式分解，得 由此得 解得 所以，原方程的根是，． （2）整理原方程，得 将方程的左边因式分解，得 由此得 解得 所以，原方程的根是，． （3）移项，得 将方程的左边因式分解，得 即 由此得 解得 所以，原方程的根是，． （1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程，不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解. （2）用因式分解法解一元二次方程时，一定要把方程的右边化为0，否则会出现错误. （3）用因式分解法解方程时，不要将方程两边同除以含有未知数的式子，这样容易丢根. 知识点02 直接开平方法 1.直接开平方法 利用平方根的定义，直接通过求平方根来解某些特殊的一元二次方程的方法. 2.方程的根 一般的，对于可化为的方程， (1)当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，； (2)当时，方程有两个相等的实数根； (3)当时，因为任何实数，都有，所以方程无实数根. 用开平方法解形如的一元二次方程的步骤 （1）通过移项、两边同除以，把原方程变形为. （2）根据平方根的意义，可知 当a,c当号时，，方程的根是； 当a,c同号时，，方程没有实数根； 当时，，方程的根是. 利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2). 解：(1)，直接开平方，得，，. (2)移项，得，直接开平方，得，，. 用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式. 题型1 解形如x2＝p的方程 【例1】方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． (1)直接开平方法只适用于解能转化为或的一元二次方程. (2)用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数的形式.只有当为非负数时，方程才有解.当时，要注意开方的结果取“正、负”两种情况. 【变式1-1】一元二次方程的实数根是__________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，解题的关键是将方程变形为，再利用平方根的定义求解；移项得到，然后开平方得到． 【详解】解：， 移项，得， 直接开平方得， ∴． 故答案为：，． 【变式1-2】关于的一元二次方程的解是________． 【答案】， 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握用直接开平方法解一元二次方程是关键．根据用直接开平方法解一元二次方程的方法，先移项再开平方即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式1-3】方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程.根据解一元二次方程的直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解： 移项得：， 两边同时除以得：， 开平方得：， 故答案为：，． 题型2 解形如(mx+n)2＝p的方程 【例2】方程的根是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 即或， 解，得，， 解，得，， ∴方程的根是， 故答案为：． 【例3】方程的解为________． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ，． 故答案为：，． 【变式2-1】方程的解是____________． 【答案】 ．/． 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键．通过移项和开平方解方程，运用平方根的性质求解． 【详解】解：移项得， 开平方得，即， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：． 【变式2-2】方程的解是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了直接开平方法，掌握直接开平方法解方程是解题的关键．根据直接开平方法求解方程即可． 【详解】解：， ， 或（舍去）， ， 或． 故答案为：或． 【变式2-3】方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查直接开平方法解方程，由，方程等价于，从而直接求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 题型3 直接开平方法的应用 【例4】若关于x的方程有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程可得，计算即可； 【详解】由题意可知， ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了对一元二次方程解的理解，准确计算是解题的关键． 此类形式方程有解的判定技巧 由平方数非负性可知，方程变形为，需满足方可有实数解. 易错点易忽略时方程存在两个相等实数根的情况. 【例5】已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 【例6】解方程：： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 此类形式的方程，可开平方得到分情况求解，也可移项借助平方差公式因式分解求解.易错点是容易遗漏的情况. 【例7】解关于的方程： 【答案】当时，；当时，方程无实数解． 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法． 移项，对的取值范围进行分类讨论，解方程即可． 【详解】解：∵ ∴ 当时，，开方得，， 当时，方程无实数解． 综上，当时，；当时，方程无实数解． 含字母系数的型方程用直接开平方法求解时，要依据二次项系数的正负分类讨论.易错点是忽略时，方程无实数解的情况. 【变式3-1】若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查直接开平方法解一元二次方程，将方程整理为完全平方形式，根据直接开平方法的要求，右边必须非负，从而确定c的取值范围． 【详解】解：原方程为： 观察左边，可写成完全平方形式： 根据直接开平方法的要求，右边必须非负，即： 解得： 因此，c的取值范围是， 故选A． 【变式3-2】一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无解 【答案】C 【分析】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法解一元二次方程是解决此题的关键．利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵ ∴ 解得：，， 故选C． 【变式3-3】解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法将方程两边开平方可得，再将此分解为两个方程分别求解即可． 【详解】解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 【变式3-4】解关于x的方程：． 【答案】当时，，当时，方程无实数根 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先变形，再利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：， 整理得：，即， 当时，， 当时，方程无实数根． 【变式3-5】若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 【变式3-6】若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是解答的关键．根据方程的解的意义可得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解、满足，， 解得，， 故答案为：，． 题型4 因式分解法解一元二次方程 【例8】方程的根是________． 【答案】， 【分析】先移项将方程化为一边为0的形式，再提取公因式因式分解，令每个因式为0即可求出方程的根． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 则或 解得，． 【例9】方程的根是___________． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 或 解得，． 故答案为：，． 【例10】解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项，得： 或 解得或 所以，原方程的根是， 因式分解法解题技巧总结 第一步：移项变形，把方程统一整理为左侧多项式、右侧等于的形式 第二步：因式拆分，选用提公因式或十字相乘法，拆成两个一次因式相乘 第三步：分零求解，依据零乘积性质，令两个因式分别等于再计算 易错提醒：等式两边有相同含未知数因式时不可直接约分，否则会丢失对应根 【变式4-1】解方程． 【答案】 【分析】直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴． 【变式4-2】解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【变式4-3】解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先去括号，移项，合并同类项，再用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 即 解得， 解得， ∴原方程的解为，． 【变式4-4】解方程： 【答案】，． 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式对等式两边分解因式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 则或， 解得：，． 【变式4-5】解方程：． 【答案】， 【详解】解： 化简得：， ， 或， ，． 题型5 因式分解法纠错问题 【例11】如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第______步开始出错．（填序号） 解方程： 解：…① …② …③ 【答案】② 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可得出答案． 【详解】解：， ，， 故答案为：②． 因式分解法纠错问题技巧总结 这类题型常见错误是直接约去方程两边含未知数的公因式，易丢失对应根。正确做法是先移项，再提取公因式，将方程化为的形式，依据零乘积性质分别求解。 【变式5-1】在解方程时，小明同学的解答如下： ①将方程右边加括号，得 ②方程两边除以，得 小军说小明的解答过程是错误的，请回答以下问题： (1)开始出现错误的步骤是第_________步，错误原因是_________； (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)②；方程两边同时除以，而可能为0，两边不能同时除以可能为0的式子 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，等式性质，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）根据方程两边同时除以不为零的数进行解答即可； （2）根据因式分解的方法求解方程即可 【详解】（1）解：开始出现错误的步骤是第②步， 错误原因是：方程两边同时除以，而可能为0，两边不能同时除以可能为0的式子， 故答案为：②；方程两边同时除以，而可能为0，两边不能同时除以可能为0的式子； （2）， ， ， 或， ，． 【变式5-2】按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． (1)小华的解法是错误的，原因是____________ (2)小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)可能为0 (2)错误，见解析，， 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是关键． （1）根据除数为零无意义进行解答即可； （2）判断后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：小华的解法是错误的，原因是：两边同时除以，可能为0． 故答案为：可能为0 （2）解：小海的解法是错误的，正确的过程如下：     整理得 解得，． 所以原方程的根是，． 【变式5-3】某同学在解方程时，给出了以下解答过程： 解答过程 步骤序号 解：将方程的左边因式分解，得， …① 当且时满足以上等式，可得； …② 当且时满足以上等式，可得． …③ 综上，原方程的解为，． …④ （1）该同学的解答过程是否正确？（请根据你的判断勾选以下选项之一；勾选后，根据相应的选项完成对应的问题（2）和问题（3）） □A．该解答过程不正确 □B．该解答过程正确 （2A）如果你认为该解答不正确，那么它是从第______步开始出错的，请说明其错误的原因： （2B）如果你认为该解答正确，那么请再出一个一元二次方程，并用上述方法求解，说明此解法的合理性； （3A）对于原题所给的方程，请写出你认为正确的解答过程． （3B）对于原题所给的方程，请另外给出一种你认为正确的解法，写出解答过程． 【答案】A；（2A）从第②步开始出错，理由见详解；（3A）解答过程见详解 【分析】本题考查用因式分解法解方程的错解改正问题，熟练掌握解方程的方法是解题的关键；根据题意可判断解答过程不正确， （2A）因式分解法解一元二次方程的原理是“若，则或”，据此答题即可； （3A）按因式分解法解方程即可． 【详解】解：A．该解答过程不正确， （2A）从第②步开始出错 错误的原因：因式分解法解一元二次方程的原理是若，则或，该解法错误地将等式右边为6的情况类比为0的情况进行求解，其推理过程不成立； （3A）正确的解答过程： ， 移项得， 因式分解得， 所以或， 解得或． 题型6 因式分解法解一元二次方程的应用 【例12】关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 【答案】3或5 【分析】本题考查了方程的定义，解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据方程常数项为0的条件，列出关于m的方程，再解方程即可． 【详解】解：方程的常数项是， ，即， 解得或． 当时，原方程为符合题意， 当时，原方程为符合题意， 故答案为：3或． 【例13】三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的两个可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长． 【详解】解：， 因式分解得， ∴， 解得或． 根据三角形三边关系，可得第三边的取值范围为， 即． ∵不满足，不能构成三角形，舍去， 满足，可以构成三角形． ∴三角形的周长为． 三角形边长结合方程求解题型技巧总结 先通过对应解法求解一元二次方程，得到第三边的候选取值.再依据三角形三边关系筛选有效边长，舍去不满足约束的根.易错点是直接采用方程全部根计算周长，忽略三角形两边之和大于第三边的长度限制条件. 【变式6-1】三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案. 【详解】解：∵ ， ∴ 因式分解得 ， 解得 ， ∵ 三角形两边长分别为3和6， ∴ 当第三边长为时，，不满足三角形三边关系，此种情况舍去， 当第三边长为时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为 . 【变式6-2】三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．15 B．11和13 C．11 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程与三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法和三角形的三边关系是解题的关键． 先解方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断出符合条件的第三边长，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵三角形两边长分别为3和6， ∴当第三边长为2时，，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，舍去， 当第三边长为4时，且，满足三角形三边关系， ∴三角形的周长为． 故选：D． 【变式6-3】已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 【答案】8 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，得到高的长度，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：由，因式分解得 ， 解得 或 （舍去负根）， ∴斜边上的高为4， 在等腰直角三角形中，斜边上的高也是斜边上的中线，且等于斜边的一半， ∴斜边长为 ， 故答案为 8． 题型7 新定义与框图问题 【例14】定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 首先根据非负性得到，则，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ①当时，符合题意； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ②时，， 则化为：，解得：，均不在内，舍； ③时，， 则化为：，解得：或（舍）； ④时，， 则化为：，解得：或（舍）； ⑤当时，均不成立， ∴方程的解为或或， 故选：A． 【例15】某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了程序设计，解一元二次方程，根据题意分两种情况，当时，当时，然后分别求解判断即可． 【详解】解：∵当输出的值为4时， ∴当时，，不符合题意； 当时，解得． ∴当输出的值为4时，则输入的x值是． 故选：A． 【变式7-1】在实数范围内定义一种新运算，规定：，则方程的解为____ 【答案】，． 【分析】结合新定义的运算法则得到关于的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得：，． 【变式7-2】对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． (1)填空：________，________； (2)如果，求的值． (3)解方程． 【答案】(1), (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了平均数的计算、数的大小比较、解一元二次方程，熟练掌握平均数公式、分情况讨论的方法是解题的关键． （1）第一空根据平均数公式计算三个数的平均数；第二空比较三个数的大小得出最小值． （2）先根据平均数公式表示出，再分情况讨论，结合等式求解 （3）先分析的取值情况，再分情况解方程． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， 故答案为：,； （2）解：， 分情况讨论： 当时，，则，解得，符合 当时，，则，解得，不符合，舍去． 当时，，则，解得，符合 综上，或； （3）解：∵， ∴为或， 分情况讨论： 当，即时，， ∴，即， ， 解得（舍去，因为）或 当，即时，， ∴， 解得或（舍去，因为）． 综上，或 【变式7-3】对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 【变式7-4】在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【答案】或 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 【变式7-5】按如图所示的程序运算，如果输出的y的值为6，则输入的的值可能为（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程中的新定义．分和两种情况讨论，按照新定义的列方程求得即可． 【详解】解：根据新定义可知， 时，，此时，此情况不存在，舍去； 时，，整理得， 解得（舍去）或； ∴输入的的值可能为2； 故选：A． 1．方程的解是______． 【答案】 【分析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 2．方程的根是_______． 【答案】， 【分析】此题考查了利用开平方解方程，根据题意得到或，即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得， 故答案为：， 3．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 4．若关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键．根据直接开平方法可得关于m的不等式，进而求解可得． 【详解】解：可以用直接开平方法求解， ， ． 故答案为． 5．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ，， 解得：， ． 6．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 7．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了高次方程的解法，运用直接开配方法进行解答即可，掌握直接开配方法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴，． 8．解方程： 【答案】时，方程没有实数解；时，，． 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．先移项得到，讨论：当时，方程无解；当时，方程为一元二次方程，若时，方程没有实数解；，利用直接开平方法解方程． 【详解】解：， ， 当时，方程无解； 当时，， 时，即，方程没有实数解； ，即，， 即，， 综上所述，时，方程没有实数解；时，，． 9．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． 对方程进行变形化简，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 10．若一元二次方程的两个根分别是与，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先求出方程的解为，从而得到方程的两个根互为相反数，进而得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解 ∵， ∴， ， 解得：， ∴． ∴方程的两个根互为相反数， ∵方程的两个根分别是与， ∴， ∴． ∴一元二次方程的两个根分别是2与． ∴， ∴． 11．已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 【答案】 ；方程的另一根为 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程二次项系数不为0，舍去不符合条件的值，再将符合条件的代入原方程，求解得到方程的另一根． 【详解】解：一元二次方程有一个根为， 将代入方程得， 因式分解得， 解得， 原方程是一元二次方程，二次项系数不为， ，即， ， 将代入原方程得 ， 整理得， 提取公因式得， 解得， 方程的另一根为． 12．阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 试卷第1页，共3页 1/15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 一元二次方程的解法(因式分解法与直接开平方法) 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 解形如x2＝p的方程 题型2 解形如(mx+n)2＝p的方程 题型3 直接开平方法的应用 题型4 因式分解法解一元二次方程 题型5 因式分解法纠错问题 题型6 因式分解法解一元二次方程的应用 题型7 新定义与框图问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直接开平方法、因式分解法、零乘积性质、平方非负性、提公因式法、公式法因式分解、十字相乘法、实数根判定、分类讨论、漏根警示 1. 理解直接开平方法与因式分解法的解题原理，明确两种解法的适用范围与题型特征. 2. 掌握直接开平方法的操作流程，能熟练求解型、型方程，并依据平方非负性判断实根存在情况. 3. 掌握因式分解法的核心步骤，能灵活运用提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法对多项式拆分并求解方程. 4. 能识别两种解法的典型易错点，规避漏根、违规约分等问题，能解决含参数方程及与几何知识结合的综合应用问题. 学习重点：1. 直接开平方法的解题步骤与实根判定规则. 2. 因式分解法的核心原理（零乘积性质）与标准解题流程. 3. 提公因式、公式法、十字相乘法在解方程中的灵活运用. 4. 两种解法的易错点辨析与解题规范落实. 学习难点：1. 含字母参数的一元二次方程的分类讨论（平方非负性的应用）. 2. 根据方程特征灵活选择最优解法，提升解题效率. 3. 规避“方程两边同除含未知数整式”导致的漏根问题. 4. 一元二次方程解法与三角形三边关系等几何知识的综合应用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 因式分解法 1．因式分解法的概念 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，像这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2．因式分解法的理论依据 若两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0.将一元二次方程化成的形式，则或__________. 3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0; (2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的__________； (3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个____元_____次方程； (4)一一求解：分别解这两个_____元____次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 4.几种常见的用因式分解法求解的方程 （1）形如的一元二次方程 将左边运用提公因式法因式分解为，则或________，即. （2）形如的一元二次方程 将左边用平方差公式因式分解为，则或________，即. （3）形如的一元二次方程 将左边用完全平方公式因式分解为， 则①，即________；②，即________. （4）形如的一元二次方程 将左边因式分解，则方程化为，所以或，即________. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． （1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程，不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解. （2）用因式分解法解一元二次方程时，一定要把方程的右边化为0，否则会出现错误. （3）用因式分解法解方程时，不要将方程两边同除以含有未知数的式子，这样容易丢根. 知识点02 直接开平方法 1.直接开平方法 利用平方根的定义，直接通过求平方根来解某些特殊的一元二次方程的方法. 2.方程的根 一般的，对于可化为的方程， (1)当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根________，________； (2)当时，方程有两个相等的实数根________； (3)当时，因为任何实数，都有，所以方程________________. 用开平方法解形如的一元二次方程的步骤 （1）通过移项、两边同除以，把原方程变形为. （2）根据平方根的意义，可知 当a,c当号时，，方程的根是； 当a,c同号时，，方程没有实数根； 当时，，方程的根是. 利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2). 用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式. 题型1 解形如x2＝p的方程 【例1】方程的解是______． (1)直接开平方法只适用于解能转化为或的一元二次方程. (2)用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数的形式.只有当为非负数时，方程才有解.当时，要注意开方的结果取“正、负”两种情况. 【变式1-1】一元二次方程的实数根是__________． 【变式1-2】关于的一元二次方程的解是________． 【变式1-3】方程的解是______． 题型2 解形如(mx+n)2＝p的方程 【例2】方程的根是______． 【例3】方程的解为________． 【变式2-1】方程的解是____________． 【变式2-2】方程的解是_____． 【变式2-3】方程的根是___________． 题型3 直接开平方法的应用 【例4】若关于x的方程有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 此类形式方程有解的判定技巧 由平方数非负性可知，方程变形为，需满足方可有实数解. 易错点易忽略时方程存在两个相等实数根的情况. 【例5】已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________． 【例6】解方程：： 此类形式的方程，可开平方得到分情况求解，也可移项借助平方差公式因式分解求解.易错点是容易遗漏的情况. 【例7】解关于的方程： 含字母系数的型方程用直接开平方法求解时，要依据二次项系数的正负分类讨论.易错点是忽略时，方程无实数解的情况. 【变式3-1】若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无解 【变式3-3】解方程：． 【变式3-4】解关于x的方程：． 【变式3-5】若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 【变式3-6】若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 题型4 因式分解法解一元二次方程 【例8】方程的根是________． 【例9】方程的根是___________． 【例10】解方程：． 因式分解法解题技巧总结 第一步：移项变形，把方程统一整理为左侧多项式、右侧等于的形式 第二步：因式拆分，选用提公因式或十字相乘法，拆成两个一次因式相乘 第三步：分零求解，依据零乘积性质，令两个因式分别等于再计算 易错提醒：等式两边有相同含未知数因式时不可直接约分，否则会丢失对应根 【变式4-1】解方程． 【变式4-2】解方程： 【变式4-3】解方程：． 【变式4-4】解方程： 【变式4-5】解方程：． 题型5 因式分解法纠错问题 【例11】如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第______步开始出错．（填序号） 解方程： 解：…① …② …③ 因式分解法纠错问题技巧总结 这类题型常见错误是直接约去方程两边含未知数的公因式，易丢失对应根。正确做法是先移项，再提取公因式，将方程化为的形式，依据零乘积性质分别求解。 【变式5-1】在解方程时，小明同学的解答如下： ①将方程右边加括号，得 ②方程两边除以，得 小军说小明的解答过程是错误的，请回答以下问题： (1)开始出现错误的步骤是第_________步，错误原因是_________； (2)请给出正确的解答过程． 【变式5-2】按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． (1)小华的解法是错误的，原因是____________ (2)小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 【变式5-3】某同学在解方程时，给出了以下解答过程： 解答过程 步骤序号 解：将方程的左边因式分解，得， …① 当且时满足以上等式，可得； …② 当且时满足以上等式，可得． …③ 综上，原方程的解为，． …④ （1）该同学的解答过程是否正确？（请根据你的判断勾选以下选项之一；勾选后，根据相应的选项完成对应的问题（2）和问题（3）） □A．该解答过程不正确 □B．该解答过程正确 （2A）如果你认为该解答不正确，那么它是从第______步开始出错的，请说明其错误的原因： （2B）如果你认为该解答正确，那么请再出一个一元二次方程，并用上述方法求解，说明此解法的合理性； （3A）对于原题所给的方程，请写出你认为正确的解答过程． （3B）对于原题所给的方程，请另外给出一种你认为正确的解法，写出解答过程． 题型6 因式分解法解一元二次方程的应用 【例12】关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 【例13】三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 三角形边长结合方程求解题型技巧总结 先通过对应解法求解一元二次方程，得到第三边的候选取值.再依据三角形三边关系筛选有效边长，舍去不满足约束的根.易错点是直接采用方程全部根计算周长，忽略三角形两边之和大于第三边的长度限制条件. 【变式6-1】三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【变式6-2】三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．15 B．11和13 C．11 D．13 【变式6-3】已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 题型7 新定义与框图问题 【例14】定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（    ） A．或或0 B．或或0 C．或或0 D．或或0 【例15】某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 【变式7-1】在实数范围内定义一种新运算，规定：，则方程的解为____ 【变式7-2】对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． (1)填空：________，________； (2)如果，求的值． (3)解方程． 【变式7-3】对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【变式7-4】在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【变式7-5】按如图所示的程序运算，如果输出的y的值为6，则输入的的值可能为（    ） A．2 B．5 C． D． 1．方程的解是______． 2．方程的根是_______． 3．方程的根是__________． 4．若关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是________． 5．解方程： 6．解方程：． 7．解方程：． 8．解方程： 9．解方程： 10．若一元二次方程的两个根分别是与，求的值． 11．已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 12．阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 试卷第1页，共3页 1/15 学科网（北京）股份有限公司 $