1.4.1用平行线判定两三角形相似-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用平行线判定两三角形相似”，核心知识点为预备定理及A型、X型模型。课堂通过观察相似图形、中位线定理实例导入，结合几何证明推导定理，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以图形观察培养几何直观（数学眼光），通过严格证明过程提升推理能力（数学思维），分层练习题和规范解题步骤强化模型意识（数学语言）。含基础到拓展题及中考题，助力学生逐步提升，教师可直接用于教学，提高效率。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 1.4.1用平行线判定两三角形相似 第1章 图形的相似 湘教版九年级数学1.4.1 用平行线判定两三角形相似练习题 ### 核心知识点回顾 1. 平行线判定三角形相似定理（预备定理）：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这是判定三角形相似最基础、最常用的定理。 2. 两种基本图形模型：①A型图：直线平行于三角形底边，在三角形内部截取小三角形，小三角形与原三角形相似；②X型图（8字型）：直线平行于三角形底边，与两边延长线相交，形成的对顶三角形与原三角形相似。 3. 核心性质：由平行线证相似后，可得两个三角形对应角相等、对应边成比例，结合平行线分线段成比例性质，可求解边长、线段比值、周长等问题。 ### 一、基础巩固题（每题5分，共30分） 1. 在△ABC中，DE∥BC，交AB、AC于D、E，判断△ADE与△ABC是否相似，并说明依据。 2. 已知DE∥BC，AD=2，AB=6，求△ADE与△ABC的相似比。 3. 在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=1:2，求AE:AC的比值。 4. 如图8字型，AB∥CD，求证：△AOB∽△DOC。 5. 若△ADE∽△ABC，DE∥BC，DE=3cm，BC=9cm，求相似比。 6. 在△ABC中，DE∥BC，AC=8cm，AE=3cm，求EC的长度及线段比例。 ### 二、能力提升题（每题10分，共40分） 1. 在△ABC中，DE∥BC，AD=4cm，DB=8cm，BC=12cm，求DE的长度。 2. 已知△ABC中，DE∥BC，相似比为2:5，若△ADE的周长为12cm，求△ABC的周长。 3. 在△ABC中，点D在AB延长线上，DE∥BC交AC延长线于E，AD=9cm，BD=3cm，BC=4cm，求DE的长。 4. 在△ABC中，EF∥BC，分别交AB、AC于E、F，AE:EB=3:4，求EF:BC的值。 ### 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，已知AD:DB=2:3，BC=15cm，求DE、DF的长度。 2. 如图，在△ABC中，MN∥BC，M在AB上，N在AC上，若AM=6cm，BM=4cm，△AMN的周长为18cm，求梯形MBCN的周长。 ### 参考答案与详细解析 #### 基础巩固题解析 1. 解：相似。依据三角形相似预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似。 2. 解：相似比=对应边之比=$$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$，即相似比为1:3。 3. 解：AD:DB=1:2，则AD:AB=1:3。由相似性质得AE:AC=AD:AB=1:3。 4. 证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），根据平行线判定相似定理，△AOB∽△DOC。 5. 解：相似比=$$\frac{DE}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$，相似比为1:3。 6. 解：EC=AC-AE=8-3=5cm，由平行线分线段成比例得AE:EC=3:5，AE:AC=3:8。 #### 能力提升题解析 1. 解：AD=4，DB=8，AB=12。∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，$$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$$，代入得$$\frac{DE}{12}=\frac{4}{12}$$，解得DE=4cm。 2. 解：相似三角形周长比等于相似比，设△ABC周长为x，$$\frac{12}{x}=\frac{2}{5}$$，解得x=30cm。 3. 解：AD=9，BD=3，AB=6。∵DE∥BC，△ABC∽△ADE，$$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}$$，$$\frac{4}{DE}=\frac{6}{9}$$，解得DE=6cm。 4. 解：AE:EB=3:4，则AE:AB=3:7。∵EF∥BC，△AEF∽△ABC，∴EF:BC=AE:AB=3:7。 #### 拓展应用题解析 1. 解：∵DE∥BC，AD:DB=2:3，∴AD:AB=2:5。△ADE∽△ABC，$$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$$，BC=15cm，解得DE=6cm。又DF∥AC，四边形DFCE为平行四边形，DF=EC。由比例得EC:AC=3:5，对应线段比例可得DF=9cm。 2. 解：AM=6，BM=4，AB=10，相似比=$$\frac{AM}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$。周长比等于相似比，$$\frac{C_{△AMN}}{C_{△ABC}}=\frac{3}{5}$$，$$C_{△ABC}=30$$cm。梯形MBCN周长=30-18+4+4=20cm。 复习导入 观察下列一组图形，分析其中的规律. l1 l2 l3 A B1 B2 B3 C1 C2 C3 l1 l2 l3 A B1 B2 B3 C1 C2 C3 判断△AB1C1，△AB2C2，△AB3C3之间是否相似，并说出理由. 探究新知 如图1.4-1，在△ABC 中，已知D，E分别是边AB，AC的中点，试判断△ADE 与△ABC 是否相似，并说明理由. A B C D E 图1.4-1 议一议 A B C D E 图1.4-1 由于D，E分别是AB，AC的中点，根据三角形的中位线定理得DE∥BC，且DE= BC，从而有 ∠ADE = ∠B， ∠AED = ∠C， 又∠DAE = ∠BAC， 对于△ADE 与△ABC ，由相似三角形的定义得△ADE∽△ABC. 如图1.4-2，在△ABC 中已知 D 为上任意一点.过点D作BC的平行线DE，交AC于点E. △ADE 与△ABC 是否相似？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？ 思 考 A B C D E 图1.4-2 猜测：只要DE∥BC，就有△ADE∽△ABC. 证明：已知△ABC，过边AB上一点D作DE∥BC，交AC于点E，如图1.4-3所示. 图1.4-3 在△ADE与△ABC中，∠DAE=∠BAC. 因为 DE∥BC， 所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB. 过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F. 由于DE∥BC，DF∥AC，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例” 得 A B C D E F A B C D E F 因为四边形CFDE为平行四边形， 所以 CF=DE . 于是 综上所述，根据相似三角形定义得 △ADE∽△ABC. 由此，可得如下结论： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. 由此，可得如下结论： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. A B C D E A B C D E A B C D E 如图，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC. 随堂诊断 1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，BC=10，则DE的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 A B C D E B 9 2. 如图，在□ ABCD中，AE∶DE = 2∶1，连接BE，交AC 于点F，AF=4，则FC = ______. A B C D E F 6 随堂诊断 例1 如图1.4-4， D 为△ABC的边AB的中点，过点D 作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使EF=DE.求证：△CFE∽△ABC. A D E B C F 证明：由于 DE∥BC，于是△ADE∽△ABC 所以△ADE≌△CFE. 而△ADE∽△ABC， 因此 △CFE∽△ABC. 从而 又 D 为△ABC的边 AB 的中点，则 于是 则 E 为边 AC 的中点， 即AE = CE. 又 ∠AED = ∠CEF ，DE=FE， 随堂诊断 3. 如图，E是□ ABCD的边AD上一点，且 连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE=3，DF=4，则平行四边形ABCD的周长为 ( ) A B C D E F A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 C 1. 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，正方形EFCD的三个顶点 E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长. 解：因为∠C=90°，四边形EFCD是正方形， 所以 DE = DC，DE∥CB. 所以 △ADE∽△ACB. 所以 即 解得DE=3. 练习 A B C D E F 所以 正方形的边长为3. 知识点1 用平行线判定三角形相似 （第1题） 1. 如图，在中，, , ,相交于点，则与 相似的三角 形有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 返回 中考考法 14 （第2题） 2. 如图，在平面直角坐标系 中，为的边上一点， ， 过点作交于点，， 两点的纵 坐标分别为1，3，则点 的纵坐标为( ) C A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 返回 中考考法 15 （第3题） 3. 如图，在中，是 的 中点，是上一点，且 ,连接 并延长交的延长线于点,若 , 则 的长为( ) A A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 中考考法 16 【点拨】解法1:如图①,过点作交于点 ,所以 ,所以.因为是 的中点，所以 ,所以.因为,所以 ,所以 ,所以.因为,所以 . 中考考法 17 解法2:如图②,过点作交于点.因为为 的中 点，所以为的中点.所以,所以为 的中 位线.所以.因为,所以.因为 , 所以设,则,,所以 ,所以 .因为,所以 ,所以 .因为,所以 . 返回 中考考法 （第4题） 4. 如图，是的角平分线，延长 至点，使得．若 ， ，，则 的长为___. 6 中考考法 19 解题支架 返回 中考考法 20 知识点2 相似三角形与平行四边形的综合应用 5. [株洲期末] 如图，在中，对角线， 相交于 点，为的中点，交于点.若，则 的长为___. 1 返回 中考考法 21 6. 如图，在矩形中,为 上一点, 连接,交于点,过点作 于 点 . （1）求证: ; 【证明】因为四边形是矩形,所以 .因为 ,所以 ,所以，所以 , 所以 . 中考考法 22 （2）若,求 的长. 【解】因为,所以 .因 为四边形是矩形,所以 ， ,所以 ,所以 ,所以.因为 , 所以 ,所以.因为,所以 , 所以,所以 . 返回 中考考法 23 （第7题） 7. 如图，在梯形 中，，若 ， ，，则 ( ) D A. B. C. D. 中考考法 24 课堂小结 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. A B C D E A B C D E A B C D E 如图，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC. $