1.4.1 第4课时 相似三角形的判定定理3（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理3（三边成比例的两个三角形相似），通过复习已学相似判定方法、类比全等三角形SSS，引导学生提出猜想，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以“猜想-证明-应用”为主线，通过定理严谨证明培养推理意识，结合直角三角形、网格图形及乡镇公路等实例发展应用意识，课堂小结系统归纳判定步骤，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径。

1.4 相似三角形的判定 第1章 图形的相似 第4课时 相似三角形的判定定理3 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进 行相关计算. (重点、难点) 学习目标 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？ 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ A B C D E 3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法， 我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？ 复习导入 如图，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使△ABC 的各边与△A'B'C' 的各边对应成比例，即满足 △A'B'C' 与△ABC 相似吗？为什么? (常数). 三边成比例的两个三角形相似 1 C A B A' B' C' 思 考 猜测：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 探究新知 从而 A′E = AC，DE = BC，因此△A′DE≌△ABC. 故△ABC∽△A′B′C′. 又 A′D = AB， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 过点 D 作 DE∥B′C′ 交 A′C′ 于点 E. 证明：在△A′B′C′ 的边 A′B′ 上取一点D，使A′D=AB. C A B A' B' C' D E ∵ DE∥B′C′， 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理 3： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 知识要点 例1 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ . 证明 设 则 AB = k·A'B'，AC = k·A'C'. 由勾股定理，得 BC = = k · B'C'. 所以 从而 因此Rt△ABC∽Rt△A'B'C'(三边成比例的两个三角形相似). A′ C′ B′ A C B 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在△DEF 中， DE > EF > FD. 因此 △DEF∽△ABC. A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 因为 ， ， ， 所以 . 例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. ∵ ， ， ∴ . 解： 例3 已知△ABC 和△A′B′C′ ，根据下列条件判断它们是否相似. 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 归纳总结 1. 已知△ABC 和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似. (3) AB=12， BC=15， AC＝24， DE＝16，EF＝20， DF＝30. (2) AB＝4， BC＝8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8； (1) AB＝3， BC＝4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9； 是 否 否 练一练 例4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE 的度数. A B C D E ∴ △ABC ∽△ADE. 解：∵ ∴∠BAC =∠DAE，∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC. 即 ∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD = 20°， ∴∠CAE = 20°. 解：在 △ABC 和 △ADE 中， ∵ AB∶AD = BC∶DE = AC∶AE， ∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC =∠DAE，∠B =∠D，∠C =∠E. ∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD . ∴∠BAD =∠CAE . 故图中相等的角有∠BAC =∠DAE， ∠B =∠D，∠C =∠E，∠BAD =∠CAE. 2. 如图，已知 AB∶AD = BC∶DE = AC∶AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由. A B C D E 练一练 1. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是 ( ) C A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ ① ② ③ ④ 课堂练习 2. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD，下列结论正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A C B P D C ∵ BC∶AB = AB∶BD = AC∶AD，∴△ABC∽△DBA，故选 C. 解析：设 AP = PB = BC = CD = 1，∵∠APD=90°， ∴ AB = ，AC = ，AD = . 3. 根据下列条件，判断 △ABC 与 △A′B′C′ 是否相似： AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm， A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 21 cm. 答案：不相似. 4. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， ∴ ∴ 5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解：公路 AB 与 CD 平行. 理由如下： ∴ ∴ △ABD∽△BDC. ∴∠ABD =∠BDC. ∴ AB∥DC. 18 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理 3 的运用 课堂小结 $