1.4.4用三边关系判定两三角形相似-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用三边关系判定两三角形相似”核心知识点，通过“作三角形并利用平行截线构造全等”的探究导入，衔接两角、两边夹角判定相似的已有知识，构建从具体操作到定理推导的学习支架。 其亮点在于以“排、算、判”三步法培养几何直观，分层习题（基础到拓展）与传统文化题（象棋棋盘）发展推理能力和应用意识。课堂小结系统梳理三个判定定理，助力学生构建知识网络，教师可依托此资料实现高效分层教学。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 1.4.4用三边关系判定两三角形相似 第1章 图形的相似 湘教版九年级数学1.4.4 用三边关系判定两三角形相似练习题 ### 核心知识点回顾 SSS相似判定定理（三边关系）：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。无需寻找角相等，仅通过边长比例即可判定相似。 核心解题步骤：1. 将两个三角形的边长从小到大依次排列；2. 计算三组对应边的比值；3. 若三组比值完全相等，则两三角形相似，比值即为相似比。 易错重点：必须是三组对应边全部成比例，仅两组边成比例无法判定相似；对应边需长短对应，不可错位对比。 常用结论：所有等边三角形三边比例恒定，全部互相相似；边长成比例的两个直角三角形一定相似。 ### 一、基础巩固题（每题5分，共30分） 1. 已知△ABC三边长为2、3、4，△DEF三边长为4、6、8，判断两三角形是否相似。 2. 判断正误：两个三角形两组对应边成比例，即可用三边关系判定相似。 3. 三角形三边为3、4、5，另一三角形三边为6、8、10，求两三角形的相似比。 4. 简述SSS判定三角形相似的完整条件。 5. △ABC三边为5、7、9，△A'B'C'三边为10、14、18，判断是否相似。 6. 若两个三角形三边对应比值均为$$\frac{2}{3}$$，判断两三角形的关系。 ### 二、能力提升题（每题10分，共40分） 1. 已知△ABC的三边长为4、6、8，△MNP三边长为6、9、12，求证：△ABC∽△MNP。 2. 一个三角形三边为2、5、6，另一个三角形三边为4、10、12，证明两三角形相似并求相似比。 3. 判断三边为3、5、7和6、10、13的两个三角形是否相似，说明理由。 4. 已知两三角形相似，一个三角形三边为3、6、7，相似比为1:2，求另一三角形三边长。 ### 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. △ABC三边长为5、12、13，△DEF三边长为10、24、26，求证两三角形相似，若△ABC周长为30，求△DEF的周长。 2. 已知△ABC三边AB=6，BC=8，AC=10，△A'B'C'三边A'B'=9，B'C'=12，A'C'=15，利用三边关系证明两三角形相似。 ### 参考答案与详细解析 #### 基础巩固题解析 1. 解：相似。边长排序后比值：$$\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$，三组边对应成比例，满足SSS相似定理。 2. 解：错误。三边关系判定相似，必须保证三组对应边全部成比例，两组边成比例无法判定相似。 3. 解：边长对应比值为$$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$，相似比为1:2。 4. 解：两个三角形的三组对应边全部对应成比例，则这两个三角形相似。 5. 解：相似。三组对应边比值均为1:2，符合SSS相似判定条件。 6. 解：两三角形相似，相似比为2:3。 #### 能力提升题解析 1. 证明：从小到大排序边长，4、6、8 和 6、9、12，比值$$\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$，三组边成比例，故△ABC∽△MNP（SSS）。 2. 证明：对应边比值均为$$\frac{1}{2}$$，满足SSS相似条件，两三角形相似，相似比1:2。 3. 解：不相似。$$\frac{3}{6}=\frac{5}{10} eq\frac{7}{13}$$，三组边比值不相等，不满足SSS判定条件。 4. 解：相似比1:2，边长同步扩大2倍，另一三角形三边长为6、12、14。 #### 拓展应用题解析 1. 证明：三组对应边比值均为1:2，△ABC∽△DEF（SSS）。相似三角形周长比等于相似比，故△DEF周长=30×2=60。 2. 证明：将边长排序，6、8、10 和 9、12、15，计算比值$$\frac{6}{9}=\frac{8}{12}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$$，三组对应边成比例，因此△ABC∽△A'B'C'（SSS）。 探究新知 思 考 如图1.4-13，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使△ABC的各边与△A'B'C'的各边对应成比例，即满足 △A'B'C'与△ABC 相似吗？为什么？ A B C A′ B′ C′ 图 1.4-13 思考：如果能在△A'B'C'中用平行于B' C'边的直线截得△A'DE，使它与△ABC全等， 则△A'B'C' ∽△ABC . 猜测：三边成比例的两个三角形相似. 证明： 如图1.4-14在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB. 过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E. 因为 DE∥B'C'， 所以 △A'DE∽△A'B'C'， 又A′D=AB， 从而 A'E=AC，DE=BC， 因此 △A'DE≌△ABC. 故 △ABC∽△A'B'C'. A B C A′ B′ C′ 图 1.4-14 D E 三边成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定定理 3 A B C A′ B′ C′ 所以 △ABC∽△A'B'C′. 例6 如图1.4-15，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中， ∠C =∠C′=90°， .求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. A B C A′ B′ C′ 证明 则 AB = k·A′B′，AC=k·A′C′. 由勾股定理，得 因此 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似). 图 1.4-15 例7 判断图1.4-16中的两个三角形是否相似，并说明理由. 解 在△ABC中，AB＞BC＞CA， 在△DEF中，DE＞EF＞FD. 因此△DEF∽△ABC. A B C D E F 3 3.5 4 2.4 1.8 2.1 图 1.4-16 随堂诊断 1. 一个三角形的三边长分别为 6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形的三边长分别为 8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 解：这两个三角形相似. 理由如下： 因为 所以 所以 这两个三角形相似. 知识点睛 判断三角形三边是否成比例的一般步骤： （1）排：将三角形的边按大小顺序排列； （2）算：分别计算三组对应边的比； （3）判：由算得的比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例. 2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断 这两个三角形是否相似，并说明理由. （1）AB＝5，AC＝3，∠A=45°， A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°； 解：因为AB＝A′B′ ， AC＝ A′C′， ∠A= ∠A′， 所以 △ABC∽△A′B′C′. 2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断 这两个三角形是否相似，并说明理由. （2）∠A=38°，∠C=97°，∠A′=38°，∠B′=45°； 解：因为∠A=38°，∠C=97°， 所以 △ABC∽△A′B′C′. 所以∠B =180°－38°－97°= 45°， 所以∠A = ∠A′ ， ∠B =∠B′， 2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断 这两个三角形是否相似，并说明理由. （3）AB=2， 所以 △ABC∽△A′B′C′. 解：因为 所以 3. 下列四个三角形中，与如图所示的三角形相似的是( ) A B C D D 4. 如图在△ABC中，AB = 25，BC = 40，AC = 20，在 △ADE中，AE=12，AD=15，DE=24，求证：∠EAC= ∠DAB. 证明： 因为 所以 所以△ABC ∽ △ADE 所以 ∠BAC=∠DAE. 所以 ∠BAC－ ∠BAE=∠DAE－ ∠BAE， 即 ∠EAC=∠DAB. 5. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ADC = ∠ACB = 90°，E 为 AB 的中点.求证： （1） AC2=AB·AD； （2） △AFD∽△CFE； 证明 (1) 因为AC平分∠DAB， 所以∠DAC= ∠CAB ， 又∠ADC = ∠ACB = 90°， 所以△ADC∽△ACB. 所以 AC2 = AB·AD. 5. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ADC = ∠ACB = 90°，E 为 AB 的中点.求证： （1） AC2=AB·AD； （2） △AFD∽△CFE； (2) 在Rt△ABC中，因为E为AB的中点， 所以 CE= BE=AE， 所以∠BAC = ∠ECA . 所以△AFD∽△CFE. 所以 CE ∥AD. 因为∠DAC = ∠CAB . 所以∠DAC = ∠ECA . 相似三角形的判定思路: （1）已知平行于三角形一边的直线，直接找两个三角形. （2）已知一组角相等，找另一组角相等，或找夹角的两组边成比例. （3）已知两组边成比例，找夹角相等，或找第三组边的比等于前两组边的比，或找一对直角(要求两组边同为直角边或分别为斜边、直角边). （4）已知等腰三角形，找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰成比例. 知识点睛 知识点1 相似三角形的判定定理3 1. 若 的三边长分别是3，5，6，则与 相似的 的边长可能是( ) D A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 中考考法 17 利用三边判断两个三角形是否相似的步骤: 返回 中考考法 18 2. 一个三角形木架的三边长分别是 ， ， ，现要做一个与其相似的三角形木架，但是 只有长为和 的两根木条.要求以其中一根为一边， 从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截 法有( ) B A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种 中考考法 19 【点拨】长 的木条与三角形木架的最长边相等，要满 足两边之和大于第三边，则长 的木条不能作为一边.设 从长的木条上截下的两段长分别为 ， .方法1:当长的木条与 的 一边对应时，，解得, , ，不合题意；当长的木条与 的一边 对应时，，解得， , 中考考法 20 ,符合题意；当长的木条与 的 一边对应时，，解得， , ,符合题意.所以有两种不同的截法.方法2： 因为原三角形的三边长之比为 .所以 或 或 .由①得, , ,符合题意，由②得, , ，符合题意，由③得, , ,不合题意,所以有两种不同的截法. 返回 中考考法 3. 一个三角形的三边长分别为1， ，2，另一 个三角形的两边长分别为 和2，要让这两个三角形相似， 则另一个三角形的第三边长为________. 1或 本题中另一个三角形的最长边不确定，需要分类讨 论. 返回 中考考法 22 知识点2 利用网格判定三角形相似 4. [常德期末] 下列四个三角形，与图中的三 角形相似的是( ) B A. B. C. D. 本题可用“三边法”，即分别求出各个三角形的三边 长，再利用判定定理3判定是否相似，也可用“两边夹角法”. 返回 中考考法 23 5. 在如图所示的象 棋盘（各个小正方形的边长均 相等）中，根据“马走日”的规 则，使“马”“车”“炮”所在位置的 ② 格点构成的三角形与“帅”“相” “兵”所在位置的格点构成的三 角形相似，“马”应落在____处（填“①”“②”“③”或“④”）. 返回 中考考法 24 知识点3 相似三角形的判定与性质的综合应用 6. 如图，已知 ， ，，过点作轴于点 ， 连接，，.试猜想与 的 数量关系. 中考考法 25 【解】猜想.如图，过点 作 ，交于点.易得四边形 为 矩形，所以，.由， ， 三点的坐标可以得到， ， ， ，所以 ， , , ，所以 , ， 中考考法 26 所以 . 在和中,因为 , , ,所以 ,所以 .所以 . 返回 中考考法 课堂小结 课堂小结 相似三角形的判定定理 文字语言 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似 数学语言 图示 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'， 所以△ABC∽△ A'B'C'. ∠A=∠A' 所以 △ABC∽△A'B'C′. 所以 △ABC∽△A'B'C′. $