1.4 相似三角形的判定 第2课时 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定定理，核心内容为“两角分别相等的两个三角形相似”。课堂导入从复习全等三角形的SAS、ASA、AAS、SSS判定方法切入，通过“全等是相似的特例”建立知识联系，提出“能否用较少条件判定相似”的问题，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“思考-猜测-证明-应用”为主线，通过作辅助线构造全等与平行关系证明定理，培养学生推理能力（数学思维），结合例2、例3及随堂诊断中的具体图形问题，强化几何直观（数学眼光），课堂小结清晰梳理定理及直角三角形特例，用数学语言精准表达。学生能在探究中理解定理本质，教师可借助系统例题与练习提升教学效率。

湘教·九年级上册 相似三角形的判定定理1 复习导入 如何判断两个三角形是全等三角形呢？ SAS ASA AAS SSS 全等三角形是相似三角形的特例，且相似三角形的对应边可以不相等，我们是否可用较少的条件去判定两个三角形相似？ 探究新知 思 考 如图1.4-5，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使∠A'= ∠A ， ∠B'= ∠B. 这两个三角形相似吗？ 图 1.4-5 A B C A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ 由于“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似” 将△ABC 放到 △A' BC 上面，使点 A 与点 A' 重合，且边 AB 落到边 A'B 上， 由∠A'=∠A，可判断边AC会落到边A'C上，又∠B'=∠B， 则BC//B'C'，于是可得△ABC ∽△A'BC. A B C A B C A B C A′ B′ C′ 猜测：两角分别相等的两个三角形相似. 证明： 如图1.4-6，在△A'B'C'的边A'B'上取一点 D，使A'D = AB. 过点D作DE∥B'C' ，交A'C'于点 E. 在△A'DE与△ABC中， 因为∠A'=∠A， A'D=AB， ∠A'DE=∠B'=∠B， 所以△A'DE≌△ABC. 又DE∥B'C' . 于是△A'DE∽△ A'B'C'. 因此△ABC∽△ A'B'C'. D E 图 1.4-6 两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 1 A B C A′ B′ C′ 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'， 所以△ABC∽△ A'B'C'. 两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似. 例2 如图1.4-7，在△ABC中，∠C=90°.过点 D 分 别作边 AB，AC的垂线，垂足分别为点E，F，DF与AB交于点H.求证：△DHE∽△ABC. 证明 因为∠C=90°，所以 BC⊥AC. 因为DF⊥AC，所以DF∥BC. 从而∠DHE=∠B. 又DE⊥AB，所以∠DEH = 90°=∠C， 因此 △DHE∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). A B C D E F H 图 1.4-7 例3 如图1.4-8，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF中， ∠C=90°， ∠F=90°.若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=3，求EF的长. 解：因为∠C = 90°，∠F = 90°，∠A =∠D， 所以 △ABC∽△DEF， 从而 又 AB = 5，BC = 4，DE = 3. 所以 EF = 2.4. 于是 A B C D E F 图 1.4-8 随堂诊断 1. 如图，在△ABC中，AD=AB，∠1=∠2. 求证△ABC∽ △EAD. A B C D E 1 2 证明：因为AD=AB 所以∠EAD=∠B. 因为∠BAD =∠1 + ∠C= ∠2 + ∠ADE， ∠1 =∠2 所以∠C =∠ADE. 所以△ABC∽ △EAD. 2. 如图，在□ ABCD中，E 为 CD 上一点，连接 AE，F为 AE 上一点，且∠BFA=∠D. 求证△ABF∽ △EAD. A B C D E F 证明：因为四边形ABCD是平行四边形. 所以 AB∥CD， 所以 ∠BAF= ∠AED. 又因为∠BFA= ∠D， 所以 △ABF ∽ △EAD. 3. 如图，△ADE 与△ABC 有公共顶点A，∠ABD =∠CAE =∠DCB，点D、E、C在同一条直线上.求证：△ADE∽ △ABC. A B C D E 证明：因为 ∠BAD= ∠CAE， 所以 ∠BAD + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ， 所以 △ADE ∽ △ABC. 即 ∠DAE = ∠BAC . 因为 ∠AED= ∠CAE + ∠ACE ， 所以 ∠AED = ∠ACB， ∠ACB= ∠DCB + ∠ACE ， ∠CAE= ∠DCB 练习 1.如图，E 为□ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接AE，交CD 于点F.试指出图中有几对相似三角形，并说明理由. △ABE∽△FCE， 证明：因为 四边形ABCD为平行四边形， 所以 AB∥DC，AD∥BE. 所以△ABE∽△FCE，△FCE∽△FDA △FCE∽△FDA， △ABE∽△FDA 所以 △ABE∽△FDA. A B C D E F 2. 如图，AB⊥BD，ED⊥BD， C 是线段 BD 的中点， 且 AC⊥CE. 已知 ED=1，BD=4，求 AB 的长. 证明：因为 AB⊥BD，ED⊥BD， AC⊥CE， 所以∠B =∠D =∠ACE = 90°. 因为∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB=90°， 所以 ∠A=∠ECD， 所以△ABC∽△CDE. 所以 因为BD=4，C是BD中点， 所以BC=CD= 所以 即AB=4. A B C D E 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE. 证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD， 所以 AD⊥BC， 因为 CE⊥AB， 所以 ∠ADB=∠CEB=90°， 又∠B=∠B， 所以 △ABD∽△CBE. 证明： 因为∠A=36°，△ABC是等腰三角形， 所以 ∠ABC=∠C=72°， 又因为 BD平分∠ABC， 所以 ∠DBC=36°， 在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°， 所以△ABC∽△BCD. 4. 已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角 平分线，求证：△ABC∽△BCD. 5. 已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB 上 的高. 求证：△ACD∽△ABC∽△CBD. 证明: 因为∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°， 所以△ACD∽△ABC，（两角分别相等的两个三角形相似） 同理△CBD∽△ABC， 所以△ABC∽△CBD∽△ACD. 课堂小结 两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 1 A B C A′ B′ C′ 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'， 所以△ABC∽△ A'B'C'. 两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似. $