1.4.3用边角关系判定两三角形相似-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用边角关系判定两三角形相似”，核心知识点为SAS相似判定定理。通过核心知识点回顾，衔接全等三角形SAS判定，对比相似与全等的差异，明确关键要点及易错点，构建学习支架帮助学生理解定理条件。 其亮点在于采用分层练习（基础巩固、能力提升、拓展应用）和探究式推导（作图、证明），结合推理能力（定理严谨证明）与几何直观（图形与推理结合）。学生能提升逻辑思维，教师可通过结构化小结高效教学，助力掌握相似三角形判定方法。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 1.4.3用边角关系判定两三角形相似 第1章 图形的相似 湘教版九年级数学1.4.3 用边角关系判定两三角形相似练习题 ### 核心知识点回顾 SAS相似判定定理（边角关系）：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 关键要点：1. 必须是两组对应边成比例；2. 相等的角必须是这两组边的夹角，非夹角相等不能判定相似；3. 区别于全等SAS，相似只要求边成比例、角相等，无需边相等。 常见易错点：两边成比例且其中一边的对角相等，三角形不一定相似，做题必须严格核对角的位置。 ### 一、基础巩固题（每题5分，共30分） 1. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，$$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$$，判断两三角形是否相似并说明依据。 2. 判断正误：两边成比例且有一个角相等的两个三角形一定相似。 3. 已知△ABC中，AB=4，AC=6；△A'B'C'中，A'B'=8，A'C'=12，∠A=∠A'，求证△ABC∽△A'B'C'。 4. 两个三角形两组对应边比值为2:3，夹角均为60°，判断是否相似。 5. 在△ABC和△MNP中，AB=3，BC=5，MN=6，NP=10，∠B=∠N，求相似比。 6. 简述SAS相似判定的两个核心条件。 ### 二、能力提升题（每题10分，共40分） 1. 已知△ABC中，AB=6，AC=9，△DEF中DE=4，DF=6，∠A=∠D，求证：△ABC∽△DEF。 2. 如图，AB、AC上分别有点D、E，AD=2，AB=6，AE=3，AC=9，∠DAE=∠BAC，证明△ADE∽△ABC。 3. 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:3，AB=4，AC=6，求A'B'、A'C'的长度。 4. 判断：两边对应成比例，且钝角相等的两个三角形是否一定相似？说明理由。 ### 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，AD=3，DB=6，AE=4，EC=8，求证：△ADE∽△ABC。 2. 已知△ABC与△XYZ中，∠B=∠Y=45°，AB=5，BC=8，XY=2.5，YZ=4，求证两三角形相似，并求出相似比。 ### 参考答案与详细解析 #### 基础巩固题解析 1. 解：相似。满足两边对应成比例且夹角相等（SAS），故△ABC∽△DEF。 2. 解：错误。相等的角必须是两组对应边的夹角，若是对角相等，无法判定相似。 3. 解：$$\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$，$$\frac{AC}{A'C'}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$，两边成比例且夹角∠A=∠A'，满足SAS，两三角形相似。 4. 解：相似。两组对应边成比例，且夹角同为60°，符合SAS相似判定定理。 5. 解：$$\frac{AB}{MN}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$，$$\frac{BC}{NP}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$，夹角∠B=∠N，相似比为1:2。 6. 解：①两组对应边成比例；②两组边的夹角对应相等。 #### 能力提升题解析 1. 证明：$$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$，$$\frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$$，两边比值相等，且夹角∠A=∠D，由SAS得△ABC∽△DEF。 2. 证明：$$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$，$$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$，公共夹角∠DAE=∠BAC，满足SAS相似条件，三角形相似。 3. 解：相似比$$\frac{2}{3}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$$，代入得A'B'=6，A'C'=9。 4. 解：一定相似。钝角只能为两对应边的夹角，无法作为对角，满足SAS相似判定条件。 #### 拓展应用题解析 1. 证明：AD=3，AB=9；AE=4，AC=12。$$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$，$$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$，∠A为公共夹角，两边成比例且夹角相等，故△ADE∽△ABC（SAS）。 2. 证明：$$\frac{AB}{XY}=\frac{5}{2.5}=2$$，$$\frac{BC}{YZ}=\frac{8}{4}=2$$，夹角∠B=∠Y=45°，满足SAS相似，两三角形相似，相似比为2:1。 探究新知 A B C A′ B′ C′ 思 考 如图1.4-9，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使∠A'= ∠A ， △A'B'C' 与△ABC 相似吗？为什么？ 图 1.4-9 思考：如果能在△A'B'C'中用平行于B'C'边的直线截得一个△A'DE，使它与△ABC全等则△A'B'C' ∽△ABC . 猜测：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 证明： 如图1.4-10在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB. 过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点 E. 因为DE∥B'C'， 所以 △A'DE∽△A'B'C'. 又 A'D=AB， 于是 A'E=AC. 又∠A' =∠A， 所以 △A'DE≌△ABC. 所以 △ABC∽△A'B'C′. A B C A′ B′ C′ 图 1.4-10 D E 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 2 A B C A′ B′ C′ ∠A=∠A' 所以 △ABC∽△A'B'C′. 利用该判定定理时，相等的角必须是已知成比例的两 边的夹角，否则这两个三角形不一定相似. 例4 在 △ABC 与 △DEF 中，已知∠C =∠F= 70°，AC = 3.5cm，BC = 2.5cm，DF = 2.1cm，EF = 1.5cm. 如图1.4-11所示. 求证：△ABC∽△DEF. A B C D E F 证明 因为AC = 3.5cm，BC = 2.5cm， DF=2.1cm，EF=1.5cm， 所以 从而 又∠C =∠F=70°， 因此 △ABC∽△DEF(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 图 1.4-11 A C 例5 如图1.4-12，在△ABC中，CD 是边 AB 上的 高，且 .求证：∠ACB=90°. 证明 因为 CD 是边AB上的高， 所以 ∠ADC=∠CDB=90°. 因此 △ACD∽△CBD， 从而 ∠ACD =∠CBD. 所以 ∠ACB =∠ACD+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°. A B C D 图 1.4-12 1.如图，BC 与 DE 相交于点 O. 问 （1）当∠B 满足什么条件时，△ABC∽△ADE？ （2）当AC∶AE 满足什么条件时，△ABC∽△ADE ？ 解：（1）因为∠A=∠A ， 所以 当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE. 随堂诊断 （2）因为∠A=∠A ， 所以 当AC∶AE=AB∶AD时， △ABC∽△ADE. 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C， ∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC． 证明：因为△ACB是等腰直角三角形， 所以 ∠A=∠B=45°． 又因为∠MCN=45°， ∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN， ∠MCB=∠MCN+∠BCN=45°+∠BCN． 所以∠CNA=∠MCB， 在△BCM和△ANC中， 所以△BCM∽△ANC． ∠A=∠B，∠CNA=∠MCB 3. 如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F. 证明：△ABE∽△CBD. 所以△ABE∽△CBD. 证明：因为△ABC、△DEB均为等腰直角三角形， 所以∠DBE=∠CBA=45°， 所以∠DBE－∠CBE=∠CBA－∠CBE. 即∠ABE=∠CBD， 又 知识点1 相似三角形的判定定理2 （第1题） 1. 如图，在 与 中，，要使 与 相似，还需满足下列条件中的 ( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 10 （第2题） 2. [娄底模拟] 如图，在 中， ，， ．如果将 沿图示中的虚线剪开，则剪下的阴 影三角形与原三角形不相似的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 11 （第3题） 3. 如图，在正三角形中，， 分别在 ，上，且， ，则有 ( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 12 4. 如图，在由小正方形组成的网格中，和 的顶 点均在格点上，要使，则点 所在的格点为 ___（填“”“”“”或“ ”）. （第4题） 返回 中考考法 13 知识点2 相似三角形判定定理2的应用 5. 如图，在中，是 边上的高.若 ，则 ____. 返回 中考考法 14 6. 如图，在正方形中，，分别是边， 上的 点，，，连接并延长交 的延长线于 点 . 中考考法 15 （1）求证： ； 【证明】因为四边形 为正 方形，所以 , .因为 , 所以.因为, 所以易得 .所以 ，即.所以 . 中考考法 16 （2）若正方形的边长为4，则 的长为 ____. 10 【点拨】因为四边形 为正方形，所 以.所以.所以 .因为正方形的 边长为4,所以.因为, ， 所以,,所以.所以.所以 .所 以 . 返回 中考考法 17 （第7题） 7. 如图，在 中， ，，，圆 的半径为 2，为圆上一动点，连接， ，则 的最小值为( ) A A. B. 6 C. D. 4 中考考法 18 课堂小结 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 2 A B C A′ B′ C′ ∠A=∠A' 所以 △ABC∽△A'B'C′. 利用该判定定理时，相等的角必须是已知成比例的两 边的夹角，否则这两个三角形不一定相似. $